Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 2. Pomocný učební text - díl II

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text - díl II František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 7. února 2006 verze 2.0

Obsah 7 Obalové plochy 58 7.1 Základní pojmy.................................... 58 7.2 Charakteristika roviny................................ 59 7.3 Charakteristika kulové plochy............................ 61 7.4 Metoda kulových ploch................................ 64 7.5 Metoda tečných rovin................................. 66 7.6 Kontrolní otázky................................... 68 8 Rozvinutelné plochy 70 8.1 Základní pojmy.................................... 70 8.2 Typy rozvinutelných ploch.............................. 70 8.3 Metody komplanace.................................. 71 8.3.1 Metoda normálového řezu.......................... 71 8.3.2 Metoda triangulace.............................. 72 8.4 Tečna křivky v rozvinutí............................... 73 8.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy....................... 73 8.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy.............. 74 8.7 Kontrolní otázky................................... 75 9 Některé nekartézské souřadnicové soustavy 76 9.1 Sférické souřadnice.................................. 76 9.2 Cylindrické souřadnice................................ 76 9.3 Využití nekartézských souřadnic........................... 77 9.4 Cvičení......................................... 77 9.5 Kontrolní otázky................................... 78 10 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic 79 10.1 Transformace kartézského systému souřadnic.................... 80 10.2 Homogenní souřadnice................................ 82 10.3 Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 )................... 83 10.3.1 Posunutí neboli translace........................... 83 10.3.2 Otáčení neboli rotace okolo bodu...................... 83 10.3.3 Osová souměrnost............................... 84 10.3.4 Změna měřítka neboli dilatace........................ 84 10.3.5 Obecná afinní transformace......................... 85 56

Obsah 57 10.3.6 Skládání transformací............................ 85 10.3.7 Inverzní geometrická transformace...................... 86 10.4 Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 )................... 86 10.4.1 Posunutí neboli translace........................... 87 10.4.2 Otáčení neboli rotace okolo osy....................... 87 10.4.3 Souměrnost podle roviny........................... 87 10.4.4 Dilatace.................................... 88 10.4.5 Obecná afinní transformace a projektivní transformace.......... 88 10.5 Skládání transformací a inverzní transformace................... 89 10.6 Cvičení......................................... 90 10.7 Kontrolní otázky................................... 91 11 Nelineární útvary v rovině a v prostoru 93 11.1 Vektorové a parametrické vyjádření křivek..................... 93 11.1.1 Kružnice.................................... 94 11.1.2 Elipsa..................................... 95 11.1.3 Parabola.................................... 96 11.1.4 Hyperbola................................... 97 11.1.5 Obecná rovnice kuželosečky......................... 98 11.2 Vektorové vyjádření kuželových, válcových a rotačních ploch........... 101 11.2.1 Obecná kuželová plocha........................... 102 11.2.2 Obecná válcová plocha............................ 102 11.2.3 Rotační plocha................................ 102 11.3 Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E 3.................. 103 11.3.1 Kulová plocha................................. 103 11.3.2 Rotační elipsoid................................ 104 11.3.3 Rotační paraboloid.............................. 104 11.3.4 Rotační hyperboloid jednodílný....................... 104 11.3.5 Rotační hyperboloid dvoudílný....................... 104 11.4 Obecná rovnice kvadriky............................... 105 11.5 Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze...................... 113 11.6 Cvičení......................................... 115 11.7 Kontrolní otázky................................... 117

Kapitola 7 Obalové plochy 7.1 Základní pojmy Obalová plocha Ω vzniká pohybem P jiné plochy α. Plochu α nazýváme tvořící plocha. Charakteristika c je křivkou dotyku mezi tvořící plochou α a vznikající obalovou plochou Ω obr. 7.1. Charakteristika c při pohybu P vytváří plochu Ω, tj. P(Ω) = P(c). Obrázek 7.1: Pokud chceme najít průnik obalové plochy s rovinou, najdeme charakteristiku, to znamená tvořící křivku rotační, šroubové nebo jiné plochy a tím převedeme danou úlohu na úlohu, kterou již známe z předchozích kapitol. Hlavní náplní této kapitoly je tedy hledání charakteristiky na různých typech obalových ploch. Příklady obalových ploch: Pohyb Tvořící plocha Obalová plocha Posunutí Kulová plocha Rotační válcová plocha Rotace okolo osy o Rovina ϱ o Rotační válcová plocha Rotace okolo osy o Rovina ϱ o Rotační kuželová plocha Rotace okolo osy o Kulová plocha, S / o Anuloid Šr. pohyb s osou o Rovina ϱ o Rozv. šroubová plocha Šr. pohyb s osou o Kulová plocha, S / o Archimédova serpentina 58

7.2. Charakteristika roviny 59 7.2 Charakteristika roviny Charakteristikou c roviny α při rotačním (osa o), resp. šroubovém pohybu ( o, v 0, +), je přímka c této roviny. Platí c = α β, kde rovina β prochází osou o a je kolmá k rovině β. Při rotačním pohybu roviny α různoběžné s osou rotace o je výslednou obalovou plochou rotační kuželová plocha a charakteristikou (obr. 7.2) je spádová přímka, která protíná osu rotace. Obrázek 7.2: Při rotačním pohybu roviny α rovnoběžné s osou o rotace je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou je přímka rovnoběžná s osou, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace (obr. 7.3). Obrázek 7.3: Při šroubovém pohybu roviny α rovnoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou opět rotační válcová plocha a charakteristikou spádová přímka, která má nejmenší vzdálenost od osy rotace.

7.2. Charakteristika roviny 60 Při šroubovém pohybu (o, v 0, +) roviny α různoběžné s osou o je výslednou obalovou plochou plocha tečen šroubovice rozvinutelná šroubová plocha a charakteristikou je přímka c, která je zároveň tečnou šroubovice dané šroubovým pohybem (o, v 0, +) (obr. 7.4). Obrázek 7.4: Určení charakteristiky c je poněkud náročnější, proto si popíšeme hledání charakteristiky roviny při šroubovém pohybu ještě v následujícím příkladě, kde přímo určíme površku k řídící kuželové plochy. Příklad 7.1 Sestrojíme charakteristiku roviny ρ při šroubovém pohybu (o, v 0, +) - obr. 7.5. Řešení: (obr.7.6) 1. Sestrojíme libovolnou spádovou přímku s první osnovy (s 1 p ρ 1, s 2 odvodíme pomocí stopníků). 2. Sestrojíme površku k řídícího kužele (V k, k s). 3. Najdeme půdorysný stopník P přímky k. 4. Stopníkem prochází půdorys šroubovice (kružnice se středem v o 1 a poloměrem o 1 P 1 ). 5. Sestrojíme tečnu c šroubovice. Tečna je rovnoběžná s površkou řídícího kužele k, dotykový bod najdeme na půdorysu šroubovice o 90 otočený od bodu P 1 ve směru stoupání šroubovice. 6. Nárys přímky c odvodíme například pomocí stopníků nebo rovnoběžnosti c a k. 7. Přímka c je hledanou charakteristikou.

7.3. Charakteristika kulové plochy 61 Obrázek 7.5: Obrázek 7.6: 7.3 Charakteristika kulové plochy Charakteristikou kulové plochy při libovolném pohybu je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu dráhy středu kulové plochy a procházející středem kulové plochy. Kružnice má stejný poloměr jako kulová plocha. Při posunutí kulové plochy ve směru přímky o je výslednou obalovou plochou rotační válcová plocha a charakteristikou kružnice, která leží v rovině kolmé na směr pohybu a procházející středem kulové plochy (obr. 7.7). Obrázek 7.7:

7.3. Charakteristika kulové plochy 62 Charakteristikou c kulové plochy při rotačním pohybu (osa o) je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu ke kružnici, kterou opisuje střed kulové plochy při rotačním pohybu (rovina prochází středem kulové plochy). Z toho plyne, že charakteristika c kulové plochy při rotaci leží v rovině určené osou o rotace a středem S kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je anuloid (obr. 7.8). Obrázek 7.8: Charakteristikou c kulové plochy při šroubovém pohybu (o, v 0, ±), je kružnice ležící v rovině kolmé na tečnu šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy. Vzniklou obalovou plochou je Archimédova serpentina (obr. 7.9). V dalších odstavcích jsou popsány metody, které umožňují konstrukci jednotlivých bodů charakteristiky v případě, že tvořící plochou je plocha rotační (metoda kulových ploch), resp. rozvinutelná (metoda tečných rovin).

7.3. Charakteristika kulové plochy 63 Obrázek 7.9:

7.4. Metoda kulových ploch 64 7.4 Metoda kulových ploch Užití: Tvořící plocha α je rotační. 1. Na tvořící ploše α zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu 1. 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a rovnoběžkové kružnice p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu 2. Obrázek 7.10: Obrázek 7.11: Příklad 7.2 Sestrojíme dva body charakteristiky komolého rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 7.10. Řešení: (obr.7.11) Řešení vychází z poznámek uvedených v obecném postupu, tj. konstruována je jen rovina charakteristiky. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 1 Stačí určit jen rovinu γ, v níž leží charakteristika c. 2 Pokud jsme v předcházejícím bodě našli jen rovinu γ, určíme případné průsečíky roviny γ s rovnoběžkovou kružnicí p.

7.4. Metoda kulových ploch 65 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice, která se do půdorysu promítne jako úsečka AB, nárys nemusíme konstruovat. 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ (v půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme na kružnici p do nárysu). 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme. Příklad 7.3 Sestrojíme hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací rotačního kužele při rotaci okolo osy o - obr. 7.12. Řešení: (obr.7.13) 1. Použijeme postup z příkladu 7.2 a sestrojíme body X, Y charakteristiky. 2. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (body X, Y jsou body tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející body X, Y. Průsečíky X a Y rovnoběžkových kružnic s rovinou meridiánu µ jsou body meridiánu). 3. Další body a získáme novou volbou rovnoběžkové kružnice p a vepsané kulové plochy a celý postup zopakujeme. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu. o 2 o 2 V 2 p 2 V 2 Y 2 X 2 Y' 2 X' 2 o 1 m 1 p 1 X =Y 1 1 o 1 X' =Y' 1 1 V 1 V 1 Obrázek 7.12: Obrázek 7.13:

7.5. Metoda tečných rovin 66 Příklad 7.4 Sestrojíme dva body charakteristiky obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v 0, +) rotačního kužele - obr. 7.14. Řešení: (obr.7.15) 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme rovnoběžkovou kružnici p. 2. Určíme kulovou plochu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél kružnice p. 3. Určíme charakteristiku c kulové plochy τ při daném pohybu. Charakteristikou kulové plochy je kružnice. Ta leží v rovině kolmé k tečně šroubovice, po které se pohybuje střed kulové plochy τ. (Sestrojíme tečnu t a hlavní přímky roviny procházející středem kulové plochy a kolmé na tečnu.) 4. Body charakteristiky (pokud existují) jsou průsečíky kružnice p a charakteristiky kulové plochy τ. V půdorysu sestrojíme průsečíky X, Y a odvodíme do nárysu. (Dvě kružnice na kulové ploše mohou mít nejvýše dva průsečíky. Proto je zřejmé, že dva průsečíky v nárysu jsou jen zdánlivé. Nárys a půdorys skutečného průsečíku musí ležet na ordinále.) 5. Další body charakteristiky bychom sestrojili podobně, jen zvolíme novou rovnoběžkovou kružnici a vepsanou kulovou plochu. Celý postup zopakujeme. o 2 t 2 f 2 o 2 V 2 t 2 V 2 X 2 h 2 p 2 Y 2 v 0 v 0 P 2 h 1 t 1 P 1 f 1 p 1 Y 1 X 1 o 1 o 1 t 1 V 1 V 1 Obrázek 7.14: Obrázek 7.15: 7.5 Metoda tečných rovin Užití: Tvořící plocha α je rozvinutelná. 1. Na tvořící ploše α zvolíme povrchovou přímku p.

7.5. Metoda tečných rovin 67 2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p. 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při daném pohybu. 4. Společné body (pokud existují) charakteristiky c a površky p náleží hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Příklad 7.5 Sestrojíme charakteristiku a hlavní meridián obalové plochy vzniklé rotací šikmého kruhového válce při rotaci okolo osy o - obr. 7.16. Řešení: (obr.7.17) Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (šikmém kruhovém válci) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Tečna t leží v půdorysně, proto její nárys splyne s osou x 12. Přímky p a t určují tečnou rovinu τ. 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při rotačním pohybu. Je to spádová přímka roviny τ (v půdorysu kolmá na t, protože t je hlavní přímkou roviny τ). 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Dále postupujeme stejně jako při sestrojování meridiánu rotační plochy (X je bod tvořící křivky: Sestrojíme rovnoběžkovou kružnici rotační plochy s osou o procházející bodem X. Průsečík X rovnoběžkové kružnice s rovinou meridiánu µ je bod meridiánu). 6. Další body získáme novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Na obrázku je vyznačen tvar charakteristiky a meridiánu. Příklad 7.6 Sestrojíme charakteristiku obalové plochy vzniklé šroubovým pohybem (o, v 0, +) kruhového kužele - obr. 7.18. Řešení: (obr.7.19) Tuto úlohu není možné řešit metodou kulových ploch (tvořící plocha není rotační, jde o kruhový, tj. šikmý kužel). Řešení vychází z obecného postupu. 1. Na tvořící ploše α (kuželi) zvolíme povrchovou přímku p. 2. Určíme rovinu τ, která se dotýká tvořící plochy α podél přímky p: V průsečíku přímky p s podstavou válce sestrojíme tečnu t k podstavě. Přímky p a t určují tečnou rovinu τ. Tečna t je hlavní přímkou roviny τ (je rovnoběžná s půdorysnou), určíme ještě ještě jednu hlavní přímku procházející vrcholem V, popř. stopy roviny τ (zde jsme našli pouze nárysnou stopu). 3. Určíme charakteristiku c roviny τ při šroubovém pohybu pomocí postupu z příkladu 7.1. 4. Průsečík charakteristiky c a površky p je jedním bodem hledané charakteristice plochy α při daném pohybu. Označíme ho X. 5. Další body bychom získali novou volbou površky p a opakováním celého postupu. Úlohu 7.2 by bylo možné řešit nejen metodou kulových ploch, ale i metodou tečných rovin.

7.6. Kontrolní otázky 68 o 2 p 2 X 2 X' 2 t=x 2 12 c 1 o 1 X' 1 m 1 X 1 p 1 t 1 Obrázek 7.16: Obrázek 7.17: 7.6 Kontrolní otázky 7.1 Definujte charakteristiku obalové plochy a vysvětlete význam této křivky pro řešení dalších úloh o obalových plochách. 7.2 Pro které tvořící plochy lze pro konstrukci charakteristiky použít metodu kulových ploch a pro které metodu tečných rovin. 7.3 Uveďte příklad tvořicí plochy, jejíž charakteristiku lze konstruovat jak metodou tečných rovin, tak metodou kulových ploch. Uměli byste pojmenovat všechny takové plochy?

7.6. Kontrolní otázky 69 Obrázek 7.18: Obrázek 7.19:

Kapitola 8 Rozvinutelné plochy 8.1 Základní pojmy Torzální površkou přímkové plochy rozumíme přímku p, pro kterou platí, že v každém jejím bodě je stejná tečná rovina τ, tj. tečná rovina τ se dotýká plochy podél torzální površky p. Přímková plocha je rozvinutelná, jestliže všechny její površky jsou torzální. Rozvinutelná plocha je obalovou plochou pohybující se roviny. 8.2 Typy rozvinutelných ploch Rozvinutelnými plochami jsou pouze následující plochy a jejich části: rovina, válcové plochy obr. 8.1, kuželové plochy obr. 8.2 a plochy tečen prostorových křivek obr. 8.3. Obrázek 8.1: Obrázek 8.2: Válcová plocha je určena rovinnou křivku k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a jsou směru s. Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k σ) a bodem V, který neleží v rovině dané křivky (V σ), a je tvořena přímkami, které protínají křivku k a procházejí bodem V. 70

8.3. Metody komplanace 71 V projektivním rozšíření euklidovského prostoru lze definovat válcovou a kuželovou plochu jednou definicí, a to jako množinu přímek, které protínají danou křivku k a procházejí daným vrcholem V. Oba typy ploch se liší tím, zda vrchol V je vlastní, pak jde o kuželovou plochu, nebo je nevlastní, pak jde o válcovou plochu. Obrázek 8.3: Obrázek 8.4: Plocha tečen prostorové křivky je určena prostorovou křivkou k a je tvořena jejími tečnami. Na obr. 8.3 jsou uvedeny dva příklady takové plochy. Příkladem plochy tečen je rozvinutelná šroubová plocha, která je tvořena tečnami šroubovice obr. 8.4. Řezem této plochy rovinou kolmou k ose šroubového pohybu je kruhová evolventa, tj. křivka, která vzniká jako trajektorie bodu přímky odvalující se po kružnici. 8.3 Metody komplanace Komplanací neboli rozvinutím rozumíme zobrazení ϕ rozvinutelné plochy do roviny, které zachovává délky a úhly. Obecné metody pro rozvinutí jsou dány následující tabulkou. Typ rozvinutelné plochy Obecná válcová plocha Obecná kuželová plocha Plocha tečen prostorové křivky Metoda rozvinutí Normálový řez Triangulace Triangulace 8.3.1 Metoda normálového řezu Normálovým řezem válcové plochy rozumíme řez rovinou kolmou na povrchové přímky plochy. Takový řez se při rozvinutí zobrazí na přímku kolmou na obrazy površek. Při rozvinutí válcové plochy postupujeme takto: 1. Vedeme libovolnou rovinu ϱ kolmou na povrchové přímky válcové plochy. 2. Určíme řez k dané válcové plochy rovinou ϱ. 3. V rozvinutí se křivka k zobrazí do úsečky 0 k. Délka obrazu se rovná délce vzoru, tj. délku úsečky 0 k určíme pomocí rektifikace křivky k.

8.3. Metody komplanace 72 Pokud chceme v rozvinutí zobrazit další křivku ležící na dané obecné válcové ploše, stačí na povrchové přímky vynášet úseky površky mezi normálovým řezem a danou křivkou. Normálovým řezem na rotační válcové ploše je např. její podstava. Oblouk šroubovice ležící na dané rotační válcové ploše se rozvine do úsečky. Obrázek 8.5: Obrázek 8.6: Příklad 8.1 Na obr. 8.5 je provedeno rozvinutí poloviny pláště rotačního válce s řezem rovinou σ. Normálovým řezem je podstava k. Vzdálenost x površek v rozvinutí se rovná délce oblouku na podstavě. Příklad 8.2 Na obr. 8.6 je provedeno rozvinutí poloviny pláště kruhového (kosého) válce. Rovina ϱ normálového řezu je zobrazena v nárysu (volíme jednu z rovin kolmých na površky). Normálovým řezem je elipsa, jejíž hlavní poloosa se rovná poloměru kružnice podstavy. Normálový řez je vyznačen ve sklopení. Délky oblouků elipsy ve sklopení určují vzdálenosti jednotlivých površek v rozvinutí (např. délky x a y). V daném případě mají v rozvinutí všechny površky stejnou délku. Poměr, v němž dělí bod normálového řezu površku, zjistíme z nárysu, neboť površky jsou rovnoběžné s nárysnou. 8.3.2 Metoda triangulace Podstatou této metody je náhrada plochy mnohostěnem, který má trojúhelníkové stěny. V případě kuželových ploch volíme trojúhelníky tak, že mají vždy jeden vrchol ve vrcholu kuželové plochy. Pro rotační kuželovou plochu platí, že podstava k se rozvine do oblouku kružnice, jehož délka se musí rovnat obvodu kružnice k. Poloměr oblouku v rozvinutí se rovná délce úseku površky mezi vrcholem a podstavou. Příklad 8.3 Na obr. 8.7 je zobrazeno rozvinutí části rotační kuželové plochy. Pro určení skutečných délek úseků površek plochy je využito rotace površky do roviny obrysové površky.

8.4. Tečna křivky v rozvinutí 73 Obrázek 8.7: Obrázek 8.8: Příklad 8.4 Na obr. 8.8 je zobrazeno rozvinutí části kruhové kuželové plochy. Použita je triangulace a celý postup spočívá v určování skutečných délek úseček (úseků površek plochy). K tomu je využito otočení do polohy rovnoběžné s nárysnou. Površky určené bodem 1, resp. 7, na podstavě se zobrazují v nárysu ve skutečné velikosti. 8.4 Tečna křivky v rozvinutí Obrazem tečny křivky na ploše je tečna křivky v rozvinutí. Vzhledem k tomu, že rozvinutí je zobrazení, které zachovává úhly, je možné určit tečnu křivky v rozvinutí pomocí určení úhlu površky a tečny křivky na ploše. Příklad 8.5 Na obr. 8.7 je zkonstruována tečna křivky řezu v rozvinutí. K určení úhlu tečny a površky je využito trojúhelníka 3P 1 3, pro nějž je určena skutečná velikost pomocí skutečných délek jeho stran. Bod 3 je bodem řezu, bod 3 leží na podstavě a bod P 1 je průsečíkem tečny s podstavnou rovinou. Přímka 3P 1 je tečnou podstavy. 8.5 Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy Rozvinutelnou šroubovou plochu lze rozvinout tak, že určíme obraz hrany vratu, tj. určující šroubovice. Platí, že šroubovice vratu se v rozvinutí zobrazí do kružnice, pro jejíž poloměr ρ platí ρ = r2 + v0 2. r Příklad 8.6 Na obr. 8.9 je zobrazeno rozvinutí části rozvinutelné šroubové plochy. Pro šroubovici vratu je určen poloměr ρ, který je poloměrem příslušného oblouku v rozvinutí. Obrazem kruhové evolventy, která je řezem dané plochy půdorysnou, je opět kruhová evolventa. Pro zobrazení daných površek v rozvinutí byla určena k otočení, které odpovídá oblouku ω, délka oblouku šroubovice ω.

8.6. Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy 74 Obrázek 8.9: 8.6 Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy Uvažujme dvě rovinné křivky a a b ležící v rovinách α a β obr. 8.10. V řadě technických aplikací vzniká požadavek na určení rozvinutelné plochy Ω, která obsahuje obě dané křivky (a Ω, b Ω). Plochu Ω nazýváme přechodová plocha mezi danými křivkami. Obrázek 8.10: Obrázek 8.11: Postup konstrukce přechodové plochy: 1. Na jedné z křivek zvolíme bod např. A a a určíme tečnu t A křivky a v bodě A.

8.7. Kontrolní otázky 75 2. Na druhé křivce, tj. na křivce b, určíme bod B tak, aby tečna t B v tomto bodě nebyla v tečnou t A mimoběžná. Tento krok realizujeme takto: t A β vedeme tečnu t B křivky b rovnoběžnou s přímkou t A obr. 8.11, t A β označme p průsečnici rovin α a β; z průsečíku t A p vedeme tečnu t B křivky b obr. 8.10. 3. Přímka AB je torzální přímkou tečná rovina v bodech A a B je stejná a tato rovina se dotýká vytvářené plochy i ve všech bodech této površky. Zkonstruovaná přechodová plocha je vždy buď plochou tečen prostorové křivky (zpravidla neznámé či neurčované), nebo ve výjimečných případech plochou válcovou nebo kuželovou. Rozvinutí přechodové plochy se provede zpravidla pomocí triangulace. 8.7 Kontrolní otázky 8.1 Definujte torzální površku plochy. 8.2 Definujte rozvinutelné plochy a uveďte všechny typy rozvinutelných ploch. 8.3 Uveďte dva způsoby vytvoření rozvinutelné šroubové plochy (návod: jako obalovou plochu a jako jeden z typů rozvinutelných ploch). 8.4 Popište metodu normálového řezu pro rozvinutí. Pro které rozvinutelné plochy se tato metoda dá aplikovat?

Kapitola 9 Některé nekartézské souřadnicové soustavy V řadě aplikací matematiky se používají k vhodnému analytickému popisu geometrického útvaru v E 3 souřadnice, které nejsou kartézské. Jedná se o souřadnice afinní (souřadnicové osy nemusí být na sebe kolmé), sférické (kulové), cylindrické (válcové) apod. Uvedeme vztahy, pomocí nichž lze přejít od kartézských souřadnic k souřadnicím sférickým a cylindrickým. 9.1 Sférické souřadnice Sférické souřadnice jsou prostorovou analogií polárních souřadnic v rovině. Rovnice x = ρ cos ϕ cos ψ, y = ρ sin ϕ cos ψ, z = ρ sin ψ, (9.1) v nichž ρ > 0, ϕ 0, 2π) a ψ π, dπ, vyjadřují přechod k tzv. sférickým souřadnicím 2 d2 [ρ, ϕ, ψ]. Číslo ρ = x 2 + y 2 + z 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od počátku O, ϕ a ψ jsou orientované úhly ( zeměpisná šířka a délka ) obr. 9.1. S rovnicemi (9.2) a (9.1) se výhodně pracuje při sledování problémů spojených s rotací a souměrností. 9.2 Cylindrické souřadnice Rovnice x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, (9.2) v nichž ρ > 0 a ϕ 0, 2π) popisují vztah tzv. cylindrických souřadnic [ρ, ϕ, z] s kartézskými souřadnicemi. Vidíme, že ρ = x 2 + y 2 vyjadřuje vzdálenost bodu X od osy z a ϕ je orientovaný úhel s počátečním ramenem v kladné poloose x a koncovým ramenem na polopřímce OX 1, kde X 1 je pravoúhlý průmět bodu X do souřadnicové roviny xy obr. 9.2. Ve speciálním případě (9.2), kdy z = 0, hovoříme o polárních souřadnicích v rovině E 2. 76

9.3. Využití nekartézských souřadnic 77 Obrázek 9.1: Obrázek 9.2: 9.3 Využití nekartézských souřadnic Použití uvedených nekartézských souřadnic vede ke zjednodušení analytického vyjádření útvarů (zkratka konst. označuje kladnou konstantu). 1. ρ =konst. popisuje v případě sférických souřadnic kulovou plochu se středem O a poloměrem ρ, 2. ρ =konst. popisuje v případě cylindrických souřadnic rotační válcovou plochu o poloměru ρ a s osou z, 3. ψ =konst. určuje v případě sférických souřadnic rotační kuželovou plochu, 4. ρ =konst. určuje v polárních souřadnicích kružnici se středem O a poloměrem ρ. 9.4 Cvičení 9.1 V kartézské soustavě souřadnic zobrazte body, jejichž polární souřadnice jsou A [ ] 3, π 6, B [ ] [ ] [ 1, 2π 3, C 2, π 4. Jaké jsou kartézské souřadnice bodu B? [B 1, ] 3 ] 2 2 9.2 Vypočtěte velikost úsečky AB, znáte-li polární souřadnice bodů A [ ] [ ] 3, 11π 18, B 4, π 3. [5] 9.3 Bod A má kartézské souřadnice A[ 1, 1, 2]. Jaké jsou jeho cylindrické souřadnice. [[ 2, 3 4, 2]] 9.4 Bod A má cylindrické souřadnice A[1, 1, 1]. Vypočtěte jeho kartézské souřadnice s přesností na tři desetinná místa. [[0, 540; 0, 841; 1, 000]] 9.5 Jaké jsou sférické souřadnice bodu A, jsou-li jeho souřadnice v kartézské soustavě A[1, 1, 1]? [ρ = 3, ϕ = π, ψ = arctg 1 4 2 ]

9.5. Kontrolní otázky 78 9.6 Víme, že sférické souřadnice bodu A jsou ρ = 1, ϕ = π, ψ = π. Jaké jsou jeho kartézské 3 6 [ souřadnice? [ 3, ] 3, 1 ] 4 4 2 9.7 V systému AutoCAD se používá následujících symbolů: @ relativní souřadnice (tj. souřadnice vzhledem k aktuálnímu bodu, nikoliv k počátku), < zadání úhlu. Zřejmě zadáním 20 < 45 < 30 určujeme bod pomocí sférických souřadnic. Určete typ souřadnic pro zadání a) @100 < 45, b) 40 < 60, 10. [a) relativní polární souřadnice, b) cylindrické souřadnice] 9.5 Kontrolní otázky 9.1 Uveďte, které body nemají jednoznačně určeny sférické souřadnice. 9.2 Uveďte, které body nemají jednoznačně určeny cylindrické souřadnice.

Kapitola 10 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic Uvažujme dvě množiny bodů M a N. Geometrickým zobrazením T rozumíme předpis, kterým každému bodu X (vzoru) z množiny M přiřadíme jednoznačně bod T (X) (obraz) z množiny N. Příkladem geometrického zobrazení je kolmé promítání do půdorysny (roviny xy), posunutí o daný vektor, otočení okolo dané osy apod. Řekneme, že geometrické zobrazení T je vzájemně jednoznačné, jestliže každým dvěma různým bodům jsou přiřazeny různé body, tj. platí-li X Y, X M, Y M T (X) T (Y ). Pro vzájemně jednoznačné zobrazení T množiny M na množinu N, tj. pro prosté zobrazení, existuje zobrazení T 1, které obrazu Y = T (X) přiřadí vzor, tj. bod X. Říkáme, že zobrazení T 1 je inverzní k zobrazení T. Vzájemně jednoznačné zobrazení, pro nějž M = N, nazýváme transformace. Např. pro posunutí můžeme položit M = N = E 3 a jistě jde o prosté zobrazení, tj. posunutí je transformace. Inverzní transformací je posunutí o vektor opačný k danému vektoru posunutí T. Pro kolmé promítání do půdorysny je M = E 3 a N = E 2. Nejde tedy o transformaci a navíc neexistuje inverzní zobrazení (z jednoho průmětu nelze rekonstruovat prostorový objekt). Dále rozlišíme dva způsoby, jakým jsou v geometrii a jejích aplikacích používány transformace: Geometrické transformace (bodů): Je zvolen souřadnicový systém. Transformaci jsou podrobeny body geometrického objektu, který tím mění polohu vzhledem k systému souřadnic, popř. i svůj tvar. Transformace systému souřadnic: Transformaci je podroben souřadnicový systém. Transformace je zvolena např. tak, aby vybraný geometrický objekt získal vzhledem k novému souřadnicovému systému polohu výhodnou pro matematické vyjádření operací s objektem. 79

10.1. Transformace kartézského systému souřadnic 80 10.1 Transformace kartézského systému souřadnic V tomto odstavci budeme popisovat transformace souřadnicových soustav v E 3, ale provedené úvahy a výpočty lze snadno aplikovat i na transformace kartézských systémů souřadnic v rovině, tj. v prostoru E 2 (a i v prostorech jiné dimenze). V textu použijeme tzv. Kroneckerovo delta δ ij, které nabývá hodnoty 1 pro i = j a hodnoty 0 v případě i j. Připomeňme, že kartézskou soustavu souřadnic v E 3 můžeme chápat jako uspořádanou čtveřici (O, e 1, e 2, e 3 ), kde O je počátek soustavy souřadnic a vektory e i jsou ortonormální, tj. platí pro ně e i e j = δ ij, i, j = 1, 2, 3. (10.1) Obrázek 10.1: Transformaci soustavy souřadnic používáme, chceme-li zjednodušit vyjádření objektů, nebo jestliže pro několik objektů chceme využít jednu souřadnicovou soustavu. Pro změnu souřadnicové soustavy odvodíme potřebné vztahy mezi původnímu souřadnicemi a novými souřadnicemi. V prostoru E 3 zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic S a S (obr. 10.1): S : (O, e 1, e 2, e 3 ), S : (O, e 1, e 2, e 3). (10.2) V soustavě souřadnic S má obecný bod X souřadnice X[x 1, x 2, x 3 ] a v S má tentýž bod X souřadnice X[x 1, x 2, x 3]. V soustavě S vyjádříme počátek O a vektory e i: Podrobněji lze (10.4) rozepsat na e i = O = O + 3 b j e j, (10.3) j=1 3 a ji e j, i = 1, 2, 3. (10.4) j=1 e 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3, e 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3, (10.5) e 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3. Bod X vyjádříme v obou soustavách souřadnic: X = O + 3 x j e j = O + j=1 3 x ie i. (10.6) i=1

10.1. Transformace kartézského systému souřadnic 81 Použijeme-li v (10.6) vyjádření (10.3) a (10.4), dostaneme O + neboli 3 3 x j e j = O + b j e j + j=1 3 x i j=1 i=1 j=1 j=1 j=1 i=1 ( 3 ) a ji e j, (10.7) ( ) 3 3 3 x j e j = b j + a ji x i e j. (10.8) Porovnáním obou stran v (10.8) zjistíme, že pro nové a staré souřadnice platí x j = 3 a ji x i + b j, j = 1, 2, 3. (10.9) i=1 Transformační rovnice rozepsané pro jednotlivá i a j mají tvar x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + b 1, x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + b 2, (10.10) x 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + b 3. V maticovém tvaru můžeme zapsat rovnice (10.10) jako X = X A T + b, (10.11) kde X[x 1, x 2, x 3 ], X [x 1, x 2, x 3], b = (b 1, b 2, b 3 ) a matice A má prvky a ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Matici A budeme nazývat transformační matice. O této matici se dá dokázat přímým výpočtem, že platí: a 1i a 1j + a 2i a 2j + a 3i a 3j = δ ij. (10.12) Jde o skalární součiny vektorů daných sloupci matice A. Takto určené vektory jsou jednotkové a vzájemně kolmé. Proto se matice s touto vlastností označují jako ortonormální. Navíc lze vypočítat, že pro determinant ortononální matice A platí det A = ±1. Můžeme tedy rozlišit dva případy orientace S a S : 1. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány souhlasně; 2. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány nesouhlasně. V geometrii a v řadě aplikací se používají i tzv. afinní souřadnicové soustavy, tj. soustavy souřadnic, v nichž vektory e 1, e 2 a e 3 nejsou ortonormální, ale tvoří obecnou bázi. Přechod od kartézské soustavy souřadnic k afinní soustavě je popsán rovněž vztahem (10.11), ale matice A je jen regulární (nikoliv nutně ortonormální).

10.2. Homogenní souřadnice 82 Příklad 10.1 Uvažujme bod X[1,1,1] daný souřadnicemi v kartézské souřadnicové soustavě (O, e 1, e 2, e 3 ). Určíme souřadnice bodu X v afinní (nekartézské) souřadnicové soustavě (O, e 1, e 2, e 3), kde e 1 = e 1, e 2 = e 2, e 3 = e 2 + e 3. Řešení: Pokud si načtnete ilustrační obrázek, snadno dojdete při tomto jednoduchém zadání k výsledku bez výpočtu (doporučujeme, abyste si hypotézu o výsledku vytvořili). Pokud využijeme vztah (10.11) a uvědomíme-li si, že počátek souřadnicového systému se nemění, tj. vektor b je nulový, můžeme psát [1, 1, 1] = [x, y, z ]A T, neboli (vzhledem k přepodkládané regularitě matice A existuje matice inverzní) [x, y, z ] = [1, 1, 1](A T ) 1. Matice A má podle (10.5) ve sloupcích souřadnice vektorů nové souřadnicové soustavy vzhledem k původní souřadnicové soustavě, tj. platí 1, 0, 0 1, 0, 0 A = 0, 1, 1, A T 1 = 0, 1, 0. 0, 0, 1 0, 1, 1 Všimněte si, že matice A není ortonormální (uvažujte např. druhý a třetí sloupec, resp. velikost vektoru daného třetím sloupcem). Výpočet inverzní matice zde neuvádíme, neboť jde jen o velmi jednoduché cvičení na uplatnění Jordanovy eliminace, resp. výpočtu pomocí algebraických doplňků. Nyní již můžeme psát [x, y, z ] = [1, 1, 1] 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 1, 1 = [1, 0, 1]. Věříme, že se výsledek shoduje s předpokládaným výsledkem na základě vašeho úvodního náčrtku. 10.2 Homogenní souřadnice Než přistoupíme k popisu geometrických transformací bodů, zavedeme speciální souřadnice bodů tzv. homogenní souřadnice pomocí nichž se zjednoduší maticový zápis geometrických transformací. Uspořádanou čtveřici čísel [x h, y h, z h, w] (w 0) nazveme pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v projektivním rozšíření euklidovského prostoru E 3, platí-li: x = x h w, y = y h w, z = z h w

10.3. Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) 83 kde čísla x, y, z jsou kartézské souřadnice bodu P. Body, pro které je w = 0, odpovídají vektorům a nazývají se nevlastní body. Tyto body nelze určit jejich kartézskými souřadnicemi. Projektivní rozšíření euklidovského prostoru značíme P (E 3 ) a můžeme říci, že vznikne doplněním eukleidovského prostoru o nevlastní body. Z definice je patrné, jak lze převádět homogenní souřadnice vlastních bodů (w 0) na jejich kartézské souřadnice a naopak. Příklad 10.2 Bod A má v daném kartézském systému souřadnic souřadnice [3,2,1]. Za jeho homogenní souřadnice lze volit trojici [3w, 2w, w, w], kde w 0. Např. pro w = 1 jsou to souřadnice [3,2,1,1]. Body (v homogenních souřadnicích) B=[3,2,1,0.5] a C=[3,2,1,2] mají kartézské souřadnice B=[6,4,2] a C=[1,5;1;0,5]. Homogenní souřadnice nevlastního bodu určeného vektorem OA jsou např. [3,2,1,0]. Obdobně lze zavést pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v rovině. 10.3 Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) Zabývejme se nejprve transformacemi v rovině E 2, resp. v jejím projektivním rozšíření P (E 2 ). Bod o souřadnicích [x, y], popř. [x h, y h, w] budeme transformovat do bodu [x, y ], popř. [x h, y h, w ]. 10.3.1 Posunutí neboli translace Posunutí (translace) je určeno vektorem posunutí p = (x t, y t ). Souřadnice bodu [x, y] se transformují rovnicemi x = x + x t, y = y + y t. Je zřejmé, že nevlastní bod určený vektorem (x, y) se posunutím nemění. Použijeme-li homogenní souřadnice, lze obě transformace pro vlastní i nevlastní body zapsat jednotně v maticovém tvaru: [x, y, w ] = [x, y, w] 10.3.2 Otáčení neboli rotace okolo bodu 1, 0, 0 0, 1, 0 x t, y t, 1 Otáčení (rotace) kolem počátku O[0, 0] je určeno orientovaným úhlem α. Na obr. 10.2 je znázorněna odpovídající situace. Koeficienty odvodíme z podmínky, že body [0,0], [1,0] a [0,1] se otočí do bodů [0, 0], [cos α, sin α], [ sin α, cos α]. Platí: x = x cos α y sin α, y = x sin α + y cos α. (10.13) Transformační rovnice přepíšeme do maticového tvaru: cos α, sin α, 0 [x, y, w ] = [x, y, w] sin α, cos α, 0. (10.14) 0, 0, 1 Snadno zjistíme, že w = w.

10.3. Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) 84 Obrázek 10.2: Obrázek 10.3: 10.3.3 Osová souměrnost Osová souměrnost je určena osou souměrnosti. Uvedeme transformační rovnice pro případ, kdy osou souměrnosti je některá souřadnicová osa. Platí x = ix, y = jy, kde i = 1, j = 1 pro souměrnost podle osy y; i = 1, j = 1 pro souměrnost podle osy x. Transformační rovnice pro souměrnost podle osy x přepíšeme do maticového tvaru: [x, y, w ] = [x, y, w] 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1. (10.15) Podobně je možné uvést maticový zápis souměrnosti podle osy y. Souměrnost podle obecné osy popíšeme pomocí rozkladu na elementární transformace viz odst. 10.3.6 10.3.4 Změna měřítka neboli dilatace Změna měřítka (dilatace) na souřadnicových osách je určena násobky původních jednotek: x = s x x, y = s y y. Je-li s x = s y = s dostaneme stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] a koeficientem stejnolehlosti s. Maticový zápis transformačních rovnic si snadno představíte. Matice dilatace je diagonální.

10.3. Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) 85 10.3.5 Obecná afinní transformace Ŕekneme, že tři body A, B, C jsou kolineární, jsou-li kolineární vektory B A a C A. Afinní transformací rozumíme geometrické zobrazení T, které zachovává kolinearitu bodů a jejich dělící poměr, tj. pro každé tři kolineární body A, B, C platí, že body T (A), T (B), T (C) jsou kolineární a pro dělící poměr tří navzájem různých kolineárních bodů A, B, C platí. (A, B, C) = (T (A), T (B), T (C)) Dá se ukázat, že každou afinní transformaci lze popsat v následujícím maticovém tvaru: a 11, a 12, 0 [x, y, w ] = [x, y, w] a 21, a 22, 0, (10.16) p 1, p 2, 1 kde matice A = ( a11, ) a 12 a 21, a 22 je regulární (tj. má nenulový determinant) a p = (p 1, p 2 ) je vektor posunutí. Pokud bychom upustili od použití homogenních souřadnic, je možné zapsat vztah (10.16) pro body prostoru E 2 je tvaru ( ) [x, y a11, a ] = [x, y] 12 a 21, a 22 + (p 1, p 2 ), (10.17) neboli stručně: X = X A + p, (10.18) kde p = (p 1, p 2 ) je vektor posunutí. Pokud použijeme homogenních souřadnic a označíme a 11, a 12, 0 T = a 21, a 22, 0, (10.19) p 1, p 2, 1 máme pro transformaci vlastních i nevlastních bodů vztah X = X T. Příklad 10.3 Na obr. 10.3 je uveden příklad afinní transformace v rovině. Stín je odvozen pomocí afinní transformace s maticí 1; 0; 0 [x, y, w ] = [x, y, w] 1; 0, 5; 0. (10.20) 0; 0; 1 10.3.6 Skládání transformací Geometrický objekt je zpravidla podroben posloupnosti uvedených elementárních transformací. Z asociativního zákona pro násobení matic plyne, že matice složené transformace je součinem matic elementárních transformací.

10.4. Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) 86 V předcházejících odstavcích jsme uvedli některé transformace s tím, že jsme předpokládali speciální určení (např. středem rotace byl počátek, osou souměrnosti byla souřadnicová osa). Složitější transformace můžeme popsat pomocí rozkladu (dekompozice) na transformace elementární. Postup vysvětlíme na příkladu. Příklad 10.4 Najdeme rovnici rovinné transformace pro otáčení kolem bodu A[x A, y A, 1] o úhel α. Řešení: Hledanou transformaci složíme ze tří elementárních transformací. Posunutím o vektor p = ( x A, y A ) se bod A ztotožní s počátkem O. Po otočení bodů kolem počátku o úhel α posuneme výsledné body zpět o vektor p. Posloupnost transformací zapíšeme za využití homogenních souřadnic v maticovém tvaru: X = X 1, 0, 0 0, 1, 0 x A, y A, 1 cos α, sin α, 0 sin α, cos α, 0 0, 0, 1 1, 0, 0 0, 1, 0 x A, y A, 1 Provedeme-li vynásobení uvedených tří matic, obdržíme matici dané transformace ve tvaru cos α, sin α, 0 sin α, cos α, 0. x A (1 cos α) + y A sin α, y A (1 cos α) x A sin α, 1 10.3.7 Inverzní geometrická transformace Pro inverzní transformaci T 1 k dané transformaci T platí, že složením těchto dvou transformací je identita, tj. transformace, která každému bodu X přiřadí týž bod, tj. X = X. Maticí identity je samozřejmě jednotková matice I. Označme T matici transformace T a L matici transformace T 1. Pro tyto matice však musí platit vztah T L = L T = I, tj. L = T 1 matice inverzní transformace je inverzní maticí k matici dané transformace.. 10.4 Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) Uvedeme přehled elementárních afinních transformací v prostoru E 3, resp. v P (E 3 ). Transformační rovnice zapíšeme v maticovém tvaru. Postupovat budeme rychleji, neboť v mnoha případech je určení transformací v P (E 3 ) analogické k uvedeným poznatkům pro prostor P (E 2 ). Podrobnější výklad je uveden jen tam, kde tato analogie neexistuje.

10.4. Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) 87 10.4.1 Posunutí neboli translace Pro posunutí (translaci) určenou vektorem posunutí p = (x t, y t, z t ) máme transformační rovnici: 1, 0, 0, 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] 0, 1, 0, 0 0, 0, 1, 0. x t, y t, z t, 1 10.4.2 Otáčení neboli rotace okolo osy Otáčení (rotace) je určeno osou otáčení a orientovaným úhlem otáčení. Uvedeme matici R x,α pro otáčení kolem souřadnicové osy x o úhel α, matici R y,β pro otáčení kolem osy y o úhel β a matici R z,γ pro otáčení kolem osy z o úhel γ. Snadno stanovíme matici R z,γ, neboť vztahy pro transformaci složky x a y jsou analogické s rotací bodu okolo počátku vztah (10.13), souřadnice z se nemění. Další případy, tj. popis rotace okolo osy x a y, získáme cyklickou záměnou os tab. 10.1. Osa rotace 1. osa 2. osa z x y x y z y z x Tabulka 10.1: Pro hledané matice platí: R x,α = 1, 0, 0, 0 0, cos α, sin α, 0 0, sin α, cos α, 0 0, 0, 0, 1 R z,γ =, R y,β = cos γ, sin γ, 0, 0 sin γ, cos γ, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 1 cos β, 0, sin β, 0 0, 1, 0, 0 sin β, 0, cos β, 0 0, 0, 0, 1 Všimněte si, že souměrnost podle osy můžeme v prostoru P (E 3 ) nahradit rotací okolo dané osy o úhel ϕ = π. V prostoru P (E 2 ) je rotace okolo bodu o úhel ϕ = π souměrností podle daného bodu (středu). 10.4.3 Souměrnost podle roviny Souměrnost podle roviny je určena rovinou souměrnosti. Uvedeme rovnice pro transformaci bodu souměrností podle jednotlivých souřadnicových rovin:.,

10.4. Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) 88 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] kde i = -1, j = 1, k = 1 pro souměrnost podle roviny yz, i = 1, j = -1, k = 1 pro souměrnost podle roviny xz, i = 1, j = 1, k = -1 pro souměrnost podle roviny xy. 10.4.4 Dilatace i, 0, 0, 0 0, j, 0, 0 0, 0, k, 0 0, 0, 0, 1 Dilatace neboli změna měřítka na souřadnicových osách je určena nenulovými násobky s x, s y, s z původních jednotek. Maticově můžeme psát: s x 0 0 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] 0 s y 0 0 0 0 s z 0. 0 0 0 1 Podobně jako v případu rovinné geometrie dostaneme i zde pro s = s x = s y = s z stejnolehlost se středem stejnolehlosti v počátku a s koeficientem s., 10.4.5 Obecná afinní transformace a projektivní transformace Podobně jako v rovinném případě můžeme i v prostoru P (E 3 ) popsat každou afinní transformaci v následujícím maticovém tvaru: a 11, a 12, a 13, 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] a 21, a 22, a 23, 0 a 31, a 32, a 33, 0, (10.21) p 1, p 2, p 3, 1 kde matice A = a 11, a 12, a 13 a 21, a 22, a 23 a 31, a 32, a 33 je regulární (tj. má nenulový determinant). Opět můžeme uvést, že uplatnění obecné afinní transformace je popsáno maticovým součinem X = X T, kde T je matice transformace. Pro zvídavého čtenáře můžeme ještě doplnit, že obecnější transformací je tzv. projektivní transformace. Ta sice zachovává kolinearitu bodů, ale již může měnit dělící poměr bodů (nemění však podíl dělících poměrů tzv. dvojpoměr). Popis takového transformace je tvaru (10.21) s tím, že poslední sloupec transformační matice může obsahovat i nenulové prvky. V afinní transformaci vlastnímu bodu byl přiřazen vždy bod vlastní (a nevlastnímu bod nevlastní). Toto již neplatí v případě projektivní transformace. V důsledku to znamená, že projektivní transformace obecně nezachovává rovnoběžnost (afinní transformace rovnoběžnost zachovává). Příkladem projektivního zobrazení je např. perspektivní pohled apod.

10.5. Skládání transformací a inverzní transformace 89 10.5 Skládání transformací a inverzní transformace Vše, co jsme uvedli o skládání transformací a o inverzní transformaci v rovinném případě, je platné i pro transformace v prostoru P (E 3 ). Pro ilustraci uvedeme alespoň jeden příklad. Příklad 10.5 Sestavíme matici souměrnosti podle roviny x 2z + 3 = 0. Určíme pak obrazy bodů O[0, 0, 0], R[1, 1, 1] a Q[ 3, 0, 5] a obraz směru (nevlastního bodu) daného vektorem (1, 0, 2). Řešení: Zvolíme postup, který byl použit již v části věnované rovinným transformacím, tj. provedeme rozklad (dekompozici) hledané transformace T na elementární transformace. Daná rovina je zřejmě rovnoběžná s osou y (koeficient u y je nulový). Transformaci T tedy získáme složením: posunutí P (rovina souměrnosti bude po posunutí procházet osou y), rotace R (rovinu souměrnosti převedeme do polohy totožné s rovinou xy), souměrnosti S podle roviny xy, rotace R 1, posunutí P 1. Poslední dvě transformace (pozor na pořadí) umístí zpět rovinu souměrnosti do původní polohy. Píšeme T = P 1 R 1 S R P. Vektor normály dané roviny je n = (1, 0, 2). Určíme dále alespoň jeden bod roviny, např. bod X x. Volíme tedy z = 0 a máme X[ 3, 0, 0]. První transformací bude posunutí P o vektor (3, 0, 0). Rovina souměrnosti prochází po provedení transformace P počátkem a osou y. Nyní provedeme rotaci R, v níž rovina přejde do některé souřadnicové roviny, např. xy. Stanovíme úhel otočení α jako odchylku rovin. Použijeme k tomu normálové vektory n a z, kde z=(0,0,1) je normálový vektor roviny xy. Platí cos α = n z n z, tj. cos α = 2 5 = 2 5 5. Pomocí vztahu sin 2 α = 1 cos 2 α vypočteme sin α = 5 5. Označme matice, které odpovídají daným transformacím stejnými písmeny, jako jsou označeny dílčí transformace (R bude matice rotace R apod.). Pro matici T výsledné transformace platí (pozor na pořadí): T = P R S R 1 P 1,

10.6. Cvičení 90 tj. T = 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 3, 0, 0, 1 2 5 2 5 5, 0, 5, 0 5 0, 1, 0, 0 5, 0, 2 5 5 5, 0 5, 0, 5, 0 5 0, 1, 0, 0, 0, 2 5 5 5, 0 5 0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 3, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 0, 0, 0, 1. Provedeme-li naznačené násobení matic, obdržíme matici výsledné transformace: 3, 0, 4, 0 5 5 T = 0, 1, 0, 0 4, 0, 3, 0. 5 5 6, 0, 12, 1 5 5 Pro určení nové (transformované) polohy daných vlastních bodů O, R, Q a nevlastního bodu [1, 0, 2, 0] stačí vynásobit homogenní souřadnice daných maticí T. S výhodou můžeme tuto operaci zapsat ve tvaru (řádky první matice jsou dány homogenními souřadnicemi zadaných bodů): 0, 0, 0, 1 1, 1, 1, 1 3, 0, 5, 1 1, 0, 2, 0 3, 0, 4, 0 5 5 0, 1, 0, 0 4, 0, 3, 0 5 5 6, 0, 12, 1 5 5 = 6, 0, 12, 1 5 5 1, 1, 13, 1 5 5 1, 0, 3, 1 1, 0, 2, 0 Máme tedy T (O) = [ 6, 0, 12, 1], T (R) = [ 1, 1, 13, 1], T (Q) = [1, 0, 3, 1] a obrazem vektoru 5 5 5 5 s = (1, 0, 2) je vektor T (s) = ( 1, 0, 2), tj. vektor opačný (jde vlastně o obraz normálového vektoru zadané roviny souměrnosti). Oba vektory s a T (s) určují stejný nevlastní bod, tj. bod, který je v dané transformaci samodružný. 10.6 Cvičení 10.1 Je dána jednotková krychle ABCDA B C D. Napište transformační rovnice přechodu od kartézského souřadnicového systému {A, AB, AD, AA } k systému {C, C D, C B, C C}. [x = x + 1, y = y + 1, z = z + 1] 10.2 Rozhodněte, zda matice A = 1, 2, 1 2 2 2 1, 2, 1 2 2 2 2, 0, 2 2 2. je transformační maticí pro přechod mezi dvěma kartézskými soustavami souřadnic. [využijeme vztahů (10.12) není]

10.7. Kontrolní otázky 91 10.3 Sestavte transformační rovnice přechodu mezi dvěma kartézskými systémy souřadnic, jestliže nový systém vznikne z původního otočením kolem osy z o úhel ϕ = π. 4 [x = 2 2 (x + y ), y = 2 2 ( x + y ), z = z ] 10.4 Určete nové souřadnice bodu M[2, 1, 3], jestliže se kartézská souřadnicová soustava otočí okolo osy z o orientovaný úhel α = π. 6 [ 3 [ 1, 1 3 ]], 3 2 2 10.5 Sestavte matici geometrické transformace v E 2, která vznikne složením (v tomto pořadí) rotace okolo bodu S[1, 2] o úhel 45 o a dilatace, v níž se mění měřítko na ose x na poloviční. 2, 2, 0 4 2 T = 2, 2, 0 4 2 1 + 2, 2 3 2 4 2 2, 1 10.6 Určete obrazy bodů S[1, 2] a O[0, 0] a vektoru a = (1, 1) v transformaci podle předcházejícího příkladu. [ T (A) = [ 1, 2], T (0) = [ 1 + 2, 2 ] 3 2 2 4 2 2], T (a) = (0, 2) 10.7 Určete matici inverzní transformace k transformaci podle cvičení 5 z této kapitoly. [ určete T 1, příp. (pořadí!) T 1 = R S, 45 0 D sx=2 ] 10.8 V prostoru E 2 určete afinní transformaci, která má samodružné body O[0, 0] a A[1, 0] a obrazem bodu B[0, 1] je bod B [1, 1]. 1, 0, 0 T = 1, 1, 0 0, 0, 1 10.9 Sestavte matici rotace jako geometrické transformace v E 3, je-li osou rotace přímka o : x = t, y = 2t, z = 1. T = Po o 1 1 R 1 o 1 y R y,ϕ R o1 y P o o1 ; 4 cos ϕ + 1, 2 cos ϕ 2, 2 5 sin ϕ, 0 5 5 5 5 5 2 T = cos ϕ 2, 1 cos ϕ + 4, 5 sin ϕ, 0 5 5 5 5 5 2 5 sin ϕ, 5 sin ϕ, cos ϕ, 0 5 5 2 5 sin ϕ, 5 sin ϕ, cos ϕ 1, 1 5 5 10.10 Maticově popište geometrickou transformaci, která vznikne složením rotace okolo osy z a posunutí ve směru této osy (jde o popis šroubového pohybu). cos ϕ, sin ϕ, 0, 0 matice transformace T = sin ϕ, cos ϕ, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, v 0 ϕ, 1 10.7 Kontrolní otázky 10.1 Jak se liší homogenní souřadnice vlastního a nevlastního bodu.

10.7. Kontrolní otázky 92 10.2 Pomocí geometrických transformací v rovině uveďte příklad dvou matic A a B, pro něž A B = B A, tj. případ zaměnitelného pořadí dvou transformací. 10.3 Pomocí geometrických transformací v rovině uveďte příklad dvou matic A a B, pro něž A B B A, tj. případ nezaměnitelného pořadí dvou transformací. 10.4 Matice transformace v P (E 3 ) je tvaru T = α, 0, 0, 0 0, β, 0, 0 0, 0, γ, 0 0, 0, 0, 1 Do následující tabulky doplňte pro dané hodnoty diagonálních prvků, o jaké souměrnosti se jedná:. α β γ souměrnost podle -1 1 1-1 -1 1-1 -1-1 1-1 1 1 1-1 -1 1-1 1-1 -1 10.5 K maticím souměrností z předcházející otázky stanovte inverzní transformace a formulujte obecné tvrzení o inverzní transformaci k souměrnosti.

Kapitola 11 Nelineární útvary v rovině a v prostoru 11.1 Vektorové a parametrické vyjádření křivek Polohu libovolného bodu X v prostoru E 3 v kartézské soustavě souřadnic (O, e 1, e 2, e 3 ) určíme polohovým vektorem OX. Každé hodnotě parametru t z intervalu J přiřadíme jeden bod X(t), tj. právě jeden polohový vektor X(t). Probíhá-li t interval J, pohybuje se bod X(t) po křivce k. Křivkou k je množina všech bodů X(t) pro t d, h obr. 11.1. S definicí, která podrobněji uvádí požadavky na vektorovou funkci X(t), se setkáte v rámci diferenciálního počtu po zavedení pojmů spojitost a derivace. Z fyzikálního hlediska představuje parametr t čas a křivka k dráhu (trajektorii) bodu X(t). Obrázek 11.1: Rozepsáním vektorové rovnice křivky X(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3 (11.1) do složek obdržíme parametrické vyjádření x = x(t), y = y(t), z = z(t). (11.2) Uvedený postup je zobecněním postupu, který jsme využili při popisu přímky. Pro rovinné křivky, tj. křivky v E 2, je možné postupovat analogicky, resp. vynechat v uvedeném parametrickém vyjádření třetí souřadnice. Uveďme si dále vektorové rovnice některých křivek. Jejich parametrické rovnice utvoříme podle (11.2). 93