8.3.2 Iflace, sořeí Předoklady: 83 Iflace Paírové (a ještě více virtuálí) eíze emají (a rozdíl od miulosti, kdy hodota mice odovídala hodotě kovu, ze kterého byla vyrobea) v deší době žádou hodotu samy o sobě, jejich oužíváí reguluje stát, v říadě zhrouceí ekoomiky se může stát, že svou hodotu zcela ebo částečě ztratí (měové krize a měové reformy). Proces zehodocováí eěz robíhá téměř eustále (ale omalu) díky jevu zvaému iflace (zehodocováí eěz). V době saí ůvodí verze textu byla meziročí míra iflace 6% (ři osledí aktualizaci v roce 26,3 %) eíze ztratily během ulyulých dvaácti měsíců 6% své hodoty. Tedy za určitou částku bylo možé akouit o 6% zboží méě ež řed rokem. Cey růzých druhů zboří se vyvíjejí růzě výočet míry iflace velmi závisí velmi a tom, u kterého zboží sledujeme cey a jak výrazě tyto cey do výsledku zaočítáváme. Výočet iflace se rovádí v závislosti a sotřebím koši jehož obsah je vděčým ámětem sorů uvitř odboré veřejosti (aříklad je dlouhodobým sorem zda do iflace zaočítávat změy ce emovitostí. V Evroě se to edělá s odůvoděím, že áku emovitosti eí sotřeba, ale ivestice. Fakt, že sotřebitelé musí ěkde bydlet je trochu oomíje. Hlavím důvodem tohoto řístuu je odle mohých ekoomů fakt, že díky této zásadě vychází ročí míra iflace v arosté většiě let ižší). Ročí míra iflace je růměrý údaj a faktický doad zdražováí je a růzé vrstvy solečosti velmi růzý (okud zdražuje jídlo ebo eergie dotýká se to síš chudších vrstev, okud zdražují luxusí automobily trí ředevším bohatí). Na druhou strau eí možé ahlížet a iflaci jako zcela záorý jev. Fakt, že eíze omalu ztrácí hodotu, řisívá k tomu, aby ebyly zbytečě stahováy z oběhu a ukládáy doma. Naoak iflace vlastíky motivuje, aby se eíze sažili ivestovat ebo utratit (a tím odorovali růst hosodářství). Naoak vzácé chvíle, kdy je iflace záorá (eíze hodotu získávají a zboží zlevňuje - deflace) jsou ovažováy (ěkterými ekoomy) za velmi ebezečé (lidé esoří a eutrácejí, rotože čekají až zboží ještě více zleví. Tím však klesá výko ekoomiky, rotože je slabá otávka). V ásledujících výočtech ode všech odrobostí odhlédeme a budeme uvažovat, že iflace zameá stejoměré zehodocováí eěz bez ohledu a doad ro kokrétí druhy zboží. Pokud je ročí míra iflace 3% zameá to, že se cey za rok v růměru zvýší o 3% zboží, které stálo a začátku roku Kč, bude a koci roku stát 3 Kč. Př. : Urči, jakou hodotu bude mít Kč za rok, okud se otvrdí ročí odhad iflace ve výši 3%. Zboží za Kč má a koci roku ceu 3 Kč. Na koci roku budeme mít Kč, zajímá ás, kolik Kč a začátku roku by stačilo a áku stejého možství zboží zboží akoueé a očátku roku za x Kč má a koci roku ceu Kč. Přímá úměrost: očátek roku Kč... koec roku 3 Kč
očátek roku x Kč... koec roku Kč x = x = = = 97 87 Kč 3 3, 3 Ztratili jsme skoro 3 Kč. Jaký je výzam hodot ve výsledém vztahu x =?,3... očátečí hodota eěz I, x... koečá hodota eěz I, 3,3... +, 3 = + = + (jedička zvětšeá o výši iflace ve zlomku). hodotu eěz sížeou o iflaci během jedoho roku můžeme rovou očítat omocí I vzorce I =. + Př. 2: Urči hodotu Kč o deseti letech, okud se bude růměrá hodota iflace v tomto období rovat 3%. Nejdříve určíme kolik eěz bude uté o dvaceti letech a áku zboží v hodotě v současosti. Poté řeočítáme hodotu eúročeých. Kolik eěz otřebujeme a áku zboží, které mělo a začátku ceu. o. roce., 3 o 2. letech. ( ), 3 Kč) o 3. letech. 2,3,3 =,3 (a očátku roku by bylo otřeba 3, 3 o x. letech.,3 x teď můžeme dosadit let a určit možství eěz v hodotě o. letech., 3 = 34 392 Kč Po deseti letech otřebujeme 34 392 Kč a áku zboží, které řed tím stálo Kč. Hodotu sočteme římou úměrostí: 34 392 Kč Kč Kč x Kč x = x = = 74 49 Kč 34 392 34 392 Při třírocetí iflaci bude mít Kč stejou hodotu, jakou má v deší době 74 49 Kč (eíze tak ztratí řes 2% své hodoty). Pedagogická ozámka: Část žáků rovou dosadí do vzorce I I = = = 74 49,4 Kč. + ( +,3) 2
I Pozámka: Stejý výsledek bychom získali oakovaým oužitím vzorce I =. + Abychom si to ještě jedou shruli. Pokud si yí schováme doma do slamíku Kč, budeme mít za deset let ve slamíku stále ještě Kč, ale akouíme za ě v růměru ouze tolik zboží jako bychom yí (v okamžiku, kdy jsme eíze do slamíku dávali) akouili za 7449 Kč. Výsledky ředchozích říkladů můžeme shrout do vzorce: Je-li růměrá ročí míra iflace rocet a máme-li částku I ak o letech bude I mít tato částka hodotu I =. + Z ředchozího vylývá, že okud uložíme a 3% úrok eíze a zároveň bude v období, o které soříme 3% iflace, budou mít eíze, které usoříme stejou hodotu jako eíze, které jsme uložili ic evyděláme. Předchozí odstavec ijak eoírá výhodost sořeí, rotože sice ic evyděláme, ale zároveň ic eztratíme (jako bychom ztratili, kdybychom eíze uložili do slamíku). Mezi mírou iflace a ročí úrokovou mírou dosažitelou ro běžého vkladatele je velmi úzký vztah a za ormálí situace můžeme ředokládat, že úrok řibližě okryje ztráty zůsobeé iflací. Dodatek: V ČR je iflace většiou trochu vyšší ež běžé zhodoceí a sořících účtech ebo termíovaých vkladech. Dodatek: Zvyšováí ročí úrokové míry cetrálí bakou je jedou ze základích zbraí, kterými cetrálí baky bojují roti iflaci. Vyšší úrokové míry motivují lidi ke sořeí lidé mají méě eěz a utráceí roduceti mají meší možost ři ižší otávce zvyšovat cey. Naoak sižováí úrokových měr se cetrálí baky saží iflaci zvyšovat (ůjčky jsou výhodější lidé si více ůjčují roduceti mohou zvyšovat cey). I Pozámka: Místo srávého vzorce I = je ro iflaci často oužívá vzorec + I I =. Vziká ze vzorce ro složeé úrokováí I = I + změou zaméka (iflace a rozdíl od sořeí hodotu ubírá). Vzorec I = I s uvedeým zdůvoděím je ro žáky velmi dobře řijatelý, bohužel je esrávý i když a řibližé určeí hodoty je vyhovující. Naříklad ro říklad 2 bychom získali 3 I = I = = 73 742 Kč, což je je o 667 Kč méě ež srávě 3
určeá hodota. Ke zmatku řisívají i MFCH tabulky, kde je teto vzorec uvede jako vzorec ro okles hodoty. Př. 3: Porovej vzorec ro změu hodoty kvůli iflaci se vzorcem ro částku usořeou ři složeém úrokováí. Vysvětli. I Iflace: I =, asořeá částka složeé úrokováí I = I +,8. + Vzorce uravíme: I Iflace: vyjádříme si I : I = I = I +. + Sořeí: zaedbáme daň z říjmů: I I,8 = + I = I +. Po úravě jsou se vzorce (až a ozačeí I a I shodují), rotože částka otřebá k akoueí zboží se ři iflaci zvyšuje zcela stejým zůsobem jako částka asořeá ři složeém úrokováí (je eí sižováa strháváím daě). Výzam roměých I a I je u iflace rohozeý, rotože záme koečou částku (částku, jejíž hodota bude sižováa iflací). Průběžé sořeí Ze vztahu mezi iflací a ročí úrokovou mírou vylývá, že ušetřit výrazější částku omocí jediého vkladu je v odstatě emožé. Klasické sořeí však robíhá jiak, euložíme ouze jedou, ale ukládáme růběžě (většiou stále stejou částku). Naříklad ři stavebím sořeí ukládáme každý měsíc Kč. Rozebereme si yí teto říad: Př. 4: Pavel si a koci roku 28 (ro jedoduchost ředokládáme 3.2. 28) založil osobí koto s ročí úrokovou mírou 4% a měsíčím úrokovacím obdobím. Při založeí účtu uložil 2 Kč a stejou částku ak ukládal a koci každého dalšího měsíce. Urči jakou částku si tímto zůsobem ašetří za let. Jakou část z ašetřeé částky tvoří jeho vklady a jako úroky zalaceé baky? Výsledý výraz asi ebude jedoduchý ebudeme očítat hodoty, síše se budeme sažit ajít ějakou závislost, která by umožila sestavit vzorec. Sledujeme asořeou částku o jedotlivých měsících: o rvím měsíci: 2 +,8 + 2 (částka vložeá a začátku s úroky + ově 2 uložeá částka) 2 o druhém měsíci: 2 +,8 + 2 +,8 + 2 (částka 2 2 vložeá a začátku úročeá dvakrát + částka vložeá o rvím měsíci úročeá jedou + ově uložeá částka) 4
o třetím měsíci: 3 2 2 +,8 + 2 +,8 + 2 +,8 + 2 (částka 2 2 2 vložeá a začátku úročeá třikrát + částka vložeá o rvím měsíci úročeá dvakrát + částka vložeá o druhém měsíci úročeá jedou + ově uložeá částka) asořeou částku tvoří součet rvích čleů geometrické oslouosti a = 2, q = +,8 2 situace o letech sčítáme 2 + = 6čleů ( vklad a koci roku 28 je avíc) 6 6 q 2 s6 a q +,8 = = 2 = 32 972, 4 Kč +,8 2 Peíze vložeé Pavlem: 6 2 = 22 Kč. Úroky zalaceé bakou: 32 972, 4 22 = 972, 4 Kč. Př. : Urči, kolik by Pavel asořil za stejých odmíek za 2 let. Jakou částku by vložil o? Kolik by zalatila baka a úrocích? Rovou začeme dosazovat: 2 let sořeí = 2 2 + = 24 úrokovacích období. Dosadíme do vzorců: 24 24 q 2 s24 a q +,8 Nasořeá částka: = = 2 = 69 48 Kč. +,8 2 Peíze vložeé Pavlem: 24 2 = 482 Kč. Úroky zalaceé bakou: 69 48 482 = 28 48 Kč. Př. 6: Využij výsledky ředchozích říkladů a zaiš vzorec ro výočet částky S, kterou vkladatel ašetří okud uloží a začátku úrokovacího období částku I a ak ukládá ravidelě a koci každého z úrokovacího období stejou částku I úroková míra ro daé úrokovací období je, daň z úroků je %. + + +,8 +,8 = I +,8,8 Předchozí říklad můžeme zobecit do ásledujícího vzorce: Pokud vkladatel uloží a začátku úrokovacího období částku I a ak ukládá ravidelě a koci každého úrokovacího období stejou částku I, okud je
úroková míra ro daé úrokovací období, daň z úroků je %, asoří vkladatel o ulyutí úrokovacích období částku S, která je dáa vztahem: +,8 + I +,8 +... + I +,8 + I + + +,8 +,8 = I +,8,8 Př. 7: Jakou částku asoříme, okud budeme ukládat a koci každého čtvrtletí Kč o dobu let a účet s ročí úrokovou mírou,2 % a čtvrtletím úrokovacím obdobím. Daň z úroků je %. Vyočti celkovou vložeou částku i úroky zalaceé bakou. Úroková míra řeočteá a čtvrtletí:,2 4 Počet úrokovacích období: 4 = 4 (ředokládáme vklad a koci roku řed začátkem sořeí vkládali jsme 4x, úrokovalo se 4x) + 4+,2 +,8 +,8 4 = = 647 43, 4 Kč,2,8,8 4 Celková vložeá částka: 4 = 6 Kč. Úroky zalaceé bakou: 647 43, 4 6 = 32 43, 4 Kč. Př. 8: Urči asořeou částku za let ři měsíčí úložce Kč s ročí úrokovou mírou,2 % a měsíčím úrokovacím obdobím. Daň z úroků je %. Počet úrokovacích období: 2 = 2 (ředokládáme vklad a koci roku řed začátkem sořeí vkládali jsme 2x, úrokovalo se 2x) + 2 +,2 +,8 +,8 2 = = 636 92,9 Kč, 2,8,8 2 Celková vložeá částka: 2 = 6 Kč. Úroky zalaceé bakou: 636 92,9 6 = 3 92, 9 Kč. Dodatek: Na rví ohled může být řekvaivé, že v říkladu 6 (s kratším úrokovacím obdobím) ašetříme meší částku (v říkladech s jedím vkladem z miulé hodiy latilo, že čím kratší úrokovací období, tím výhodější odmíky ro sořitele). Situace se ujasí, když si uvědomíme, že v říkladu máme uložeo hed od začátku, zatímco v říkladu 6 uložíme tuto částku až a začátku třetího měsíce. 6
Př. 9: Petáková: straa 7/cvičeí 6 Shrutí: Při růběžém sořeí je výsledá částka rova součtu geometrické řady. 7