Matematika I Posloupnosti RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Posloupnost Def. Nekoneènou posloupností reálných èísel a 1, a 2, a 3, a 4... nazýváme zobrazení a : N R, kde 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3,.... a n... n-tý èlen posloupnosti {a n } n=1... posloupnost jako celek {a n } n=1 = {b n} n=1 a n = b n, n N
Zpùsoby vyjadøování posloupností nejèastìji vztahem pro n-tý èlen: {a n } = { 1 n } {b n } = { 2 n+1} {c n } = {5} rekurentnì - vycházíme z charakteristiky þvnitøního øáduÿ posloupnosti, tj. vztahù mezi n-tým èlenem a jeho sousedy - pøíklady: Fibonacciho posloupnost: f 1 = 0, f 2 = 1, f n+2 = f n + f n+1 aritmetická posloupnost: h n+1 = h n + d
Operace s posloupnostmi Jsou dány dvì posloupnosti {a n }, {b n } a reálné èíslo r. Denujeme následující operace: souèet/rozdíl posloupností {a n } ± {b n } a n ± b n souèin posloupností {a n } {b n } a n b n podíl posloupností {a n } {b n } a n bn, b n 0, n N pøiètení r k posloupnosti r + {a n } r + a n r-násobek posloupnosti r {a n } r a n
Ukázky poèetních operací {a n } = { 1 n }, {b n } = {2}, {c n } = {10, 12, 14, 16,...}, {d n } = {( 1) n n}
Globální charakteristiky posloupností Dána posloupnost {a n } n=1. Platí-li pro ka¾dé n N: 1. a n < a n+1, je posloupnost {a n } rostoucí, 2. a n > a n+1, je posloupnost {a n } klesající, 3. a n a n+1, je posloupnost {a n } neklesající, 4. a n a n+1, je posloupnost {a n } nerostoucí, Posloupnosti (1) - (4)... monotónní, (1) a (2) ryze monotónní.
Globální charakteristiky posloupností Existuje-li M R tak, ¾e pro ka¾dé n N platí a n M, nazýváme {a n } shora omezenou. Existuje-li m R tak, ¾e pro ka¾dé n N platí a n m, nazýváme {a n } zdola omezenou. Posloupnost omezená shora i zdola se nazývá omezená (M, m... horní a dolní mez).
Pøíklad - monotonie a omezenost Vy¹etøete monotonii a omezenost nekoneèné aritmetické posloupnosti.
Pøíklad - monotonie a omezenost Vy¹etøete chování nekoneèné geometrické posloupnosti, její¾ první èlen a 1 je kladný.
Limita posloupnosti Pro ka¾dou posloupnost {a n } n=1, která je rostoucí nebo neklesající, nastane právì jedna ze dvou mo¾ností: není shora omezená - posloupnost diverguje k + a zapisujeme: lim a n = +, je shora omezená - pak existuje její nejmen¹í horní mez L - posloupnost konverguje k L a zapisujeme: lim a n = L
Limita posloupnosti Pro ka¾dou posloupnost {a n } n=1, která je klesající nebo nerostoucí, nastane právì jedna ze dvou mo¾ností: není zdola omezená - posloupnost diverguje k a zapisujeme: lim a n =, je zdola omezená - pak existuje její nejvìt¹í dolní mez L - posloupnost konverguje k L a zapisujeme: lim a n = L
Pøíklad - limita Vy¹etøete konvergenci posloupnosti {t n } n=1 = { } 2n+1 n n=1.
Speciální pøípad limity {( ) lim 1 + 1 n } n = e
Denice limity posloupnosti Je-li L R, potom pro ka¾dé ε > 0 denujeme ε-okolí èísla L jako otevøený interval (L ε, L + ε). Pro ka¾dou posloupnost {a n } n=1 nastane právì jedna z následujících ètyø navzájem se vyluèujících mo¾ností: 1. Platí lim a n = L (pro jediné L R) ε > 0 n 0 : n > n 0 : a n L < ε... posloupnost konverguje k L (má vlastní limitu L),
Denice limity posloupnosti 2. Platí lim a n = + M R n 0 : n > n 0 : a n > M... diverguje k + 3. Platí lim a n = m R n 0 : n > n 0 : a n < m... diverguje k 4. ¾ádná z pøedchozích mo¾ností neplatí... nemá limitu (diverguje)
Reziduální a konnální posloupnosti a jejich limity O posloupnostech {a n }, {b n } øíkáme, ¾e jsou navzájem reziduální, jestli¾e existuje n 0 tak, ¾e pro ka¾dé n > n 0 je a n = b n, øíkáme, ¾e jsou navzájem konnální, jestli¾e existuje nekoneènì mnoho n takových, ¾e a n = b n Posloupnost {b n } nazveme vybranou z posloupnosti {a n }, jestli¾e vznikla vynecháním nìkterých (i nekoneènì mnoha) èlenù z {a n } a poøadní ponechaných èlenù zùstalo zachováno.
Reziduální a konnální posloupnosti a jejich limity Nech» platí: lim a n = L, kde L je vlastní nebo nevlastní limita. Potom (a) Jsou-li {a n }, {b n } reziduální, pak je také lim b n = L. (b) Jsou-li {a n }, {b n } konnální a je-li L = S. lim b n = S, pak nutnì (c) Je-li {b n } vybraná z posloupnosti {a n }, pak lim b n = L.
Ukázky Posloupnost {u n }: pro n 1000 : u n = 15 a pro n > 1000 : u n = 1 n
Vìta o limitách posloupností O libovolných posloupnostech platí: (a) Je-li c n a n pro ka¾dé n a je-li zároveò nutnì lim c n = +. lim a n = +, pak (b) Je-li c n a n pro ka¾dé n a je-li zároveò nutnì lim c n =. lim a n =, pak (c) Je-li a n c n b n pro ka¾dé n a je-li zároveò lim a n = L = policajtechÿ lim b n, pak nutnì lim c n = L... þvìta o
Ukázky Zjistìte ( lim n 3, lim ( 0, 7) n, lim n + n11 +47 11 n +7 )
Vìta o limitì souètu Nech» lim a n = A, lim b n = B a {c n } = {a n } + {b n }. (a) Jestli¾e A, B jsou vlastní limity, je lim c n = A + B. (b) Jestli¾e A je vlastní limita a B nevlastní limita, je lim c n = B. (c) Je-li A = B = +, pak lim c n = +. Je-li A = B =, pak lim c n =. (d) Je-li A = + a B =, nelze o limitì posloupnosti {c n } nic øíci. (e) lim a n = A
Kalkul s nekoneèny r + = + r = + r = + r = + + = + = +... neurèitý výraz - nelze jej vyhodnotit
Vìta o limitì souèinu Nech» lim a n = A, lim b n = B a {c n } = {a n } {b n }. (a) Jestli¾e A, B jsou vlastní limity, je lim c n = A B. (b) Jestli¾e A je vlastní limita a B nevlastní limita, je buï lim c n = + v pøípadì, ¾e A > 0 B = + nebo A < 0 B = nebo lim c n = v pøípadì, ¾e A > 0 B = nebo A < 0 B = +. Jestli¾e je A = 0, nelze o limitì posloupnosti {c n } nic øíci. (c) Je-li A = B = +, pak lim c n = +. Je-li A = B =, pak lim c n = +. (d) Je-li A = +, B =, pak lim c n =.
Kalkul s nekoneèny 2 r (± ) = { ± pro r > 0 pro r < 0 0 (± )... neurèitý výraz (± ) (± ) = + (± ) ( ) =
Vìta o limitì pøevrácené hodnoty a odmocniny Nech» lim a n = A (vlastní nebo nevlastní) a pro ka¾dé n nech» je c n = 1 a n, d n = a n. (a) Jesltli¾e A je vlastní limita rùzná od 0, pak lim c n = 1 A. (b) pro A = ± je lim c n = 0. (c) Jestli¾e A = 0, potom: pokud {a n } je posloupnost kladných èlenù, pak lim c n = +, pokud {a n } je posloupnost záporných èlenù, pak lim c n =, pokud {a n } má nekoneènì mnoho kladných a nekoneènì mnoho záporných èlenù, nemá posloupnost {c n } ¾ádnou limitu. (d) lim d n = A pro vlastní limitu A a jestli¾e A = +, pak lim d n = +.
Kalkul s nekoneèny 3 1 0 = 1 ± = 0 { + pro v¹echny èleny kladné, pro v¹echny èleny záporné. + = + 0 0,... neurèité výrazy
Ukázky výpoètu limit posloupností ( ) lim 1 + 1 n n n
Ukázky výpoètu limit posloupností lim ( n3 + 60n 2 n + 9)
Ukázky výpoètu limit posloupností lim ( 3 n +( 2) n+1 ) 3 n 2 2 2n 1