VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKUA STAVEBNÍ PROF. ING. JINDICH ELCHER DrSc. DOC. ING. IROSLAV BAJER CSc. PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ ODUL BO0-04 PRUTY NAÁHANÉ SYKE A OHYBE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAY S KOBINOVANOU FOROU STUDIA
Prvk kovových konstrukcí Jaková korektura nebla provedena a jakovou stránku odpovídá autor. Pro. Ing. Jindich elcher DrSc. Doc. Ing. iroslav Bajer CSc.
Obsah OBSAH Úvod...5. Cíle...5. Požadované nalosti...5.3 Doba potebná ke studiu...6.4 Klíová slova...6 Únosnost kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998...7. Obecn...7. Únosnost kompaktních pre ve smku...7.3 Únosnost preu namáhaným prostým ohbem...8.3. Kombinace namáhání ohbem smkem a osovou silou (tahem nebo tlakem)...9.3. Vliv smku na návrhovou únosnost preu namáhaného ohbem...0.3.3 Rovinné namáhání ve stojin nosníku... 3 Únosnost štíhlých pre...3 3. Štíhlý pre namáhaný kombinací tlaku a ohbu...3 4 Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení)...5 4. Kritické namáhání štíhlost ideálního prutu...6 4.. Pre alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie...6 4.. Úprava ešení problému klopení pro pre alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie ve smslu SN 73 40-998 píloh G....8 4..3 Pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo k ose smetrie.3 4..4 Doplnní ešení problému klopení pro pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo k ose smetrie ve smslu SN 73 40-998 píloh G...3 4. Ztráta stabilit prutu s netuhým preem...5 5 Vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998...7 5. Stabilita prutu pi ohbu...7 5. Prut namáhané kombinací ohbu a osového tahu...8 5.3 Prut namáhané kombinací ohbu a osového tlaku...9 5.3. Pre tíd a...9 5.3. Pre tíd 3...3 5.3.3 Pre tíd 4...3 6 Závr...33 6. Píklad...33 6. Kontrolní oták...36 6.3 Shrnutí...36 7 Studijní pramen...38 3
Prvk kovových konstrukcí 7. Senam použité literatur... 38 7. Senam doplkové studijní literatur... 38 4
Úvod Úvod. Cíle odul který se chstáte studovat obsahuje ákladní inormace o problematice návrhu pre namáhaných smkem ohbem pípadn kombinací tchto tp namáhání a to vetn kombinace namáhání s osovou silou. odul se abývá jak stanovením únosnosti kompaktních pre tak stanovením únosnosti pre štíhlých. V modulu je dále ukááno jakým psobem se posuuje ohýbaný prut na pínou a torní stabilitu pi ohbu (klopení) podle dokumentu SN 73 40-998. Strun jsou uvedena teoretická východiska ešení problému klopení (Vlasovovo pojetí) a postup pi urení kritické štíhlosti prut pi klopení ve smslu píloh G dokumentu SN 73 40-998 který této teorie vplývá. odul je lenn do sedmi ákladních ástí nichž obsahov nejdležitjší jsou ásti dv až šest. Ve druhé ásti je pojednáno o únosnosti kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998 tetí ást pojednává o únosnosti štíhlých pre tvrtá o píné a torní stabilit pi ohbu neboli klopení. V páté ásti je roebrána problematika vprné únosnosti celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998. Aplikace tchto nalostí je provedena v šesté ásti tohoto modulu na konkrétním píkladu posouení ohýbaného nosníku s vlivem klopení. Cílem pedloženého textu je shrnout obecné nalosti výše uvedené problematik a ukáat nkterá teoretická východiska e kterých jsou odvoen vtah uvedené v dokumentu SN 73 40 Navrhování ocelových konstrukcí. Tento modul je koncipován tak ab po jeho prostudování studenti roumli problematice návrhu pre namáhaných smkem ohbem pípadn kombinací tchto tp namáhání vetn kombinace namáhání s osovou silou. Dalším cílem je ab studenti umli aplikovat ískané nalosti pi výpotech konkrétních píklad. Studiem tohoto modulu tená íská rámcovou pedstavu o dané problematice.. Požadované nalosti Pro úspšné nastudování tohoto modulu b ml mít student ákladní nalosti teoretických pedmt (ejména matematik a ik) a to jak e stední škol tak dosavadního studia na Fakult stavební rošíené o nalosti pedmt konstrukce a dopravní stavb áklad stavební mechanik pružnost a pevnost a stavební látk ískané na vsoké škole. Dále b ml mít student podrobn prostudován modul O ateriál a konstrukní prvk ocelových konstrukcí této studijní opor BO0 Prvk kovových konstrukcí pro studijní program s kombinovanou ormou studia. Nkteré podrobnosti vtahující se k problematice tohoto modulu které nejsou v tomto modulu detailn objasnn jsou podrobn uveden v dalších modulech této studijní opor. 5
Prvk kovových konstrukcí.3 Doba potebná ke studiu Celková optimální doba pro prostudování tohoto modulu je vetn opakování ákladních pojm 4 hodin. Pokud budete procháet i ešený píklad pak se doba prodlouží o jednu a pl až dv hodin..4 Klíová slova Ocelová konstrukce únosnost kompaktní pre štíhlý pre smk ohb kombinace namáhání osový tlak stabilita štíhlost kritická štíhlost klopení píná a torní stabilita pi ohbu oslabení preu ohýbaný prut kritické namáhání štíhlost ideálního prutu Vlasovovo pojetí vboení tlaeného pásu vnucená osa otáení souinitel imperekce souinitel klopení ohbový moment osová síla eektivní pre souinitel spolehlivosti tída preu. 6
Únosnost kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998 Únosnost kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998. Obecn Kompaktním preem roumíme pre tíd a 3 (vi. modul O této studijní opor). Pi výpotu jejich únosnosti se poítá s úinnou plochou preu. U oslabeného preu se uvažuje jmenovitá plocha A net což je plná plocha preu menšená o všechn dír pro spojovací prostedk a jiné otvor. Jsou-li jsou dír pro spojovací prostedk vstídané (obr..) odete se od jmenovité ploch preu nejvtší hodnot: souet ploch oslabení v eu kolmém na osu prutu souet všech ploch oslabení v libovolném šikmém nebo lomeném eu menšený o hodnotu: s t / 4 p pro každou rote p kde s je rote dr ve smru síl p t rote dr kolmo ke smru síl tlouška. Obr.. Vstídané uspoádání dr pro spojovací prostedk Tžišt preu a sted smku se vžd urují pro neoslabený pre.. Únosnost kompaktních pre ve smku Pre namáhaný smkem se posuuje podle podmínk: V V pl kde V sd je návrhová posouvající síla V A V pl γ A V 0 3 je plocha úinná na smk je me kluu je návrhová únosnost preu ve smku 7
Prvk kovových konstrukcí γ 0 je dílí souinitel spolehlivost pro pre tíd 3. Plochu A V tvoí všechn ásti preu rovnobžné se smrem psobení posouvající síl. Oslabení ploch úinné na smk se neuvažuje platí-li: A Vnet / A V > / u není li výše uvedená podmínka splnna uvažuje se redukovaná smková plocha která spluje výše uvedenou podmínku apsanou však jako rovnost..3 Únosnost preu namáhaným prostým ohbem Pre namáhaný prostým ohbem (jestliže pre ohýbaného prutu není vnjším atížením namáhaný jinak než ohbovými moment) se posuuje podle podmínk: c kde je návrhový ohbový moment c je návrhová únosnost preu v ohbu která se vpote pro neoslabené pre: o tíd a výrau: c pl o tíd 3 výrau: c el W pl γ 0 Wel γ 0 kde W pl je plastický preový modul W el je elastický preový modul γ 0 je dílí souinitel spolehlivosti pro pre tíd a 3 je me kluu materiálu. Oslabení preu namáhaného ohbem se uvažuje následovn: v tažené pásnici jen pokud: A t net A t γ < 09 u γ 0 kde A tnet a A t jsou oslabená plocha a celková plocha tažené pásnice. Je-li nutno oslabení uvažovat apoítá se do preu redukovaná plocha pásnice která spluje pedcháející podmínku apsanou však jako rovnost. v tažené ásti stojin jen pokud je splnna pedcháející podmínka piemž se tato podmínka vtáhne na celou taženou ást preu v tlaené ásti preu poue pi oslabení nestandardními dírami. 8
Únosnost kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998.3. Kombinace namáhání ohbem smkem a osovou silou (tahem nebo tlakem) Podmínka spolehlivosti preu namáhaného kombinací ohbových moment posouvajících sil a osové síl (tahem nebo tlakem) je: N N k c c 0 kde N sd jsou návrhové tahové nebo tlakové síl a návrhové ohbové moment N c c k jsou návrhové únosnosti preu v tlaku i tahu a návrhové ohbové moment únosnosti preu podle ástí 6.6. 6.6.3 a 6.6.4 (je-li vliv smku anedbatelný) resp. podle ástí 6.6.7.3 (je-li nutno vliv smku uvažovat) dokumentu SN 73 40 998 je exponent ávisející na stupni vužití preu. Pro pre tíd a je možné únosnosti pre stanovit plastickým výpotem. Do výše uvedené podmínk se potom dosauje: k k kde m m / c / c k k k m m m m k k jsou dílí hodnot exponent pro namáhání jen jedním ohbových moment a urí se tab... Tab.. Hodnot dílích exponent k k. Píný e k k Válcované a svaované I a H pre se dvma osami smetrie 8 Pravoúhlé ( obdélníkové tvercové) duté pre se dvma osami smetrie 3 3 3 Kruhové trubk 8 8 4 Obdélníkové plné pre 0 0 Pro pre tíd 3 se únosnost preu stanoví pružnostním výpotem. Výše uvedenou podmínkou spolehlivosti se prokauje spolehlivost v nejvíce namáhaném míst preu. Do podmínk spolehlivosti se dosauje: 9
Prvk kovových konstrukcí N k A c c 0. 0 el el W W Vliv smku (který je podrobn roebrán v ásti.3.) se pitom anedbává pro: el el V / 03. V pl Pro šikmý ohb pre tíd a le použít pibližnou podmínku spolehlivosti: 0 0 kde c α c β α a β jsou konstant které je možné brát na stran bepené hodnotou 0. Jinak le uvažovat: o pro pre tvaru I a H: α β o pro kruhové trubk: α β o pro uavené pravoúhlé pre: α β 66 o pro plné obdélníkové pre: α β 73. Pre namáhané pohblivým nebo dnamickým atížením se posuují podle podmínk: kde σ x Ed d τ d / Ed 3 0 σ xed τ Ed jsou návrhová normálová a smková naptí v posuovaném bod preu d 0..3. Vliv smku na návrhovou únosnost preu namáhaného ohbem Vliv smku se vjaduje redukcí návrhových únosností preu. Vliv smku na únosnost preu le anedbat: pro pre I namáhaný ohbem ve smru stojin a pro obdélníkový nebo tvercový dutý uavený pre namáhaný bu ve smru stojin nebo ve smru pásnice platí-li: V V pl 05 0
Únosnost kompaktních pre namáhaných smkem a ohbem dle SN 73 40-998 pro pre I namáhaný ohbem ve smru pásnic platí-li: V V pl 03 kde V je návrhová posouvající síla V pl je návrhová únosnost preu ve smku: V pl kde A V je plocha úinná na smk. γ A V 0 3 Pro pre tíd nebo se dvma osami smetrie namáhané ohbem poue v jedné hlavní rovin (jednoduchý ohb) se moment únosnosti c redukované vlivem smku urí takto: pi namáhání ohbem ve smru stojin: c 0 V V 0 : ϕ pi namáhání ohbem ve smru pásnic: c 0 V V 0 : ϕ m V m V pl pl kde souinitelé redukce ϕ m V ϕ mv se vpotou podle vtahu: ( V / V pl ) ( V / V ) ϕ v ale ϕ v 0 α pl pokud pokud ϕ ϕ je α 07 v m V ϕ ϕ je α 0. v m V V pípad dutého obdélníkového nebo tvercového prueu postupujeme obdobn. Návrhová redukovaná únosnost c pro jiné pípad než jsou výše uvedené se spoítá podle píloh D dokumentu SN 73 40-998..3.3 Rovinné namáhání ve stojin nosníku V pípad že je stojina preu tíd 3 a je namáhána kombinací ohbového momentu osové síl a píné lokální síl a pokud platí: pl 03 pak musí být v každém bod stojin splnna podmínka posouení: V V
Prvk kovových konstrukcí σ x Ed d σ V je-li > 03 V pl Ed d σ x Ed d σ Ed d 0 pak musí být v každém bod stojin splnna podmínka posouení: σ x Ed d σ Ed d σ x Ed V obou výše uvedených podmínkách je: σ xed σ Ed τ Ed d σ Ed d. τ Ed / 3 d 0. návrhové podélné normálové naptí v posuovaném míst preu návrhové píné normálové naptí ve stejném míst návrhové smkové naptí ve stejném míst.
Únosnost štíhlých pre 3 Únosnost štíhlých pre V této kapitole se budeme abývat podrobnji poue únosností štíhlých pre namáhaných osovou silou a ohbovými moment. Ostatní psob namáhání jsou podrobn roebrán v modulu O6 této studijní opor BO0 pro kombinované studium. Pod pojmem štíhlý pre máme na msli pre tíd 4. Únosnost takovýchto pre je nepíniv ovlivnna lokálním boulením. Štíhlý pre podle obr.3. mže být obecn namáhán osovou silou ohbovým momentem smkem a lokáln pínou silou. Pi výpotu únosnosti se uvažuje se vájemným spolupsobením jednotlivých ástí preu (pásnice stojina výtuh). Je-li uvažováno jedno pole stojin které je omeeno pínými výtuhami uvažuje se s hodnotami vnitních sil a moment které písluší preu vdálenému a m od píné výtuh na více atížené stran pole. Za a m bereme hodnotu: pro a d : a m a/ pro a > d : a m d/ kde a d a m vplývají obr.3. Obr.3. Schéma atížení jednoho pole stojin 3. Štíhlý pre namáhaný kombinací tlaku a ohbu Pro výpoet ohbové únosnosti prut se štíhlými pre (tíd 4) se poítá s eektivními preovými charakteristikami A e I e W e které odpovídají eektivnímu preu náornným nap. na obr.3.. Výpoet preových charakteristik eektivních pre je uveden v modulu BO0-O této studijní opor pro kombinované studium. Únosnost tlaených a ohýbaných prut se štíhlými stnami tíd 4 se mže výšit vtužením jejich štíhlých stn pínými i podélnými výtuhami. V obecném pípad se neutrální osa eektivního preu posouvá oproti neutrální ose preu plného o vdálenost e resp. e N (vi obr.3.). 3
Prvk kovových konstrukcí Obr.3. Eektivní preová plocha štíhlého preu Stojin preu mají abepeovat dostatené podepení tlaeným pásnicím. Ab nedošlo ke vtlaení pásnice do preu ohýbaného prutu je teba štíhlost stojin d/t w omeit; d naí šíku stojin t w její tloušku. Štíhlost stojin má splovat podmínku: d t w k E A A w c kde k 03 pro pásnice preu tíd k 04 pro pásnice preu tíd k 055 pro pásnice preu tíd 3 a 4 A w A c je plocha stojin je plocha tlaené pásnice. Únosnost štíhlých pre be otvor pro spojovací prostedk namáhaných kombinací osové síl a ohbových moment se posuuje podle vtahu: kde N A e W e e N c c c N N A c e W W e e N c e N N c e N je úinná plocha rovnomrn tlaeného preu je preový modul eektivního preu namáhaného okolo píslušné tžišové os poue ohbem je posunutí píslušné tžišové os rovnomrn tlaeného pre- u podle obr.3.. Oslabení posuovaného preu dírami pro spojovací prostedk se uvažuje podle kapitol 7 dokumentu SN 73 40-998. 4
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) 4 Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) je stabilitní problém který le popsat dvmi dierenciálními rovnicemi 4. ádu jejichž ešením le ískat hodnotu kritického ohbového momentu. Vpr pín atížených prut se projevuje prostorovou ormou vboení která ahrnuje boní ohb a pootoení preu (tlaená ást preu má tendenci vboit ve smru nejmenšího odporu tažená ást tuhý pre stabiliuje tn. pispívá k jeho pootoení jako celku).! a) # $ & ζ "% " '& # $ η b) & "% " $ $ "% " φ Obr.4. Klopení nosníku a) tvar nosníku po vboení b) schéma petvoení píného eu) poátení stav ) prhb první rovnovážný stav 3) sklopení K vboení mže dojít u pín atížených prut namáhaných v rovin vtší tuhosti pi nárstu atížení vi obr.4.a. Takovéto petvoení naýváme sklopení prutu. 5
Prvk kovových konstrukcí Z hlediska poáteního stavu sledujeme nejen problém stabilit ideálního ale také problém vpru skuteného pín atíženého prutu. Ohýbaný prut nemusí být posuován na klopení (globální trátu stabilit) v tchto pípadech: pre prutu je tuhý v kroucení (nap. uavený pre) pi ohbu v rovin menší tuhosti preu prutu je-li tlaený pás abepeen proti vboení rovin ohbu nebo je-li pre prutu abepeen proti pootoení a to spojit nebo ve vdálenostech menších než 40-ti násobek polomru setrvanosti konvenního tlaeného pásu nosníku. Pitom se uvažuje polomr setrvanosti rovin ohbu pro konvenní tlaený pás nosníku který je tvoen pásnicí (pop. pírubou) nosníku a pilehlou ástí stojin ahrnující /6 její ploch. 4. Kritické namáhání štíhlost ideálního prutu V souladu s pojetím Vlasova [5] uvažujme nejprve problém stabilit ideálního tenkostnného prutu oteveného preu který je pín atížen. Zatížení procháí stedem smku C s a psobí v rovin pípadn rovnobžn s rovinou vtší tuhosti preu. V poátením rovnovážném stavu tj. do okamžiku trát stabilit je ideální prut poue ohýbán a jeho plnou únosnost je možné vužít poue tehd je-li abepeen proti vboení. Není-li abepeen proti vboení dojde v urité ái namáhání k rodvojení rovnováh (obr.4.b) tv. biurkaci kd vedle poáteního rovnovážného stavu mže existovat i rovnovážný stav sklopeného nosníku. Velikost odpovídajícího kritického atížení le urit ešením dierenciálních rovnic stabilit. ešení tchto rovnic ávisí na okrajových podmínkách na atížení a na tvaru preu. 4.. Pre alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie Pro pre alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie (obr.4.) mají dierenciální rovnice stabilit pi anedbání vlivu poáteního petvoení ξ ϕ v okamžiku rodvojení rovnováh vi. (obr.4.b) tvar: E I E I w ξ ϕ IV IV ( ϕ ) 0 G I ϕ b t ( ϕ ) ξ q ( e a ) ϕ 0 kde a je souadnice stedu smku C s e je souadnice psobení píného atížení (dosauje se se namén- kem) 6
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) b U a kde U ( ) I A da. Výše uvedeným dvma dierenciálním rovnicím písluší okrajové podmínk které ávisí na podepení nosníku. Pi oboustranném kloubovém uložení mají tvar: ξ ϕ ( 0) ξ ( L) ξ ( 0) ξ ( L) 0 ( 0) ϕ( L) ϕ ( 0) ϕ ( L) 0. ešení rovnic stabilit pro pre jednoose soumrné atížené v rovin smetrie (obr.4.) vede pi použití Galerkinov metod ke tvaru: κ ( κ b e ) N ( κ b e ) N κ i N N cr ± 3 a 3 a A w kde je kritický ohbový moment cr w e a e a je excentricita atížení mená od stedu smku C s. # $ # $ # $ # $ "" % ( "% " "% " $ $ "" % $ $ $ $ $ $ Obr.4. Tp pre alespo jednoose soumrných atížených v rovin smetrie hlediska klopení Kritické sil jsou: N N pro trátu stabilit vboením kolmo k ose : π E I L E I pro trátu stabilit kroucením kolem os x: w π E I L w w i A G I t kde i i i a a A kde i i jsou polomr setrvanosti k píslušným osám a a jsou prmt vdáleností stedu smku C s od tžišt preu C g do píslušných os. Znaménko ± ve vtahu pro cr se vtahuje ke smru psobení atížení. Kladné naménko dává kladný kritický moment který vvouje v horních vláknech preu tlak a v dolních tah. Záporné naménko dává áporný kritický moment který vvouje v horních vláknech tah a v dolních tlak. Souinitele κ 7
Prvk kovových konstrukcí κ κ 3 a vprné délk L L w pro výpoet kritických sil N N w jsou uveden v tab.4.. V této tabulce naí K kloubové uložení V vetknutí konce prutu. Kritický moment je vjáden v pípad vetknutého nosníku ve vetknutí v ostatních pípadech uprosted roptí nosníku. Tab.4. Souinitele κ κ κ 3 Schéma atížení ohb v rovin x Uložení x kroucení k L / L k w L w / L κ κ κ 3 K K K 0 0 00 00 00 K K V 0 05 33 075 075 K V V 05 05 00 00 00 K K K 0 0 053 468 468 K K V 0 05 05 633 633 K V V 05 05 09 9 9 V V V 05 05 6 36 36 K K K 0 0 076 36 36 K K V 0 05 087 83 83 K V V 05 05 050 499 499 V V V 05 05 3 00 00 Kritická štíhlost prutu pi trát stabilit ohbem je dána vtahem: λ π E σ cr kde cr σ cr je kritické naptí prutu pi ohbu stanovené pružnostním Wi výpotem pro prut be imperekcí. 4.. Úprava ešení problému klopení pro pre alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie ve smslu SN 73 40-998 píloh G. Kritickou štíhlost λ prutu alespo jednoose smetrického podle obr.4.3 atíženého v rovin smetrie le vpoítat: L λ γ κ i 8
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) kde L je vdálenost bod tlaeného pásu ajištných proti vboení κ i i rovin ohbu je souinitel vprné délk pi klopení podle tab.4. je polomr setrvanosti tlaeného pásu I a i I kde je vdálenost tžišt tlaené pásnice od tžišt preu obr.4.3 a i γ vtší e vdálenosti a a podle obr.4.3 je souinitel štíhlosti pi trát stabilit prutu pi ohbu: γ a κ c e a i ac e κ ai kde a c je vdálenost tžišt stojin C w od stedu smku C s (obr.4.3) e která je kladná je-li tlaen silnjší pás je vdálenost psobení atížení od stedu smku C s (obr.4.3) která je kladná psobí-li atížení na tažené stran; pi psobení poue koncových moment je e 0 κ pro prut namáhaný jen koncovými moment κ 05 pro prut pín atížený h C I I w h L L w α t π α t je parametr kroucení uvedený v ásti 4..3. C a i Nosník: Tab.4. Souinitelé vprné délk κ )* * ( (- (./ 03.&456 Konola ( s volným koncem be ajištní proti vboení rovin ohbu): )* * ( (./ (/7 9
Prvk kovových konstrukcí " "% " 8 $ Obr.4.3 Jednoose smetrický pre atížený v rovin smetrie Pro prut s pre tvaru I (ψ 0) a tvar T (ψ ) le souinitel γ urit tab.4.3. Pro meilehlé pre je možné interpolovat podle vorce: γ γ ψ ( γ ) 0 γ 0 kde γ 0 γ jsou hodnot tab.4.3 pro ψ 0 pop. ψ I I ψ je parametr nesmetrie I I I I jsou moment setrvanosti tlaeného a taženého pásu k ose. Pro pre (ψ -) le hodnotu γ - vpoítat e vtahu: γ π γ kde γ je hodnota tab.4.3 pro pre T (ψ ). Pro 0 > ψ >- je možné interpolovat podle vorce: γ γ ψ ( γ γ ) α t 0 0 ale jen pokud α t. Je-li α t < je potebné poítat podle díve uvedeného vtahu: γ. a κ c e a i ac e κ ai Je-li konstrukním opatením vnucena nosníku pi trát stabilit jiná osa než osa spojující sted smku je nutné výpoet kritické štíhlosti λ pimen upravit. C a i 0
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) Tab.4.3 Souinitele štíhlosti γ pi trát stabilit pi ohbu pro pre IT Zatížení t uložení konc 0 3 4 6 0 5 8 KK KV 4 4 03 090 080 068 054 045 KKKV 00 096 087 080 073 064 05 043 π α t KKKV 08 080 076 07 067 060 050 04 KK 7 3 09 076 066 054 04 033 KV 080 078 07 066 060 05 040 033 0 KK 00 09 079 068 060 050 039 03 KV 07 069 065 060 056 048 039 03 π α t KK 079 075 068 06 055 047 038 03 KV 06 06 058 055 05 045 037 03 - KKKV 393 07 47 7 088 063 049 KKKV 38 80 3 07 08 06 048 π α t KKKV 54 5 6 098 077 058 047 KK KV naí kloubové uložení pro vboení i kroucení naí kloubové uložení pro vboení a vetknutí pro kroucení ají-li prosté nosník preu I nebo T vnucenou osu otáení na spodním okraji taženého pásu le použít vtah:
Prvk kovových konstrukcí kde γ v uríme podle tab.4.4. λ γ v κ L i Tab.4.4 Souinitel štíhlosti γ v pi trát stabilit pi ohbu pro pre I T s vnucenou osou otáení t atížení uložení konc 0 3 4 6 0 5 8 KKKV 7 03 089 076 057 037 05 π α t 3 KKKV 00 095 084 07 06 048 030 00 π α t KKKV 07 067 060 05 044 033 0 04 π α t KK 09 073 059 043 07 08 KV 077 074 067 059 05 039 06 08 π α t 3 4 0 KK 00 09 074 060 049 035 0 05 KV 063 06 055 048 04 03 0 04 π α t KK 07 064 053 04 034 05 05 00 KV 045 043 039 034 030 03 05 00 π α t KKKV 385 9 8 096 064 038 06 π α t 3 - KKKV 34 57 05 079 05 03 0 π α t KKKV 074 056 037 0 05 KK naí kloubové uložení pro vboení i kroucení KV naí kloubové uložení pro vboení a vetknutí pro kroucení π α t
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) 4..3 Pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo k ose smetrie Pro pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo k ose smetrie - (obr.4.4) mají dierenciální rovnice tvaru: E I ξ E I w IV ϕ IV ( ϕ) G I t 0 ϕ ξ q e ϕ 0. Tmto rovnicím písluší okrajové podmínk které ávísí na uložení nosníku. ešením výše uvedených dierenciálních rovnic je kritický moment: N e ( N e ) κ i N N cr κ ± A w kde výnam jednotlivých smbol a hodnot souinitel jsou obdobné jako v pípad pre alespo jednoose soumrných atížených v rovin smetrie ted v ásti 4... 4..4 Doplnní ešení problému klopení pro pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo k ose smetrie ve smslu SN 73 40-998 píloh G Kritická štíhlost prutu s preem jednoose soumrným atíženým kolmo k ose smetrie je pi ohbu dána vtahem: λ γ L h kde L je vprná délka prutu mei podporovými pre abepeenými proti vboení rovin ohbu h je teoretická výška prutu. I I # $ # $ # $ # $ # $ # $ "% " " "% " "% " "% " "% "% " $ $ $ $ $ $ Obr.4.4 Pre prut pi trát stabilit pi ohbu 3
Prvk kovových konstrukcí Souinitel vlivu uložení atížení a tuhosti prutu γ se urí: γ e κ h 0 e h κ d w kde d w L 4 L w π δ α t je parametr tuhosti preu pi trát stabilit pi ohbu L I α t t 0 6 je parametr kroucení h I h I w δ je parametr deplanace. I Souinitelé κ κ jsou pro ákladní tp atížení a píslušné vprné délk L L κ L vi. tab.4.. v ohbu ( κ ) a kroucení ( ) L w Pro výpoet kritické štíhlosti λ vetknuté konol dvouose smetrického preu která není ajištna na volné konci proti posunu rovin x se použije souinitel γ podle tab.4.5 a to v ávislosti na parametru kroucení α t. Vprná Zatížení oment po celé délce Tab.4.5 Souinitel γ pro konolu Rovnomrné atížení na taženém pásu v neutrální ose w na tlaeném pásu na taženém pásu Osamlé bemeno v neutrální ose na tla- eném pásu 0 084 064 03 09 09 045 09 05 08 06 03 09 088 04 09 078 055 08 09 078 040 09 5 07 049 06 09 068 038 09 068 043 05 09 059 036 08 α t 3 γ 059 036 03 09 047 03 07 4 054 03 0 08 040 030 06 5 05 07 0 08 035 08 06 6 048 05 0 08 03 06 05 8 043 0 08 07 07 04 03 0 039 09 07 06 04 0 0 5 03 06 05 05 00 00 09 4
Píná a torní stabilita pi ohbu (klopení) délka konol se bere jako dvojnásobek jejího vložení ( L) L. Kritickou štíhlost prutového úseku o volné délce b s lineárním prbhem ohbového momentu a prostým podepením pro ohb i kroucení v koncových pr- eech úseku le urit pibližn pomocí vtahu: λ λ b κ kde λ je kritická štíhlost prutu volné délk L b pi psobení konstantního ohbového momentu κ ale κ 06. 88 4 ψ 05 ψ kde ψ je pomr koncových moment podle tab.4.. 4. Ztráta stabilit prutu s netuhým preem Dosud uvedená ešení problému klopení vcháel pedpoklad teorie Vlasova [5] ejména pedpokladu achování tvaru preu pi vboení kd se pedpokládá že pre vbouje jako celek. Tento pedpoklad však nesplují vsoké nosník se štíhlými stnami. Není-li tuhost preu abepeena dostatenou ohbovou tuhostí stn preu tak jako tomu je nap. u válcovaných nosník nebo dostateným píným vtužením mže tlaený pás ohýbaného prutu vboit rovin poáteního ohbu samostatn podle obr.4.5. Obr.4.5 Vboení tlaeného pásu prutu rovin poáteního ohbu V tomto pípad le ešit problém klopení pi anedbání ohbové tuhosti stojin jako vpr konvenního tlaeného pásu t.j. jako vboení prutu preu tvaru T ohbem a kroucením rovin poáteního ohbu pi psobení osové síl odpovídající souinu ploch konvenního pásu a píslušného normálového naptí od ohbu. Do preu pásu poítáme tlaenou pásnici a pilehlou ást stojin s výškou /6 výšk nosníku maximáln však 5 t w (35/ ) kde t w je tlouška stn. Píslušná vprná délka L je dána vdáleností bod ve kterých je tlaený pás abepeen proti vboení. 5
Prvk kovových konstrukcí Pro vsoké svaované nebo nýtované prut vtužené pínými výtuhami po vdálenostech a nemá být štíhlost λ pro trátu stabilit pi ohbu menší než kritická štíhlost pásu jež je dána vtahem: λ κ i a kde a je vdálenost píných výtuh v oboru nejvtšího momentu κ je souinitel vprné délk podle tab.4. pro L a i je polomr setrvanosti konvenního tlaeného pásu složeného pásnice a pilehlé ásti stojin ahrnující /6 její ploch rovin ohbu. 6
Vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998 5 Vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998 Ohýbaný prut je teba obvkle posoudit na pínou a torní trátu stabilit pi ohbu (na klopení). Pípad kd nemusí být posuován ohýbaný prut na klopení jsou uveden v ásti 4 tohoto modulu. Jestli-že je prut ajištn proti vboení v tažené oblasti le uvažovat trátu stabilit s vnucenou osou otáení podle ásti 4.3 tohoto modulu. Toto mže nastat nap. u vanice atížené sáním vtru. 5. Stabilita prutu pi ohbu Stabilita prutu pi ohbu se posuuje podle podmínk: v této podmínce je: b b návrhová hodnota ohbového momentu psobícího na prutu návrhový moment únosnosti prutu pi ohbu χ β W b w pl kde χ je souinitel vprnosti pi klopení β w pro pre tíd a β w W el / W pl pro pre tíd 3 β w W e / W pl pro pre tíd 4. Pomrná štíhlost pi klopení λ se vpote: λ w β cr pl R kde W pl R pl cr je kritický moment pi pružném psobení a uvažování plného preu. Použijeme-li štíhlost λ podle ásti 4.4 resp. 4.5 tohoto modulu le poítat: λ λ W W pl el a λ β w λ kde λ je srovnávací štíhlost vpotená podle vorce: λ 7
Prvk kovových konstrukcí λ π E 939 35. Platí ted: λ W pl pro pre tíd a λ λ W λ pro pre tíd 3 λ el λ We pro pre tíd 4 λ. λ W λ el Štíhlost λ se stanoví i pro pre tíd 4 pro plný pre. Souinitel vprnosti pi klopení χ se urí pro pomrnou štíhlost λ takto: kde 05 α ( 0) χ 0 φ φ λ φ [ λ λ ] kde je souinitel imperekce podle tab.5.. Tab.5. Souinitel imperekce α Kivka vprné pevnosti a c α 0 049 Pro válcované pre se uvažuje kivka vprné pevnosti a v ostatních pípadech kivka c. 5. Prut namáhané kombinací ohbu a osového tahu Prut namáhané ohbem a osovým tahem musí být krom únosnosti preu podle ásti.3. tohoto modulu posouen také podle podmínk: e b kde e Wcom σ com Ed je úinný návrhový ohbový moment. σ comed je tlakové naptí (které mže pesáhnout me kluu ) které odpovídá vlivu souasných úink ohbového momentu a osové síl v krajním tlaeném vláknu které ur- íme e vtahu: σ com Ed N ψ W A com t 8
Vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998 kde je návrhová hodnota ohbového momentu N t W com ψ je návrhová hodnota tahové osové síl je pružný modul preu pro krajní tlaené vlákno je redukní souinitel odpovídající souasnému psobení síl a momentu který nabývá hodnot: ψ 07 ψ 0 jestliže se a N t mohou mnit neávisle jestliže se a N t mní souasn a ávisle na sob. Návrhový moment únosnosti prutu pi ohbu b se urí e vtahu uvedeném v ásti 5. tohoto modulu. 5.3 Prut namáhané kombinací ohbu a osového tlaku 5.3. Pre tíd a Prut s pre tíd a namáhané ohbem a osovým tlakem musí vhovt podmínce: χ min N A µ N kde k 5 χ A µ λ k k k W pl W pl W W pl el ( β 4) 090 µ N 5 χ A µ λ W W el W pl el ( β 4) 090 W el χ min je menší hodnot souinitel vprnosti χ a χ β β jsou souinitelé ekvivalentního konstantního ohbového mo- mentu pi vboení ohbem okolo píslušné os podle tab.5.. Prut které mohou vboit také klopením musí souasn splnit podmínku: χ A N k k χ W pl W pl 9
Prvk kovových konstrukcí µ N kde k χ A µ 0 5 λ β 05 090 β je souinitel ekvivalentního konstantního momentu pro klopeni podle tab.5.. V pípad nesmetrických pre se ve vtaích pro µ a µ dosaují a W el hodnot pro okraj a ohbu tlaený. Tab.5. Souinitele ekvivalentního konstantního momentu Prbh momentu Koncové moment Souinitele ekvivalentního konstantího momentu ψ ) oment od píných atížení psobících v rovin ohbu a) b) Q Q oment od píných atížení psobících v rovin ohbu a od koncových moment a) Q b) Q ψ Q ψ Q Q Q Q Q Q max poue od píného atížení max pro prbh momentu be mn naménka max min pi mn naménka prbhu momentu ) Onaení oment psobící okolo os Bod ajištné ve smru - - - - - - 30
Vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem dle SN 73 40-998 5.3. Pre tíd 3 Prut s pre tíd 3 namáhané ohbem a osovým tlakem musí vhovt podmínce: χ min N A k k Wel W pl kde výnam veliin k k a χ min je uveden výše µ µ λ λ ( β 4) 090 ( β 4) 090. Prut které mohu vboit také klopením musí árove vhovt podmínce: χ A N k k χ Wel Wel kde k se vpote: k µ N. χ A 5.3.3 Pre tíd 4 Prut s pre tíd 4 namáhané ohbem a osovým tlakem musí vhovt podmínce: χ min N A e ( N e ) k ( N e ) k N We We N kde výnam veliin k k a χ min je opt totožný s výše uvedenými vtah stejn tak výnam µ a µ je totožný s výnamem v pedcháejícím vtahu výnam A e W e W e e N a e N je uveden v ásti 3. tohoto modulu. Prut které mohou vboit také klopením musí árove vhovt podmínce: 3
Prvk kovových konstrukcí χ A e N ( N e ) k ( N e ) k N N χ We χ We kde se pi výpotu k k a k poítá s eektivním preem. 3
Závr 6 Závr V této ásti modulu je numerick vešen píklad ve kterém je ukááno posouení ohýbaného prutu namáhaného na ohb podle dokumentu SN 73 004-998. Výpoet je proveden vetn vlivu klopení. Dále tato ást obsahuje kontrolní oták k problematice obsažené v tomto modulu a celkové shrnutí uiva této ásti studijní opor. 6. Píklad Posute ohýbaný nosník atížený spojitým rovnomrným atížením g 90 kn/m roptí nosníku L 6 m (obr.6.). Nosník má horní pás abepeen proti vboení ve vdálenostech L 5 m L w 6 m. 35 Pa. 9 9 $ $ ":":" $ %:(9 7( Obr.6. Pre atížení a schéma nosníku Ohbový moment uprosted roptí nosníku sd 90 6 405kNm 8 Preové charakteristik h h 65mm a a 3 5 a c a 0 A 8500mm 33
Prvk kovových konstrukcí e 35mm Plastický modul preu W pl $; $; $ $; A 950mm 09 8 mm (poloha tžišt polovin preu) W A 950 430 4 39 0 6 mm pl Další preové veliin I I I t w 9 4 4 0 mm I h 635 0 4 6 4 8 0 mm I mm 7 4 65 0 mm 6 Polomr setrvanosti tlaeného pásu 7 I 65 0 i ai 35 35 67 3mm 9 I 4 0 a i vtší hodnot a a (a a a i 35 mm ) 6 L I t 500 8 0 α t 06 06 7 h I 65 65 0 κ 05 (píné atížení) 0309 34
Závr h C γ 65 I I ω h 635 0 65 0 ac e κ a 0 35 05 35 i 7 L L ω 65 α t π ac e κ ai 500 6000 0 35 05 35 C a i 0309 π 994 35 < $ 886 994 Kritická štíhlost pi klopení κ L λ γ i 0 500 886 4 673 V posuovaném poli délk L (v oblasti maximálního ohbového momentu) je pibližn konstantní prbh ohbových moment > κ 0 Štíhlost pi klopení λ 4 λ 4 β w 0 β 0 w Pomrná štíhlost λ λ Souinitel vprnosti pi klopení Φ 05 064 χ λ β w λ E 4 939 0000 35 π π 0 0447 939 ( 034 ( λ 0) λ ) 05 ( 034 ( 0447 0) 0447 ) Φ Φ λ 064 064 0447 0907 35
Prvk kovových konstrukcí oment únosnosti pi klopení 35 b χ β w W pl 0907 0 398 737kNm γ 5 b 737kNm 405kNm vhovuje Posuovaný pre vhoví. 6. Kontrolní oták Vsvtlete rodíl mei kompaktními a štíhlými ocelovými pre. Popište postup pi stanovení únosnosti kompaktního preu namáhaného smkem. 3 Vsvtlete postup pi stanovení únosnosti kompaktního preu namáhaného prostým ohbem. 4 Napište a vsvtlete podmínku spolehlivosti kompaktního preu namáhaného kombinací ohbových moment posouvajících sil a osové síl. 5 Jakým psobem se posoudí štíhlý pre namáhaný kombinací tlaku a ohbu? 6 Vsvtlete pojem píná a torní stabilita pi ohbu (klopení). 7 V kterých pípadech nemusí být ohýbaný prut posuován na klopení? 8 Vsvtlete Vlasovovo pojetí problému stabilit ideálního tenkostnného prutu oteveného preu který je pín atížen. 9 Napište tvar dierenciálních rovnic stabilit pro pre (atížené v rovin smetrie) alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie a pro pr- e alespo jednoose soumrné atížené kolmo na rovinu smetrie. 0 Jakým psobem se posuují pre (atížené v rovin smetrie) alespo jednoose soumrné atížené v rovin smetrie a pre alespo jednoose soumrné atížené kolmo na rovinu smetrie podle SN 73 40 998 píloh G? Jak se postupuje pi výpotu trát stabilit prutu s netuhým preem? Jak se urí vprná únosnost celistvých prut namáhaných ohbem podle SN 73 004 998? 3 Jak se urí vprná únosnost celistvých prut namáhaných kombinací ohbu a osového tahu nebo tlaku podle SN 73 004 998? 6.3 Shrnutí odul který jste prostudovali obsahuje ákladní inormace o stanovení únosnosti kompaktních pre pi namáhání 36
Závr smkem ohbem kombinací ohbu smku a osové síl. Dále je v tomto modulu roebrán vliv smku na návrhové únosnosti kompaktního preu. Strun je také uveden postup pi stanovení únosnosti štíhlých pre. Blo ukááno jak se posuuje ohýbaný prut na pínou a torní stabilitu pi ohbu (klopení) podle dokumentu SN 73 40-998. Strun jsou uveden teoretická východiska ešení problému klopení (Vlasovovo pojetí) a postup pi urení kritické štíhlosti prut pi klopení ve smslu píloh G dokumentu SN 73 40-998 který této teorie vplývá. Cílem pedloženého textu blo shrnout nalosti výše uvedené problematik podle SN 73 40 Navrhování ocelových konstrukcí a ukáat nkterá teoretická východiska e kterých jsou normativní vtah odvoen. Aplikace tchto nalostí je provedena v ávrené ásti tohoto modulu na konkrétním píkladu posouení ohýbaného nosníku s vlivem klopení. 37
Prvk kovových konstrukcí 7 Studijní pramen 7. Senam použité literatur [] VO ÍŠEK V. CHLADNÝ E. ELCHER J. Prvk kovových konstrukcí Bratislava: Ala vdavatelství technické a ekonomické literatur SNTL 984. [] FERJENÍK P. SCHUN J. ELCHER J. VO ÍŠEK V. CHLADNÝ E. Navrhovanie oceových konštrukcií. as. Bratislava: Ala / SNTL 986. [3] FERJENÍK P. LEDERER F. SCHUN J. ELCHER J. VO ÍŠEK V. CHLADNÝ E. Navrhovanie oceových konštrukcií. as. Bratislava: Ala / SNTL 986. [4] BAJER. PILGR. VESELKA. Konstrukce a dopravní stavb modul BO0 O Studijní opora pro studijní program s kombinovanou ormou studia Fakulta stavební VUT v Brn 004. [5] VLASOV V. Z. Tenkostnné pružné prut Praha 96. [6] RÁZIK A. GRUSKA J. Výpoet tenkostenných prútov Bratislava 965. 7. Senam doplkové studijní literatur [7] SN 73 40 Navrhování ocelových konstrukcí. eský normalianí institut úinnost od998. [8] SN P ENV 993-- Navrhování ocelových konstrukcí. ást -: Obecná pravidla a pravidla pro poemní stavb. Praha: SNI 994. [9] SN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí schválená 9.. 986 vetn Zmn a) 8/99 a Zmn ) /994 38