0 ODHADY ARAMETR ZÁKLADNÍHO OUBORU as ke sudiu kaioly: 90 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee: roum ojmm: bodový odhad iervalový odhad á vlasosi bodového odhadu um kosruova iervalové odhady ro vybraé aramery ormálího rodleí: sedí hodou royl smrodaou odchylku relaiví eos (odíl) rodíl dvou sedích hodo a rodíl relaivích eosí (odíl) - 30 -
Výklad: 0. Základí soubor výbrový soubor Náhodou veliiu jejíž hodoy i realiaci áhodého okusu oorujeme mžeme osa omocí rých íselých charakerisik (v souvislosi s áhodou veliiou hovoíme asji o aramerech ákladího souboru (oulace) o. o aramerech rodleí áhodé veliiy). K aramerm ákladího souboru aí: sedí hodoa royl smrodaá odchylka relaiví eos ad aramery oulace jsou kosaí hodoy (ro uriou áhodou veliiu). Ve výbrovém souboru (výbru e ákladího souboru (oulace)) le ají íslušé rojšky arameru oulace. íká se jim výbrové charakerisiky a jejich hodoy se mí odle akuálího výbru. ehled ejoužívajších aramer oulace a íslušých výbrových charakerisik ve jejich aeí je uvede v ásledující abulce: Základí soubor (oulace) Výbrový soubor (výbr) sedí hodoa (E) rmr royl výbrový royl s smrodaá odchylka výbrová smrodaá odchylka s odíl (relaiví eos) výbrová relaiví eos Z ravdodobosího hlediska mají výbrové charakerisiky charaker áhodých velii (a áklad rosi jedolivých výbr ele hodoy výbrových charakerisik uri edem). Každá výbrová charakerisika má edy svoje rodleí ravdodobosi keré se aývá výbrové rodleí. Záme-li výbrové rodleí dokážeme odhadou íslušý aramer ákladího souboru. rvodce sudiem Nyí se okusíme výše uvedeou ermiologii rooji s raí. Na ásledujícím kokréím íkladu se okusíme ukáa rodíl mei výbrem (aramery výbru) a oulací (aramery oulace). Dále bychom si a omo íkladu mli ujasi ro oebujeme aramery oulace odhadova: Mjme a. deí rodukci yí (o daém rmru) oceláské firmy - 600 ocelových yí. Naším cílem je uri sedí hodou ažosi cho yí. oulace je v omo íad voea všemi yemi deí rodukce a sedí hodoa ažosi je jede aramer éo oulace. Je ejmé že ožadovaý úkol je eešielý k jeho slí bychom museli uri ažos všech yí (desrukiví kouška) a ameých - 3 -
hodo uri rmr. To je v rai erovedielé. Jedié možé ešeí je okusi se o odhad ohoo arameru. Jesliže vybereme áhod aíklad 0 yí (0 yí mžeme obova ) a uríme jejich rmrou ažos urujeme rmr a je ejmé že jeho hodoa ávisí a kokréím výbru (vybereme-li jiých 0 yí jejich rmrá ažos bude jiá ež v edcháejícím íad). rmr je výbrovou charakerisikou deí rodukce yí a je edy áhodou veliiou. roo mu mžeme iadi jaké rodleí (vi. Limií vy). Záme-li rodleí rmru mžeme vyváe ré úsudky o sedí hodo. Na. dokážeme uri jaká je ravdodobos že sedí hodoa leží v ámi voleém iervalu. Výklad: 0. Bodový a iervalový odhad V éo odkaiole se dovíe jak a áklad alosi výbrového souboru (a jeho charakerisik) ají co ejleší odhad aramer ákladího souboru. Nejdíve si musíme ujasi co si od ojmem ejleší odhad edsavujeme. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhad aramer: bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým íslem a iervalový odhad kdy eo aramer aroimujeme iervalem v mž s velkou ravdodobosí daý aramer leží O om kerý výše uvedeých odhad oužijeme rohoduje kokréí siuace v íž se acháíme. okud oebujeme hledaý aramer vyjádi jediou hodoou (všiou v íadech kdy jej budeme oužíva v dalších výoech) oužijeme bodový odhad. oebujeme-li esjší odhad oužijeme iervalový odhad. že ajdeme v. ierval solehlivosi. Ierval solehlivosi (kofideí ierval) je ierval v mž hledaý aramer leží s daou ravdodobosí. Téo ravdodobosi se íká solehlivos odhadu. íklad: 90%-í ierval solehlivosi ro sedí hodou je ierval v mž sedí hodoa leží s ravdodobosí 90%. Je ejmé že ím vyšší solehlivos odhadu ožadujeme ím širší ierval solehlivosi bude (hledaá hodoa se v m musí acháe s vyšší ravdodobosi). Bohužel o však ubírá a jeho vyovídací schoosi jeho výamos klesá. (Uvdome si jaká je vyovídací schoos iformace že rmrý vk všech lidí a emi leží se 00%-í solehlivosí v iervalu (0; 4) le.) roo v rai vždy hledáme komromis mei solehlivosí a výamosí. - 3 -
Oaíme-li solehlivos odhadu (-) ak se aývá hladiou výamosi. rosoucí solehlivosi odhadu klesá hladia výamosi. V echické rai se solehlivos odhadu se volí ejasji 95% ebo 99% (hladia výamosi edy bývá 5% ebo %). i kosrukci bodových a iervalových odhad budeme oužíva ásledující ojmy: Nech máme áhodý výbr (... ) rodleí s disribuí fukcí F() s eámým aramerem. Možiu všech uvažovaých hodo arameru aýváme aramerický rosor. aisiku θ T(... ) kerá bude slouži ro úely odhadu eámého arameru budeme aýva odhadem arameru její oorovaou hodou ak bodovým odhadem. 0.3 Vlasosi dobrého bodového odhadu Dobrý (vrohodý) odhad musí slova urié vlasosi. Mei ákladí vlasosi vrohodých odhad aí: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaeos 0.3. Nesraý odhad ekeme že odhad je esraý jesliže se jeho sedí hodoa rová hledaému arameru ( E ˆ θ θ ). Zameá o že eo odhad sysemaicky eadhodocuje ai eodhodocuje odhadovaý aramer. labší formou esraosi je asymoická esraos. íkáme že odhad je asymoicky esraý okud: lim Eˆ íklady esraých odhad: je esraým odhadem sedí hodoy (limií vy) Výbrová relaiví eos je esraým odhadem relaiví eosi (odílu) V íad áhodého výbru ormálího rodleí je výbrový royl s esraým odhadem roylu Je eba íci že eisuje moho dobrých odhad keré ejsou esraé. 0.3. Vydaý (eficieí) odhad Nesraos sama o sob earuuje že je odhad dobrý. Rádi bychom dosáhli aké oho aby bodové odhady byly roložey co ejsji kolem odhadovaého arameru. okud budeme mí dva esraé odhady ˆ θ a ˆ θ vybereme si e kerý bude mí meší royl. Tao vlasos se aývá vydaos (eficiece). - 33 -
Jesliže ro dva esraé odhady ˆ θ a ˆ θ laí D ˆ θ θˆ D oom je relaiví eficiece odhadu ˆ θ vhledem k odhadu ˆ θ dáa odílem D ˆ θ θˆ D což je íslo mei 0 a. Nesraý odhad jehož royl je ejmeší mei všemi esraými odhady íslušého arameru se aývá ejleší esraý (eficieí) odhad. íklady ejleších esraých odhad: je ejleším esraým odhadem sedí hodoy (limií vy) Výbrová relaiví eos je ejleším esraým odhadem rel. eosi (odílu) V íad áhodého výbru ormálího rodleí je výbrový royl s ejleším esraým odhadem roylu 0.3.3 Koiseí odhad Další žádoucí vlasosí dobrého odhadu je koisece. Odhad je koiseí okud se s rosoucím rosahem výbru () esuje k emuž docháí okud: a) θˆ je asymoicky esraý j. E ˆ θ θ b) lim Dθˆ 0 Vlasos b) íká že se s rosoucím (rosahem výbru) rodleí θˆ užuje kolem hledaého arameru. íklady koiseích odhad: je koiseím odhadem sedí hodoy roože D 0 ro Výbrová relaiví eos je koiseím odhadem rel. eosi (odílu) roože ( ) D 0 ro 0.3.4 Dosaeý (osaující) odhad Odhad arameru je dosaeý jesliže obsahuje veškerou iformaci o sledovaém arameru kerou mže výbrový soubor oskyou. Zameá o že žádý jiý aramer eobsahuje vší možsví iformace o výbrovém souboru. íklady dosaeých odhad: je dosaeým odhadem sedí hodoy roože ro jeho výoe jsou oužiy všechy hodoy výbrového souboru (ese ejvší iformaci sroveje aíklad s mediáem) Výbrová relaiví eos je koiseím odhadem rel. eosi (odílu) roože ro její výoe jsou oužiy všechy hodoy výbrového souboru - 34 -
0.3.5 Chyba bodového odhadu Bodový odhad je áhodá veliia. I v íad kdy bude bodový odhad slova všechy výše uvedeé ožadavky je ejmé že jeho hodoa vyoea a áklad jedoho výbru bude odlišá od skueé hodoy arameru oulace. Dsledkem éo odlišosi je v. kerá uruje velikos chyby i odhadu a áklad jedoho výbrového souboru. Je-li bodový odhad θ ekresleým odhadem arameru ak míkem esosi odhadu je jeho smrodaá odchylka D θ ro íž se aso oužívá áev sedí chyba. edí chyba udává rmrou chybu odhad ureých rých výbrových souboru daého rosahu. výbrová chyba θ θ 0.4 Kosrukce iervalových odhad V rakických alikacích asji urujeme odhad íslušého arameru omocí iervalového odhadu. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v mž hledaý aramer leží s edem ureou ravdodobosí (solehlivosí) kerou oaujeme (-). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé (dležiá je oue jeda me odhadujeme-li aíklad délku živoa jakého aíeí je ro ás dležiá oue dolí me) ebo dvousraé. 0.4. Jedosraé iervaly solehlivosi U jedosraých ierval se udává oue dolí me (T D ) ebo oue horí me (T H ) odhadu. Je-li dáa oue dolí me odhadu T D (T H ) mluvíme o levosraém iervalu solehlivosi a laí ro j: θ > Ierval T D T D ; se ak aývá 00.(-)%-í levosraý ierval solehlivosi ro aramer. Je-li dáa oue horí me odhadu T H (T D -) mluvíme o ravosraém iervalu solehlivosi a laí ro j: θ Ierval T H ;T H se ak aývá 00.(-)%-í ravosraý ierval solehlivosi ro aramer. 0.4. Obousraý ierval solehlivosi Zajímají-li ás ob mee odhadu (dolí i horí) kosruujeme obousraý ierval solehlivosi. Všiou yo mee urujeme ak aby lailo že ravdodobos že aramer oulace leží od dolí meí byla sejá jako ravdodobos že leží ad horí meí a byla rova /: ( θ TD ) ( θ TH ) - 35 -
Tyo dv odmíky aruují že: T D θ T ) ( H Ierval T ) se ak aývá 00.(- ) %-í ierval solehlivosi ro aramer. ( D TH Obecé meody kosrukce ierval solehlivosi jsou a ároé. ro aše úely se omeíme a iervaly solehlivosi ro aramery ormálího rodleí keré jsou dobe rokoumaé (i roo se ak aso sekáme s ožadavkem a ormaliu racovávaých da). V íad že ákladí soubor emá ormálí rodleí musíme isoui k v. earamerickým meodám odhadu (y však ejsou obsahem cho maeriál). 0.5 Ierval solehlivosi ro sedí hodou Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaeým) bodovým odhadem sedí hodoy je rmr. Nyí si ukážeme jak ají iervalový odhad sedí hodoy. 0.5. Odhad sedí hodoy áme-li smrodaou odchylku edokládejme že sledovaá áhodá veliia má ormálí rodleí jehož royl áme. Zvolme výbrový soubor daé oulace. Nech má eo výbrový soubor rosah a rmr. Využijeme oaku o asymoickém rodleí rmru (vi. Lidebergova-Lévyho va (ka. 7.4.)). Víme že ro dosae velký rosah výbru ( ) je rodleí rmru asymoicky ormálí se sedí hodoou a roylem /: N ; Defiujeme-li áhodou veliiu Z jako: Z víme že Z má ormovaé ormálí rodleí: Z N( 0; ) Nech a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího rodleí. ak mžeme vrdi že: Z - 36 -
- 37 - rvodce sudiem: Úravou ohoo vahu i využií vlasosi symerie ormovaého ormálího rodleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Všime si že s rosoucím rosahem áhodého výbru () šíka iervalu klesá akže se odhad esuje (i kosaí solehlivosi). Naoak i kosaím rosahu výbru se s rosoucí solehlivosí šíka iervalu všuje. Výše uvedeé iervalové odhady oužíváme eje v íadech kdy áme smrodaou odchylku ale i v íadech kdy máme dosae velký výbr 30 a smrodaou odchylku eáme. V cho íadech le ve výše uvedeých vorcích ahradi smrodaou odchylku výbrovou smrodaou odchylkou s aiž by ím vikla výamá chyba. (vi. 8.5.) V omo rvodci sudiem ajdee odrobé odvoeí obousraého iervalu solehlivosi ro sedí hodou (áme-li ): 0; ; Z F F Z N Z Z
- 38 - Výklad: > > 0.5. Odhad sedí hodoy eáme-li smrodaou odchylku V rai se všiou sekáváme s ím že smrodaou odchylku eáme. okud emáme ai dosaeý rosah výbru 30 emžeme ouží výše odvoeé iervaly solehlivosi ro sedí hodou. Je i v akovém íad možé ají iervalový odhad sedí hodoy? ohledem a adáí vememe o vhodé výbrové rodleí e o bude akové keré eobsahuje a iom j mžeme íska ierval solehlivosi ro : kaioly 6.0. víme že áhodá veliia defiovaá jako. T má udeovo rodleí s (-) sui volosi. T Z oho lye že mžeme asa ásledující ravdodobos: ) ( T ) ( kde ; jsou íslušé kvaily udeova rodleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu i využií vlasosi symerie udeova rodleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval:
Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Víme že ro (vysoký oe su volosi v rai ro 30) se udeovo rodleí blíží ormovaému ormálímu rodleí. ro 30 edy mžeme kvaily udeova rodleí ahradi kvaily ormovaého ormálího rodleí a ak vahy ro ureí ierval solehlivosi sedí hodoy v íad eámé smrodaé odchylky echáejí ve vahy ro ureí ierval solehlivosi sedí hodoy v íad ámé smrodaé odchylky v ichž smrodaou odchylku aroimujeme výbrovou smrodaou odchylkou. ešeý íklad: Úvar koroly odiku Ediso esoval živoos žárovek. Koroloi vybrali rodukce odiku áhod 50 žárovek a došli k ávru že rmrá doba živoa cho 50-i žárovek je 950 hodi a íslušá výbrová smrodaá odchylka doby živoa je 00 hodi. Uree 95%- í ierval solehlivosi živoosi žárovek firmy Ediso. ešeí: Chceme ají 95%-í ierval solehlivosi ro sedí hodou živoosi žárovek firmy Ediso iemž eáme smrodaou odchylku živoosi cho žárovek. Máme k disoici iformace ocháející výbru o rosahu 50 žárovek j. rosah výbru je vyšší ež 30 a roo k aleeí íslušého iervalového odhadu mžeme ouží ásledující vah (jde o iervalový odhad sedí hodoy ro ámé kde jsme oložili s) : olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975-39 -
96 (vi. Tabulka ) 0 975 Výbrový soubor: 950 hodi 00 hodi 50 00 00 Dosadíme: 950 96 950 96 0 95 50 50 o úrav dosáváme: ( 9 3 9777) 0 95 T. že s 95%-í solehlivosí mžeme vrdi že živoos žárovek firmy Ediso se ohybuje v romeí 9 hodi 8 miu až 977 hodi 4 miu. ešeý íklad: Obchodí eec TETO si v dubu 006 adal sudii ýkající se ou ákaíku v rodej TETO oruba v áek odolede (od :00 do 8:00) hodi. o jedom msíci sledováí rodejy jsme ískali yo údaje: Daum oe ákaík v TETO oruba (:00-8:00) hodi.5.006 3756 9.5.006 987 6.5.006 304 3.5.006 406 30.5.006 3597 a) Objase ro jsme eískali výbrový soubor o rosahu aleso 30 hodo a jaké jsou dsledky volby výbru o malém rosahu. b) Uree ro maagme ece TETO 95%-í ierval solehlivosi ou ákaíku v rodej TETO oruba v áek odolede. ešeí: ada) adb) ro ískáí výbru o rosahu miimál 30 hodo bychom museli daou rodeju sledova miimál 30 áku (j. déle ež l roku) což by vedlo jedak k výšeí fiaí ároosi sudie jedak bychom museli dlouho eka a výsledky. Z cho dvodu jsme volili meší rosah výbru (5) odovídající msíímu sledováí rodejy. Nevýhodou malého rosahu výbru je íká esos odhadu (omr široký ierval). Urujeme iervalový odhad sedí hodoy s eámou smrodaou odchylkou a malým rosahem výbru roo ro jeho výoe oužijeme ásledující vah: - 40 -
s s olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975 78 (vi. Tabulka ) 0 975 4 Výbrový soubor: 5 i i 5 3756 987 304 406 3597 3576 5 s i ( ) i ( 3756 3576)... ( 3597 3576) 4 693 s 5 5 5 5 Dosadíme: 357 6 78 3576 78 0 95 5 5 88 o úrav dosáváme: ( 4530) 0 95 T. že s 95%-í solehlivosí mžeme vrdi že ávšvos TETO oruba se v libovolý áek v odoledích hodiách bude ohybova v romeí 88 až 453 ákaík. Výklad: 0.6 Ierval solehlivosi ro royl Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaeým) bodovým odhadem roylu je výbrový royl s. Iervalový odhad roylu se hledá jiak v íad že áme sedí hodou oulace (ákladího souboru) a jiak když uo sedí hodou eáme. roože alos sedí hodoy i ealosi roylu eí íliš reálá omeíme se oue a druhý íad. edokládejme že sledovaá áhodá veliia má ormálí rodleí. Zvolme výbrový soubor daé oulace. Nech má eo výbrový soubor rosah a výbrový royl s. - 4 -
- 4 - Z vlasosí rodleí Chí-kvadrá (ka. 6.9) víme že defiujeme-li si áhodou veliiu jako: χ ak má ao áhodá veliia rodleí Chí-kvadrá s (-) sui volosi: χ χ Z oho lye že mžeme asa ásledující ravdodobos: χ ) ( ) ( kde ; jsou íslušé kvaily rodleí s - sui volosi. Úravou ohoo vahu (oor rodleí eí symerické) ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0.7 Ierval solehlivosi ro smrodaou odchylku Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaeým) bodovým odhadem smrodaé odchylky je výbrová smrodaá odchylka s. Iervalový odhad smrodaé odchylky ajdeme sado uvdomíme-li si že smrodaá odchylka je odmociou roylu. aí edy uravi iervalové odhady ro royl.
O edokládejme že sledovaá áhodá veliia má ormálí rodleí. Zvolme výbrový soubor daé oulace. Nech má eo výbrový soubor rosah a výbrovou smrodaou odchylku s. Obousraý ierval solehlivosi uríme jako: ( ) ( ) Obdob je levosraý ierval solehlivosi vymee vahem: ( ) a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: ( ) ešeý íklad: Auoma vyrábí ísové kroužky o daém rmru. i korole kvaliy bylo áhod vybráo 80 kroužk a vyoea smrodaá odchylka jejich rmru 004mm. Odhade 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl a smrodaou odchylku rmru ísových kroužk. ešeí: Nejdíve ajdeme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro royl. ro jeho aleeí oužije ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: 0 95 00 7 (vi. Tabulka 3) 095; 79 Výbrový soubor: 004 0006 mm 80-43 -
o dosaeí: 79 0006 0 95 007 ( 0003 ) 0 95 Jedoduchou úravou ak ískáme 95%-í levosraý ierval solehlivosi ro smrodaou odchylku: ( 0 003 ) 0 95 ( 0 035 ) 0 95 95%-í solehlivosí edy mžeme vrdi že royl rmru ísových kroužk je vší ež.0-3 mm (res. že s 95%-í solehlivosí je smrodaá odchylka rmru ísových kroužk vší ež 46.0 - mm). Výklad: 0.8 Ierval solehlivosi ro relaiví eos (odíl) Nejleším (esraým vydaým koiseím a dosaeým) bodovým odhadem relaiví eosi je výbrová relaiví eos. Jsou-li sly odmíky Moivreovy-Lalaceovy vy ( 30 áme rodleí relaiví eosi (odílu) (vi. ka. 7.5.): Je-li áhodá veliia defiováa jako: ( ) ( ) o. ( ) > 9 ak má áhodá veliia ormovaé ormálí rodleí: ( 0; ) N ) ak Nech a jsou 00. %-í a 00. %-í kvaily ormovaého ormálího rodleí. ak mžeme vrdi že: ( ) - 44 -
- 45 - ešeý íklad: Úravou ohoo vahu i využií vlasosi symerie ormovaého ormálího rodleí ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Uvážíme-li že ro dosae velké výbry mžeme relaiví eos aroimova výbrovou relaiví eosí (vi. Beroulliho va) mžeme vrdi že: Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: i korole daa soeby uriého druhu masové koervy ve skladech roduk masého rmyslu bylo áhod vybráo 30 koerv a jišo že 59 ich má rošlou áruí lhu. aove 95% ierval solehlivosi ro odhad rocea koerv s rošlou áruí lhou. ešeí: ro aleeí 95%-ího iervalu solehlivosi ro relaiví eos oužijeme ásledující vah: olehlivos iervalového odhadu: 95 0 Hladia výamosi: 05 0 095 975 0 005; 96 975 0 (vi. Tabulka )
59 Výbrový soubor: 0 8 30 30 o dosaeí: ( 08) 08 ( 08 ) 08 0 8 96 08 96 095 30 30 ( 0 38 0) 0 95 95%-í solehlivosí mžeme vrdi že mei masovými koervami se v daém skladu acháí mei 38% a % koerv s rošlou áruí lhou. Výklad: 0.9 Rosah výbru Ješ ed ahájeím výbrového šeeí musíme saovi velikos výbrového souboru. Ukáali jsme si že velikos výbru má ímý vliv a esos odhadu aramer ákladího souboru: ím vší rosah výbru ím esjší je iervalový odhad. V ešeém íkladu vovaém sudii ro obchodí eec TETO jsme si však aké ukáali že ekoomické a asové dvody ás mohdy uí voli rosah výbru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou esos výou ovede k co ejmešímu rosahu výbru. ožadovaou esos výou vyjadujeme omocí v. maimálí íusé chyby odhadu. Jde o hodou o kerou jsme ochoi se mýli oroi skueé hodo odhadovaého arameru i daé solehlivosi odhadu (hladi výamosi). íusá chyba odhadu je rova olovi šíky obousraého iervalu solehlivosi. 0.9. Rosah výbru i odhadu sedí hodoy Obdob jako i hledáí iervalu solehlivosi ro sedí hodou musíme i de roliši dva íady: siuaci kdy áme smrodaou odchylku oulace a siuaci kdy uo smrodaou odchylku eáme. a) Záme Obousraý iervalový odhad je dá vahem: - 46 -
- 47 - íslušý iervalový odhad edy mžeme vyjádi ve varu: ± ; olovia šíky obousraého iervalu solehlivosi a edy íusá chyba odhadu je: ožadujeme-li aby íusá chyba odhadu dosahovala i daé solehlivosi odhadu maimál urié íusé hodoy ak rosah výbru uríme jako fukci éo chyby: b) Neáme Obdob jako v edcháejícím íad bychom mohli ukáa že íusá chyba odhadu je: s íusá chyba odhadu je v omo íad eje fukcí hladiy výamosi a rosahu výbru ale ávisí aké a výbrové smrodaé odchylce kerou v íad že ješ emáme saoveý výbr eáme. Její hodou edy musíme odhadou. Obvykle se a ímo úelem rovádí v. edvýbr j. výbr o malém rosahu hož vyoeme výbrovou odchylku s kerou ovažujeme a odhad výbrové smrodaé odchylky s. ak uríme miimálí rosah výbru úravou íslušého vahu: s s o jiší ožadovaého rosahu ak saí doli edvýbr o chybjících (- ) rvk a iervalový odhad ak rovés výbru o rosahu.
0.9. Rosah výbru i odhadu relaiví eosi (odílu) Obousraý ierval solehlivosi je dá jako: ( ) ( ) ; olovia šíky obousraého iervalu solehlivosi a edy íusá chyba odhadu je: ( ) Vidíme že íusá chyba odhadu ávisí eokrá a výbrové relaiví eosi kerou eáme. Nemáme-li žádé iformace o výbrové relaiví eosi mžeme dále osuova dvma soby: a) rovedeme edvýbr hož vyoeme výbrovou relaiví eos kerou ovažujeme a odhad výbrové relaiví eosi. ak uríme miimálí rosah výbru úravou íslušého vahu: ( ) ( ) o jiší ožadovaého rosahu ak saí doli edvýbr o chybjících (- ) rvk a iervalový odhad ak rovés výbru o rosahu. b) Druhou možosí je odhadou výbrovou relaiví eos ejhorší možou variaou j. maimálí hodoou roylu.(-) keré je dosažeo ro 05. ešeý íklad: Výbrovým šeeím bychom chli odhadou rmrou mdu racovík uriého výrobího odvví. Z vyerávajícího šeeí keré robíhalo ed kolika msíci víme že smrodaá odchylka med byla 750-K. Odhad chceme rovés s 95% solehlivosi a jsme ochoi iusi maimálí chybu ve výši 50-K. Jak velký musíme rovés výbr abychom ajisili ožadovaou esos a solehlivos? ešeí: Chceme odhadou rosah výbru ro iervalový odhad sedí hodoy áme-li smrodaou odchylku (vyerávající šeeí koumáí celého ákladího souboru (oulace)). - 48 -
095 005 0975 96 ( Tabulka ) 0975 750 K 50 K Rosah výbru odhademe v omo íad odle vahu: o dosaeí: 750 96 50 8644 Chceme-li dosáhou íusé chyby ve výši maimál 50- K musíme ro aleeí 95%- ího iervalového odhadu rovés výbrové šeeí a souboru o rosahu miimál 865 racovík. Výklad: Na ávr éo kaioly si ješ ukážeme jak ají iervalové odhady ro rodíl sedích hodo dvou oulací a ro rodíl relaivích eosí dvou oulací. 0.0 Iervalový odhad ro rodíl sedích hodo dvou oulací Obdob jako u odhadu sedí hodoy jedé oulace musíme i v omo íad roliši siuace kdy áme a kdy eáme smrodaé odchylky. 0.0. Iervalový odhad ro rodíl sedích hodo dvou oulací áme-li jejich smrodaé odchylky a edokládejme že sledovaé áhodé veliiy a mají ormálí rodleí jejichž royly a áme. Zvolme výbrové soubory daých oulací. Nech mají yo výbrové soubory rosahy a a rmry a. Defiujeme-li si áhodou veliiu Z jako: Z ( ) ( ) - 49 -
- 50 - ak Z má ormovaé ormálí rodleí ( 0; N Z ) a mžeme vrdi že: Z Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0.0. Iervalový odhad ro rodíl sedích hodo dvou oulací eáme-li jejich smrodaé odchylky a Obdob jako v íad odhadu sedí hodoy ro jedu oulaci i de se v rai sekáváme rakicky oue s íady kdy eámé smrodaé odchylky a. edokládejme že sledovaé áhodé veliiy a mají ormálí rodleí jejichž royly a áme. Zvolme výbrové soubory daých oulací. Nech mají yo výbrové soubory rosahy a rmry a a výbrové smrodaé odchylky s a s. V omo íad volíme jako vhodou výbrovou saisiku áhodou veliiu T kerá má udeovo rodleí s ( -) sui volosi T. T je defiováa jako: T kde
- 5 - ak mžeme vrdi že: T Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: s s Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: 0. Iervalový odhad ro rodíl relaivích eosí dvou oulací edokládejme že sledovaé áhodé veliiy a mají ormálí rodleí. Zvolme výbrové soubory daých oulací. Nech mají yo výbrové soubory rosahy a a oy rvk se sledovaou vlasosí a. ak výbrové relaiví eosi uríme jako: ; Defiujeme-li si áhodou veliiu jako: kde ak má ormovaé ormálí rodleí ( 0; N ) a mžeme vrdi že:
- 5 - ešeý íklad: Úravou ohoo vahu ak dosaeme ožadovaý obousraý ierval: Obdob bychom mohli ukáa že levosraý ierval solehlivosi je vymee vahem: a ravosraý ierval ajdeme odle vahu: Diskey dvou velkých výrobc - oik a 5M byly odrobey koušce kvaliy. Diskey obou výrobc jsou baley o 0-i kusech. Ve 40-i balících fy oik bylo aleeo 4 vadých diske ve 30-i balících 5M bylo aleeo 4 vadých diske. Uree 95%-í ierval solehlivosi ro rodíl v roceu vadých diske v celkové rodukci firem oik a 5M. ešeí: Oame si roceo vadých diske v rodukci fy oik a roceo vadých diske v rodukci fy 5M. ro ureí ožadovaého iervalu oužijeme vah:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olehlivos iervalového odhadu: 0 95 Hladia výamosi: 095 0 05 005; 0 975 96 (vi. Tabulka ) 0 975 Výbrové soubory: oik: 5M: 4 40 0 800 4 800 4 4 600 0030 30 0 600 003 ( výbrový odíl vadých diske fy oik) ( výbrový odíl vadých diske fy 5M ) 4 4 007 800 600 o dosaeí: (( 007) 007 ( ) ( 0007) 007) 0 95 0 ( 00 ( ) 004) 0 95 0 ( 0 % ( ) 4 %) 0 95 95%-í solehlivosí mžeme vrdi že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M je v romeí 0 % a 4%. T. že emžeme íci keré diskey jsou kvalijší. V íad že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl áorý ( 0) amealo by o že diskey firmy oik jsou kvalijší (obsahují meší odíl vadých) ež diskey firmy 5M ( ). Obdob v íad že by rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M byl 0 amealo by o že diskey firmy oik mají horší kvaliu (obsahují kladý > - 53 -
. V ašem íad víme že rodíl mei odílem vadých diske firmy oik a odílem vadých diske firmy 5M mže bý jak kladý ak i áorý a roo emžeme íci keré diskey jsou kvalijší. Ale o už jsme se dosali k esováí hyoé jimž se budeme abýva v ásledující kaiole. vší odíl vadých) ež diskey firmy 5M ( > ) hruí: V rakických íadech všiou edokážeme es uri aramery ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakerisiky íslušých výbrových souboru výbrové charakerisiky. Z meodického hlediska oužíváme dva yy odhad aramer: bodový odhad kdy aramer ákladího souboru aroimujeme jediým íslem a iervalový odhad (kofideí ierval) kdy eo aramer aroimujeme iervalem v mž aramer leží s daou ravdodobosí. Téo ravdodobosi íkáme solehlivos odhadu a oaujeme ji (-) aýváme hladiou výamosi. Dobrý (vrohodý) odhad musí slova urié vlasosi. Mei ákladí vlasosi vrohodých odhad aí: esraos (evychýleos ekresleos) vydaos (eficiece) koisece dosaeos V rakických alikacích asji ež bodový odhad urujeme iervalový odhad íslušého arameru. Teo odhad je rereeová iervalem (T D ; T H ) v mž hledaý aramer leží s edem ureou ravdodobosí (solehlivosí) kerou oaujeme (-). Iervaly solehlivosi kosruujeme jako jedosraé ebo dvousraé. V ásledující abulce ajdee ehled iervalových odhad ro aramery ormálího rodleí ve oužiých výbrových charakerisik. - 54 -
- 55 - Iervaly solehlivosi ro aramery ormálího rodleí Odhadovaý aramer Vhodá výbrová charakerisika Rodleí výbrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H áme Z N(0;) eáme T - χ χ iervalový odhad je odvoe iervalového odhadu N(0;) Velikos výbru má ímý vliv a esos odhadu aramer ákladího souboru: ím vší rosah výbru ím esjší je iervalový odhad. Ekoomické a asové dvody ás však mohdy uí voli rosah výbru co ejmeší. V rai roo hledáme komromis kerý ro ožadovaou esos výou (íusou chybu odhadu ) ovede k co ejmešímu rosahu výbru. Odhadovaý aramer Rosah výbru áme eáme Iervalové odhady mžeme ouží aké ke srováváí sedích hodo res. relaivích eosí dvou oulací: Odhadovaý vah mei aramery Vhodá výbrová charakerisika Rodleí výbrové char. Mee obousraého iervalu solehlivosi Dolí me levosraého iervalu solehlivosi Horí me ravosraého iervalu solehlivosi T D T H T D T H - áme ; Z N(0;) - eáme ; T - N(0;
Oáky. Objase rodíl mei ákladím souborem (oulací) a výbrovým souborem.. Jaké áe soby odhadu aramer ákladího souboru? 3. Vysvlee co je o dobrý odhad (vysvlee ojmy: esraos koisece vydaos dosaeos). 4. oiše obec obousraý (levosraý ravosraý) 00.(- )%-í ierval solehlivosi ro jaký aramer. 5. Najde obousraý ierval solehlivosi ro sedí hodou i voleé hladi výamosi ro adaý áhodý výbr ormálího rodleí jehož royl áme (res. eáme). 6. Najde obousraý ierval solehlivosi ro royl i voleé hladi výamosi ro adaý áhodý výbr ormálího rodleí. 7. Najde obousraý ierval solehlivosi ro smrodaou odchylku i voleé hladi výamosi ro adaý áhodý výbr ormálího rodleí. 8. Najde obousraý ierval solehlivosi ro relaiví eos (odíl) i voleé hladi výamosi ro adaý áhodý výbr ormálího rodleí. 9. Najde obousraý ierval solehlivosi ro rodíl sedích hodo ( - ) i voleé hladi výamosi ro adaé áhodé výbry ormálích rodleí jejichž royly áme (res. eáme). 0. Najde obousraý ierval solehlivosi ro rodíl relaivích eosí ( - ) i voleé hladi výamosi ro adaé áhodé výbry ormálích rodleí. - 56 -
Úlohy k ešeí. Náhodý výbr i sá UA má ásledující rolohy (v 000 vereích mil): 47 84 4 85 59 Vyoe 95% ierval solehlivosi ro sedí rolohu každého 50-i sá UA.. Z jedé aralelí skuiy byli áhod vybrái 4 sudei. Jejich výsledky u koušky byly: 64 66 89 a 77 bod. Z druhé aralelí skuiy byli vybrái 3 sudei a jejich výsledky byly: 56 7 a 53 bod. Vyoíeje 95% ierval solehlivosi ro rodíl mei sedími hodoami výsledk obou skui u koušky. 3. V áhodém výbru i vyrábých velkou svovou soleosi 0% i evyhovuje ovým ožadavkm a kvaliu. esroje 95% ierval solehlivosi ro odíl i (v celé rodukci soleosi) keré evyhovují daé orm jesliže rosah výbru je: a) 0 b) 5 c) 50 d) 00 4. Firma uoil se a vás obráila s rosbou da byse emohl(a) odhadou kerý jeho beí dává leší výko (ujeá vdáleos v km) da A ebo B. Vybral(a) jse edy áhod 4 voy a jel jse s každým o éže rase jedou se 4l beíu A v ádrži a odruhé se 4l beíu B. oe ujeých km je v ásledující abulce Beí A Beí B 3 0 7 6 6 4 0 8 Vyoíeje 95% ierval solehlivosi ro sedí rodíl výkou. 5. V roce 954 byla rováda ada okus ro odkoušeí úiosi ové vakcíy roi dské obr. Ze 740 000 dí celých UA 400 000 souhlasilo s okusem. olovia cho dobrovolík byla áhod vybráa jako okusá ro okováí skueou vakcíou korolí olovia byla aokováa oue fyiologickým rookem. Výsledky byly ásledující: kuia oe dí oe výskyu obry Okováí 00 000 58 Korolí 00 000 4 Odmíli se okusu úasi 340 000 5-57 -
a) ro každou e í skui vyoíeje míru oemocí obrou (oe íad a 00.000 dí). b) Odhade sížeí výskyu obry vlivem okováí ve 95% iervalu solehlivosi. (ávod: uree kofideí ierval ro rodíl relaivích o výskyu obry mei okovaou a korolí skuiou a mee iervalu ak eoe a absoluí hodoy) 6. ro realiaci rosáhlého šeeí o difereciaci med ve velkém rmyslovém odiku musíme velmi rychle íska uriou edsavu o rmré odchylce med. Z celkového ou 5.000 amsac jsme jich áhod vybrali 30 a urili rmrou mdu 9.450- K a smrodaou odchylku ve výši.00-k. V jakém iervalu le s 95% ravdodobosi oekáva smrodaou odchylku med v celém odiku? edokládáme že rodleí med v ákladím souboru všech racovík odiku je ormálí. 7. Jaký miimálí rosah výbru ro odhad odílu chyb úovaých oložek musíme avrhou chceme-li i 90% solehlivosi ajisi íusou chybu ± 3 %. O možém odílu chybých oložek emáme i rovádém audiu žádou iformaci 8. Hyermarke Hyer chce ro kvalií služeb oskyovaých ákaíkm krái dobu jejich ekáí u oklade. Náhod bylo vybráo 0 ákaík a byla mea doba jejich ekáí u oklady (edokládáme ormaliu rodleí dob ekáí). Výsledky šeeí (v sekudách): 30 5 390 65 358 55 70 65 50 40. a) V jakých meích le s ravdodobosi 095 oekáva rmrou dobu ekáí ákaíka a obsluhu (v miuách)? b) Jaká je horí hraice doby ekáí kerá ebude s ravdodobosí 095 ekroea? 9. Ageura rovádjící rkum veejého míí láuje šeeí a áklad kerého chce odhadou kolik roce voli odoruje souasou vládí koalici. edokládejme (v rai omu ak ovšem eí) že jsou doaováí vybíráí cela áhod. Kolik doaovaých by mlo bý do výbru aaeo jesliže si vedeí ageury eje aby se odhad výbru elišil od skueého odílu íivc koalice o více ež 3%? (Vole hladiu výamosi 005.) 0. Z 90 koušek mee kluu kosrukí oceli rodukce urié oceláry byl vyoe výbrový rmr 534 Ma a výbrový royl 3948 Ma. Najde 80% iervaly solehlivosi ro sedí hodou a smrodaou odchylku mee kluu. (a edokladu ormaliy da). Tabáková firma TAB rohlašuje že jejich cigarey mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK. ro oveí ohoo rohlášeí bylo áhod vybráo rodukce TAB 0 krabiek cigare (o 0-i kusech) a v ich bylo jišo (46 ± 37) mg ikoiu (v jedié cigare). Ve 5-i krabikách cigare NIK (o 0-i kusech) bylo jišo (489 ± 43) mg ikoiu a cigareu. Nalee 95% ierval solehlivosi ro obsah ikoiu v cigareách TAB.. Ageura TAT udává že v ledu 999 byla v oulaci eské reubliky 30%-í odora D (000 resode) a i rkumu v kvu 999 (600 resode) jisili oue 5%-í odoru éo sray. Na áklad kvového rkumu uie 90% iervalový odhad ohled roceuálího asoueí voli D v celé oulaci. - 58 -
ešeí:. ( 9 677) 095 3. ( 35) 095 7. že s 95%-í solehlivosi mžeme vrdi že sudei obou skui dosáhli rovoceých výsledku 3. a) ( 0 086 086) 095 b) ( 0 08 08) 095 c) ( 0 07 083) 095 d) ( 0 058 04 ) 095 Všime si že rosoucí rosah výbru vede k esováí kofideího iervalu 4. ( 0 70) 095 3. že s 95%-í solehlivosi mžeme vrdi že beíy A a B jsou daého hlediska rovoceé 5. a) kuia Výsky obry a 00.000 dí Okováí 9 Korolí 7 Odmíli se úasi 45 b) ( 00056 00008) 095 ( 559 8 ) 095 0. že s 95%-í solehlivosi mžeme vrdi že okováí vedlo ke sížeí výskyu obry 6. ( 955 70K 63K ) 095 7. 75 7 75 8. a) ( 09 365) 095 b) ( 9 ) 0 95 30 9. 067 068 0. ( 48 9 5377) 080 ( 6 34 98) 080. ( 83 577) 095 6. že s 95%-í solehlivosi mžeme vrdi že cigarey TAB mají ižší obsah ikoiu ež cigarey NIK. ( 0 3 05) 095-59 -