Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Obsah 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 28
Obsah 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 28
Obsah 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 28
Obsah přednášky 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 28
Základní označení Základní označení Definice Soustava m lineárních rovnic pro n neznámých má tvar: a 11x 1 + a 12x 2 +... + a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x 2 +... + a 2nx n = b 2. a m1x 1 + a m2x 2 +... + a mnx n = b m, (1) kde čísla a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n nazýváme koeficienty, čísla b 1,..., b m nazýváme absolutními členy, x 1,..., x n jsou neznámé. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 28
Základní označení Základní označení Označení a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n Matice soustavy: A =... a m1 a m2... a mn a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2 Rozšířená matice soustavy: R =.... a m1 a m2... a mn b m Vektor neznámých: x = (x 1,..., x n) Vektor absolutních členů: b = (b 1,..., b m) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 28
Základní označení Základní označení Poznámka Pomocí matic můžeme soustavu (1) zapsat následovně: A x = b Definice Je-li b 1 = = b n = 0 nazýváme systém lineárních rovnic homogenní systém. Značíme ho S 0(m, n). V opačném případě se systém lineárních rovnic nazývá nehomogenní systém. Značí se S(m, n). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 28
Základní označení Základní označení Příklad x 1-2x 2 + x 3 = 0 2x 1-3x 2 - x 3 = 0 Homogenní systém 2 lineárních rovnic pro tři neznámé x 1, x 2, x 3. Příklad x 1 + x 2 - x 3 = 1 x 1-2x 2 - x 3 = 0 x 1-3x 2 + 2x 3 = -2 Nehomogenní systém 3 lineárních rovnic pro tři neznámé x 1, x 2, x 3. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 28
Řešitelnost systému Základní označení Definice Uspořádanou n-tici X = (r 1, r 2,..., r n) nazýváme řešením soustavy (1), jestliže po dosazení r 1 za x 1,..., r n za x n do (1) dostaneme m platných identit mezi čísly. Soustavu považujeme za vyřešenou, známe-li všechna její řešení. Soustava, která má aspoň 1 řešení, se nazývá řešitelná, v opačném případě se nazývá neřešitelná. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 28
Řešitelnost systému Základní označení Příklad x 1 + 2x 2 = 3 2x 1 x 2 = 1 řešitelný systém: x = (1, 1) Příklad x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 5 neřešitelný systém Příklad 2x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 2x 2 = 6 řešitelný systém: x = (t, 3 2t), t R Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 28
Řešitelnost systému Základní označení Věta (Forbeniova) Soustava lineárních rovnic (1) má řešení právě tehdy, je-li hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (h(a) = h(r)). Označíme-li tuto společnou hodnost h, pak pro h = n má soustava (1) právě jedno řešení, pro h < n má soustava (1) nekonečně mnoho řešení a (n h) neznámých lze libovolně volit jako parametry. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 28
Ekvivalentní úpravy Základní označení Definice 1 Dvě soustavy S(m 1, n) a S(m 2, n) o stejných neznámých se nazývají ekvivalentní, mají-li identické množiny řešení. 2 Úprava, po které vznikne ze systému S(m, n) systém ekvivalentní, se nazývá ekvivalentní úprava. Věta (Ekvivalentní úpravy) 1 Vzájemnou výměnou dvou rovnic systému S. 2 Vynásobením některé rovnice systému S číslem k 0. 3 Přičtením k-násobku jedné rovnice systému S k jiné rovnici systému S. 4 Přičtením libovolné lineární kombinace rovnic systému S k jiné rovnici systému S. 5 Připojením rovnice, která je lineární kombinací rovnic systému S. 6 Vynecháním rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic systému S. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Rozšířenou matici R soustavy S(m, n) pomocí ekvivalentních úprav převedeme na schodovitý tvar. Napíšeme soustavu rovnic, která odpovídá upravené matici R. Novou soustavu rovnic řešíme zdola nahoru. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Příklad x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 4 x 1 x 2 x 3 = 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 0 3 3 6 0 3 2 2 1 2 1 1 0 3 3 6 0 0 1 4 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2 x 3 = 4 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 4 x = (1, 2, 4) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Pokračování příkladu Uvedený zpětný výpočet můžeme provádět přímo v matici a to její úpravou na jednotkovou matici. x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 4 x 1 x 2 x 3 = 1 x = (1, 2, 4) 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 0 3 0 3 0 6 0 0 1 4 1 2 1 1 0 3 3 6 0 3 2 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 4 1 2 1 1 0 3 3 6 0 0 1 4 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Příklad x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 5x 3 = 2 4x 1 + 2x 2 x 3 = 6 1 1 2 1 2 0 5 2 4 2 1 6 poslednímu řádku odpovídá rovnice: 1 1 2 1 0 2 9 0 0 2 9 2 0 = 2 soustava nemá řešení 1 1 2 1 0 2 9 0 0 0 0 2 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Příklad x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 2 + x 4 = 3 2x 1 + x 2 + 4x 3 3x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 + 6x 3 4x 4 = 3 1 1 2 1 2 0 1 0 1 3 2 1 4 3 1 3 2 6 4 3 ( 1 1 2 1 2 0 1 0 1 3 1 1 2 1 2 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3 Soustava má nekonečně mnoho řešení, 2 neznámé je třeba zvolit. ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 28
Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda Pokračování příkladu ( 1 1 2 1 2 0 1 0 1 3 ) x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 2 x 2 + x 4 = 3 x 1 + x 2 = 2 2x 3 + x 4 x 2 = 3 x 4 x 3 = a, x 4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla x 1 + x 2 = 2 2a + b x 2 = 3 b x 1 = 1 2a + 2b x 2 = 3 b x = ( 1 2a + 2b, 3 b, a, b) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 28
Jordanova metoda Gaussova eliminační metoda Pokračování příkladu Uvedenou přípravu lze provádět přímo v matici například tak, že sloupce odpovídající x 3 a x 4 převedeme za svislou čáru. Při převodu musíme změnit znaménka. ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0 1 3 0 1 3 0 1 ( ) 1 0 1 2 2 0 1 3 0 1 x 3 = a, x 4 = b; a, b jsou libovolná reálná čísla x = ( 1 2a + 2b, 3 b, a, b) Tento postup se nazývá Jordanova metoda. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 28
Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť determinant matice soustavy (1) je různý od nuly. Pak má systém (1) právě jedno řešení. Nechť D je determinant matice soustavy a D i jsou determinanty vzniklé z D nahrazením i-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Pak x i = D i D, i = 1,..., n Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 28
Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo Příklad x y = 4 x + y = 6 ( ) 1 1 A =, D = A 1 1 1 = 2 ( ) 4 1 A 1 =, D 6 1 1 = A = 10 ( ) 1 4 A 2 =, D 1 6 2 = A 2 = 2 x = D1 D = 5, y = D2 D = 1 x = (5, 1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 28
Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo Příklad x 1 2x 2 + x 3 = 0 3x 1 5x 2 2x 3 = 3 7x 1 3x 2 + x 3 = 16 D = D 2 = 1 2 1 3 5 2 7 3 1 1 0 1 3 3 2 7 16 1 = 49, D1 = = 98, D3 = 0 2 1 3 5 2 16 3 1 1 2 0 3 5 3 7 3 16 = 147 = 49 x = (3, 2, 1) x 1 = 147 49 98 49 = 3, x2 = = 2, x3 = 49 49 = 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 28
Obsah přednášky Příklady 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 28
Příklady k procvičení Příklady Vyřešte soustavy rovnic 1 2 3 2x + 3y + 3z = 1 5x + 3y + 2z = 1 x + 4y + 3z = 2 2x y 2z = 1 x y + z = 2 x 2y + 5z = 4 x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 2 2x 1 2x 2 + x 4 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 3x 4 = 6 3x 1 + 4x 2 x 3 + 2x 4 = 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 28
Příklady k procvičení Příklady Vyřešte soustavy rovnic 1 2 3 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 1 x 1 2x 2 + x 3 + 5x 4 = 5 x + y z = 0 3x + y + z = 0 x y 2z = 0 x + y z = 0 y + 2z 2u = 0 x + z u = 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 28
Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Základní označení Gaussova eliminační metoda Cramerovo pravidlo 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 28
Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 1: Příklad 2: příklad 3: 2x 4y + 3y = 1 x 2y + 4z = 3 3x y + 5z = 2 3x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 0 2x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 x 1 2x 2 + 2x 3 x 4 = 16 4x 1 2x 2 2x 3 + 3x 4 = 5 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 2x 5 = 1 3x 1 + x 3 x 4 + 4x 5 = 0 x 2 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 2 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 7 x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 + x 5 = 3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 28
Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 4: Příklad 5: Příklad 6: x 1 x 2 + x 3 + x 4 2x 5 = 0 2x 1 + x 2 x 3 x 4 + 2x 5 = 1 3x 1 + 3x 3 3x 3 3x 4 + 6x 5 = 2 4x 1 + 5x 2 5x 3 5x 4 + 10x 5 = 3 2x + y 2z = 0 x + 2y + 2z = 0 3x + y 4z = 0 2x y z = 0 x + y 2z = 0 x 2y + 2z = 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 28
Konec Následuje téma Funkce jedné proměnné. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 28 / 28