G Kolín JK 0 Pocy objemy těles Hnol jeln Řešené příkldy:. Ceopso pymid má t pidelnéo čtyřbokéo jelnu o zákldně 0 metů. Úel sklonu stěn ϕ (odcylk oiny boční stěny podsty) je oen 5 50.. Kolik kmennýc kádů o objemu, m bylo potřeb n její stbu? b. Kolik kmennýc desek o ploše 0,5 m by bylo potřeb n její nější obložení? c. Kolik tun áží kámen (žul), ze kteéo je yoben (ustot žuly je 900kg/m )? d. Jk ysoká by byl zeď tlustá 0 cm ystěná ze zdi této pymidy kolem České epubliky, je-li délk nice 0 km? Ob.. Abycom moli učit počet kmennýc kádů o objemu, m potřebnýc n stbu této pymidy, musíme učit její objem. Po ýpočet objemu budeme nejpe muset ypočítt ýšku pymidy. Z poúléo tojúelníku (ob. ) získáme onici: tg tg 0 tg 550, m p 59 m 0 0 tg 550
G Kolín JK 0 Počet kádů ypočítáme tk, že objem celé pymidy ydělíme objemem jednoo kádu : n n 7579 N stbu Ceopsoy pymidy bylo třeb 7579 kmennýc kádů. b. Po zjištění, kolik kmennýc desek o ploše 0,5 m by bylo potřeb n její nější obložení, musíme ypočítt poc bočníc stěn pymidy. Nejpe muset ypočítt ýšku tojúelníku tořícío stěny jelnu. Z poúléo tojúelníku (iz ob. ) získáme onici: 8,7 m Poc pymidy, kteý by se pokýl obležením, je oen čtyřnásobku pocu stěny: 8977,9 m Počet kmennýc desek zjistíme, když ydělíme poc celé pymidy pocem jedné kmenné desky: nd n d 995 N obložení Ceopsoy pymidy bylo třeb 995 kmennýc desek. c. Hmotnost kmene, z něož je yoben Ceopso pymid, zjistíme z onice: m m 790709 kg Kámen, ze kteéo je yoben Ceopso pymid, áží přibližně 7907 tun. d. Jk ysoká by byl zeď tlustá 0 cm ystěná ze zdi této pymidy kolem České epubliky, je-li délk nice 0 km? Tto otázk lze přefomulot: Jk ysoký by byl kád o objemu Ceopsoy pymidy o ozměec podsty 0000 m 0, m?
G Kolín JK 0 K b c K 59 c b 0000 0, c,8 m Zeď o šířce 0 cm ystěná ze zdi Ceopsoy pymidy kolem České epubliky by dosol ýšky přibližně,8 m.. Uči poc objem kolméo pidelnéo šestibokéo nolu ABCDEFABCDEF se stnou AB cm tělesoou úlopříčkou u FC 5cm Ob. Podst se skládá ze šesti onostnnýc tojúelníků (ob. ) o obsu:
G Kolín JK 0 Ob. Obs podsty se se tedy ypočítá: p 5 p Plášť se skládá se šesti stejnýc obdélníků. Ztím neznáme ýšku nolu, le ypočítáme ji poúléo tojúelníku FCC (iz ob. ). 5 pl pl u u u Poc pidelnéo šestibokéo jelnu tedy ypočítáme: 5,0 08 5 08 cm u pl p Objem nolu ypočítáme: 8,78 8 9 5 cm u p
G Kolín JK 0. Kolikát se zětší objem poc kycle, pokud se její n zětší třikát? Objem půodní kycle oznčíme 0, objem zětšené kycle pk : 0 0 () 7 7 7 Objem se zětší 7kát. Poc půodní kycle oznčíme 0, Poc zětšené kycle pk : 0 0 () 5 9 9 5 Poc se zětší 9kát.. ypočítejte objem pidelnéo čtyřbokéo komoléo jelnu, je-li délk ny dolní podsty = cm, délk ny oní podsty = cm délk boční ny komoléo jelnu je s = cm. Ob. Oznčíme-li - obs dolní podsty - obs oní podsty, objem komoléo kužele se ypočítá podle zoce: 5
G Kolín JK 0 ýšku komoléo jelnu zjistíme z onomennéo licoběžníku DBFH, jeož zákldny mjí délku úlopříček obou podst. u u tojúelníku PBF známe délku s = cm d je poloin ozdílu úlopříček podst: u d s u 0 d 7, cm 9 8 s cm Objem komoléo jelnu je přibližně 7, cm. Příkldy k pocičoání:. Pidelný šestiboký jeln má podstnou nu délky podstné boční ny pltí, že tg. Učete objem jelnu.. ypočítejte poc kycle, je-li délk její tělesoé úlopříčky cm. 5 7, cm po odcylku [ =,5 cm ] [ = 88 cm ]. Kád má objem 7,5 dm. Jeo ozměy jsou poměu ::5. ypočítejte jeo poc tělesoou úlopříčku. [ = 50 cm, u = 5, cm]. Pidelný šestiboký nol má tělesoé úlopříčky u = 5 cm, u = 7 cm. ypočítejte délku jeo podstné ny, ýšku, poc objem. [ = 8 cm, = 5,75 cm, = 08,5 cm, = 955, cm] 5. Pidelný komolý čtyřboký jeln má podstné ny délek cm cm. Boční stěn síá s oinou podsty úel 0. ypočítejte objem poc komoléo jelnu. [ 7 cm, 9 cm ]. Je dán kycle A-H o ně délky = cm. Učete poc objem těles A C H F o jké těleso se jedná. [ =, cm, = 9 cm, pidelný čtyřstěn]
G Kolín JK 0 álec kužel Řešené příkldy:. Komolý otční kužel má poloměy podst ýšku poměu : : 5 poc 8 cm. ypočítejte jeo objem. Ob. Díky známému poměu poloměů ýšky můžeme zpst: x x 5x Dále íme, že 7 cm. Poc otčnío komoléo kužele se ypočítá: [ ( ) s] Abycom ze zoce získli onici o jedné neznámé x, musíme si ještě yjádřit s: Z poúléo tojúelníku PAB, kde AB =s, PA =- můžeme pomocí Pytgooy ěty yjádřit: x x 5x x 5 x 89 x x s 7 Nyní už můžeme dosdit do zoce po obs otčnío komoléo kužele z s 7 x; x; x; 5x : 9 x x x x7x [ x ( ) s] 8 Ze zdání známe poc komoléo kužele. Dostneme tedy onici: 8 x x 7 x 7
G Kolín JK 0 Potože po x, by po doszení yšli záponé délky úseček, řešením je pouze x. Dosdíme tedy x ypočítáme poloměy ýšku: x x 5x 0 Nyní můžeme spočítt objem komoléo kuželu: 08,8 cm 0 0 5 50. Nálek má t onostnnéo kužele. ypočítejte obs plocy smáčené odou přípdě, že do náleky nlijete lity ody. Ob. Tojúelník A B A B ( uu), část náleky nplněná odou je tedy opět onostnný kužel (iz ob ). íme, že A A Z poúléo tojúelníku A pomocí Pytgooy ěty ypočítáme ýšku kuželu 8
G Kolín JK 0 9 Nyní si yjádříme objem kužele následně dosdíme z =l: 7 7 9 9 Obs plocy smáčené odou ypočítáme pomocí zoce po obs pláště otčnío kužele: Obs plocy náleky smočené odou o objemu lity je dm.. Jký půmě má 00 m dlouý měděný dát, je-li jeo motnost 0 kg ustot mědi je 8900 kg/m? Ob. Nejpe budeme muset učit objem dátu poté yjádříme půmě ze zoce po objem álce. 7 7 dm s pl pl
G Kolín JK 0 Objem álce ypočítáme ze ztu: m 0 8900 m Po objem álce pltí: d d d d d 5 00 d 0,00755 m d 7,55 mm 8 5 00 5 Měděný dát má půmě přibližně 7,55 mm.. Děti si mjí yobit konouty n sldkosti. Konout má mít t kužele o ýšce 0 cm půměu 0 cm. Jký jkou plocu jký t bude mít ppí, kteý si děti n konout ystřinou (nebeeme úu překytí slepí jej izolepou). Jký bude mít konout objem? Ob. 0
G Kolín JK 0 Kužel nebude mít podstu (konout nebude uzřený), budeme tedy počítt pouze plocu pláště: pl s tnu kužele ypočítáme pomocí Pytgooy ěty z poúléo tojúelníku A (přitom d 0 cm, 0 cm) : s s 0 0 700 0 7 pl s 0 7 00 7 pl 95 cm Ppí, kteý si n konout děti ystřinou, bude mít t kuoé ýseče s poloměem s středoým úlem α (iz ob. 5). íme, že s 0 7 cm. Oznčme Pltí, že: OK - obod kužnice, O - obod ýseče. O O K s elikost úlu α ypočítáme z přímé úměy: O O K 0 O 0 O 0 s 0 0 0 s 0 7 879 K 0 7 0 7 7 Objem konoutu ypočítáme ze zoce po objem kužele: 0 88,79 cm 000 0
G Kolín JK 0 Ppí, kteý děti n konout ystřinou, bude mít plocu 95 cm t kuoé ýseče s poloměem Příkldy k pocičoání:. Objem kužele je s 0 7 cm středoým úlem 879. Jeo objem bude 88,79 cm. Učete obs pláště tooto kužele. 9 dm, odcylk stny kužele od oiny podsty je 0. [ 8 dm ]. ypočítejte polomě podsty objem otčnío kužele, jestliže ozinutý plášť je kuoá ýseč s poloměem cm středoým úlem 0. [ cm, cm ]. Komín tu dutéo komoléo otčnío kužele má ýšku m, dolní půměy, m m, oní půměy,7 m, m. Jká je jeo celkoá motnost, jestliže ustot zdi je 00kg/m? [ m, 80 t ]. Komolý otční kužel má podsty o poloměec cm, cm ýšku 5cm. Jký je objem kužele, z něož komolý kužel znikl? 8 0 [ cm 5. Učete ozměy álcoé nádoby o objemu 5 litů, jestliže ýšk nádoby se oná poloině půměu její podsty. ]. Rotční álec má poc Učete jeo objem. [ 5 dm ] 0 dm, úlopříčk jeo osoéo řezu má délku u 5dm. [ dm, 5 5 dm ] Komolý jeln kužel Řešené příkldy. ypočtěte poc objem pidelnéo čtyřbokéo komoléo jelnu, je-li n dolní podsty 8 cm n oní podsty 9cm. těnoá ýšk je 9 cm. 8 5 =..9 8 5 cm Po ýpočet objemu učíme z řezu ýšku těles x = 9 7,5 =,5 x 8,875 Doszením do zoce po objem =,cm
G Kolín JK 0. ypočtěte objem poc komoléo otčnío kužele, jsou-li poloměy podst =8 cm, = 5 cm odcylk stny kužele od podsty je x= - = cm, =.tg0 0 =, cos... s cm 0 s cos 0 0 0... ( 0 5).9 70,9cm ( 5.).7 5,5cm Příkldy k pocičoání:. ypočtěte poc komoléo otčnío kužele, je-li jeo objem = 5 cm poloměy podst =9,cm, =, cm. ( = 598 cm ). Poloměy podst komoléo otčnío kužele jsou = 8 cm, =5dcm, jeo objem je = 7 cm. Učete jeo poc. ( =8,8 cm ). Poloměy podst komoléo otčnío kužele jsou =7 cm, = cm, jeo poc je je = 08 cm. Učete jeo objem, ( = 8, cm ). Poc komoléo otčnío kužele je = 79 cm, půměy podst jsou 5 cm cm. Učete ýšku kužele. ( = cm ) Koule její části Řešené příkldy:. Ze dou koulí o poloměec = cm = 5 cm je ulit noá koule. Učete její poc. Příkld řešte nejpe obecně. Abycom moli ypočítt poc noé koule (podle zoce polomě. ), musíme zjistit její Objem noé koule je oen součtu objemů půodníc koulí (po půodní koule použijeme indexy, po noou kouli pk index ):
G Kolín JK 0 Nyní polomě noé koule dosdíme do zoce po obs koule. yřešili jsme tedy příkld obecně posledním kokem bude dosdit do řešení z = cm = 5 cm: 5,8 cm 89 Poc noé koule ulité z půodníc dou koulí je,8 cm.. Jkou část zemskéo pocu je idět z ýšky 00 km nd Zemí? iditelná část Země toří kuloý clík (ob. ). Abycom moli ypočítt jeo poc ( ), musíme učit jeo ýšku. Tu učíme díky podobnosti tojúelníků XT T P (uu). T P X T Z obázku idíme, že pltí: P X T Ob.
G Kolín JK 0 5 Dosdíme do ýše uedené onice yjádříme : Nyní můžeme dosdit do onice po poc: ),5 50880 ( 00 78 00 78 km Nyní íme, jká ploc Země je idět z ýšky 00 metů nd Zemí. Abycom učili, jká část Země to je, musíme ještě učit celkoou plocu Země (oznčíme ji Z): ),5 5859 78 ( km km Z Z Kolik pocent (p) zemskéo pocu je idět ypočítáme pomocí přímé úměy:,95 % 00% % 00 p p Z Z ýšky 00 km nd Zemí idíme přibližně,95 % zemskéo pocu.
G Kolín JK 0. Kolik pocent zemskéo pocu leží oblsti topickéo pásm (obtník φ = 7 ). Ob. Oznčíme si poc země ležící topickém pásmu jko T ten se ypočítá jko dojnásobek pocu kuloé sty. T Bude třeb ještě zjistit ýšku kuloé sty, to z poúléo tojúelníku AP (ob. ): sin sin Nyní můžeme yjádřit T : T Z sin sin p T Z sin 00% 00% sin 00% p sin 7 00 % p 9,79 % oblsti topickéo pásm leží přibližně 9,79 % zemskéo pocu.
G Kolín JK 0. Objem kuloé ýseče je = 7π cm. tředoý úel jejío osoéo řezu je φ = 0. Jk elký je polomě koule, z níž tto ýseč znikl? Ob. 7 cm 0? cm Je třeb nejpe učit, kteou yjádříme z poúléo tojúelníku AB (ob. ): cos cos cos cos cos 0 Nyní dosdíme z do zoce po objem, z dosdíme odnotu ze zdání ypočítáme : 7
G Kolín JK 0 7 cm Polomě koule, z níž ýseč znikl, je cm. Příkldy k pocičoání:. Dutá kooá koule má nější půmě d = dm. Učete její tloušťku, má-li motnost 5 kg ustot kou je ρ = 8,5 g/cm. [x,07 mm]. Objem kuloé úseče je = 5π cm. Její ýšk je cm. Učete poc úseče. [ = π cm ]. Kolik pocent zemskéo pocu leží. oblsti mínéo pásm (obtník φ = 7, polání ku φ = ), b. oblsti polánío pásm? [) 5,9%, b) 8,%]. Objem kuloé ýseče je oen objemu koule, z níž ýseč znikl. Učete poc ýseče, má-li polomě koule elikost. [ = π ( + )] 5. Učete obs kuloéo pásu objem kuloé sty, jsou-li dány poloměy podst ρ =, cm, ρ =, cm polomě koule = cm. třed koule přitom neleží unitř sty. [ 90, cm, 9,9 cm ]. Nádob tu polokoule je nplněn odou. Pokud ji nkloníme o 0, yteče z ní 5,5 litů ody. Kolik litů ody nádobě zůstne? [,5 litu] 7. Kouli je opsán onostnný álec onostnný kužel. jkém poměu jsou pocy objemy těcto těles? [ : : = : : = : : 9] 8