Výfučtení: Geometrické útvry zorzení V geometrii očs nrzíme n to, že některé geometrické orzce vykzují jistou symetrii. Popřípdě můžeme slyšet, že nějké dv útvry jsou si podoné. V tomto Výfučtení udeme hovořit právě o geometrických opercích, které se symetriemi podonostmi úzce souvisí. Zákldní geometrické útvry Úvodem si připomeňme zákldní dvourozměrné geometrické útvry jejich zjímvé vlstnosti. Kružnice kruhy Víte, jký je rozdíl mezi kruhem kružnicí? Jednoduše řečeno, kruh je kružnicí ohrničen. Z toho vyplývá, že kružnice nemá osh, le jen ovod, kdežto kruh má jk osh, tk i ovod. Pro ovod kruhu (resp. kružnice) osh kruhu o poloměru r pltí o = 2πr, S = πr 2. Známe i význčné kružnice, které jsou opsné neo vepsné nějkému orzci (nejčstěji se setkáte s opisováním kružnice trojúhelníkům neo čtyřúhelníkům). Vepsná kružnice se dotýká orzce zevnitř v jednom odě kždé jeho strny. Střed vepsné kružnice se nchází v průsečíku os vnitřních úhlů tohoto orzce. Jko opsnou kružnici oznčujeme tkovou, n níž leží všechny vrcholy orzce. Existují tedy i orzce, kterým kružnici opst nelze (žádná kružnice splňující uvedenou podmínku neexistuje). Pltí tvrzení, že všem trojúhelníkům lze opst kružnici. (Její střed leží v průsečíku os jeho strn.) o se týká čtyřúhelníků, ne všem jde opst neo vepst kružnice (zkuste si nějký příkld tře jen nčrtnout). Speciální opsné kružnici se říká Thletov kružnice, podle řeckého filosof geometr Thlét z Milétu. Oznčíme-li průměr kružnice, pk pltí, že liovolná poloh odu n olouku kružnice (mimo ody ) vytvoří prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu (viz orázek 1). Stejně tk pltí, že opíšeme-li prvoúhlému trojúhelníku kružnici, ude přepon jejím průměrem. Střed Thletovy kružnice pk splývá se středem přepony prvoúhlého trojúhelníku, kterému je opsná. Čtyřúhelníky Čtyřúhelníky jsou útvry se čtyřmi vrcholy, přičemž součet jejich vnitřních úhlů je 360. Dělit čtyřúhelníky se dá podle více kritérií. Pokud se víme o vztzích pltících mezi jednotlivými strnmi, přípdně úhlopříčkmi čtyřúhelníku, dělíme je n rovnoěžníky, deltoidy lichoěžníky. Můžeme se le vit o čtyřúhelnících i ve spojitosti s právě zmíněnými kružnicemi opsnými vepsnými. Čtyřúhelníkům, kterým kružnici opst lze, se říká tětivové. Tkovýto útvr pk splňuje, že součet dvou protějších vnitřních úhlů je roven součtu zylých dvou. (Díky zmíněnému celkovému součtu vnitřních úhlů víme, že součet dvou protějších vnitřních úhlů má velikost 180.) 1
S Or. 1: Thletov kružnice Čtyřúhelníkům, kterým jde kružnice vepst, říkáme tečnové. U nich pltí, že součet délek jeho protějších strn je stejný jko součet zylých protějších strn. 1 Rovnoěžníky mjí čtyři strny tvořeny dvěm dvojicemi nvzájem rovnoěžných strn. Mezi rovnoěžníky ptří prvoúhelníky (čtverce, odélníky) kosoúhelníky (kosočtverce kosodélníky). Oecně pltí, že úhly rovnoěžníků nemusejí ýt prvé, všk protilehlé úhly mjí vždy stejnou velikost. Kždý rovnoěžník má čtyři výšky. Výšk je úsečk kolmá n strnu, n kterou je veden z nějkého vrcholu orzce, její délk v tomto přípdě odpovídá kolmé vzdálenosti protilehlých strn. Zvedení výšek jkožto kolmých vzdáleností se nám velice hodí tře při výpočtu oshu rovnoěžníku, viz níže. Úhlopříčk je úsečk spojující dv protilehlé vrcholy kždý rovnoěžník má tedy dvě uhlopříčky, které se nvzájem díky rovnoěžnosti půlí. Nvíc v kosočtverci čtverci jsou úhlopříčky n see kolmé. Dále pk čtverec odélník mjí oě úhlopříčky stejně dlouhé. Osh rovnoěžníku vypočítáme tk, že vynásoíme délku jedné strny s výškou n ni kolmou, viz orázek 2: S = v = v = cv c = dv d. D v α α Or. 2: N orázku vidíme, že pokud ychom si přemístili trojúhelník s úhlem α vprvo do míst vyznčených čárkovně, z kosého útvru se stne prvoúhlý se strnmi o velikostech v. Tím pádem můžeme počítt jeho osh jko osh prvoúhelníku, tedy S = v. 1 Tzv. dvojstředový čtyřúhelník je tkový, kterému lze zároveň vepst i opst kružnice, což není zcel ěžná vlstnost. Nejjednodušším příkldem dvojstředového čtyřúhelníku je čtverec. 2
Dlší skupin čtyřúhelníků jsou různoěžníky, mezi které ptří deltoidy. Deltoid je osově symetrický podle právě jedné z úhlopříček čtyřúhelníku (viz orázek 3). 2 Pro nás to ztím znmená, že má dvě nestejně dlouhé n see kolmé úhlopříčky, z nichž jedná půlí druhou ne nopk (jink y se jednlo o kosodélník, přípdně kosočtverec). N K e f M L Or. 3: Oecný deltoid Ovod deltoidu určíme jednoduše jko o = 2 ( + ). K odvození oshu si pomůžeme stejným orázkem. V něm vidíme, že úhlopříčk f půlí celý deltoid n dv shodné trojúhelníky, s výškmi rovnými e/2. Sečteme-li oshy těchto trojúhelníků, spočítáme i osh deltoidu: f e S = 2 2 2 = ef 2. Ve výpočtu jsme využili, že pro osh trojúhelníku pltí S = v /2, kde je délk jedné ze strn v je výšk n tuto strnu kolmá. Lichoěžník je útvr, jenž má právě dvě protilehlé strny rovnoěžné. Ty se nzývjí zákldny nejsou stejně velké (pk y se jednlo o rovnoěžník). Zylým dvěm strnám říkáme rmen. Má-li lichoěžník rmen stejně dlouhá, říkáme mu rovnormenný lichoěžník. Úhly, které svírá spodní zákldn s rmeny, jsou si rovny, stejně tk i úhly u horní zákldny. Dlší ze specifických lichoěžníků je prvoúhlý, kdy právě jedno z rmen je kolmé n zákldny. V lichoěžníku čsto uvžujeme jen jednu výšku v sloužící k popisu vlstností dného lichoěžníku, viz orázek 4. D c v Y c X Or. 4: Lichoěžník D, n němž jsme odvodili vzorec pro jeho osh 2 o to je středová symetrie se dozvíte dále v textu. 3
Osh lichoěžník vypočteme podle vzorce S = ( + c) v 2 Proč je tomu tk, si ukážeme pomocí orázku 4, kde je nkreslený rovnoěžník D. Když úsečku = prodloužíme od odu o délku úsečky D = c doprv, dostneme od oznčený X. Pokud spojíme tento od s odem D, vzniknou nám dv shodné trojúhelníky DY XY. Poněvdž shodné trojúhelníky mjí stejný osh, pltí, že osh lichoěžníku D je stejný jko osh trojúhelníku XD. Tento trojúhelník má výšku v shodnou s výškou lichoěžník strnu, n níž je tto výšk kolmá, dlouhou + c. Proto pltí, že osh trojúhelníku DX tudíž i osh lichoěžníku je rovný S = ( + c) v/2. Trojúhelníky N závěr si řekneme něco i o trojúhelnících. Oecně je trojúhelník útvr se třemi vrcholy třemi vnitřními úhly, které mjí dohromdy 180. Kždý trojúhelník má tři výšky, které se protínjí v jednom společném odě zvném orthocentrum, tři těžnice (úsečky spojující vrcholy se středy protilehlých strn), které se spojují v tzv. těžišti. Uveďme si speciální trojúhelníky některé zákldní vlstnosti, které v nich pltí: V rovnostrnném trojúhelníku jsou těžnice shodné s výškmi. V rovnormenném trojúhelníku je výšk vedená n zákldnu shodná s odpovídjící těžnicí. V prvoúhlém trojúhelníku výšky vedené n odvěsny splývjí s odpovídjícími strnmi trojúhelník (nkreslete si orázek). Prvoúhlý trojúhelník má mnoho dlších zjímvých vlstností. Skrývjí se v něm tzv. goniometrické funkce, 3 Thletov kružnice Pythgorov vět, jejíž slovní znění je: osh čtverce sestrojeného nd přeponou se rovná součtu oshů čtverců sestrojených nd oěm odvěsnmi. Mtemtické vyjádření je mnohem krtší. Pltí c 2 = 2 + 2, kde jsou odvěsny prvoúhlého trojúhelník c je jeho přepon. Pokud přiložíme dv shodné trojúhelníky ntočíme je k soě tk, y se dotýkly podél nejdelší strny (neo jedné z nejdelších strn, viz orázek 5), vznikne nám rovnoěžník se strnmi výškou v. Jelikož pro osh rovnoěžníku pltí S = v, osh trojúhelníku ude poloviční, tzn. S = v 2.. Shodná zorzení Pod pojmem zorzení v geometrii myslíme operci, kdy vezmeme předmět (npř. nějký geometrický útvr jko je od, úsečk, trojúhelník td.), který zorzíme podle nějkého prvidl n jeho orz. Shodná zorzení jsou tková, jejichž prvidlo nemění úhly ni vzdálenosti, tzn. orz vzor jsou z tohoto pohledu shodné geometrické útvry. Mezi shodná zorzení ptří posunutí, osová středová souměrnost. 3 O goniometrických funkcích si můžete přečíst ve Výfučtení 4. série 2. ročníku: http://vyfuk.mff.cuni.cz/ ulohy/vyfucteni. 4
= v = Or. 5: Dv trojúhelníky tvořící rovnoěžník Posunutí Posunutí je ze shodných zorzení nejjednodušší. Znčíme ho T ( v) :, což znmená, že jsme pouze přenesli dný od o dnou vzdálenost dným směrem (podle vektoru v 4 ). Tře čtverec D se zorzí n D, tedy pro kždý význčný od čtverce (jeho vrchol) provedeme posunutí n jeho čárkovnou vrintu následně čárkovné vrcholy spojíme. Tuto konvenci při konstrukci orzu pomocí význčných odů dodržujeme i níže. Osová souměrnost Osová souměrnost funguje jko zrcdlo. Máme-li předmět, který chceme zorzit osovou souměrností podle dné osy, postupujeme tk, že z kždého odu předmětu (u geometrických orzců stčí z význčných odů, vrcholů) vedeme kolmici k ose souměrnosti. Této kolmici říkejme tře přímk k. Orz dného odu (vrcholu) leží n přímce k, n druhé strně od osy souměrnosti, než kde je předmět, ve stejné vzdálenosti od osy souměrnosti jko dný od. Tento orz je vůči předmětu strnově převrácený, le velikostně nprosto shodný. To znmená, že stejně velké jsou nejen příslušné strny, le i úhly, výšky, těžnice,... (ož je, jk ylo zmíněno, oecná vlstnost shodného zorzení.) N orázku 6 je podle osové souměrnosti zorzen hvězd. D D E E Or. 6: Hvězd zorzená v osové souměrnosti 4 Použití vektoru je jen záležitost znčení posunutí, které uvádíme pro úplnost není tře nd tím v tuto chvíli hlouěji uvžovt. Důležité je jen, že posunujeme o nějkou vzdálenost nějkým směrem. Pokud vás všk zjímá něco více o vektorech, můžete se o nich dočíst v nšem Výfučtení ze 2. série 2. ročníku n drese http://vyfuk.mff.cuni.cz/_medi/ulohy/r2/vyfucteni/vyfucteni_2.pdf. 5
Mtemticky toto zorzení zpisujeme jko O(o) : čteme ho tk, že v osové souměrnosti podle osy o yl zorzen od vznikl jeho orz od. Osově souměrný je potom tkový orzec, pro který existuje lespoň jedn os souměrnosti procházející orzcem, podle níž se dný orzec zorzí sám n see. Npříkld čtverec je osově souměrný podle čtyř různých os, viz orázek 7. Vidíme tedy, že u čtverce díky tomu, že má uhlopříčky stejně dlouhé n see kolmé, splývjí jeho dvě uhlopříčky s dvěm osmi souměrnosti. D = D = D = = = = = = D Or. 7: Čtverec s vyznčenými osmi souměrnosti, které splývjí s uhlopříčkmi jsou n see kolmé V odélníku podoné splynutí os souměrnosti uhlopříček nefunguje, protože jsme si řekli, že orz leží n kolmici k ose souměrnosti, všk uhlopříčky odélníků nejsou oecně n see kolmé. Nefunkčnost této souměrnosti ilustruje orázek 8. D = D = Or. 8: Odélník jeho vrcholy zorzené pomocí osové souměrnosti podle jedné z uhlopříček vidíme, že orzy vrcholů nesplývjí s těmi původními. Odélník tedy není osově souměrný podle uhlopříčky. Středová souměrnost Středová souměrnost je zorzení pomocí jediného odu, jemuž říkáme střed souměrnosti. Ze všech odů (vrcholů) předmětu pk tímto odem vedeme přímku. Orz odu nlezneme, podoně jko v přípdě osové symetrie, ve stejné vzdálenosti od středu souměrnosti jko je 6
= = = = = = = = = Or. 9: Osy souměrnosti nlezneme i v rovnostrnném trojúhelníku od. I zde pltí, že orz je opět velikostně nprosto shodný s předmětem. Tentokrát je le převrácený jk strnově, tk i výškově. N orázku 10 jsme tkto zorzili trojúhelník. S Or. 10: Oecný trojúhelník zorzený ve středové souměrnosti Středovou souměrnost znčíme S(X) :, což znmená, že ve středové souměrnosti podle odu X yl zorzen od vznikl tk jeho orz. Střed souměrnosti můžeme nlézt i v některých geometrických orzcích. Pro existenci středové souměrnosti musí pltit, že v dném útvru existují dvě osy souměrnosti, které jsou n see kolmé. Střed souměrnosti je potom průsečík těchto os. Vzpomeňme si n čtverec, u něho jsme nlezli 4 osy souměrnosti, z nichž yly dvě dvě n see kolmé protínly se ve středu čtverce můžeme tedy říct, že čtverec je středově souměrný útvr se středem souměrnosti v průsečíku úhlopříček, viz orázek 11. D = = S = = D Or. 11: Čtverec jeho orz ve středové souměrnosti podle odu S. Tento od se nchází v průsečíku os souměrnosti. 7
S Or. 12: U rovnostrnného trojúhelník jsme oznčili průsečík os souměrnosti S, všk když podle něho zorzíme ve středové souměrnosti vrcholy tohoto trojúhelník, zjistíme, že nesplývjí s původními. Rovnostrnný trojúhelník tedy není středově souměrný, nemá střed souměrnosti. Podoná zorzení Podoné útvry jsou v geometrii ty orzce, které vypdjí stejně, jen jsou různě zvětšené, či zmenšené. Mtemticky tedy můžeme říci, že podoné útvry mjí všechny odpovídjící úhly stejně velké. Tto podmínk je splněn jen tehdy, když jsou všechny odpovídjící si strny mezi zorzovným útvrem jeho orzem ve stejném poměru. Tzn. pokud npříkld strnu zmenšíme dvkrát, tk i všechny osttní strny musí ýt zmenšeny dvkrát. Pro čtverec pltí, že má vždy všechny úhly prvé všechny strny stejně dlouhé. Když tedy srovnáme dv různé čtverce, splňují oě podmínky podonosti můžeme tedy říct, že všechny čtverce jsou si mezi seou nvzájem podoné. γ γ α c β α β c Or. 13: Podoné trojúhelníky K čemu nám může ýt podonost dorá? Pokud zjistíme, že nějké dv orzce jsou si podoné, čsto velmi sndno dokážeme dopočítt jejich strny neo úhly. Velmi čsto se při řešení úloh setkáváme s podoností trojúhelníků. y ylo jednodušší zjistit, že nějké trojúhelníky jsou si podoné, existují tzv. věty o jejich podonosti. To jsou postčující podmínky n to, y yly dv trojúhelníky podoné. Věty uvádíme shrnuty v tulce 1 znčení strn úhlů n orázku 13. Z podoností je schován i fkt, že dokážeme-li nějkou vlstnost pltící u jednoho útvru, pltí i v jeho liovolném orzu (ť už shodném neo podoném). To si můžeme předstvit n npř. Pythgorově větě. Pltí-li pro trojúhelník se strnmi v poměru 3 : 4 : 5, 8
Tulk 1: Věty o podonosti trojúhelníků vět formulce podmínky podonosti mtemtický zápis sss Příslušné strny jsou ve stejném poměru. / = / = c/c uuu Příslušné vnitřní úhly jsou shodné. α = α, β = β, γ = γ sus Dvě strny jsou ve stejném poměru shodují se v úhlu jimi sevřeném. / = /, γ = γ Ssu Dvě příslušné strny jsou ve stejném poměru shodují se v úhlu, který / = c/c, γ = γ leží nproti větší z nich. pk pltí pro liovolný trojúhelník se strnmi v poměru 3x : 4x : 5x, kde x je liovolné kldné reálné číslo. Výše zmíněná prvidl nám mohou čsto pomoci i při řešení fyzikálních úloh, npříkld u příkldů s nkloněnou rovinou se vypltí hledt podoné trojúhelníky, které nám ulehčí rozkld sil do složek. Věříme, že vám znlost těchto prvidel pomůže usndní počítání. Korespondenční seminář Výfuk je orgnizován studenty přáteli MFF UK. Je zstřešen Oddělením pro vnější vzthy propgci MFF UK podporován Ktedrou didktiky fyziky MFF UK, jejími změstnnci Jednotou českých mtemtiků fyziků. Toto dílo je šířeno pod licencí retive ommons ttriution-shre like 3.0 Unported. Pro zorzení kopie této licence, nvštivte http://cretivecommons.org/licenses/y-s/3.0/. 9