VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ. DOC. ING. ZDENĚK KALA, Ph.D. ING. JIŘÍ KALA, Ph.D. PRUŽNOST A PEVNOST MODUL BD02-M03

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FKULT STVEBNÍ DOC. ING. ZDENĚK KL, Ph.D. ING. JIŘÍ KL, Ph.D. PRUŽNOST PEVNOST MODUL BD0-M0 SLOŽENÉ PŘÍPDY NMÁHÁNÍ PRUTU STBILIT VZPĚRNÁ PEVNOST TLČENÝCH PRUTŮ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRMY S KOMBINOVNOU FORMOU STUDI

2 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. Ing. Jiří Kala, Ph.D.

3 Obsah OBSH Úvod...5. Cíle...5. Požadované nalosti...5. Doba potřebná ke studiu Klíčová slova...5 Složené případ namáhání prutu...7. Prostorový ohb...8. Tah (tlak) a ohb v rovině...0. Mimostředný tah a tlak..... Jádro průřeu Dimenování prutů na kombinované namáhání... Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů.... Eulerovo řešení..... Vpěrná délka...4. Kritická síla a napětí...6. Pevnostní pojetí vpěru. Posouení prutů na vpěr Kombinace ohbu a vpěru Závěr Shrnutí Kontrolní oták Studijní pramen Senam použité literatur Senam doplňkové studijní literatur...48

4 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů 4

5 Úvod Úvod. Cíle Modul, který se chstáte studovat, obsahuje informace o případech složeného namáhání prutů a o stabilitě tlačených prutů. Kapitol modulu navaují na modul a. Cílem je shrnout obecná témata, která jsou tradiční součástí nauk o pružnosti, a posktnout učební text studentům distančního studia stavební fakult. Všem uživatelům budeme vděční a upoornění na případné chb a opomenutí v textu.. srpna 004 utoři. Požadované nalosti Student b měl mít ákladní nalosti teoretických předmětů (ejména matematik a fik) e střední škol, rošířené o nalosti teoretických předmětů prvního ročníku matematika I, matematika II a áklad stavební mechanik.. Doba potřebná ke studiu Celková optimální doba pro prostudování kapitol je, včetně opakování ákladních pojmů, 4 hodin. Taktéž studium kapitol činí cca 4 hodin. Celková doba pro prostudování modulu ted činí cca 0 hodin, pokud budete procháet i řešené příklad, pak se doba prodlouží asi o až 4 hodin..4 Klíčová slova Prostorový ohb, tah (tlak) a ohb v rovině, mimostředný tah a tlak, dimenování nosníků v případě složeného namáhání, jádro průřeu, stabilita, vpěr, Eulerovo řešení, kritická síla, kritické napětí, vpěrná délka, pevnostní pojetí vpěru, ohb se vpěrným tlakem. 5

6 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů 6

7 Složené případ namáhání prutu Složené případ namáhání prutu Složeným (kombinovaným) namáháním se roumějí růné kombinace dříve uvedených namáhání prutu (tah, tlak, ohb, krut, smk). Prut v prostoru může být namáhán třemi silovými a třemi momentovými složkami vnitřních sil. Obr. : Dílčí složk namáhání prutu TBULK N V, V SLOŽKY SIL Normálová síla (tah, tlak) Posouvající síl TBULK SLOŽKY MOMENTŮ M x M, M Krouticí moment Ohbové moment (rovinné ohb v rovinách x, x) Od složek N, M, M vnikají normálová napětí a od složek M x, V, V vnikají napětí smková τ. Z jednotlivých složek vnitřních sil můžeme sestavit celou řadu složených namáhání, nichž se nejčastěji vsktují následující: ) M + M - prostorový (šikmý) ohb ) N + M + M - tah (tlak) + ohb (rovinný či prostorový) Mimoto je někd třeba též ověřovat současné účink kroucení s tahem nebo tlakem a s ohbem. 7

8 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů ) M 0 + V - ohb a smk 4) M 0 + M x - ohb (rovinný, prostorový) + krut 5) N + M x - tah (tlak) + krut, kde M 0 je vektor ohbového momentu. Je řejmé, že kombinace ) a ) jsou kombinacemi, u kterých je výsledná napjatost jednoosá, atímco u bývajících případů jde o rovinnou napjatost. Platí, že u prvních dvou kombinací je možno složk napětí vájemně sčítat, atímco pro bývající kombinace je třeba vcháet příslušných teorií pružnosti a pevnosti. Pro řešení případů složeného namáhání používáme princip superpoice, který le však aplikovat jen tehd: ) platí-li Hookův ákon (fikální linearita) ) nemají-li deformace podstatný vliv na velikost statických veličin (geometrická linearita). Ponámka: Pokud neplatí první, druhá nebo obě podmínk nele princip superpoice uplatnit (např. při excentrickém tlaku prutů malé ohbové tuhosti).. Prostorový ohb K prostorovému ohbu docháí tehd, pokud vektor ohbového momentu M 0 leží v rovině průřeu, ale vhledem k hlavním centrálním osám, má obecnou polohu, vi obr.. Průhbová čára není rovinná křivka. Řešení prostorového ohbu provedeme tak, že vektor ohbového momentu roložíme do dvou složek M a M, které leží v hlavních centrálních osách průřeu,. Každý těchto momentů vvolává rovinný ohb. Prostorový ohb si můžeme představit jako superpoici dvou ohbů rovinných. V obecném bodě o souřadnicích, vvolává moment M napětí: a moment M vvolává napětí: M x = (.) I M x = (.) I Ponámka: Moment M a M se považují a kladné, vvolávají-li v. kvadrantu tahové napětí. Výsledné napětí v bodu o souřadnicích, bude mít pak velikost M M x = (.) I I Moment M se uvažuje jako kladný, pokud vvolává kladné napětí pro >0; moment M se uvažuje jako kladný, pokud vvolává kladné napětí pro <0. 8

9 Složené případ namáhání prutu Obr. : Průběh složek normálových napětí od prostorového ohbu Polohu neutrální os ískáme podmínk x = 0. Neutrální osa procháí těžištěm, neboť rovnice (.) je splněna při = 0, = 0. Sklon neutrální os úhel β je možno určit rovnice: M I I tg β, (.4) I = = = tg α M I kde je úhel a úhlem výsledného vektoru ohbového momentu. Jakmile náme polohu neutrální os, určíme od ní nejvíce vdálené vlákna, ve kterých je napětí extrémní; podle obr. jsou to vlákna a. Na rodíl od rovinného ohbu není neutrální osa shodná s momentovou osou. Obr. : Průběh výsledného normálového napětí po průřeu 9

10 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů. Tah (tlak) a ohb v rovině Působí-li síla kolmo k průřeu, ale mimo těžiště, vniká kombinované namáhání tahu (tlaku) a ohbu. Zabývejme se nejdříve případem tahu (tlaku) a rovinného ohbu, kd síla působí na jedné hlavních centrálních os. Řešení provedeme tak, že v těžišti připojíme sílu N N a N = N, vi obr. 4. Síl N a N tvoří dvojici, která namáhá prut čistým ohbem = N a. Síla N působí v těžišti a namáhá prut čistým tahem. Protože platí, že možno normálové napětí od prostého tahu určit dle vtahu: M N = N, je N x ( N ) = (.5) Normálové napětí od prostého tahu je konstantní po celém průřeu. Pro ohbové napětí platí: M N a x( M) = = (.6) I I Při řešení opět použijeme princip superpoice. Výsledné napětí pak je: Průběh napětí je obraen na obráku. N N a x = x( N ) + x( M) = + (.7) I Obr. 4: Průběh normálového napětí od tahu a ohbu v rovině Ponámka: Je patrné, že při kombinaci tahu (resp. tlaku) a ohbu se neutrální osa posune mimo těžiště průřeu. Polohu neutrální os dostaneme podmínk, že je v ní výsledné napětí nulové. 0

11 Složené případ namáhání prutu Příklad. Zadání Určete extrémní hodnot normálového napětí, vpočtěte polohu neutrální os a vkreslete průběh normálového napětí obdélníkového průřeu sloupu, vi obr.5. Obr. 5: Sloup obdélníkového průřeu atížený tlakovou silou Řešení Sloup je namáhán mimostředným tlakem, protože tlaková síla nepůsobí v těžišti. Nosník je atížen tlakovou silou N = 00 kn a ohbovým momentem M působícím v hlavní rovině x. M = N a = 00 kn 0,5 m = 45 knm Pro výpočet průběhu normálového napětí je třeba určit průřeové charakteristik, I : = 0, 0,5 = 0,5 m I = 0, 0,5 = 0,005 m 4 Polohu neutrální os dostaneme podmínk, že je v ní výsledné napětí nulové ,5 x = x 0,5 0,005 ( N ) + x( M) = + = 0

12 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Z této podmínk obdržíme polohu neutrální os = -0,9 m. Extrémní hodnot x jsou v bodech nejvíce vdálených od neutrální os, tj. na okrajích průřeu rovnoběžných s osou , ,5 0,005 x = x 6 ( N ) + x( M) = + 0,5m = 5, MPa , ,5 0,005 x = x 6 ( N ) + x( M) = + ( 0,5m) = +, MPa Obr. 6: Těleso normálového napětí Hodnota normálového napětí na obr. 6 ávisí poue na souřadnici, proto b stačilo nakreslit průběh napětí poue po výšce průřeu.. Mimostředný tah a tlak Uvažujme nní sílu, která působí kolmo k průřeu, ale neleží na žádné hlavní centrální ose. Podobně jako v předcháející kapitole převedeme případ připojením nulové síl, tj. dvou sil N = N a N = N v těžišti na namáhání tahem (resp. tlakem) a prostorového ohbu. Veškeré veličin pak plnou e superpoice vtahů pro osový tlak a prostorový ohb. Superpoicí napětí od tahu a prostorového ohbu obdržíme výra: N M M x = + (.8) I I Síla N je kladná, pokud v průřeu vvolává tahové napětí. Moment M se uvažuje jako kladný, pokud vvolává kladné napětí pro >0; moment M se uvažuje jako kladný, pokud vvolává kladné napětí pro <0.

13 Složené případ namáhání prutu Obr. 7: Průběh normálového napětí od mimostředného tahu Ohbové moment je možno vjádřit v ávislosti na mimostředně působící síle N. M = N, (.9) e kde e a e jsou složk excentricit; jako kladné se uvažují podle smslu os souřadnic. Vužijeme-li námých vtahů pro poloměr setrvačnosti i a i I I i =, i =, (.0) pak dosaením (.9) a (.0) do (.8) a úpravou dostáváme N N e ( N e ) e N = + = e + + x (.) i i i i b blo možno určit roložení napětí a jeho extrémní hodnot v průřeu, je třeba nejprve najít polohu neutrální os. V bodech, jimiž procháí neutrální osa, je napětí nulové. Nulovou hodnotu může mít poue ávorka, což vjádří podmínku: e e + + = 0 (.) i i Úsek, které neutrální osa vtíná na osách a onačené na obr. 7 jako n a n, je možno určit dosaením =0, resp. =0 do (.) a jsou rovn: n i i =, n = (.) e e Záporná naménka ukaují, že neutrální osa neprocháí kvadrantem, v němž leží působiště tahové (resp. tlakové) síl.

14 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Příklad. Zadání Sloup s průřeem podle obr. 8 je v bodě atížen tlakovou silou o velikosti F=00kN. Určete extrémní hodnot napětí a ověřte, da nepřekročí maximální dovolené hodnot: v tahu MPa a v tlaku 4MPa. Obr. 8: Geometrie a atížení sloupu Plocha průřeu má hodnotu: = 5000mm Průře je jednoose smetrický, což usnadňuje určení hlavních centrálních momentů setrvačnosti. Dále vjádříme poloměr setrvačnosti: i I I I = = mm mm = = = I i 5000 Složk excentricit vtažené k těžišti jsou: 4 = = = e = 00mm e = 00mm 895mm Polohu neutrální os určíme podmínk (.) jako: 5899mm i 5899 n = = = 589mm e 00 4

15 Složené případ namáhání prutu i 895 n = = = 9mm e 00 Obr. 9: Poloha neutrální os na průřeu Extrémní napětí budou v bodech nejvdálenějších od neutrální os průřeu. = N e e , 0, + + = + 0 i i 0,5 0,0895 0,05899 ( 0,8) + ( 0,45) =, MPa N e e , 0, = + + = 0, i i 0,5 0,0895 0,05899 ( 0,5) 0, MPa max = Obr. 0: Sklopený průmět průběhu normálového napětí Porovnáním obdržených napětí s meními dovolenými hodnotami posoudíme, da průře vhovuje, či nikoliv. = 0,4MPa MPa vhovuje max < =,0MPa 4MPa vhovuje < Vhledem k tomu, že maximální dovolené hodnot tahového a tlakového napětí nejsou překročen, průře na dané atížení vhovuje. 5

16 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů.. Jádro průřeu Některé stavební materiál (divo, beton apod.) mají pevnost v tahu podstatně nižší než v tlaku. Proto je u nich účelné, ab bl průře namáhán poue tlakovým napětím. Toho le při lineárním působení dosáhnout tehd, pokud neutrální osa probíhá mimo průře, maximálně se ho dotýká. Dotýká-li se neutrální osa právě obrsu průřeu a nikde jej neprotíná, působí síla na hranici oblasti, která se naývá jádrem průřeu. Definice Jádro průřeu je určitá oblast v okolí těžiště průřeu, v níž musí působit výslednice vnitřních sil, ab v celém průřeu vnikla normálová napětí téhož naménka. Jádro průřeu je vžd omeeno uavřenou křivkou tv. jádrovou čarou a ávisí poue na tvaru a velikosti průřeu. Působí-li kolmá síla kdekoli uvnitř jádra, pak v celém průřeu vnikají napětí stejného naménka. Jádrovou čáru ískáme tak, že klademe neutrální osu postupně do všech tečných poloh k obrsu průřeu, při nichž jej neprotíná ( kotálíme ji kolem průřeu). V rovnicích (.) představují úsek, které vtíná neutrální osa na souřadnicových osách (ted n a n ) veličin námé, dané volbou poloh neutrální os. Příslušné souřadnice jádrové čár jsou, excentricitami mšlené síl pohbující se po jádrové čáře. Postupnou volbou jednotlivých poloh neutrální os (,, j, ) obdržíme úsek j a j, které vtíná neutrální osa na osách souřadnic: j i i = e j =, j = ej = (.4) nj nj Na obr. jsou obraena jádra průřeu pro některé vbrané případ průřeů. Obr. a: Jádro průřeu ákladní případ průřeů 6

17 Složené případ namáhání prutu Obr. b: Jádro průřeu ákladní případ průřeů (pokrač.) Ponámka: S vužitím principu dualit je možno stran jádra průřeu také určit jako neutrální os k tlakovým centrům umístěným ve vrcholech obrsu průřeu C ij, vi obr.. Při hledání jádra průřeu je třeba doplnit nekonvexní průře na konvexní útvar (v konvexním útvaru le libovolné dva bod spojit úsečkou, jejíž všechn bod patří k tomuto útvaru), přičemž všechn průřeové charakteristik jsou počítán pro skutečný (tj. nedoplněný) průře. Obr. : Jádro průřeu neutrální os nekonvexního útvaru Konvexní útvar vužíváme pro určování poloh neutrálních os, ke kterým hledáme vrchol jádrového obrace, resp. při vužití dualit ke stanovení tlakových center, ke kterým hledáme neutrální os tvořící stran jádra průřeu. 7

18 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Příklad. Zadání Určete jádro obdélníkového průřeu, jehož šířka je b a výška h. Řešení Jádro průřeu určíme tak, že nejprve stanovíme souřadnice vrcholů jádra (příslušná tlaková centra) pro neutrální os v tečné poloe n, n, n, n 4 a tto pak spojíme úsečkou. Průřeové charakteristik jsou: = b h I I i i = = b h h b I = = = b h b h h b I = = = b h h b Neutrální osu n položíme do stran CD, takže na hlavních centrálních osách, vtíná úsek: n = n h = Obr. : Jádro obdélníkového průřeu 8

19 Složené případ namáhání prutu Dosaením do vtahu (.4) dostaneme souřadnice jádra: b i = e = = = n = e h = h 0 i = = + n h 6 Obdobně neutrální osu n položíme do stran B, takže na hlavních centrálních osách, vtíná úsek: n = h n = Dosaením do vtahu (.4) dostaneme souřadnice jádra: b i = e = = = n = e i = n h = h + 0 h = 6 Neutrální osa n - úsek D - vtíná na souřadných osách úsek b n = n = jsou souřadnice vrcholu jádra = e i = n b = b b = 6 i h = e = = = n 0 Pro neutrální osu n 4 - úsek BC, která vtíná na souřadných osách úsek n b = n =, jsou souřadnice vrcholu jádra 9

20 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů = e i = = n b = b b 6 i h = e = = = n 0 Jádrem obdélníka je ted kosočtverec, jehož vrchol leží na hlavních centrálních osách,. Příklad.4 Zadání Určete jádro plného kruhového průřeu o poloměru r. Řešení Kruhový průře je rotačně smetrický, což namená, že jádro průřeu bude mít rovněž tvar kruhu a k jeho určení stačí jediná jádrová úsečka. Průřeové charakteristik kruhového průřeu k ose procháející těžištěm jsou: I i = π = I r = π 4 4 r π r = 4 π r 4 I I r = i = = = 4 Obr. 4: Jádro kruhového průřeu 0

21 Složené případ namáhání prutu Neutrální osa n vtíná na osách, úsek: = = r n n Dosaením do vtahu (.4) dostaneme souřadnice jádra: i r = 4 = e = = n 0 = e i r = 4 r = = + n r 4 Jádrem kruhového průřeu je kruh o poloměru 4 r... Dimenování prutů na kombinované namáhání Kombinovanými případ namáhání jsou velice často atížen prut představující nosné části stavební konstrukce. Proto se jejich posouení věnuje poornost v příslušných návrhových normách. Kombinovaná namáhání le rodělit do dvou ákladních skupin podle tpu napjatosti:. skupina: Jedná se o prut namáhaný osovou silou i ohbovými moment (k jedné nebo oběma hlavním osám setrvačnosti), který vkauje především normálové napětí ve směru rovnoběžném s osou prutu. Toto napětí se pro růné případ kombinací výše míněných ákladních případů atížení (a jim odpovídajících vnitřních sil N, M, M ) liší průběhem hodnot po ploše všetřovaného průřeu. Spojnice hodnot napětí všetřovaného průřeu vžd tvoří rovinu. Pro jednoosou napjatost je podmínku porušení možno formulovat ve tvaru: max u, (.5) kde max představuje maximální hodnotu normálového atížení x ve směru os nosníku vsktujícího se na posuovaném prutu a u představuje limitní napětí daného materiálu na hranici platnosti Hookova ákona. Pro ocel je tato hodnota vjádřena meí kluu f. U betonu musíme mít na paměti, že vtah popsané v této kapitole platí při pružném chování materiálu, tj. v průřeu nesmí vnikat trhlin.. skupina: Jestliže je stav napjatosti tělesa víceosý, je třeba formulovat kritéria pro porušení nebo plastiování materiálu obecněji. Budeme uvažovat materiál, jehož charakteristik při jednoosé napjatosti v tahu a v tlaku jsou v absolutní hodnotě shodné (me kluu f a me pevnosti f u ) a formulujme pro ně lokální podmínku plasticit ve tvaru: (, ) 0,, F (.6)

22 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů kde,, jsou hlavní napětí v uvažovaném bodu. Hledáme takový vtah mei stavem napjatosti v bodu a meí kluu při jednoosém tahu f, který definuje okamžik plastiování tělesa v daném bodu. Dobrou shodu se skutečností (např. u oceli a u jiných kovů) prokáala tv. Misesova podmínka plasticit, která bla formulována neávisle Huberem, von Misesem a Henckm (odtud náev HMH) a dalšími autor na ákladě růných hpoté. Všechn hpoté vedou ke stejné podmínce: F ( ) + ( ) + ( ) f 0 (.7) = Tento vtah platí pro obecnou prostorovou napjatost. V případě rovinné napjatosti můžeme podmínku napjatosti apsat ve tvaru: F = + f 0 (.8) Tato podmínka je náorněna na obr.5 oblastí omeenou elipsou; při F < 0 je náorňující bod uvnitř ašrafované oblasti; při F = 0 je na jejím obrsu (dojde ke plastiování). Stav F > 0 je u materiálu be pevnění nemožný. Obr. 5: Misesova podmínka plasticit (rovinná napjatost) Pokud do rovnice (.8) dosadíme hodnot hlavních napětí ; rovnice (.9): ( x + ) x, = ± + τ x (.9)

23 Složené případ namáhání prutu Obr. 6: Daná napětí Obr. 7: Hlavní napětí Nabývá potom podmínka (.8) v rovině x tvar: F = x x x + + τ f 0 (.0) (v rovině x pak áměnou indexu a ). Pro případ osové napjatosti např. ve směru x vjde identita vtahu (.5), tj. f (.) x Pro stav čistého smku plne f τ x 0,577 f 0,6 f. (.) Z rovnice (.) je patrno, že me kluu ve smku činí necelých 60 % mee kluu v tahu nebo v tlaku. Zaměníme-li v uvedených relacích me kluu f a me pevnosti f u, mají výnam kritérií pevnosti. lternativně můžeme vcháet též tv. Trescov podmínk plasticit. Je to jedna nejstarších podmínek, kterou postupně formulovali Coulomb (77), Tresca (868), Guest (990). Za faktor, který rohoduje o vniku meního stavu pružnosti (neboli počátku plastiace), volili autoři maximální smkové napětí. Meního stavu pružnosti (neboli podmínk plasticit) bude v bodě atíženého tělesa dosaženo, kdž maximální smkové napětí τ max v tomto bodě dosáhne mení hodnot τ k. Matematick je možno tuto podmínku apsat ve tvaru: τ max τ k (.) Veličinu τ k můžeme odvodit Mohrova diagramu pro prostý tah v ávislosti na mei kluu použitého materiálu, jež bla jištěna tahové koušk a platí: f τ k = (.4)

24 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Obr. 8: Mohrova kružnice Onačíme-li u prostorové napjatosti pořadí hlavních hodnot napětí, (.5) pak největší smkové napětí τ max je možno vjádřit jako: τ max = (.6) Kombinacemi vtahů (.4), (.5), (.6) je možno vjádřit Trescovu podmínku ve tvaru: f (.7) Obr. 9: Mohrova kružnice Při obecném pořadí velikosti hlavních napětí je pak možno apsat: f (.8) max U této teorie ted není rohodující velikost hlavních napětí (jako u prvé teorie), nýbrž podíl největšího a nejmenšího napětí. Z teoretického hlediska je možno vidět určitou slabinu teorie v tom, že neuvažuje vliv prostředního hlavního napětí. Podrobnými kouškami se však jistilo, že tento vliv je poměrně malý a jeho anedbáním se dopouštíme nepřesnosti nejvýše asi 0 5 %. V případě rovinné napjatosti můžeme podmínku napjatosti apsat ve tvaru: f 0 (.9) 4

25 Složené případ namáhání prutu Při rovinné napjatosti je mení křivka náorněna šestiúhelníkem dle obr. 0. Obr. 0: Trescova podmínka plasticit (rovinná napjatost) Ponámka: Uvažujme napjatost obr. pro případ, kd je prut namáhán normálovým napětím = rovnoběžným s osou prutu x a smkovým napětím τ = τ x. x Obr. : Daná napětí Z Mohrov kružnice na obr. plne, že ( OS R) = R = + τ = + τ f max = OS + R 4 (.0) Obr. : Mohrova kružnice 5

26 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Hodnotu napětí jsme v tomto příkladě uvažovali nulovou. Srovnáním vtahů (.0) a (.0) je řejmé, že redukovaná napětí se liší poue číselným koeficientem v druhém členu. Proto je možno vjádřit F ( ατ ) f 0, (.) = + kde α = pro. hpotéu HMH a α = pro. hpotéu τ max. Při posudku prutu namáhaného kombinovaným namáháním se uplatní tv. redukované napětí. Příslušnou podmínku je možno vjádřit úpravou vtahu (.): ( ) f red = + ατ (.) S kombinacemi ohbu a smku se setkáváme u nosníků namáhaných ohbovým momentem a posouvající silou. V průřeu je rovinná napjatost určena napětími a τ, takže pevnostní podmínku je možno apsat ve tvaru (.). Rodělení smkového napětí ávisí na tvaru průřeu. Příklad.5 Zadání Určete hodnotu redukovaného napětí v těžišti a na okraji kruhového průřeu u prostého nosníku v polovině ropětí. Všetřete, v kterých místech je redukované napětí maximální. Řešení Geometrie nosníku a vnitřní síl jsou obraen na obr.. Obr.: Řešený nosník s diagram vnitřních sil Z průběhu napětí u kruhového průřeu je řejmé, že v místech, kde je v průřeu extrémní ohbové napětí (bod a ), je smkové napětí nulové a nao- 6

27 Složené případ namáhání prutu pak tam, kde je smkové napětí maximální, je normálové napětí nulové. Le ukáat, že maximální redukované napětí bude buď na obvodu (bod a ), nebo uprostřed (bod ). Obr.4: Normálové a smkové napětí u kruhového průřeu Vpočítejme nní hodnotu redukovaného napětí v bodu a a porovnejme je. M F l 0 red, = = (.) W 4 π d F 6 4 red, = α τ S = α (.4) π d Mení případ, kd budou redukovaná napětí v průřeu stejná, nastane, bude-li: Po dosaení a úpravě dostáváme: = (.5) red, red, d l me = α (.6) Pro l lme bude o maximálním red rohodovat ohb. Vhledem k tomu, že α =, nebo α =, bude možno skoro všechn nosník kruhového průřeu počítat pevnostně poue na ohb, neboť jejich délka je pravidla mnohem větší d než α. Poue pro velmi krátké (a vsoké) nosník b rohodovalo smkové napětí. 7

28 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Příklad.6 Zadání Určete hodnotu redukovaného napětí v těžišti a na okraji kruhového průřeu u prostého nosníku v polovině ropětí. Všetřete, v kterých místech je redukované napětí maximální. Řešení Geometrie nosníku a vnitřní síl jsou obraen na obr. 5. Mení případ opět nastane tehd, bude-li = (.7) red, red, Vpočítejme nní hodnotu redukovaného napětí v bodu a a porovnejme je. M F l b h 6 6 F l 0 red, = = = (.8) W b h F red, = α τ S = α (.9) b h Obr. 5: Řešený nosník s průběh vnitřních sil 8

29 Složené případ namáhání prutu Obr. 6: Průběh normálového a smkového napětí po výšce průřeu Po úpravě dostáváme l me h = α (.40) 4 Pro l>l me rohoduje poue namáhání v ohbu. Posouvající síla rohoduje o h pevnosti jen u velmi krátkých nosníků l me α. 9

30

31 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Prostý tlak působící na masivní prut bl popsán v předchoích kapitolách. Maximální tlaková síla je limitována materiálovými charakteristikami (me kluu, pevnost). Při namáhání štíhlých prutů osovým tlakem dojde téměř ve všech případech ke trátě stabilit (k vbočení os). Hovoříme ted o vpěrném tlaku, nikoli o tlaku prostém. Odolnost prutu proti porušení onačujeme jako vpěrnou pevnost. Vpěr úce souvisí s namáháním štíhlých prutů pod kombinací tlaku a ohbu. Stabilitou roumíme původní rovnovážný stav. Pro demonstraci použijme příklad mechanik tuhých těles. Vrátí-li se těleso po vchýlení do původní poloh, potom hovoříme o stavu stabilní rovnováh, vi obr. 7. Při nestabilní rovnováe působí malé vchýlení pohb tělesa, který trvá tak dlouho, dokud těleso nedosáhne stabilní rovnováh na jiném místě. Mei oběma uvedenými případ leží případ rovnováh indiferentní, při které ůstává těleso po vchýlení v odkloněné poloe. Obr. 7: Stav stabilní rovnováh (a), indiferentní (b) a nestabilní rovnováh (c) Sledujme analogii stabilitního chování u prutu namáhaného vpěrným tlakem. Pro náorný popis sledujme chování štíhlého kloubově uloženého prutu na jedné straně atíženého osově silou. Předpokládejme, že (i) materiál je dokonale pružný, tj. při působení atížení jakékoliv velikosti nevnikají trvalé deformace, a (ii) jeho osa je absolutně přímá. Při dostatečně malé hodnotě síl F ůstane prut přímý a vchýlíme-li jej (například dočasně působící vodorovnou silou), vrátí se pět do přímého tvaru. Přímý tvar prutu je ted stabilní.

32 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Zvětšujeme-li tlakovou sílu F, návrat prutu do přímé poloh se děje stále povolněji a při určité síle F cr prut není schopen aujmout původní tvar. O této síle hovoříme jako o kritické síle. Budeme-li na prut působit silou větší hodnot než je F cr, neudrží se již prut praktick vůbec v přímém tvaru tento stav již přestal být stabilní. Prut se ohýbá, (vbočuje) ve směru imální ohbové tuhosti. Průhb přitom rostou neobčejně prudce. Tento jev naýváme trátou stabilit. Obr. 8: Chování centrick tlačeného prutu U skutečného prutu nejsme schopni docílit dokonalé přímosti ani ideální centricit působení tlakové síl. V důsledku toho docháí k postupnému narůstání průhbů od ačátku atěžovacího procesu. Jak se blíží atížení k limitní hodnotě F cr, průhb roste nade všechn mee. Připomeňme, že stále uvažujeme dokonale pružné chování materiálu, tj. po odstranění síl se prut vrátí do přímé poloh. U štíhlých prutů proběhne tráta stabilit při pružném působení prutu. Pokud b došlo k překročení limitující materiálové charakteristik (např. u oceli se jedná o me kluu), vniklé deformace b bl větší a část b měla trvalý charakter. Tento případ může nastat u prutů s menší štíhlostí. Potom všetřujeme stabilitu v nepružném oboru. Tlakové namáhání, které nekončí rodrcením nebo rotlačením ve smslu tlakové koušk, ale trátou stabilit, se naývá vpěrem. Ztráta stabilit tlačeného prutu je většinou velmi ávažná a může vést až ke hroucení konstrukce. Stabilita je schopnost rovnovážné soustav vchýlené nepatrně původního stavu vracet se do původního stavu, jakmile poe příčina. Kritická síla F cr představuje teoretické maximální atížení štíhlého přímého prutu jako stabilní konstrukce.

33 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů. Eulerovo řešení Velikost kritické síl podmínk rodvojení rovnováh (vnik indiferentního stavu, oblast bifurkace) ideálního pružného přímého centrick tlačeného prutu stálého průřeu poprvé popsal roku 744 L. Euler, proto hovoříme o Eulerově kritické síle. Základním případem vpěru hlediska uložení je nosník náorněný na obr. v předchoí kapitole. Při atížení silou F cr se nosník prohne, přičemž veškeré hodnot funkce průhbu v(x) jsou velmi malé. Tato konstrukce je potom atížena mimo osové síl i ohbovým momentem velikosti M o ( x) = F v( x), (.) cr kde M o (x) a v(x) jsou nenámé funkce. Další ávislost mei M o (x) a v(x) vplývá Bernoulliho diferenciální rovnice průhbové čár M o ( x) = E I v ( x). (.) Můžeme přepsat do tvaru kde v ( x) + α v( x) = 0, (.) α =. (.4) E I Tato diferenciální rovnice popisuje průhbovou čáru prutu, u kterého bl průhb vvolán kritickou silou F cr. Dle diferenciálního počtu budeme řešení předpokládat ve tvaru Z okrajové podmínk F cr v x) = cos( α x) + sin( α ), (.5) ( x v x = 0) = 0 = + 0 (.6) ( plne, že řešení průhbové čár není schopna popsat funkce cosinus. Okrajová podmínka pro x=l ve tvaru v( l) = sin( α x) = 0 (.7) vede ke dvěma řešením =0, popisu tv. triviální řešení, kd pro všechna x na intervalu platí v(x)=0. Z této podmínk nejsme schopni určit F cr. 0, a potom sin( α x) = 0. Řešení této trigonometrické rovnice má tvar α l = i π, kde i=(0,,, ). Z fikálního hlediska má smsl hledat imální sílu, při které dojde ke trátě stabilit. Nejnižší nenulový kořen π je dán výraem α l = π nebo pro další postup upravíme na tvar α = l

34 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Dosadíme-li do rovnice (.4) dostáváme E I F cr = π, (.8) l což je Eulerova kritická síla ákladního případu vpěru. Tento výra (.8) platí poue pro průře se stejnými hlavními centrálními moment setrvačnosti k oběma osám (kruh, meikruží, čtverec). Pro ostatní průře primatického prutu platí E I F cr = π, (.9) l kde I je menší hlavních centrálních momentů setrvačnosti... Vpěrná délka U prutů s jinými okrajovými podmínkami délka půlvln funkce sinus není totožná s délkou prutu. Vdálenost inflexních bodů křivk potom odpovídá tv. vpěrné délce L cr. Spojením výraů (.4) a (.8) obdržíme výra pro určení vpěrné délk primatického prutu. Normálovou sílu můžeme obecně vjádřit jako proměnnou po délce potom N( x) = v Z výrau jsme schopni vjádřit N ( x) = v ( x) F, F 0, (.0) ( x) F cr π E I =. (.) L α l π E I v ( x) E I = (.) l L cr Po úpravě dostaneme hledané řešení π Lcr = Lcr ( x) = l (.) v( x) α l Pro N=F a v = nabývá (.) tvar π L cr = konst. = l (.4) α l Zobecněním výrau (.9) pro růné případ okrajových podmínek dostáváme výra ve tvaru F cr Lcr cr π EI = (.5) 4

35 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Vpěrnou délku L cr je účelné vjádřit jako násobek délk prutu l: L cr = β l (.6) Poměr mei vpěrnou délkou L cr a délkou prutu l je možno vjádřit a odpovídající Eulerovo kritické břemeno je pro ákladní případ náorněno v tabulce. TBULK π EI F cr l π EI l 4π EI l π EI 4l π EI l π EI 4l L cr l 0,7l 0,5l l l l β = β = 0,7 β = 0,5 β = β = β = Obr. 9: Vpěrné délk ákladních Eulerových případů Definice Vpěrnou délku le definovat jako délku kloubově uloženého prutu shodné ohbové tuhosti EI, který tratí stabilitu (vbočí) při stejné kritické síle F cr. 5

36 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Uvažujme nní případ kloubově uloženého sloupu v patě a posuvně uloženého v hlavě, vi obr. 0. Obr. 0: Posuvně uložená hlava sloupu Jedná se o velice častý případ uspořádání nosného sstému skeletových konstrukcí s rámovými stčník a kloubově uloženým rámem. Vpěrná délka je ávislá mj. na poměru tuhostí příčle a sloupu. kde L cr ( + 0,8 ) l Součinitel je možné uvažovat do hodnot κ 5. = κ, (.7) I p κ = (.8) I l p. Kritická síla a napětí Na rodíl od prostého tlaku je napětí při vpěrném tlaku dáno vtahem nebo kde F π EI = (.9) L cr cr = cr π Ei cr =, (.0) L i = I cr je poloměr setrvačnosti popsaný v předchoích kapitolách. (.) 6

37 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Závislost mei délkou prutu a jeho průřeem vjadřuje štíhlostní poměr, ve kratce štíhlost prutu λ. L cr λ = (.) i Výra pro kritické napětí přejde v konečný tvar π E cr = (.) λ Závislost kritického napětí cr na štíhlostním poměru λ je možné grafick náornit pomocí tv. Eulerov hperbol, vi obr.. Obr. : Vpěrná křivka Z grafu je patrný silně nelineární vtah mei výše popsanými veličinami. Pro vsoké hodnot štíhlostních poměrů kritické atížení (tím i napětí) nabývá velmi malých hodnot. Při níkých hodnotách štíhlostních poměrů kritické napětí prudce stoupá tj. tráta stabilit přestává hrát roli a vpěrný tlak nakonec přejde v tlak prostý. Ztráta stabilit je neopomenutelný problém ejména při návrhu ocelových konstrukcí materiál o vsoké pevnosti dovoluje použít prut malých profilů, nich pramení velké štíhlostí poměr. Vhledem k předpokladu platnosti Hookova ákona určíme limitní hodnotu napětí, při kterém je splněna podmínka pružného chování materiálu. Pro ocel je mení napětí v materiálu, při kterém platí vtah dán Hookovým ákonem, určeno meí kluu f. Na ákladě této hodnot určíme mení štíhlostní poměr. E λ m = π (.4) f 7

38 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Určit křivku v intervalu 0 λm pro tv. trátu stabilit v nepružné oblasti je obtížné, na její průběh nepanuje jednotný náor, a proto je předmětem experimentálního i numerického výkumu. Příklad. Zadání Prostě uložený nosník ropětí l=,5m je centrick tlačen silou na konci vi. obr. Použitý materiál je ocel E=,.0 Pa. Pro adané průře určete Eulerovo kritické břemeno. Kruhový průře Φ 40 mm. Meikruží vnější průměr D=70 mm, tloušťka stěn t=6mm.čtverec 5 mm 4. Obdélník 5x50 mm Řešení ad) Kruhový průře Φ 40 mm =56,6 mm, I =5,7.0 mm 4 π EI 9 π Fcr = =, 0 5,7 0 = 5,8 0 N = 5, 8kN L,5 cr I i = = 0mm L λ = cr = i 50 ad) Meikruží Vnější průměr D=70 mm, tloušťka stěn t=6mm =0 mm, I =6.0 mm 4 π EI 9 π Fcr = =, = 57 0 N = 57kN L,5 cr I i = =, 69mm L λ = cr = i 66, ad) Čtverec 5 mm =5 mm, I =5.0 mm 4 8

39 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů π EI 9 π Fcr = =, = 5, 0 N = 5, kn L,5 cr I i = = 0, mm L λ = cr = i 48,4 ad 4) Obdélník 5x50 mm =50 mm, I =65,.0 mm 4 π EI 9 π Fcr = =, 0 65, 0 = 59,9 0 N = 60kN L,5 cr I i = = 7, mm L λ = cr = i 07,7 TBULK 4: Výsledk řešení Číslo profilu 4 Poměr λ 0,44 0,989,85 Poměr F cr 4,95 0,995 0,58 Poměr 0,96 0,975 0,994. Pevnostní pojetí vpěru. Posouení prutů na vpěr Zohlednit trátu stabilit při návrhu tlačených prutů je nutné u většin stavebních prvků. Eulerova kritická síla je pravidla výraně všší než síla, která vede u reálných konstrukcí ke trátě stabilit. Proto je tento postup akotven v příslušných návrhových normách. V následující části se v jednoduchosti senámíme s postupem návrhu ocelových konstrukcí. 9

40 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Celistvý centrick tlačený prut atížený silou F se posuuje dle vorce kde f d χ F - plocha neoslabeného průřeu - návrhová hodnota mee kluu χ, (.5) f d f d = - součinitel vpěrnosti (tabeliován v normě) ávislý na štíhlosti prutu λ f γ u m Součinitel vpěrnosti φ ohledňuje i vliv tvaru standardních ocelových průřeů. Proto norma roděluje a) uavřené průře (kruhové, čtvercové a obdélníkové trubk) χ a b) dvouose smetrické průře (I, kruhové a obdélníkové tče) χ b c) jednoose smetrické a obecné průře χ c Postup: Při návrhu pravidla vcháíme e námé hodnot atížení, kterou musí průře s jistou reervou přenést. U ákladních geometrických obraců jsme schopni vjádřit přímo jejich vpěrnou únosnost. U válcovaných ocelových profilů musíme návrh pravidla provádět opakovaně s postupným přibližováním k nejvhodnějšímu návrhu. Norma navíc předepisuje pro růné konstrukční prvk maximální štíhlostní poměr.. Na ákladě kušeností volíme výchoí profil navrhovaného tlačeného prvku. Orientačně můžeme vcháet výpočtu prostého tlaku a odhadnutého součinitele vpěrnosti.. Určíme vpěrné délk (pravidla pro směr hlavních os). Nutno ohlednit i případné rodíl v okrajových podmínkách pro růné směr.. Z maximální hodnot štíhlostního poměru určíme imální hodnotu součinitele vpěrnosti. 4. Dosaením do vorce jistíme, da námi navržený profil F a) nevhoví > χ f d, tj. je poddimenován nutno opakovat návrh s profilem s větší hodnotou I F b) vhodně volený χ f d F c) << χ f d, tj. je předimenován vhodné opakovat návrh s profilem s menší hodnotou I. 40

41 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Příklad. Zadání Proveďte návrh a posudek I profilu, pro f d = 0 MPa (ocel pevnostní tříd S5) pro konstrukci sloupu náorněném na obráku. Obr. : Schéma řešené konstrukce Řešení:. Provedeme přibližný návrh pro volenou hodnotu χ b = 0,8 F χ f d F = = =,976 0 m =, χ b f d 0,8 0 0 mm Nejblíže všší hodnota ploch průřeu (vi. statické tabulk) odpovídá: I00 =,4 0 mm i = 80 mm i = 8,7 mm L = β l = 0,7 =, m L = β l = = 6 m 4

42 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Pro všší štíhlost bude hodnota součinitele χ b nižší, tj. nepřínivější. λ λ L, 0. = = b i 8,7 L tab =, χ = 0, = = b i 80 tab = 75 χ = 0,75 Vhledem k růným okrajovým podmínkám (a s nimi souvisejícími vpěrnými délkami) v rovině x a x je pro posouení konstrukce rohodující tráta stabilit ve směru nižší ohbové tuhosti profilu i přes menší vpěrnou délku. Normálové napětí max v průřeu nabývá hodnot F max = = = 49,7MPa,,4 0 což je hodnota všší něž vpěrná pevnost χ b f d = 0,46 0MPa = 96, 6MPa průře není schopen přenést navrženou sílu, tj. nevhovuje.. Je nutno provést nový návrh s profilem o větší ploše (a/nebo) menší štíhlosti. Zopakujeme výpočet s profilem I40 = 4, 6 0 mm, i = 95,9 mm, i =,9 mm L, 0 tab. λ = = = 96 χb = 0, 58 i 9, L 6 0 tab. λ = = = 6, 6 χb = 0, 84 i 95, 9 Srovnání napětí na konstrukci a únosnosti potom vcháí F max = = = 08,5MPa < χ f d = 0,58 0MPa =, 4,6 0 Profil I40 vhoví. b 8 MPa Ověříme, da b podmínk nesplňoval i menší, tj. levnější profil I0: I0 =,95 0 mm, i = 87,8 mm, i = 0, mm Nejvšší štíhlost vcháí λ = 0, 4, té odpovídá součinitel vpěrnosti χ b = 0,55 F max = = = 6,6MPa < χ f d = 0,55 0MPa = 0,,95 0 Profil I0 nevhoví. b MPa 4

43 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Příklad. Zadání Proveďte posudek příhradové konstrukce (vi. obr. ) oceli S5. f f d = 5MPa = 0MPa Obr. : Model příhradové konstrukce Horní a dolní pás je tvořen U00, stojina umístěna vodorovně = 6,95 0 mm i = 4 mm i = 4 mm Svislice a diagonál uavřený profil 0x0x = 7, 0 mm i = mm i = mm Řešení: Stčníkovou popř. průsečnou metodou provedeme výpočet vnitřních sil působících na jednotlivých prutech konstrukce. Výsledk řešení jsou náorněn na obr. 4. Obr. 4: Normálové síl prutů příhradové konstrukce 4

44 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů V tažených prutech ke vpěru nedocháí, můžeme proto přímo určit maximální tahovou sílu, kterou jsou oba profil schopné přenést N = f max d Obr. 5: Geometrie průřeu U00 pro U00 N = f d = , 95kN max = pro uavřený profil 0x0x N = f d = 0 7 5, 6kN max = Je patrno, že u žádného taženého prutu není maximální hodnot atížení dosaženo. U tlačeného prutu č. 9 je normálová síla působící na prut rovna 0 kn. U příhradových nosníků předpokládáme kloubové uložení prutů vpěrné délk odpovídají v obou rovinách prostému nosníku. Obr. 6: Vbočení prutu č. 9 v rovině a rovin konstrukce Prut č. 9 Štíhlosti λ = λ 9, té odpovídá součinitel vpěrnosti χ = 0 86 = a, F 0 0 = = = 9,75MPa < χ a f d = 0,86 0MPa 80, 6MPa 0 max = vhoví 44

45 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Prut č. 5 Štíhlosti λ = λ 45 té odpovídá součinitel vpěrnosti χ = 0 0 = a, F 6 0 max = = = 50MPa < χ a f d = 0,0 0MPa = 6MPa vhoví 0 Prut horního pásu jsou v rovině příhradové konstrukce stabiliován svislicemi a diagonálami (vi. obr.7), proto vpěrná délka odpovídá délce prutu. Obr. 7: Vbočení horního pásu v rovině konstrukce Kolmo na rovinu příhradové konstrukce však trátě stabilit není bráněno a vpěrná délka odpovídá délce celého nosníku, tj. β =4 a L cr =5m! Obr. 8: Vbočení horního pásu rovin konstrukce L, 5 0 tab λ = = = 89. χb = 0, 6 i 4 L 5 0 tab. λ = = = 9 χb = 0, 4 i 4 F 7, 5 0 max = = = 5, 9MPa < χb f d = 0, 4 0MPa = 695 vhoví Závěr 88, MPa Při posuování prutů, které jsou součástí konstrukce, je nutno mít na řeteli chování celé konstrukce, nikoliv jen okrajové podmínk jednotlivých prutů. 45

46 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů.4 Kombinace ohbu a vpěru Doposud jsme se abývali trátou stabilit dokonale přímého centrick tlačeného prutu. Působí-li tlaková síla F < Fcr na prut s počáteční imperfekcí, mimostředně působící, popř. spolupůsobící s příčným atížením, jedná se o velmi nebepečnou kombinaci vpěru a ohbu. Dle (.) platí Obr. 9: Vpěr s ohbem M ( x) = M o ( x) + F v( x), (.6) kde M (x) je ohbový moment vvolaný ohbem a vpěrným tlakem M o (x) moment poue od příčného atíženi při F=0 Rovnice obsahuje dvě nenámé funkce M(x) a v(x). Druhou ávislostí mei těmito funkcemi je Bernoulliho diferenciální rovnice ohbové čár M ( x) = EI v ( x) (.7) Tím máme k dispoici soustavu rovnic. Ve shodě s předešlými kapitolami budeme předpokládat řešení ve tvaru π x v( x) = sin (.8) l Derivací (.8) dostáváme π π x π v ( x) = sin = v( x) (.9) l l l Dosaením (.9) do (.7) obdržíme algebraickou rovnici EI M ( x) = π v( x) = F v( x) cr (.0) l F M ( x) = M o ( x) + M ( x) (.) F cr 46

47 Stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů Zavedeme-li poměr F cr = k jako součinitel bepečnosti osové síl F vůči ε kri- F tické síle F cr, kε M ( x) = M o ( x) = M o ( x) ξ, (.) k ε kde kε ξ = je esilovací součinitel ohbového momentu M o (x). Tento součinitel charakteriuje vliv osové síl F. kε Na obr. 40 je náorněna ávislost esilovacího činitele ξ na k ε. Je řejmý velký vliv osové síl pro hodnot kε blížící se, tj. kd se normálová síla svou hodnotou přibližuje síle kritické. Při posudku prvku atíženého vpěrným tlakem a ohbem musíme do velikosti maximálního momentu ohlednit i vliv osové síl: F M W F ξ M o + = + u (.) W Obr. 40: Interakce vpěru a ohbu 47

48 Složené případ namáhání prutu, stabilita a vpěrná pevnost tlačených prutů 4 Závěr Modul, který jste prostudovali, obsahuje informace o ákladních případech složeného namáhání a o stabilitních problémech prutových konstrukcí. Výše uvedená problematika bla pojata obecně, be vab na konkrétní tp stavebních konstrukcí. Konkrétně bude tato problematika rovedena v odborných předmětech dalších semestrů bakalářského studia a ve studiu magisterském. 4. Shrnutí Cílem předloženého textu blo shrnutí obecných témat, která jsou tradiční součástí nauk o pružnosti a posktnout učební text studentům distančního studia stavební fakult. 4. Kontrolní oták Co roumíme pod pojmem složené případ namáhání prutu? Vsvětlete rodíl mei jednotlivými případ. Jaký je vtah mei normálovým napětím a vnitřními silami při složeném namáhání? Vsvětlete postup určení jádra průřeu? Vsvětlete fikální podstatu jádra průřeu. Definujte případ, kd musíme uvažovat se stabilitou prutu. V čem spočívá Eulerovo řešení? Vsvětlete pojem vpěrné délk. V jakém intervalu se pohbuje poměr mei vpěrnou a skutečnou délkou prutu? Vsvětlete rodíl v přístupu Eulerova řešení a pevnostního pojetí vpěru. Jaký je postup posouení prutů na vpěr? 5 Studijní pramen 5. Senam použité literatur [] ŠMIŘÁK, S., Pružnost a plasticita pro distanční studium, Nakladatelství VUT Brno: 995. [] Bažant, Z.P., Cedolin, L. Stabilit of Structure, New York, Oxford Universit Press, Senam doplňkové studijní literatur [] CRH, M., ŠMIŘÁK, S., Pružnost a plasticita (skriptum), Ediční středisko VUT v Brně, 99. [4] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita pro distanční studium, Nakladatelství VUT Brno: