ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 Lineární rovnice a nerovnice Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Lineární rovnice a nerovnice 3 Obsah Lineární rovnice a nerovnice... 8 Lineární rovnice... 8 Lineární rovnice... 10... 10 Lineární rovnice... 11... 11 Lineární rovnice... 12... 12 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 14... 14 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 15... 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 16... 16 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 18... 18 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 19... 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 20... 20 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 26... 26 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 27

4 Lineární rovnice a nerovnice... 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 28... 28 Lineární nerovnice... 30 Lineární nerovnice... 31... 31 Lineární nerovnice... 32... 32 Lineární nerovnice... 33... 33 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 34 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 35... 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 36... 36 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 37... 37 Kvadratické rovnice a nerovnice... 40 Rovnice v součinovém tvaru... 40 Rovnice v součinovém tvaru... 41... 41 Rovnice v součinovém tvaru... 42... 42 Rovnice v součinovém tvaru... 43... 43 Kvadratická rovnice... 44 Kvadratická rovnice... 45

Lineární rovnice a nerovnice 5... 45 Kvadratická rovnice... 46... 46 Kvadratická rovnice... 47... 47 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 48 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 49... 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 50... 50 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 51... 51 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 52 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 54... 54 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 57... 57 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 59... 59 Umocňování rovnice... 61 Umocňování rovnice... 62... 62 Umocňování rovnice... 63... 63 Umocňování rovnice... 64... 64 Řešení rovnic užitím substituce... 66

6 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce... 67... 67 Řešení rovnic užitím substituce... 68... 68 Řešení rovnic užitím substituce... 70... 70 Soustavy rovnic a nerovnic... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 73... 73 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 76... 76 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 79... 79 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 83 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 84... 84 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 88... 88 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 92... 92 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 96 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 98... 98 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 100... 100 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 102

Lineární rovnice a nerovnice 7... 102 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické. 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 108... 108 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 111... 111 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 114... 114 Soustavy lineárních nerovnic... 116 Soustavy lineárních nerovnic... 117... 117 Soustavy lineárních nerovnic... 119... 119 Soustavy lineárních nerovnic... 121... 121 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 123 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 124... 124 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 126... 126 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 128... 128 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 130 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 130

8 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 131... 131 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 133... 133 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 136... 136 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

Lineární rovnice a nerovnice 9

10 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici 3 5 100. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3 5 100 10 3 5 10 :3 5 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 3 0. [ ] 2) Řešte rovnici 0,1 0,02 0. [ ] 3) Řešte rovnici 3 3 0. [1] 4) Řešte rovnici 0. [ ]

Lineární rovnice a nerovnice 11 Lineární rovnice Řešte rovnici 5 10 8 3. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 5 10 8 3 108 3 13 : 3 Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 2 3 5 2. [ ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,2 1,1 0,4. [0,6] 7) Řešte rovnici 3 3 5. [ 8) Řešte rovnici 3 10 3 8. [NŘ]

12 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 7 10 4 3 7 2 60 42 15 20 210 20 : Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici.. [12] [NŘ] []. [14]

Lineární rovnice a nerovnice 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru () a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.

14 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Zjistěte, zda rovnice 3 5 23 má řešení v množině racionálních čísel. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3 5 23 2 3 5 5 :3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 5 3 Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje. Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, zda rovnice 2 0 má řešení v množině racionálních čísel. [Ano, ] 2) Zjistěte, zda rovnice 0,01 0,002 0 má řešení v množině celých čísel. [Ne] 3) Zjistěte, zda rovnice 5 5 5 má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2] 4) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině reálných čísel. [Ne]

Lineární rovnice a nerovnice 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici 3 12 8 3 a proveďte zkoušku. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 3 12 8 3 128 5 15 : 5 Zkouška: L3 3 3 1291221 P3 8 3 324321 LP Výsledek řešení: 3 L3 3 3 1291221 P3 8 3 324321 LP Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 5 5 5 a proveďte zkoušku. [ P ] 6) Řešte rovnici 0,2 0,4 1,6 0,3 a proveďte zkoušku. [0,5; LP0,5] 7) Řešte rovnici 3 3 3 5 a proveďte zkoušku. [NŘ] 8) Řešte rovnici 3 2 5 2 a proveďte zkoušku. [ 2; L P4 2]

16 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici 7 2 a proveďte zkoušku. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 1 3 71 2 6 2 2 2 42 3 3 6 12 L5 51 3 79 P5 51 2 529 2 44 9 9 944 : Výsledek řešení: L5 51 3 79 P5 51 2 529 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 10) Řešte rovnici 11) Řešte rovnici 12) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. 24 a proveďte zkoušku. [4; LP5] [17; L P7] 10 a proveďte zkoušku. [8; L P0] 1 a proveďte zkoušku. [11; L P2]

Lineární rovnice a nerovnice 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : : Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: Přímky jsou různoběžné existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení. Přímky jsou rovnoběžné různé neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení. Přímky jsou totožné existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.

18 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici 0. Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl. 30 3 Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 2 8 0 3 3 2 8 0 8 2 8 :2 4 Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Výsledek řešení: 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [7; 4] 2) Řešte rovnici 10. [ ; 5] 3) Řešte rovnici 4) Řešte rovnici 6. [NŘ; 3] 3. [8; 8]

Lineární rovnice a nerovnice 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici: 1 2 2 3 2 2 Nejdříve stanovíme podmínky: 20 2 1 2 2 2 3 2 3 2 322 3 2 16 2 1 6 12 12 13 6 :6 13 6 Výsledek řešení: 13 6 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. 6) Řešte rovnici. [1; 0;1] [2; 0;8] 7) Řešte rovnici 1. [NŘ; 4] 8) Řešte rovnici. [ ; 2;6;3]

20 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte graficky rovnici 343. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: : 3 : 4 3 Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. 2 Výsledek řešení:

Lineární rovnice a nerovnice 21 Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici 3 3 3. 3 2

22 Lineární rovnice a nerovnice 10) Řešte graficky rovnici 233. 2

Lineární rovnice a nerovnice 23 11) Řešte graficky rovnici 214. 1

24 Lineární rovnice a nerovnice 12) Řešte graficky rovnici 2 3 2 1. NŘ

Lineární rovnice a nerovnice 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: a) pro 0 b) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 1.) 0 2.) 3.) 4.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

26 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení:, 3. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 1. [1] 2) Řešte rovnici 12. [12] 3) Řešte rovnici 0. [0] 4) Řešte rovnici 1. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení: 2, 4. Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 11 4. [7, 15] 6) Řešte rovnici 1 5. [4, 6] 7) Řešte rovnici 1 2. [3, 1] 8) Řešte rovnici 1 3. [NŘ]

28 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici 1 2 3 1. Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; 3 2 3 2 ;1 1; 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. 1 2 3 1 1231 3 4 1 4 3 5 :3 5 3 ; 3 2

Lineární rovnice a nerovnice 29 II. 1 2 3 1 1231 21 2 1 3 2 ;1 III. 1 2 3 1 1231 3 4 1 4 3 3 :3 11; Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru ; 1. Výsledek řešení: 5 3 ;1 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 1 3 5. ; 10) Řešte rovnici 2 1 3 4. 1 11) Řešte rovnici 3 2. 12) Řešte rovnici 1 3 2 1 1. ;

30 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, kde,. Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

Lineární rovnice a nerovnice 31 Lineární nerovnice Řešte rovnici 2 5 100. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. 2 5 100 10 2 5 10 :2 5 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 2 0. [ ; ] 2) Řešte rovnici 0,1 0,002 0. [ ; ] 3) Řešte rovnici 3 3 0. [ ; ] 4) Řešte rovnici 0. [ ; ]

32 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Řešte rovnici 10 20 16 6. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice. 10 20 16 6 20 16 6 26 : 6 Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 4 2 5 3. [ ; ] 6) Řešte rovnici 0,1 0,3 1,1 0,7. [; ] 7) Řešte rovnici 2 2 3. [ ; ] 8) Řešte rovnici 2 10 2 8. []

Lineární rovnice a nerovnice 33 Lineární nerovnice Řešte rovnici 7. Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. 7 5 2 2 7 30 3 42 15 20 210 20 : Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ;. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici 11. 10) Řešte nerovnici 11) Řešte nerovnici 12) Řešte nerovnici. [ ; ] [NŘ]. []. [ ; ]

34 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla je definována takto: c) pro 0 d) pro 0 Věta: Pro libovolná čísla, platí: 5.) 0 6.) 7.) 8.), 0 Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla, rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

Lineární rovnice a nerovnice 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 3. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval: 3; 3. Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici 1. [1; 1] 2) Řešte nerovnici 12. [ ; 12 12; ] 3) Řešte nerovnici 0. [NŘ] 4) Řešte nerovnici 1. []

36 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 1 3. Absolutní hodnota z čísla 1 je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: ; 2 4;. Výsledek řešení: ; ; Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici 11 4. [ ; 7 15; ] 6) Řešte nerovnici 1 5. [6; 4] 7) Řešte nerovnici 1 2. [ ; 1 3; ] 8) Řešte nerovnici 1 3. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 37 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici 1 2 3 1. Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: 1, ; 3 2 3 2 ;1 1; 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. 1 2 3 1 1231 3 4 1 4 3 5 :3 5 3 ; 5 3

38 Lineární rovnice a nerovnice Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ; 5 3 ; 3 2 ; 5 3 II. 1 2 3 1 1231 21 2 1 1; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: III. 1; 3 ;1 1 2 1 2 3 1 1231 3 4 1 4 3 3 :3 1 1; Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: 1; 1; 1; Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: ; 5 3 1 1; ; 5 1; 3 Výsledek řešení: ; 5 1; 3

Lineární rovnice a nerovnice 39 Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici 1 3 5. ; ; 10) Řešte nerovnici 2 1 3 4. 1 11) Řešte nerovnici 3 2. ; 12) Řešte nerovnici 1 3 2 1 1. ; ;

40 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde výrazy,,, jsou lineární dvojčleny. Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.

Lineární rovnice a nerovnice 41 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici 10 2 1 0. Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10;. Výsledek řešení: 10; 1 2 Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici 5 3 1 0. [ 5; ] 2) Řešte rovnici 2 0. [0; ] 3) Řešte rovnici 4 3 0. [4; ] 4) Řešte rovnici 2 3 3 2 0. [ ; ]

42 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici 250. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru:. Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo 5. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 5; 5. Výsledek řešení: 5; 5 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici 4 490. [ ; ] 6) Řešte rovnici 20. [ 2; 2] 7) Řešte rovnici 100 144. [ ; ] 8) Řešte rovnici 21 7 0. [ 3; 3]

Lineární rovnice a nerovnice 43 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici 3 5 11 10. Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b).. Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 15 8 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici 1 12 1. [1; 1] 10) Řešte rovnici 25 5. [4; 5] 11) Řešte rovnici 14 9 0. [ ; ] 12) Řešte rovnici 4 16 9 0. [NŘ]

44 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta: Řešení kvadratické rovnice 0 je určeno následujícím vztahem:, 4 2 Poznámka 1: Výraz 4 nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a) 0 - rovnice má v oboru dvě různá řešení, b) 0 - rovnice má v oboru jedno dvojnásobné řešení, c) 0 - rovnice nemá v oboru žádné řešení. Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice 0 se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).

Lineární rovnice a nerovnice 45 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 4 50. Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: 4 5 0. Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c) 0, nebo d) 4 5 0. Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 0;. Výsledek řešení: 0; 5 4 Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 2 15 0. [ 0; ] 2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0. [ 0; ] 3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 20. [ 0; ] 4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu 0,1 1,50. [ 0; 15]

46 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 250. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: 2 52 5 0. Je roven nule právě tehdy, když: c) 2 5 0, nebo d) 2 5 0. Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru ;. Výsledek řešení: 5 2 ; 5 2 Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 490. [ ; ] 6) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 121 0. [ ; ] 7) Řešte ryze kvadratickou rovnici 4 30. [ ; ] 8) Řešte ryze kvadratickou rovnici 490. [NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]

Lineární rovnice a nerovnice 47 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici 7300. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme: 1, 7, 30. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme:, 4 2 7 7 4 1 30 2 1, 7 169 2 713 2 10; 3 7 49 120 2 Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 10; 3. Výsledek řešení: 10; 3 Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici 2 120 0. [ 12; 10] 10) Řešte kvadratickou rovnici 7200. [NŘ] 11) Řešte kvadratickou rovnici 0. [ 5; 5; 1; 3] 12) Řešte kvadratickou rovnici 210. [ 1]

48 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta 1: Pro kořeny, kvadratické rovnice 0 platí následující vztahy:,. Věta 2: Jsou-li čísla, kořeny kvadratické rovnice 0, pak platí:. Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.

Lineární rovnice a nerovnice 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b 5 1 5 c 6 1 6 Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 2; 3. Výsledek řešení: 2; 3 Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 11 30 0. [5; 6] 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 20. [1; 2] 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 7120. [3; 4] 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice 560. [2; 3]

50 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 3. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: b 23b Úpravou uvedených vztahů dostáváme: c 2 3c a b 1b 11 1 c 6c 6 1 Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme:,, Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru: 60. Výsledek řešení: 60 Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 5. [3 16 5 0] 6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 0. [3 20] 7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 2. [ 40] 8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny 2 3 2 3. [ 410]

Lineární rovnice a nerovnice 51 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Kvadratický trojčlen 730 rozložte na součin kořenových činitelů. Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:,,. Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme:, 4 2 7 7 4 1 30 2 1, 7 169 2 Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: Po úpravě: 713 2 10; 3 730 1 10 3 730 10 3 7 49 120 2 Výsledek řešení: 730 10 3 Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen 2 120 rozložte na součin kořenových činitelů. [ 2 120 12 10] 10) Kvadratický trojčlen 720 rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit] 11) Kvadratický trojčlen 0 5 rozložte na součin kořenových činitelů. [ 0 5 5 5] 12) Kvadratický trojčlen 21 rozložte na součin kořenových činitelů. [ 21 1 1]

52 Lineární rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,, ; 0. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru. Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: 0, kde,. Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.