O řešení diferenční rovnice yn+), 5yn+)+0, 785yn) xn + ) xn) Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. a Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. V příspěvku je řešena rovnice Abstrakt yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn) pomocí dvou různých metod - jednak metodou transformace Z a jednak metodou konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Získané výsledky jsou vzájemně porovnávány. Při výpočtech předpokládáme, že posloupnost {xn)} je posloupností charakterizující jednotkový impuls, tj. xn) δn), kde δ0) a δn) 0 pro n 0. Úvod V tomto příspěvku budeme analyzovat dva způsoby řešení diferenční rovnice yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn). ) Řešení rovnice ) bude nalezeno pomocí transformace Z a dále užitím teoretické metody konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Tato diferenční rovnice ) může popisovat vlastnosti lineárního časově invariantního Linear Time Invariant LTI) diskrétního systému.řádu, který s uvedenými koeficienty má kmitočtové vlastnosti číslicového filtru IIR typu pásmové zádrže. Číslicový filtr je získán po kvantování a převodu diskrétních signálů na číslicové signály pomocí vhodného kódování. Diferenční rovnice tvaru ) mají velký význam při implementaci LTI diskrétních systémů v mikroprocesorech a signálových procesorech zvláště s aritmetikou s pevnou řádovou čárkou.
Některé komplexní vztahy Při obou způsobech řešení budeme využívat některé vlastnosti kořenů kvadratické rovnice z, 5z + 0, 785 0. ) Rovnice ) má komplexně sdružené kořeny z,, které budeme též značit jako p,, určené vzorcem z, p,, 5 ±, 5 0, 785 Platí tedy, 5 ±, 565, 5 ±, 565 3, 5, 5 ± j, 5 p 0, 65 + j0, 65, p 0, 65 j0, 65. Při úpravách budeme užívat tyto vztahy: j 0, 65, 5j, p p j 0, 65, 5j, ρ p p 0, 65 + 0, 65 0, 39065 0, 65 0, 65 ± j0, 65. 3) 0, 785. 0, 88388376, ) p p 0, 65 + 0, 65 0, 65 0, 785 ρ, p + p 0, 65, 5. 5) V dalším textu předpokládáme, že posloupnost {xn)} je posloupností, charakterizující jednotkový impuls, tedy, že xn) δn), kde δ0) a δn) 0 pro n 0. V takovém případě platí x0) δ0), x) δ) 0. 3 Řešení metodou transformace Z Připomeňme, že transformací Z dané posloupnosti {fn)} nazýváme funkci F z) n0 fn) z n,
kde z C, za předpokladu, že nekonečná řada je konvergentní pro některé z 0. Označme transformaci Z hledané posloupnosti {yn)} jako funkci Y z), tj. Z{yn)} Y z) a transformaci Z posloupnosti {xn)} jako funkci Xz). Vzhledem k výše uvedené poznámce o vlastnostech posloupnosti {xn)} snadno přímo z definice určíme, že Z{xn)} Xz). Některé části dalšího výkladu jsou převzaty z knihy [] nebo jsou úvahami zde provedenými motivovány. Provedeme transformaci Z rovnice ). Přitom využijeme známý vztah pro translaci vlevo Z{fn + k)} z k F z) k m0 kde k > 0 je pevné celé číslo. Podle tohoto vzorce je a Z{yn + )} z Y z) z y0) z 0 Z{yn + )} zy z) z y0) z 0 Z{xn + )} z Xz) z x0) z 0 Po transformaci Z rovnice ) dostáváme ) fm), z m + y) ) z Y z) z y0) zy), z zy z) zy0) + x) ) z Xz) z. z z Y z) z y0) zy), 5zY z) +, 5zy0) + 0, 785Y z) odkud po úpravě z Xz) z Xz), z Y z) z, 5z + 0, 785 Xz) + [ z, 5z)y0) + zy) z ]. z, 5z + 0, 785 Přenosová funkce Hz) je rovna Hz) z z, 5z + 0, 785 A z) B z), kde A z) z, B z) z, 5z + 0, 785, 3
a platí pro ni viz ), 3)) Hz) z )z + ) z 0, 65 j0, 65)z 0, 65 + j0, 65) z )z + ) z p )z p ). 6) 3. Impulsní charakteristika Impulsní charakteristika je definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za předpokladu, že systém byl pro n < 0 v klidu, tj. při nulové přirozené odezvě. Přenosová funkce Hz) a impulsní charakteristika hn) tvoří pár transformace Z, tj. Z{hn)} Hz), Z {Hz)} hn). Impulsní charakteristiku můžeme vypočítat pomocí vztahu hn) Hz)z n dz, 7) πj C kde C je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka, obsahující uvnitř oblasti, kterou ohraničuje všechny konečné singulární body integrandu. Výpočet je nutné rozdělit na dvě části, a to na výpočet pro n 0, kdy existují tři singulární body integrandu uvnitř křivky C a na výpočet pro n, kdy existují dva singulární body integrandu uvnitř křivky C. Před výpočtem ještě připomeňme reziduovou větu, která umožňuje vypočítat integrály tvaru gz) dz, l kde l je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka a gz) je komplexní funkce, holomorfní uvnitř oblasti D ohraničené křivkou l a na hranici oblasti D vyjma konečného počtu singulárních bodů z, z,..., z s, ležících uvnitř oblasti D: gz) dz πj ) rez gz) zz + rez gz) zz + + rez gz) zzs. l V tomto vzorci je symbolem rez značeno tzv. reziduum funkce. V případě, že je singulární bod z z 0 pólem prvního řádu funkce gz), je výpočet jejího rezidua v tomto bodě snadný. Lze užít například vztah, který je použit v dalších výpočtech, rez gz) zz0 lim z z0 z z 0 )gz). 8)
3.. Výpočet pro n 0 V tomto případě má integrand tři singulární body z 0, z p a z 3 p. Proto podle 6), 7), reziduové věty a vztahu 8) dostáváme h0) Hz)z dz πj C rez Hz) + rez Hz) + rez Hz) z z0 z zp z zp zz )z + ) lim z 0 z p )z p )z + lim z p )z )z + ) + z p z p )z p )z z p )z )z + ) lim + p z p z p )z p )z p p p p p ) + p p ) p p ) + p p ) p p ) p p p p ) p p p p ) p p p p ). 3.. Výpočet pro n V tomto případě má integrand jen dva singulární body z p a z p. Podle 6), 7), reziduové věty a vztahu 8) dostáváme hn) Hz)z n dz πj C rez Hz)z n zp + rez Hz)z n zp z p )z )z + )z n z p )z )z + )z n lim + lim z p z p )z p ) z p z p )z p ) p )p + )p n p p Dále budeme upravovat výraz hn) p )p n p p + p )p + )p n p )p n p p Vyjádřeme komplexní čísla p, p v exponenciálním tvaru: p 0, 65 + j0, 65 ρ e πj)/, p 0, 65 j0, 65 ρ e πj)/, + p )p n. + p )p n. 9) 5
kde dle ) ρ. 0, 88388376. Pak podle Moivreovy věty platí Upravme ještě výraz a p k ρ k e kπj)/ ρ k cos kπ + j sin kπ ), p k ρ k e kπj)/ ρ k cos kπ j sin kπ ). Potom úprava výrazu 9) dává hn) p )p n j, 5, 5j j, 5 j p p, 5. + p )p n p p j ) p n+ p n p n+ + p n, 5 ρ n+ e jn+)π/ ρ n e jn )π/ ρ n+ e jn+)π/ + ρ n e jn )π/). 6
Rozepsáním dle Moivreovy věty) dostáváme hn) jρ n [ ρ e jn+)π/ ρ e jn )π/ ρ e jn+)π/ + ρ e jn )π/] jρn, 5, 5 [ ρ cosn + ) π ) j sinn + )π cosn ) π ) ρ j sinn )π ρ cosn + ) π ) + j sinn + )π + cosn ) π ) ] ρ + j sinn )π jρ n [ jρ sinn + ) π ], 5 + j ρ sinn )π ρ n, 5 ρ n [ ρ sin nπ, 5 cos π + cos nπ sin π ) [ ρ n ρ, 5 ρ ρ n, 5 [ ρ sinn + ) π ρ sinn )π ρ ) sin nπ + ρ ρ) + ] sin nπ cos π cos nπ sin π ) ] ρ + ρ ) cos nπ ρ + ρ) ρ ρ ρ ρ) + ρ + ) sin nπ ρ + + ρ ρ + ρ + ρ ρ) ) cos nπ. ρ Najdeme číselná vyjádření ] ρ ρ ρ ρ) + ρ + ) ρ 0, 787395 0, 787395 +, 05539 0, 787373, 5 0, 8930, ρ + ρ ρ ρ) + ρ + ) ρ, 05539 0, 99535. 0, 787395 +, 05539 7
a ρ + ρ +, 5 ρ) ρ), 5, 97868., 5 Potom hn), 97868 0, 88388376 n [ 0, 8930 sin nπ + 0, 99535 cos nπ ]. Najdeme úhel α 0, π/) takový, aby Tomuto požadavku vyhovuje úhel sin α 0, 8930, cos α 0, 99535. α 0, 958 [rad]. Proto s použitím známého součtového vzorce cos x cos y sin x sin y cosx + y) bude [ hn), 97868 0, 88388376 n sin α sin nπ + cos α cos nπ ] ) nπ, 97868 0, 88388376 n cos + α. Pro n je tedy impulsní charakteristika dána vztahem ) nπ hn), 97868 0, 88388376 n cos + 0, 958. Uveďme několik prvních členů posloupnosti impulsní charakteristiky: h0), ) π h), 97868 0, 8838837 cos + 0, 958, 9999977, ) π h), 97868 0, 8838837 cos + 0, 958 0, 875005, ) 3π h3), 97868 0, 8838837 3 cos + 0, 958, 9999986, h), 97868 0, 8838837 cos π + 0, 958), 396053, h5) ) 5π, 97868 0, 8838837 5 cos + 0, 958 0, 769396, h6) ) 3π, 97868 0, 8838837 6 cos + 0, 958 0, 335, h7) ) 7π, 97868 0, 8838837 7 cos + 0, 958 0, 76939 8
a po zaokrouhlení na pět desetinných míst) {hn)} {;, 5000; 0, 875;, 5000;, 3960; 0, 769; 0, 335; 0, 769;... }. Řešení metodou teorie diferenčních rovnic Při řešení rovnice ) užijeme postup, popsaný například v knize []. Tento postup stanoví řešení nehomogenní diferenční rovnice jako součet obecného řešení přidružené homogenní rovnice a některého partikulárního) řešení nehomogenní rovnice. Jde-li nám o konkrétní řešení, určené počátečními podmínkami, pak pomocí nich stanovíme konkrétní volbu libovolných konstant ve výše citovaném součtu.. Stanovení počátečních podmínek Najdeme impulsní charakteristiku jako některé partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice ). Protože se jedná o některé konkrétní řešení této rovnice, je pro jeho vyčlenění z množiny všech řešení nutné stanovit odpovídající počáteční podmínky. Protože je impulsní charakteristika definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za podmínky, že systém byl pro n < 0 v klidu kauzální systém), tj. při nulové přirozené odezvě, je zřejmé, že platí yn) 0, n,, 3,.... Rovnice ) je diferenční rovnicí druhého řádu. V souladu s teorií lineárních diferenčních rovnic je každé partikulární řešení jednoznačně určeno dvěma počátečními podmínkami. Postup vedoucí ke zjištění dvojice počátečních hodnot y0) a y) je následující. Dosazením n do rovnice ) dostáváme y0), 5y ) + 0, 785y ) x0) x ). 0) Protože jsou známy hodnoty y ) 0, y ) 0, x ) 0 a x0) dostáváme ze vztahu 0) hodnotu y0). Dále dosazením n do rovnice ) dostáváme y), 5y0) + 0, 785y ) x) x ). ) Protože jsou známy hodnoty y ) 0, x) 0, x ) 0 a právě určená hodnota y0), nalézáme ze vztahu ) hodnotu y), 5y0), 5. Dvě počáteční podmínky tedy jsou y0), y), 5. ) 9
. Obecné řešení příslušné homogenní rovnice Stanovme obecné řešení homogenní rovnice odpovídající rovnici ), tj. rovnice yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) 0. 3) Jak již bylo uvedeno výše, popis užité metody lze nalézt, například v knize []. Nejprve je nutné vyřešit odpovídající charakteristickou rovnici Její kořeny jsou λ, 5λ + 0, 785 0. λ p 0, 65 + j0, 65, λ p 0, 65 j0, 65. Pak má homogenní rovnice 3) dvojici lineárně nezávislých řešení Obecné řešení homogenní rovnice je y n) p n, y n) p n. ) yn) C y n) + C y n) C p n + C p n, kde C a C jsou libovolné konstanty a n 0,,,.....3 Partikulární řešení nehomogenní rovnice Nyní najděme partikulární řešení výchozí rovnice ), tj. rovnice kde jsme označili yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) gn), gn) xn + ) xn). Toto řešení budeme hledat metodou variace konstant přitom použijeme některé vztahy uvedené v knize [, str.76, 77]). Partikulární řešení y p n) rovnice ) hledáme ve tvaru y p n) u n)y n) + u n)y n), kde y n) a y n) je dvojice lineárně nezávislých řešení ) příslušné homogenní rovnice 3), tj. y p n) u n)p n + u n)p n 5) 0
a u n), u n) jsou neznámé funkce, pro které platí viz vzorce..) a..) citované knihy) n gr)y r + ) u n), 6) r0 W r + ) u n) n r0 gr)y r + ) W r + ). 7) Výraz W r + ) je determinantem nazývaný Casoratián ) sestaveným z lineárně nezávislých řešení y r + ) p r+, y r + ) p r+, tj. p r+ p r+ W r + ) pr+ p r+ ). p r+ p r+.3. Nalezení posloupností funkcí u n), u n) Nyní se zaměříme na nalezení posloupností u n) a u n), definovaných vzorci 6) a 7). Předem uveďme, že v teorii diferenčních rovnic platí tato úmluva která často umožňuje zapisovat vzorce obsahující součty nebo součiny v pohodlném tvaru). Máme-li součet nebo součin s ss a s, s ss a s, kde {a s } je daná posloupnost a s < s horní index je menší než dolní), potom deklarujeme, že s ss a s 0, s ss a s. Poznamenejme, že posloupnost {a p } v této úmluvě nehraje žádnou roli a nebylo zapotřebí ji vůbec zapisovat. Vraťme se k uvažované rovnici. Je-li n 0, pak podle přijaté úmluvy je n r0 0, r0 a proto vzorce 6), 7) vedou k hodnotám u 0) u 0) 0. Snadno určíme dle definice jednotkového impulsu), že g0) a gr) 0, je-li r. Hodnota Casoratiánu pro r 0 je W ) p p ).
Potom je pro každé n a u n) g0)y ) W ) u n) g0)y ) W ) p p p ) p ) p p p ) p )..3. Tvar partikulárního řešení Dosazením za u n) a u n) do 5) dostáváme partikulární řešení y p n) 0 pro n 0, p n p ) p n pn p ) p n.3.3 Obecné řešení nehomogenní rovnice ) Obecné řešení rovnice ) má tvar pro n. yn) C p n + C p n + y p n), 8) kde y p n) je partikulární řešení nalezené v předchozí části a C, C jsou libovolné konstanty..3. Řešení nehomogenní rovnice ) s počátečními podmínkami ) Na závěr nalezneme v množině všech řešení 8) to, které vyhovuje počátečním podmínkám ). Pro n 0 dostáváme Pro n dostáváme y0) C p 0 + C p 0 + y p 0) C + C. y) C p + C p + y p ) C p + C p p0 p 0 C p + C p, 5. Konstanty C a C určíme jako řešení systému dvou rovnic o dvou neznámých: Jeho řešením dostáváme C + C, C p + C p, 5. C p p ), 5 p, C ), 5 p,
odkud s užitím 5) a Hledané řešení má tvar C, 5 p p p p p p C, 5 p p. yn) C p n + C p n + y p n) Ze vztahu 9) snadno nalézáme, že pn+ + pn+ + y p n). 9) p p a pro n y0) C p 0 + C p 0 + y p 0) p p p + p yn) C p n + C p n + y p n) Impulsní charakteristika je nalezena..3.5 Srovnání výsledků pn+ p p + pn+ pn Porovnáním se vztahem 9) se přesvědčujeme, že opravdu platí {hn)} {yn)}, p n. protože a pro n hn) p )p n p p 5 Závěr h0) y0) + p )p n p n+ p p + pn+ pn p n yn). Při praktické implementaci algoritmů diskrétních systémů v mikroprocesorech se z hlediska malé citlivosti na kvantovací vlivy LTI systémy vyššího řádu realizují jako kaskádní nebo paralelní spojení dílčích sekcí. a. řádu []. Pro 3
testování správnosti algoritmů například v jazyce signálového procesoru asembleru) je vhodné znát impulsní charakteristiku a tu lze výhodně vyřešit například pomocí transformace Z. Ovšem při stálém zvyšování rychlosti zpracování zvyšování kmitočtu hodinových impulsů) a využívání stále více paralelismu v architektuře signálových procesorů architektura typu VLIW Very Long Instruction Word) a princip SIMD Single Instruction Multiple Data)) nám nestačí pouze znalost dílčích charakteristik diskrétního systému, ale potřebujeme znát úplné řešení diferenčních rovnic, které vlastně představují rekurzivní algoritmus pro výpočet. To vede zvláště k tomu, abychom byli schopni ošetřit přechodné děje vznikající při náhlých časových změnách vstupních signálů. Poděkování Tento článek byl připraven v rámci řešení grantových projektů GAČR No 0/0/097 a GAČR No 0/0/0580. Reference [] Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Second Edition, Springer, 999. [] Vích, R., Smékal, Z., Číslicové filtry, Academia, 000. Autoři Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc., ústav matematiky, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 5 355, email: diblik@feec.vutbr.cz Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc., ústav telekomunikací, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 5 97, email: smekal@feec.vutbr.cz