753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou je nutné příklad společně rozebrat a vymyslet postup Kreslení obrázků je rozhodně lepší provádět na tabuli postupně, než je pouze promítnout z počítače Pokud studenti mají problémy s výpočtem osy úsečky nebo vzdálenosti dvou bodů, budou na hodině asi zbyteční Pokud máte čas, je samozřejmě lepší rozdělit obsah hodiny do dvou vyučovacích hodin Pedagogická poznámka: Při počítání v hodině rozdělíme příklady do dvou skupin Nejdříve řešíme první tři Nechám studenty přečíst zadání a nakreslit obrázky Během kreslení je třeba chodit a korigovat, co studenti kreslí Po zkorigování obrázků nechávám ještě chvilku na rozmyšlení postupu, poté si ho společně ukážeme na tabuli (nakreslené obrázky a postup v bodech nechávám na tabuli) Po vyjasnění postupů studenti příklady samostatně řeší Přibližně čtvrt hodiny před koncem si začneme stejným způsobem řešit zbývající tři příklady Studenti, kteří dokáží najít řešení samostatně, nejsou nijak omezováni Př : Najdi kružnici, která se dotýká osy y v bodě Y [ 0; 3] a osu protíná v bodě [ ;0 ] Urči její další průsečík s osou X Bod Y i bod X leží na kružnici střed kružnice musí ležet na ose úsečky XY Střed má dvě souřadnice potřebujeme ještě jednu rovnici Bod Y není obyčejným bodem kružnice, je tečným bodem pro osu y střed kružnice musí ležet na přímce, která je kolmá Y 0; 3, tedy leží na přímce y = 3 (vlastně známe jednu na osu y a prochází bodem [ ] souřadnici) y - - - - Y [0;-3] - X [ ; 0] - Hledáme osu úsečky XY:
3 Střed úsečky S XY ;, u = X Y = ( ;3 ) = n o 3 Rovnice osy: + 3y + c = 0, dosadíme bod S XY ; 3 3 + + c = 0 c = Osa úsečky XY: + 3y + = 0 Známe y-ovou souřadnici středu: y = 3 dosadíme do rovnice osy a dopočteme -ovou + 3y + = + 3 3 + = 0 = 5 souřadnici: Hledaná kružnice má střed v bodě S [ 5; 3] ( [ ]) r = SY = s y + s y = 5 0 + 3 3 = 5 (bylo jasné zpaměti) Rovnice kružnice: ( ) ( y ) 5 + + 3 = 5 Pro průsečík s osou platí y = 0, dosadíme do rovnice kružnice: ( ) ( y ) ( ) ( 5) + 9 = 5 5 + + 3 = 5 + 0 + 3 = 5 0 + 5 = 0 + 9 = 0 9 = 0 První průsečík [ ;0 ] X (známe ze zadání), druhý průsečík [ ] X 9;0 Př : Najdi rovnici kružnice, která se dotýká osy i osy y a prochází bodem K [ ;] Kružnice se dotýká osy i osy y střed kružnice musí ležet na ose těchto dvou přímek, tedy: na přímce y S ;, nebo na přímce y = střed kružnice má obě souřadnice stejné [ ] = souřadnice středu jsou čísla navzájem opačná S [ ; ] Co vyplývá z informace kružnice prochází bodem K [ ;]? Střed kružnice určitě leží v prvním kvadrantu na přímce y = Střed kružnice je od bodu K stejně daleko jako od tečných bodů na obou osách Sy = S = SK
y r - - - - r K [; ] r - - Sy = SK = k + k = + = + / (obě strany kladná čísla žádný problém se zkouškou a ještě se zbavíme absolutní hodnoty i odmocniny) = + + + + 5 = 0 5 = 0 Dvě řešení: = S [ 5;5] ( ) ( y ) = S [ ] ( ) ( y ) 5 ; 5 + 5 = 5 + = Př 3: Najdi kružnici, která se dotýká přímek p : y 0 prochází bodem A [ 3;] + =, p : + y = 0 a Přímky, kterých se kružnice dotýká, jsou rovnoběžné střed kružnice musí ležet na ose pásu (přímce, která je s oběma rovnoběžná a od obou stejně vzdálená) Tím je určen poloměr kružnice (polovina vzdálenosti zadaných přímek) Střed kružnice musí být na ose pásu ve vzdálenosti poloměru kružnice od bodu A 3
y - - - - A [3; ] - - Osa pásu: Je rovnoběžná s přímkou p : + y = 0 a p : + y = 0 rovnice + y + c = 0 Obě zadané přímky mají stejný normálový vektor hledané c můžeme určit jako průměr těchto koeficientů u obou přímek c = = Osa pásu: + y = 0 Poloměr kružnice: Libovolný bod přímky + y = 0, například pro 0 + 0 = 0 P 3; 0 Vzdálenost bodu P od přímky p : Pp y = : [ ] 3+ 0 0 0 5 = = = = 5 + 5 5 5 Vzdálenost zadaných přímek je rovna průměru kružnice r = 5 Nalezení středu: Střed leží na ose pásu: + y = 0 y = Střed je od bodu A [ 3;], vzdálen o 5 5 AS = a + y a = ( ) ( y ) 3 + = 5 (dosadíme y = ) ( ) ( ) 3 + = 5 / ( ) ( ) 3 + 0 = 5 + 9 + 00 0 + = 5 5 + 0 = 0, b ± b ac ± 5 0 ± = = = a 5 0
+ 5 3 3 = = = y = = = S ; 0 0 5 5 5 5 5 3 k : + y = 5 5 5 0 = = = y 3 0 0 k : + y 3 = 5 = = = S [ ] Př : V rovině jsou dány body A[ ; 3], [ 3; ] X takových, aby úhel AXB byl pravý ;3 B Najdi výpočtem množinu všech bodů Řešení známe, jde o Thaletovu kružnici, ale musíme ji vypočítat Dvě možnosti: a) Úhel AXB je pravý, právě když vektory X A a X B jsou na sebe kolmé X A ; y 3 X B = 3; y + = ( + + ) Vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin roven nule ( X A)( X B) = 0 ( + )( 3) + ( y + 3)( y + ) = 0 y y y 3 + 3+ + 3 + + 3 = 0 y y + + = 0 (určitě jde o obecnou rovnici kružnice, najdeme středový tvar) y y y + + + + = + + 5 = 0 ( ) + ( y + ) = 5 [ ; ] S, r = 5 Odpovídá předpokladům, střed kružnice je i středem úsečky AB b) Úhel AXB je pravý, právě když pro strany trojúhelníku ABX platí Pythagorova věta AX + BX = AB = ( + ) + ( + 3) BX = ( 3) + ( y + ) AX y ( [ ]) AB = 3 + 3 = 0 = 5 Dosadíme do Pythagorovy věty: ( ) ( y ) ( ) ( y ) y y y y + + + + + 9 + + 9 + + + = 0 + y + 8y = 0 y y + + + 3 + 3 + + = 0 + + = 0 (stejná rovnice jako v předchozí variantě, nebudeme počítat dál) Pedagogická poznámka: Minimálně někteří studenti nebudou chápat, proč jsme rovnou neprohlásili, že řešením je kružnice se středem ve středu úsečky AB Je potřeba jim ještě jednou zdůraznit, že jsme ze zadání nevěděli, že hledanou množinou bodů je Thaletova kružnice 5
Př 5: Urči množinu všech bodů X roviny, které mají od bodu A[ ; 3] dvakrát větší vzdálenost než od bodu B[ 3; ] Teď už nevíme, jaký výsledek máme očekávat Podle zadání platí: AX = BX Vzdálenosti máme určené z předchozího příkladu: = ( + ) + ( + 3) BX = ( 3) + ( y + ) AX y Dosadíme: ( + ) + ( y + ) = ( ) + ( y + ) 3 3 / ( + ) + ( y + 3) = ( 3) + ( y + ) + + + y + y + 9 = + 9 + y + y + y y y y + + + + 0 = + 3 + + 8 + 3 + 3y + y + 30 = 0 / : 3 (musíme zjistit, zda jde o rovnici kružnice Převádíme na středový tvar) 3 3 3 + y + y + 0 = + + y + y + + 0 = 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 80 + y + = 0 3 3 9 3 80 + y + = 3 3 9 3 S ; 3 3, 80 5 r = = 9 3 Př : (BONUS) Prohlédni si řešení předchozího příkladu a rozhodni, jak se změní výsledek, pokud bude platit AX = k BX, kde k je kladné reálné číslo Postupovat budeme stejně, dojdeme k rovnici: + + + y + y + 9 = k + 9 + y + y + Pokud bude platit k =, druhé mocniny na obou stranách rovnice se odečtou a získáme rovnici přímky (samozřejmé, množinou bodů, které jsou stejně vzdálené od bodů A a B je osa úsečky AB) Pokud bude platit k, druhé mocniny na obou stranách rovnice se neodečtou a získáme rovnici, která bude připomínat obecnou rovnici kružnice (museli bychom ještě dokázat, že po úpravě na středovou vyjde kladné číslo na pravé straně Tedy, že platí m + n p > 0 ) Zřejmě to tak dopadne, není důvod, aby se výsledek tak radikálně měnil a jeden bod, který vyhovuje rovnici AX = k BX najdeme vždy na úsečce AB, druhý pak na zbytku přímky AB Přesto odhad potvrdíme výpočtem: + + + y + y + 9 = k k + k 9 + k y + k y + k 0 = k + k y k + + k y + 0k 0 Rovnici upravíme na tvar: y m ny p + + = 0 ( k ) + ( k ) y ( 3k + ) ( 3 k ) y + 0( k ) = 0 / : ( k )
( k ) ( 3k + ) ( k ) ( k ) ( 3 k ) ( k ) 3 + 3 + + 0 = 0 y y Platí: m =, n =, p = 0 Podmínka, kterou musí koeficienty splňovat, aby rovnice byla obecnou rovnicí kružnice: m + n p = 0 Dosadíme: ( k ) ( k ) 3 + 3 + 0 > 0 3k + 3 k k + 0 > 0 k k k 9k + k + + 9 k + k 0k + 0k 0 0k ( k ) ( k ) > 0 > 0 - Zlomek obsahuje pouze druhé mocniny pro k > 0; k je větší než nula Př 7: Petáková: strana /cvičení 0 strana /cvičení strana /cvičení strana /cvičení strana /cvičení 5 strana /cvičení 9 strana /cvičení 0 strana /cvičení strana /cvičení 5 b) c) Shrnutí: Složitější příklady je nutné rozložit na menší části, při jejich počítání pak musíme pořád vědět, co vlastně děláme a jaký to má význam z hlediska celého řešení 7