VYUŽITÍ STATISTIKY V POŽÁRNÍM ZKUŠEBNICTVÍ

Eergetcky efektví budovy 05 sympozum Společost pro techku prostředí 5. říja 05, Buštěhrad VYUŽITÍ STATISTIKY V POŽÁRNÍM ZKUŠEBNICTVÍ Otto Dvořák Archtektura a terakce budov s žvotím prostředím, UCEEB, ČVUT, Buštěhrad ANOTACE Příspěvek specfkuje aplkac vybraých statstckých testů k ověřeí, platost ulové hypotézy, odlehlost aměřeých dat z řady měřeí za podmíek opakovatelost, homogety zkušebích vzorků pro mezlaboratorí porovávací zkoušky (MPZ), aplkac grafů Z a Zeta-skóre k ázorému grafckému porováí výsledků jedotlvých účastíků MPZ. SUMMARY The artcle specfes applcato of selected statstcal tests to verfcato of the ull hypothess, measured data outlers from a seres of measuremets uder repeatblty codtos, test samples homogety for terlaboratory profcecy testg (IPT), applcato of the Z - score ad Zeta - score graphs to help to vsual graphcal comparso of dvdual IPT partcpats. ÚVOD I eakredtovaé výzkumé laboratoře musí aplkovat prcpy maagemetu, poltky jakost, vedeí zázamů z měřeí/zkoušek a vyhodocováí ejstot kvattatvích výsledků atd. v souladu s ČSN EN ISO/IEC 705 [], [], [4]. Nedílou důležtou součástí jejch práce je též aalýza aměřeých dat s ohledem a přesost a shodost. Využívají k tomu vybraé statstcké ástroje. TERMINOLOGIE K popsu přesost zk. metod/metod měřeí používá orma ČSN EN ISO 575 - [] dvou termíů: správost a shodost. Přesost (accuracy): těsost shody mez výsledkem zkoušky a přjatou referečí hodotou. Zahruje kombac áhodých složek a složek ze zdrojů systematckých chyb. Shodost (precso): těsost shody mez ezávslým výsledky zkoušek získaým za specfckých zkuš. podmíek. Závsí pouze a rozděleí áhodých chyb. Vychýleí ebo též straost (bas): rozdíl mez středí hodotou výsledků zkoušek/měřeí a přjatou referečí hodotou. K varabltě výsledků přspívají více č méě: - obsluha zařízeí/přístroje, - zkušebí zařízeí/přístroj, - kalbrace přístrojů, - podmíky prostředí (teplota a barom. tlak okolí, prouděí vzduchu atd). 57

Vztah mez uvedeým termíy ázorě vyjadřuje schema a obr.. X = µ + δ + e Naměřeá referečí systematcká áhodá hodota hodota chyba chyba (vychýleí) (shodost) přesost Obr. Složky přesost př zkoušce/měřeí velčy X ZÁKLADNÍ STATISTIKA Před vlastí statstckou aalýzou aměřeých dat je účelé data vzuálě překotrolovat, apř. pomocí bodového grafu (a vodorové ose se vyesou v měřítku výsledky měřeí jako tučé body). Pro větší počet výsledků měřeí ( > 0) lze zkostruovat hstogram (a ose y počet měřeí jako sloupce se stejým počtem bodů, a ose stupce aměřeých dat). Pro základí sumarzac dat je u pož. testů uto počítat výběrový artm. průměr, medá a modus (spíše výjmečě), varačí rozpětí, výběrovou směrodatou odchylku, směrodatou odchylku výběrového artmetckého průměru a/ebo relatví směrodatou odchylku. Výběrový artmetcký průměr ( ):... () Pokud by počet byl celkový, výsledek výpočtu lze ozačt za středí hodotu základího souboru (populato mea): amísto se potom ozačuje symbolem µ. Medá ( ~ ): Je defová jako hodota zaku stojícího přesě uprostřed souboru, který byl uspořádá podle velkost. Jeho staoveí je u souborů s lchým počtem čleů jedoduché. Stačí seřadt hodoty podle velkost a ajít střed (apř. = 3, pak medá je hodotou. zaku). Je využtelý apř. tam, kde se vyskytují hodoty žší apř. ež mez detekce přístroje. U souborů se sudým počtem zaků je medá průměrem dvou sousedích středích hodot. Medá se ozačuje symbolem ~ (s vlovkou). Modus () : Představuje hodotu, která se v souboru vyskytuje ejčastěj (má ejvyšší četost) a je pro soubor charakterstcká. 58

U tervalového rozložeí četostí alezeme modus většou mez hodotam tervalu s ejvyšší četostí, tzv. modálí terval a přblžou hodotu modusu lze vypočítat podle vzorce: ˆ L D D D h () kde L je dolí hrace modálího tervalu, D je rozdíl četostí modálího tervalu a četostí jemu předcházejícímu tervalu, D je rozdíl četostí modálího a ásledujícího tervalu, h je šířka tervalu (vymezeí tervalu, podle kterého bylo provedeo rozděleí). Varačí rozpětí (R): je ejjedodušší mírou varablty. Naměřeá data velčy X seřadíme podle velkost. R je rozdílem mez ejvětší ma a ejmeší aměřeou hodotou m. Výběrová směrodatá odchylka (s): Výběrová směrodatá odchylka s je mírou rozptylu jedotlvého výsledku měřeí kolem výběr. artmetckého průměru. Pro meší počet opakovaých měřeí ( < 0) j lze vypočítat z rozpětí R podle vzorce (4) a př větším počtu měřeí z rozptylu podle vzorce (5). s R k kde k je De- Doův koefcet s velkostí podle počtu měřeí, vz tab.. Tab. Hodoty k pro výpočet výběr. směrodaté odchylky z rozpětí N 3 4 5 6 7 8 9 0 k 0, 886 0, 59 0, 486 0, 430 0, 395 0, 370 0, 35 0, 337 0,35 R ma m (3) (4) s ( ) ( ) (5) Směrodatá odchylka výběrového průměru ( s ) Vypočteme ho podle vzorce (6). Udává terval kolem výběr. artmetckého průměru, ve kterém se s určtou pravděpodobostí alézá artmetcký průměr základího souboru. X 59

( ) ( s s ( ) ( ) ) (6) Relatví směrodatá odchylka (sr): Ozačuje se též jako varačí koefcet (vk). Častěj se vyjadřuje v procetech. vzorce je patro, že vyjadřuje její podíl z artm. průměru. s sr 00(%) (7) LINEÁRNÍ REGRESE A KORELACE V pra požárích testů/měřeí se může jedat o staoveí apř. dvou velč, z chž jeda je závslá a druhé, podle vztahu y = f(). Pokud je tato závslost leárí lze vyjádřt rovc přímky ve zámém tvaru. y b a (8) kde b je směrce přímky, a je úsek, který přímka vytíá a ose y. Pro výpočet parametrů a a b leárí regrese se obvykle užívá metoda ejmeších čtverců. Pro výpočet lze aplkovat vzorce (9) a (0): Ze a y b y b (9) b ( )( y y) y y ( ) ( ) (0) Metodou leárí regrese vypočítáme parametry přímky proložeé aměřeým body tak, aby pokud možo co ejvíce ležely a této přímce. Jak těsě aměřeé body leží a přímce můžeme vyjádřt tzv. korelačím koefcetem (r) s velkostí od - do +. Čím více se korelačí koefcet blíží, tím je těsost závslost vyšší. Korelačí koefcet lze vypočítat podle vzorce (): r y y y K terpretac vypočteé hodoty r se užívá tzv. koefcet determace, což je druhá moca koefcetu korelace vyásobeá 00. y () 60

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI Ve statstce mají slova výzamost, výzamý specfcký výzam. Výzamá dferece zameá dferec, která pravděpodobě evzkla čstě áhodým výběrem. Lze j odhalt testy výzamost. Jestlže je jeda řada dat výzamě odlšá od druhé, odlšost závsí ejeom a velkost průměré odchylky, ale též a počtu dat a jejch rozptylu. Takové řady dat se aměří apř. př testováí vlvu určtého faktoru a výsledek zkuš. metody, př porováváí dvou rozdílých zkuš. metod ebo přístrojů č obsluhy a v eposledí řadě př mezlaboratorích porovávacích zkouškách (MPZ). Výzamost je tak fukcí velkost výběru. Naštěstí jsou k dspozc statstcké tabulky s krtckým hodotam rozdílů mez průměry a krtckým t-hodotam a krtckým F-hodotam pro rozdíly v rozptylu. Podle statstcké teore se ověřuje platost: - ulové hypotézy: výsledek podle staré metody A = výsledku podle ové metody B, - alteratví hypotézy: výsledek podle staré metody A výsledku podle ové metody B. Možost, že A a B jsou pouze odlšé (dvoustraý test) je větší ež případ, že A je větší (ebo meší) ež B (jedostraý test). Test a homogetu zkušebího vzorku Základím předpokladem pro poztví výsledky apř. MPZ je, aby plotí laboratoř přpravla účastíkům homogeí vzorky. Pokud má být přpraveo pro účastíků a k zkušebích vzorků pro apř. chemckou aalýzu, lze přpravt. k zkušebích vzorků celkem a z ch odebrat áhodým způsobem k vzorků ke kotrolí aalýze apř. se dvěma opakováím a každém vzorku. Zadáí: - počet kotrolích vzorků: k - počet opakováí: - jedotlvé výsledky: yj, když =,,,k a j =, (počet opakováí) Výpočty: - průměrů jedotlvých měřeí : = y j= j () - celkového průměru: = k k = (3) - celkového rozptylu: R A =. k = ( ) (4) k - rozptylu rezduálího: R R = = j=(y j ) (5) - Testovací charakterstky: F = R A (N k) R R (k ) (6) Vyhledáí v tabulkách [5]: Kvatlu Fα /d /, když N = k. 6

Hodoceí: Když je F > Fα, jsou rozdíly mez zkušebím vzorky výzamé evhodé pro MPZ. Pokud je tomu aopak, jsou zkuš. vzorky vhodé. F-test (Fsherův test) Jím se porovává rozptyl výsledků apř. s a s s cílem zjstt, zda jsou vhodé a zda je možé apř. obě řady dat spojt do jedé. Postup: Vypočte se Fhodota= s / s (7) Když v čtatel musí být větší číslo. Z tabulek [5] se odečte hodota Fkrt př zalost (-) a (-) stupňů volost pro prví a druhou řadu dat s 95 % kofdečí úroví. Pokud data pocházejí ze stejého základího souboru, potom bude platt, že Fkrt Fhodota, což zameá, že rozptyl dat v obou řadách eí výzamě odlšý (ulová hypotéza je akceptováa). t-test (Studetův test) Jedá se o statstcký postup používaý k porováí průměrých hodot obou řad s podobým směrodatým odchylkam podle F - testu. Aplkace je jedoduchá př použtí ecelovské tabulky s vložeým fukcem a dostupostí statst. tabulek s krtckým hodotam tkrtt. [5]. Testováí probíhá tak, že se vypočtou ejprve t-hodoty podle ásledujících vzorců: - pro dvoustraý test - pro jedostraý test t = t = /d / μ/ s/. / - pro rozdíl mez ezávslým výběrovým průměry (8) s d (9) t = /( )/ s p. + kde je výběrový průměr, μ je průměr základího souboru (středí hodota), /d/ je absolutí hodota rozdílu mez párovým průměry, s je výběrová směrodatá odchylka zkuš. výsledků,, jsou ezávslé výběr. artmetcké průměry,, jsou počty měřeí prvího a druhého výběru, sc je sdružeá stad. směrodatá odchylka podle vzorce (), s a s jsou výběrové směrodaté odchylky řady a. s c = s ( )+s ( ) ( + ) (0) () 6

Následě statstk porová vypočteou t-hodotu s krtckou hodotou tkrt odečteou z tabulek [3]. K vyhledáí krtckých hodot je zapotřebí zát: jedostraý ebo dvojstraý test (podle směru dferece), stupeň volost ν = -, s jakou jstotou s žádáme výsledek. Pro pož. laboratoř běžě dostačuje 95 % kofdecí úroveň. Např. pro 0 měřeí (ν=9) a 95 % kofdečí úroveň lze z tabulek odečíst tkrt=,6. Když je thodota > tkrt lze ulovou hypotézu zamítout se závěrem, že je zde výzamá dferece mez ovou a starou zkušebí metodou. To však ještě emusí zameat, že by ová metoda měla být zavržea. Záleží a tom, jestl v prcpu daému účelu vyhovuje. Test výzamost je pouze část formace ke zvážeí. Test a odlehlé hodoty ve výběrové řadě- Grubsův test Pokud ezáme směrodatou odchylku základího souboru σ a středí hodotu základího souboru m, lze aplkovat ásledující postup pro apř. jedostraý test: - výsledky měřeí velčy setřídíme do uspořádaého výběru y y y3. y, - vypočteme výběrový průměr podle () a výběrovou směrodatou odchylku podle vztahu (5), - pro rozhodutí, zda y a y hodoty patří do základího souboru s ormálím rozděleím vypočteme velčy G a G podle vzorce (): G = y y s a G = y y s () Výsledky porováme s hodotou h z ásledující tabulky č. pro zámé (rozsah výběru) a zvoleou hladu výzamost α (v požárí laboratoř obvykle 0,05). Tab. č. Mezí hodoty h pro rozsah výběru a př hladě výzamost α = 0,05 [3] Rozsah výběru 3 4 5 6 7 8 9 0 Mezí hodota h,55,48,75,887,00,6,5,90,355,4 Pokud U h a/ebo U h, podezřelý výsled/ek/y vyloučíme, v opačém případě e. Cochraův test a odlehlost dat z hledska přesost Tímto testem lze prověřt, zda apř. jeda laboratoř eposkytla výsledky z větším rozptylem (s meší přesostí) ež ostatí laboratoře, jejchž výsledky statstk uspořádá a vepíše do tabulky. Výsledky jsou v tabulce uspořádáy tak, aby v prví řádce byla laboratoř s ejžším a v posledí řádce s ejvyšším aměřeým hodotam (pořádková statstka = order statstc). Pro výsledky jedotlvých laboratoří vypočítá jejch výběrové rozptyly (varace) a z ejvyššího odhadu sma kostruuje Cochraovo krtérum podle vzorce (3) C = sma p / = s, (3) 63

které ásledě porovává s tabelovaým krtckým hodotam Cαkrt (j, ν) [], [3] a hladách výzamost α = % a α = 5 % pro počet stupňů volost ν = -. Pokud jeda laboratoř poskytla odlehlý výsledek, počet laboratoří se sžuje a = - a provede se druhé kolo testováí. Pokud se ve druhém kole zjstí laboratoř s vybočeým výsledky, zahre je do zpracováí. Zbylé výsledky se považuj za přesé. Odlehlý výsledek je výsledek, do kterého se promítají eáhodé chyby, apř. hrubé. Nezahrují se do statstckého vyhodoceí. Platí ásledující pravdla: C > Cα=0,0,crt(p, ν) Laboratoř poskytla odlehlý výsledek Cα=0,0,krt(p, ν) > C > Cα=0,05,crt (p, ν) Laboratoř poskytla vybočeý výsledek Cα=0,05,krt (p, ν) > C Výsledek laboratoře je zatíže pouze áhodou chybou Vysvětlvky: je počet laboratoří, =,,..,,.p Deaův a Doův test a odlehlost dat z hledska správost Tímto testem lze prověřt, zda laboratoř eposkytla výzamě odlšé hodoty výsledků v porováí s ostatím (esprávé) ež ostatí laboratoře. Statstk uspořádá dodaé výsledky a vepíše do tabulky. Z ch kostruuje Dea-Doovo krtérum podle ásledujících vzorců: Q =( -)/R, pro horí okraj, (4) Q =( -)/R, pro dolí okraj, (5) Následě porová výsledky s krtckou hodotou Qα v tabulkách [5]pro příslušé a α. Pokud je Q ebo Q > Qα, je aměřeý výsledek odlehlý a vylučuje se. Určeí z-score a zeta-score Laboratoře lze ázorě hodott pomocí grafů z a zeta score [8], když zscore = (y μ) σ kde y je průměrý výsledek -té laboratoře, μ je správá/ referečí /vztažá hodota pro testovaou úroveň, σ je terčová hodota, směrodatá odchylka určující přípustou úrově zaku v MPZ. Možost určeí μ: - po dohodě zúčastěých laboratoří, - vlastost vzorku je záma (jedá se o certfkovaý materál, CRM), - porováím aměřeých výsledků s CRM. Možost určeí σ, která specfkuje přípustou odchylku úroveň zaku v MPZ: - jako směrodatou odchylku reprodukovatelost sr, - jako taatvě staoveou přesost zkuš. metody podle zkuš. postupu. Výsledky měřeí velčy ( odlehlé) setřídíme do uspořádaého výběru pro jedotlvé úrově (vzestupě), podle vzorce (6) vypočteme z-score a z ch jsou sestrojey grafy. Odlehlé výsledky jsou patry mmo vyzačeý terval způsoblost (6) zetascore = (y μ) (u μ + u ) (7) kde uμ je stadardí ejstota vztažé hodoty. u je stad. ejstota výsledku laboratoře 64

Odhad rozšířeé ejstoty výsledků staoveí Stručou formac k možému postupu odhadu čteář aleze v odkazu [4]. ZÁVĚR Jsou uvedey stručě vybraé jedoduché statstcké testy vhodé pro hodoceí výzamost výsledků požárích testů. Potřebé výpočty výzamě ulehčí a zrychlí aplkace komerčích SWs, apř. Mcrosoft Ecel Worksheet, ANOVA atd. Nuto zdůrazt, že statstka je v tomto případě výzamý pracoví ástroj, e cíl. Podrobější formace k další souvsející problematce, apř. valdac ově vyvutých ebo zaváděých zk. metod, možostem verfkace zkuš. zařízeí, určeí míry opakovatelost a míry reprodukovatelost zkuš. metody atd. čteář aleze v použté lteratuře. Je zřejmé, že zalost základích statstckých metod hodoceí výsledků zkoušek je pro vysokoškolského pracovíka této laboratoře utostí a musí být jedím z kvalfkačích předpokladů. LITERATURA [] ČSN EN ISO/IEC 705: 005 Posuzováí shody Všeobecé požadavky a způsoblost zkušebích a kalbračích laboratoří. [] DVOŘÁK, O. Způsoblost výzkumých laboratoří k měřeí př epermetálích zkouškách a chemckých aalýzách v oblast požárí ochray. Sborík příspěvků z mezárodí koferece Požárí ochraa 05. Ostrava: VŠB TUO, 05, s. 53-55. [3] ČSN ISO 575-: 997 Přesost (správost a shodost) metod a výsledků měřeí Část : Základí metoda pro staoveí opakovatelost a reprodukovatelost ormalzovaé metody měřeí. [4] DVOŘÁK, O. Odhady ejstot v laboratořích RP UCEEB. Stručý úvod. Buštěhrad: 05, Basecamp.com/03/projects/39647/attechmets [5] LÍKEŠ J., LAGA J. Základí statstcké tabulky. Praha: SNTL, 967. [6] ANDĚL, J. Matematcká statstka. Praha: SNTL, [7] JANKO, J. Statstcké tabulky. Praha: Nakladatelství ČAV, 958. [8] ČSN EN ISO/IEC 7043: 00 Posuzováí shody Všeobecé požadavky a zkoušeí způsoblost. PODĚKOVÁNÍ Teto příspěvek vzkl za podpory Evropské ue, projektu OP VaVpI č. CZ..05/..00/03.009 Uverztí cetrum eergetcky efektvích budov. 65