VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají spojité parciální derivace v definičním oboru, který je otevřenou množinou. 1. F (x, y = f(g(x, y, f = f(t. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, ale vnější funkce f je funkcí pouze jedné proměnné t. Parciální derivace vypočteme podle vzorce: Příklad. 1. F (x, y = f(r, r = x 2 + y 2. = f (t g a = f (t g. = f (r r = f x (r x 2 + y = f (r x 2 r, Derivace 2. řádu = f (r r = f y (r x 2 + y = f (r y 2 r,. 2 ( F r 2 2 = f (r + f (r 2 r 2 = f (r x2 r 2 + f (r r2 x 2 r 3 ; 2 = f (r ( r 2 + f (r 2 r 2 = f (r y2 r 2 + f (r r2 y 2 r 3 ; = f (r r r + f (r 2 r 2 = f (r xy r 2 + f (r xy r 3. 2. F (x = f(g(x, h(x, f = f(u, v. Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí dvou proměnných u a v. Derivace je obyčejnou derivací funkce jedné proměnné a vypočteme ji podle vzorce: Je totiž pro b = (g(x, h(x F (x = g (x + h (x. 1 [F (x + F (x] = 1 [f(g(x +, h(x + f(g(x, h(x] =. ( 1 (b[g(x + g(x] + (b[h(x + h(x] (bg (x + (bh (x 17
3. F (x, y = f(g(x, y, h(x, y, f = f(u, v. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y a její parciální derivace složené funkce vypočteme podle vzorce: ( = g +, Příklad. 3. F (x, y = f(u, v, u = x 2 y 2, v = xy. Je = 2x + y, Parciální derivace 2. řádu: ( = g + = ( 2y + x. 2 2 2 (2x2 + 2 f 2x.y +.2 + 2 f 2x.y + 2 f 2 y2 +.0; = 2 f 2 ( 2y2 + 2 f ( 2y.x +.( 2 + 2 f ( 2y.x + 2 f 2 x2 +.0; 2 ( 2y.2x + 2 f (2x2 +.0 + 2 f ( 2y2 + 2 f xy + 2.1. 4. F (x = f(g(x, h(x, k(x, f = f(u, v, w. Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Derivaci funkce F vypočteme podle vzorce: F (x = g (x + h (x + w k (x. 5. F (x, y = f(g(x, y, h(x, y, k(x, y, f = f(u, v, w. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Parciální derivace funkce F vypočteme podle vzorce: = g + + k w, = g + + k w. Všechny případy lze shrnout do obecného vzorce. Vzorec pro derivaci složené funkce. Nechť F (x 1, x 2,..., x n = f(y 1, y 2,..., y m, kde y k = g k (x 1, x 2,..., x n, a D gk, 1 k m, b = (g 1 (a, g 2 (a,..., g m (a D f, pak parciální derivace funkce F podle proměnných x i, 1 i n vypočteme podle vzorce i (a = m k=1 k (b g k i (a, 1 i n, pokud jsou parciální derivace uvedené ve vzorci spojité v bodě a, resp. v bodě b. 18
18. Parciální derivace 2. řádu Výpočet parciálních derivací druhého a vyšších řádů provádíme podle stejného pravidla jako počítáme derivace první. Derivujeme ale nyní výraz, který je součtem součinů činitelů, z nichž jsou někteří složenou funkcí a ostatní nikoliv. 6. F (x, y = f(g(x, y, h(x, y, f = f(u, v. = g + a = g + Budeme počítat parciální derivaci 2 F 2. Je ovšem = 2 = ( g + ( = ( g ( g + + ( ( + = ( Nyní použijeme vzorec ( na první z činitelů, jenom místo funkce F uvažujeme funkci resp. funkci a dostaneme 2 ( F 2 2 = f g 2 + 2 f g + 2 ( g 2 2 + f g + 2 f 2 + 2 h 2 = 2 ( g 2 + 2 2 f Obdobně vypočteme derivace g + 2 f 2 ( 2 + 2 g 2 + 2 h 2, a 2 2 ( g 2 + 2 2 f g g 2 + 2 f ( g + g g + 2 f 2 + 2 f 2 ( 2 + 2 g 2 + 2 h 2 + 2 g + 2 h. 19
19. Transformace souřadnic Polární souřadnice y y (x, y 0 ϕ x x (x, y - souřadnice bodu v R 2 (, ϕ - polární souřadnice Transformační vztahy: x = cos ϕ, > 0, y = sin ϕ, α < ϕ < α + 2π 7. F (x, y = f(, ϕ, kde, ϕ jsou polární souřadnice definované vztahy Podle vzorců z odstavce 1 je ( x = cos ϕ, y = sin ϕ, > 0, ϕ R. = +, = +. Vzorec obsahuje ale derivace proměnných, ϕ podle proměnných x, y. Tyto derivace vypočteme ze vztahů, kterými se převádí původní souřadnice (x, y na souřadnice (, ϕ. Budeme derivovat rovnice ( postupně podle proměnných x, y pomocí vzorců z odstavce 1, jako by proměnné, ϕ byly funkcemi proměnných x, y. Dostaneme 1 = 0 = sin ϕ ( cos ϕ 0 = 1 = sin ϕ ( cos ϕ = cos ϕ = sin ϕ ; = sin ϕ = cos ϕ. 20
Je tedy ( = sin ϕ, = cos ϕ. Výpočet parciálních derivací druhého řádu provedeme obdobně jako jsme prováděli výpočet v odstavci 6. Budeme derivovat vyjádření ( a derivace druhého řádu proměnných, ϕ podle proměnných x, y získáme derivováním vztahů ( a jejich opětovným použitím. Je např. 2 2 = (cos ϕ = sin ϕ = sin2 ϕ 2, 2 2 = (sin ϕ = cos ϕ = cos2 ϕ 2, 2 ϕ 2 = ( sin ϕ = 1 ( 2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ = 2 2, 2 ϕ 2 = ( cos ϕ = 1 ( 2 sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ = 2 2. Při použití výpočtu uvedených derivací určíme obdobným postupem jako v odstavci 6 derivováním vztahů ( vyjádření 2 2 cos2 ϕ 2 2 f + sin ϕ ( sin ϕ 1 2 Po úpravě dostaneme vyjádření cos ϕ sin ϕ + 2 f 2 sin 2 ϕ 2 + ( sin ϕ sin ϕ cos ϕ 2 2 cos2 ϕ 2 2 f cos ϕ sin ϕ + 2 f sin 2 ϕ 2 2 + sin 2 ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ 2. a obdobně odvodíme vyjádření 2 2 sin2 ϕ + 2 2 f cos ϕ sin ϕ + 2 f cos 2 ϕ 2 2 + cos 2 ϕ 2 cos ϕ sin ϕ 2. Laplaceův operátor je definován vzorcem F (x, y = 2 F 2 + 2 F 2. Po transfomaci do polárních souřadnic dostaneme pro funkci F (x, y = f(, ϕ vyjádření Pro transformaci, kde dostaneme tedy pro n = 2 a pro n = 3 F (x, y 2 + 1 2 f 2 2 + 1. F (x = f(r, r = x = n k=1 F (x = f (r + n 1 f (r, r F (x, y = f (r + 1 r f (r F (x, y, z = f (r + 2 r f (r. x 2 k. 21