2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se řídí zákony dovolujícím určt s okamžtého stavu jejch budoucí č mnulý stav. Mez takové patří elektrcké obvody popsované Ohmovým zákonem, nebo fyzkální procesy v mechance, které se řídí Newtonovým zákony. Dokonce dynamcké procesy takového charakteru mají pops pomocí dferencálních rovnc a jejch budoucnost č mnulost je popsána hodnotam jejch řešení. Druhou skupnu tvoří náhodné procesy do jejchž výsledků se promítají náhodné vlvy, které způsobují, že proces realzovaný za týchž podmínek dává různé výsledky. Studem zákontostí výskytu výsledků se zabývá matematcká statstka. Algortmy, kterým jsou velčny tohoto druhu popsovány jsou tématem teore pravděpodobnost. 2.2. Defnce: Náhodný pokus, náhodný jev. Proces, který př opakování dává za stejných podmínek rozdílné výsledky nazýváme náhodným pokusem. Různé výsledky náhodného pokusu nazýváme náhodným jevy. Množnu všech možných výsledků náhodného pokusu nazýváme jevovým polem. Značení: V dalším textu budeme označovat symbolem S jevové pole a jeho prvky, náhodné jevy, budeme označovat velkým písmeny, např. A, B, C k, U, V, a pod. Poznámka: Jednotlvé pojmy, které budeme postupně zavádět budeme lustrovat na příkladech. Několk jch uvedeme a budeme na nch smysl a význam základních pojmů vysvětlovat. Podobně jako v část o kombnatorce budeme uvádět příklad, který odpovídá reálnému procesu a zároveň s uvedeme formulac ( ) jeho matematckého modelu. 2.3. Příklad: 1. Házíme mncí a sledujeme kdy padne rub a kdy líc. Jevové pole S má dva prvky {r, l}. Příklad můžeme formulovat abstraktně takto: provádíme pokus, který má dva možné výsledky. První s označíme jako 0 a druhý jako 1. Jevové pole S = {0, 1}. Je vdět, že tento model je unverzální, ztrácí se z něj fyzkální realta pokusu. Pokus je nahrazem matematckým modelem. Čísla 0 a 1 mohou reprezentovat zcela odlšné reálné stuace. Např. rub a líc mnce, zařízení pracuje, nepracuje apod. 2. Házíme hrací kostkou a sledujeme počet ok na horní stěně kostky. Jevové pole má 6 prvků, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Shodnou strukturu má úloha: náhodně vybereme z množny n prvků, např. čísel {1, 2,..., n} jeden prvek, číslo. 3. Házíme mncí, resp. hrací kostkou, dokud nepadne rub, resp. nepadne předepsaný počet ok (šestka). Výsledkem pokusu je počet hodů. Jevové pole má nekonečně mnoho prvků, S = {1, 2,...}. Obecně lze stuac popsat takto: konáme náhodný pokus, dokud se jako jeho výsledek neobjeví daný náhodný jev. 4. Házíme n krát mncí, resp. hrací kostkou a počítáme, kolkrát se v ser hodů objeví rub, resp. padne šestka. Jevové pole obsahuje prvky {0, 1, 2, 3,..., n}. Obecný pops stuace: Konáme ser n nezávslých náhodných pokusů a sledujeme kolkrát nastal jako výsledek daný náhodný jev. 13
5. Lotere obsahuje N losů a z nch M vyhrává. Zakoupíme n losů a sledujeme na kolk ze zakoupených losů vyhrajeme. Jevové pole S obsahuje prvky {0, 1, 2,..., mn{n, M}}. Musí platt 0 n N, 0 M N. Obecný pops modelované stuace: Máme množnu N prvků a znch má M sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme skupnu n prvků. Ptáme se kolk prvků z vybrané skupny má sledovanou vlastnost. 6. Jdeme náhodně na tramvaj a sledujeme dobu čekání. V některých případech není výsledkem náhodného pokusu jev, který lze popsat jednou velčnou, číslem, ale máme stuace je taková, že výsledek má vektorový charakter. Uvedeme příklady. 7. Házíme dvěma hracím kostkam a sledujeme počet ok. Jevové pole má charakter uspořádaných dvojc, S = {(, j); 1, j 6}. Struktura jevového pole. Operace s jevy. Množna všech náhodných jevů, výsledků náhodného pokusu má strukturu podobnou struktuře všech podmnožn neprázdné množny. Rovněž s náhodným jevy zacházíme jako s podmnožnam množny a zavádíme operace, které známe z operací s množnam. Často s je také budeme tak znázorňovat. Struktura jevového pole je tzv. Booleova algebra, obecněj σ algebra. 2.4. Defnce: Jev jstý a jev nemožný. Je-l S jevové pole, pak zavádíme jev jstý jako náhodný jev U S, který vždy nastane. Obdobně je jev nemožný náhodný jev V S, který nkdy nenastane. 2.5. Defnce: Jevy opačné. Je-l náhodný jev A S, pak opačným jevem k jevu A nazýváme náhodný jev A = A, který nastane vždy, kdy nenastane jev A. 2.6. Věta: Je U = V, V = U a (A) = A. 2.7. Defnce: Implkace. Říkáme, že náhodný jev A S má za následek náhodný jev B S, jestlže jev B nastane, kdykolv nastane jev A. Tuto skutečnost zapsujeme jako A B. 2.8. Věta: Pro každý náhodný jev A S platí V A U. 2.9. Defnce: Rovnost náhodných jevů. Říkáme, že náhodné jevy A, B S se rovnají, jestlže je A B a B A. Píšeme pak A = B. 2.10. Defnce: Sjednocení náhodných jevů. Jsou-l A, B, C S náhodné jevy, pak jejch sjednocením nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A nebo jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.11. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = A; A U = U; A A = U; asocatvní zákon (A B) C = A (B C). 2.12. Poznámka: Asocatvní zákon platí pro lbovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápsu. Jsou-l A S, α, pak pro jejch sjednocení používáme symbolu A. α 14
2.13. Defnce: Průnk náhodných jevů. Jsou-l A, B S náhodné jevy, pak jejch průnkem nazýváme jev, který nastane právě když nastanou oba jevy A a B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.14. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = V ; A U = A; A A = V ; asocatvní zákon (A B) C = A (B C). 2.15. Poznámka: Asocatvní zákon platí pro lbovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápsu. Jsou-l A S, α, pak pro jejch průnk používáme symbolu A. 2.16. Defnce: Rozdíl jevů. Jsou-l A, B S náhodné jevy, pak jejch rozdílem nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A a nenastane jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.17. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B B A; A V = A; U A = A; A A = A; A A = V ; de Morganovy zákony A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) 2.18. Defnce: Dsjunktní jevy. Náhodné jevy A, B S, které se navzájem vylučují, tj. A B = V, nazýváme dsjunktní. Poznámka: Nesmíme zaměňovat jevy dsjuktní a jevy nezávslé. V odstavc o nezávslých jevech se k tomuto problému vrátíme. Poznámka: Elementární jevy. U některých jevových polí umíme utvořt rozklad jevového pole na elementární jevy, tedy jevy, které se nedají dále rozložt. Nedají se vyjádřt jako sjednocení jevů. Je to zejména v případech, kdy je těchto jevů konečně nebo nejvýše spočetně mnoho. 2.19. Defnce: Elementární jev. Náhodný jev E S nazýváme elementárním jevem, jestlže pro každý náhodný je A S je buď A E = E, nebo A E = V. 2.20.Příklad: Uvedené pojmy budeme lustrovat na příkladech některých jevových polí, které jsou uvedeny v příkladu 2.3. 1. Pro náhodný proces z příkladu 1 vypšte: a) elementární jevy; b) jevy k nm opačné. Řešení: a) Jevové pole S má dva elementární jevy: {r} - padne rub, {l} - padne líc. b) Je {r} = {l} a {l} = {r}. 2. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 2. a) Vypšme elementární jevy. b) Popšme náhodný jev A padne lché číslo. c) Popšme náhodný jev A. d) Je-l náhodný jev B padne číslo menší než 3, určeme náhodné jevy: B, A B, A B, A B, A B, A B. Řešení: a) Př hodu hrací kostkou padne některé číslo mez 1 a 6. Jevové pole je generováno šest elementárnímí jevy: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. α 15
b) Mez možným čísly jsou lchá tř, tedy náhodný jev A je tvořen 3 elementárním jevy. Tudíž můžeme např. napsat A = {1, 3, 5}, když bychom měl správně zapsovat A = {{1}, {3}, {5}}. c) Náhodný jev opačný k jevu A lze vyjádřt jako padne sudé číslo. V používané symbolce je pak A = {2, 4, 6}, nebo přesněj A = {{2}, {4}, {6}}. d) Budeme používat zkrácené symbolky. V ní je B = {1, 2} a tedy: B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1, 2, 3, 5}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1}, A B = {1, 3, 5} {3, 4, 5, 6} = {1, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4, 6} {1, 2, } = {2}, A B = {1, 3, 5} {1, 2, } = {3, 5}. 3. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 7. a) Vypšme elementární jevy. b) Popšte náhodný jev A - na obou kostkách padne stejný počet bodů. c) Určete jev opačný k náhodnému jevu A. Řešení: a) Na každé z hracích kostek mohou padnou čísla od 1 do 6. Dostaneme celkem 36 možností, které odpovídají elementárním jevům. Ty mají charakter uspořádané dvojce {(, j)}, kde, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lze tedy množnu elementárních jevů zapsat jako jejch sjednocení. S = 1,j 6 (, j). b) Náhodný jev A nastane, pokud padne na obou kostkách stejný počet bodů, tedy musí nastat některý z elementárních jevů (1, 1), (2, 2),..., (6, 6). Takových je celkem 6 a lze psát, že A = 1 6 (, ). c) Opačný jev A nastane ve zbývajících 36-6=30 možnostech, kde ve dvojc (, j) je j. Například dvojce (1, 2), (3, 5), atd. Defnce pravděpodobnost. Poznámka: Je-l S jevové pole, pak pro jeho prvky, jednotlvé náhodné jevy A zavádíme jejch pravděpodobnost P (A) jako míru jejch výskytu. Uvedeme s její defnc. 2.21. Defnce: Pravděpodobnost. Je-l S jevové pole, pak reálnou funkc P : S R nazýváme pravděpodobností, jestlže pro n platí: 1. P : S 0, 1, t.j. 0 P (A) 1 pro každý jev A S. 2. P (U) = 1, P (V ) = 0. 3. A B P (A) P (B). 4. A B = V P (A B) = P (A) + P (B). 16
Poznámka: Některé vlastnost pravděpodobnost se dají odvodt z druhých. Uvedené požadavky jsou základním vlastnostm, jejchž znalost budeme považovat za samozřejmou. Uvedeme s specální případ defnce konkrétní pravděpodobnost, nazývá se klascká defnce, kterou budeme používat v řadě případů, které odpovídají stuacím z příkladů 2.3 a 2.20. 2.22. Věta: Klascká defnce pravděpodobnost. Nechť je jevové pole S generováno systémem elementárních jevů E, 1 n, takových, že mají stejnou možnost výskytu. Jestlže defnujeme funkc P předpsem: P (E ) = 1 n, pak je P pravděpodobnost. m Potom pro náhodný jev A S, A = k=1 E k je P (A) = m n. Důkaz: Vlastnost s defnce snadno ověříme, vyplývají z pravdla pro sčítání zlomků. Poznámka: Vztah pro pravděpodobnost z defnce se někdy vyjadřuje slovy: Pravděpodobnost jevů je poměr počtu možností příznvých jevu A ku počtu všech možností. 2.23. Příklad: Pomocí klascké defnce pravděpodobnost určete pravděpodobnost uvedených náhodných jevů. 1. Házíme dvěma mncem. Určete pravděpodobnost náhodného jevu: a) A padne na obou mncích rub; b) B na obou mncích padne shodná strana; c) C na obou mncích padnou různé strany Řešení: Jevové pole S je generováno 4 elementárním jevy. Jsou to {(r, r), (r, l), (l, r), (l, l)} a všechny jsou stejně pravděpodobné.tedy: a) Aby nastal jev A musí padnout (r, r), to je jedna ze 4 možností. Je tudíž P (A) = 1 4 = 0, 25. b) Pro jev B jsou příznvé dvě možnost, (r, r), (l, l), tedy P (B) = 2 4 = 0, 5. c) Jev C nastane také ve dvou případech, (r, l), (l, r), tedy P (C) = 2 4 = 0, 25. 2. Házíme hrací kostkou a uvažujeme počet bodů na horní stěně kostky. Vypočtěte pravděpodobnost: a) jednotlvých elementárních jevů; b) jevu A padne sudé číslo; c) jevu B padne číslo nejvýše rovno 4. Řešení: Př hodu kostkou je celkem 6 možných výsledků, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, které jsou stejně pravděpodobné. Předpokládáme, že je kostka homogenní krychle. a) Je-l E, 1 6, elementární jev, padne bodů, pak je jeho pravděpodobnost rovna P (E ) = 1 6 = 0, 16666. b) Pro jev A jsou příznvé 3 možnost ze 6, sce {E 2, E 4, E 6 }, je tedy P (A) = 3 6 = 0, 5. c) Jev B nastane ve ve 4 případech, {1, 2, 3, 4}, je tedy P (B) = 4 6 = 2 3 = 0, 66666. 17
3. Máme 10 barevných koulí, 4 bílé a 6 modrých. Vypočtěte pravděpodobnost náhodných jevů: a) A náhodně vybraná koule je bílá; b) B tř náhodně vybrané koule jsou modré; c) C dvě náhodně vybrané koule mají rozdílnou barvu; d) D vybíráme jednu koul po druhé a poslední, kterou vybíráme je modrá. Řešení: a) Př výběru má každá koule stejnou pravděpodobnost, že bude zvolena. Je celkem 10 možností a jevu A jsou příznvé 4. Je tedy P (A) = 4 10 = 0, 4. b) Protože jsou př výběru koule nerozlštelné jsou ( počty ) možných výběrů rovny počtům 10 = 10.9.8 = 120, počet možností 3 1.2.3 kombnací. Všech možných výběrů 3 koulí je ( ) 6 příznvých jevu A je 3 = 6.5.4 20 = 20. Je tedy P (A) = 1.2.3 120 = 1 6 = 0, 16666. ( ) 10 c) Počet všech vybraných dvojc je roven = 10.9 = 45. Počet všech dvojc, které 2 1.2 mají rozdílnou barvu můžeme podle pravdla součnu vybrat celkem 6.4 = 24 způsoby. Je tedy P (C) = 24 45 = 8 15 = 0, 53333. d) Př postupném výběru koulí má kterákolv stejnou pravděpodobnost být tažena jako poslední. Je tedy P (D) = 6 10 = 0, 6. Poznámka: V některých případech můžeme výsledky náhodného pokusu, prvky jevového pole přřadt podmnožnám nějaké omezené množny v R n, kdy tato množna odpovídá jstému jevu. Všmneme s, že vlastost pravděpodobnost jsou shodné s vlastnostm objemu množn v R n. Toho využíváme v geometrcké defnc pravděpodobnost, kterou používáme př řešení obdobných úloh. 2.24. Věta: Geometrcká defnce pravděpodobnost. Nechť prvky jevového pole S odpovídájí podmnožnám omezené množny U R n, množna U odpovídá jevu jstému a operace s jevy odpovídají obdobným operacím s množnam. Jestlže s označíme v n rozměrný objem množny v R n, pak funkce P defnovaná předpsem P (A) = v(a) v(u) má vlastnost pravděpodobnost. Takto defnovaná pravděpodobnost se nazývá geometrcká pravděpodobnost. Poznámka: Skutečnost, že takto defnovaná pravděpodobnost splňuje podmínky z defnce pravděpodobnost 2.21 vyplývají z obdobných vlastností objemu v R n. 2.25. Příklad: Volíme náhodně bod X 0, 2. Určete pravděpodobnost náhodného jevu A = 1 2 < X 5 4. Řešení: K řešení úlohy použjeme geometrcké pravděpodobnost. Jestlže volíme bod náhodně, pak je každá volba stejně pravděpodobná. Pravděpodobnost toho, že vybereme 18
bod s nějakého ntervalu odpovídá jeho délce. Interval 0, 2 odpovídá jevu jstému, vybraný bod v něm musí vždy ležet. V souladu s defncí je pravděpodobnost náhodného jevu A = a X b, 0 a b 2 rovna P (A) = b a 2 0. Pro zadaný nterval je P ( 1 2 < X 5 4 ) = 1 ( 5 2 4 1 = 2) 3 8 = 0, 375. 2.26. Příklad: Máme domluvenou schůzku mez 12 a 13 hodnou. Oba jdeme na schůzku zcela náhodně a čekáme nejvýše 15 mnut. Jaká je pravděpodobnost, že se sejdeme. Řešení: Označíme s t 1 okamžk příchodu 1. účastníka po 12 hodně a t 2 okamžk příchodu druhého. Potom příchody obou účastníků setkání odpovídá bodu (t 1, t 2 ) 0, 1 0, 1. Tento čtverec odpovídá jevu jstému a okamžky, kdy dojde k setkání odpovídá pásu určeného podmínkou t 1 t 2 1 4. K výpočtu pravděpodobnost použjeme geometrcké pravděpodobnost a pro pravděpodobnost setkání P st dostaneme ( P st = 1 3 4 1 ) 2 = 7 16 = 0, 4375. Poznámka: V klascké defnc pravděpodobnost vlastně předpokládáme znalost pravděpodobnost pro elementární náhodné jevy. V uváděných příkladech můžeme jejch hodnotám věřt. Ve složtejších případech není vůbec jednoduché tyto výchozí hodnoty stanovt. Odstrant tento problém se pokoušel Robert de Meses pomocí statstcké defnce pravděpodobnost, která vychází z hodnot získaných z výsledků náhodného pokusu, který studujeme. Jejím základem je klascká defnce. Provádíme opakovaně náhodný pokus tak, že jsou jeho jednotlvé realzace na sobě nezávslé. Jestlže s označíme počet opakování n a počet výsledků, které odpovídají elementárnímu jevu E označíme m (n), pak defnujeme pravděpodobnost elementárního jevu E vztahem P (E ) = lm n m (n) n. Je zřejmý nedostatek této defnce. Můžeme j použít pouze tak, že provádíme dostatečně dlouhé sere pokusů a za hledanou pravděpodobnost volíme hodnotu, která je průměrem dostatečného počtu hodnot m (n) n. Na začátku 20. století uvedl Kolmogorov defnc pravděpodobnost, která všechny předchozí defnce v sobě zahrnuje. Vychází s Lebesgueovy teore ntegrálu. Uvedeme j spolu s jejch základním vlastnostm. K tomu potřebujeme alespoň uvést defnc pojmu σ algebry, která je strukturou požadovanou pro jevové pole. 2.27. Defnce: Booleova σ algebra. Jevové pole S je σ algebrou, jestlže platí: 1. U S, V S. 2. Pro náhodné jevy A, B S je A B S. 3. Pro posloupnost (konečnou č spočetnou) posloupnost náhodných jevů A, 1 je A S a A S. 19
2.28. Defnce: Axomatcká defnce pravděpodobnost. Je-l S jevové pole, které je σ algebrou, pak pravděpodobnost na jevovém pol S je reálná funkce, pro kterou platí: 1. Pro každý náhodný jev A S je 0 P (A) 1. 2. P (U) = 1. 3. Pro dsjunktní náhodné jevy A, B S, A B = V je P (A B) = P (A) + P (B). 2.29. Věta: Vlastnost pravděpodobnost. Pravděpodobnost P na jevovém pol S má tyto vlastnost: 4. Je-l A, B S a A B, pak P (A) P (B). (Monotone pravděpodobnost.) 5. Je-l A, B S a A B, pak P (B A) = P (B) P (A). 6. Pro náhodný jev A S je P (A) = 1 P (A). Specálně P (V ) = 0. 7. Pro náhodné jevy A, B S je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. Pro posloupnost (konečnou č spočetnou) pod dvou dsjunktních jevů A S, 1, j A A j = V, pak P ( A ) = P (A ). (σ adtvta.) 9. Jestlže pro posloupnost náhodných jevů A S, N platí A 1 A 2 A 3... P ( A ) = lm P (A ). (Spojtost zdola.) 10. Jestlže pro posloupnost náhodných jevů A S, N platí A 1 A 2 A 3... P ( A ) = lm P (A ). (Spojtost shora.) Poznámka: Jako příklad takto obecně defnované pravděpodobnost jsme uvedl v odst. 2.24 geometrckou pravděpodobnost. Příkladem je pravděpodobnost z příkladu 2.25, kde jevové pole S tvoří všechny podmnožny ntervalu 0, 2, pro které máme defnovánu jejch délku. Přesné vymezení všech náhodných jevů je velce složté a vyžaduje znalost teore míry a ntegrálu. Jedná se o tzv. měřtelné množny. 20