Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami o rovnicích, (viz obrázek): S Rozdělme interval na stejných dílků. Položme a Funkce b Z obrázku je zřejmé, že pro všechna platí nerovnost kde je součet obsahů menších obdélníků (které jsou schovány v šedé ploše), součet obsahů větších obdélníků (které naopak šedou plochu pokrývají), viz obrázek: S Platí x 0 =a x 1 x 2 x 3... x n =b Nyní se zajímáme o to, zda posloupnosti a konvergují, a pokud ano, zda konvergují ke stejnému číslu. Pokud je tato podmínka splněna, znamená to podle věty o limitě sevřené posloupnosti, že z nerovností plyne rovnost čísla společné hodnotě těchto dvou limit. Vypočítáme nejprve Z této nulovosti vyplývá, že existují li limity posloupností a, jsou si rovny. Stačí tedy vypočítat pouze jednu z nich. Máme Obě limity jsou rovny číslu, čemuž je roven i obsah. To, že primitivní funkce k je rovna a rozdíl, není náhoda. 2. Rozdělení intervalu Definice (Rozdělení intervalu). Rozdělením intervalu nazveme každou konečnou množinu takovou, že.
Definice (Norma rozdělení). Nechť, kde, je rozdělení intervalu. Číslo nazýváme normou rozdělení, značíme. 3. Definice integrálu Definice (Riemannův určitý integrál). Nechť. Řekneme, že číslo je Riemannovým určitým integrálem funkce od do (značíme ) právě tehdy, když pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost (Výrazu říkáme integrální součet.) Pokud je uvedená podmínka splněna, říkáme též, že je na intervalu (riemannovsky) integrovatelná (nebo též, že Riemannův integrál existuje). Poznámka (Jednoznačnost integrálu). Existuje li číslo podle předchozí definice, je dáno jednoznačně. To opravňuje použité značení. (Důkaz je jednoduchý, podobný jako u pojmu limita posloupnosti či funkce.) 4. Základní lemma integrálního počtu Lemma (Základní lemma integrálního počtu). Nechť. Funkce je na riemannovsky integrovatelná právě tehdy, když pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že, a pro libovolnou volbu čísel tak, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita Navíc, je li podmínka výše splněna, limita je nezávisle na volbě posloupnosti a bodů rovna číslu. Důkaz. : Nechť je integrovatelná na, tj. existuje jednoznačně určené tak, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Zvolme libovolnou posloupnost tak, že a libovolnou volbu čísel. Podmínka říká, že Chceme ukázat, že existuje. Ukažme, že tato limita existuje a je rovna, tj. ukažme, že Zvolme libovolné. K němu najděme z podmínky. Z podmínky najděme k tomuto číslo. Toto číslo již splňuje podmínku, čímž je implikace dokázána. : Předpokládejme, že limity existují a jsou konečné. Ukažme nejprve, že jsou všechny stejné, tj. nezávisí na volbě posloupnosti a čísel. Zvolme libovolné dvě posloupnosti a a volby,. Sporem: předpokládejme, že by limity integrálních součtů příslušných k posloupnostem a (a přísl. volbám ) byly různé. Sestrojme posloupnost, limita integrálních součtů příslušných k této posloupnosti musí podle předpokladu konvergovat, což je spor, neboť obsahuje dvě podposloupnosti s různými limitami. Označme jejich společnou hodnotu limit. Nyní dokážeme, že je integrovatelná na a hodnota. Předpokládejme, že to není pravda. Pak platí
Dosaďme za postupně čísla pro a nalezněme z této podmínky příslušné. Pak posloupnost splňuje podmínku a tedy limita integrálních součtů příslusných k posloupnosti konverguje k, což je spor s. 5. Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci Riemannova integrálu Věta (Bolzanova Cauchyova podmínka pro Riemannův integrál). Nechť Pak je na integrovatelná právě tehdy, když pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Důkaz. : předpokládáme, že je na integrovatelná, tj. pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Chceme ukázat, že platí podmínka. Zvolme libovolné. Klaďme a najděme příslušné z podmínky. Položme. Pak skutečně pro každá dvě rozdělení, taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, platí podle trojúhelníkové nerovnosti : Předpokládejme naopak, že platí podmínka. Použijeme základní lemma integrálního počtu: ukážeme, že pro každou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že a pro libovolnou volbu čísel takovou, že pro, kde pro všechna, existuje vlastní limita kde K tomu stačí ukázat dle Bolzanovy Cauchyovy podmínky, že je cauchyovská, tj. že Zvolme. K němu najděme z předpokladu. Podmínka říká, že Najděme k z příslušné. Pak z dostaneme, že pro libovolné je, tedy je cauchyovská posloupnost. 6. Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce Lemma (Omezenost riemannovsky integrovatelné funkce). Buď integrovatelná na. Pak je na omezená. Důkaz. Z integrovatelnosti plyne existence jednoznačně určeného takového, že pro všechna existuje tak, že pro všechna rozdělení intervalu, kde, splňující a pro každou množinu čísel, kde pro všechna je, platí nerovnost Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že není na omezená. Zvolme v podmínce. Najděme k němu příslušné. Zvolme libovolné rozdělení takové, aby. Pro něj pak bude platit
Z neomezenosti plyne, že musí být neomezená alespoň na jednom z intervalů,. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že není omezená na. Z pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti dostaneme nejprve a rozepíšeme li sumu lze odhadnout první sčítanec takto: odkud plyne Nyní stačí volit vhodně tak, aby tato nerovnost nebyla splněna (což je díky neomezenosti možné) spor. 7. Integrovatelnost 7.1. Integrovatelnost spojité funkce Věta (O integrovatelnosti spojité funkce). Buď spojitá na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Využijeme Cantorovy věty, která říká, že je na spojitá stejnoměrně, tedy Ukážeme, že pro platí Bolzanova Cauchyova podmínka pro existenci integrálu, tzn. pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme tedy libovolně a hledejme k němu příslušné. Pro libovolné, utvořme jejich sjednocení, které bude obsahovat dělicí body z obou rozdělení. Je jistě i. Nechť, kde. Volme body, kde libovolně. Nejprve učiníme pomocí trojúhelníkové nerovnosti následující odhad: Odhadněme nejprve první absolutní hodnotu ze součtu, tj. výraz V každém intervalu, atd. leží vždy obecně několik dělicích bodů. Předpokládejme, že například první interval obsahuje body pro nějaké. Pak a=x 0 =z 0 z 1 z 2 z 3 x 1 =z k... b takže lze psát Podobný odhad lze učinit se všemi intervaly,,... a celý proces i s druhou absolutní hodnotou v. Položíme li nyní v
a, lze dále odhadnout odkud plyne pro celý výraz odhad Pro druhou absolutní hodnotu v dostaneme stejným způsobem také odhad, což dohromady dá požadovanou nerovnost. 7.2. Integrovatelnost monotónní funkce Věta (O integrovatelnosti monotónní funkce). Buď monotónní na. Pak je na integrovatelná. Důkaz. Důkaz je podobný jako u tvrzení o spojité funkci. 8. Vlastnosti Riemannova určitého integrálu Definice (Definice Riemannova integrálu s opačně uspořádanými mezemi). 1. Buď integrovatelná na. Pak klademe. 2. Buď definovaná v bodě. Pak klademe. 8.1. Linearita Věta (Linearita Riemannova určitého integrálu). Nechť, jsou integrovatelné na,. Pak je integrovatelná na a platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí přičemž limity vpravo existují, jsou konečné a jsou rovny resp. (opět dle zákl. lemmatu integrálního počtu). Proto integrál existuje a platí pro něj vzorec. 8.2. Aditivita v mezích Lemma (Integrabilita na podintervalu). Nechť je integrovatelná na, nechť. Pak je integrovatelná na. Důkaz. Použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku pro existenci Riemannova integrálu. Chceme ukázat, že pro každé existuje tak, že pro každá dvě rozdělení, intervalu taková, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platí Zvolme libovolná dvě rozdělení, intervalu. Tato rozdělení jdou vždy doplnit stejnými dělicími body z doplňku tak, aby vznikla rozdělení a intervalu, která budou obsahovat body,, budou splývat na a přitom a. σ 1 a c σ 2 d b Provedeme li shodně i volbu bodů resp. na doplňku, rozdíl integrálních součtů zůstane stejný při přechodu od a k,, neboť části sum odpovídajících doplňku se odečtou:
Podmínka pak plyne z BCP použité na interval. Lemma (Integrabilita na sjednocení dvou sousedních intervalů). Nechť je integrabilní na a. Pak je integrabilní na. Důkaz. K důkazu využijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost intervalu, kde, takovou, že. Body volme libovolně. Definujme rozdělení intervalu a rozdělení intervalu takto: Volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě posledního (který leží v intervalu s hraničním bodem ), ten volme libovolně. Podobně volme body příslušné k tak, aby splývaly s body na kromě prvního bodu. Označme Téměř všechny sčítance v se navzájem odečtou, až na tři: ze sum zůstanou ty členy, které odpovídají částečným intervalům obsahujícím bod, tj. Protože je omezená na a, existuje tak, že pro všechna. Z vyjádření plyne odhad a tedy Spolu s dostaneme, že Pravá strana je přitom podle zákl. lemmatu integrálního počtu rovna Limita integrálních součtů tedy existuje a je konečná a rovna, odkud podle základního lemmatu integrálního počtu Věta (Aditivita Riemannova určitého integrálu v mezích). Buď,. Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: Pak platí je integrovatelná na a, je integrovatelná na. Důkaz. Pokud platí první podmínka, vše plyne z lemmatu výše. Pokud platí druhá podmínka, je podle lemmatu o integrabilitě na podintervalu integrabilní i na a. Vzorec dokážeme pomocí základního lemmatu integrálního počtu. Zvolme posloupnost rozdělení takovou, že a, kde. Definujme rozdělení intervalů a vztahy
Nechť,. Body příslušné k volme libovolně. Pak platí odkud limitním přechodem plyne. Věta (Zobecnění aditivity určitého integrálu). Buďte, nechť v následující rovnosti existují alespoň dva integrály. Pak existuje i ten třetí a platí Důkaz. Je li mezemi. 8.3. Nerovnosti, plyne tvrzení z předchozí věty. Další případy jsou snadným důsledkem definice určitého integrálu s opačně uspořádanými Věta (Nerovnosti mezi integrály). Nechť jsou integrovatelné na a. Pak platí Důkaz. Použijeme základní lemma integrálního počtu. Zvolme libovolnou posloupnost rozdělení intervalu takovou, že ; označíme jako obvykle, kde (dělicí body jsou voleny libovolně, platí ). Pak platí pro všechna a odkud takže i odkud konečně limitním přechodem dostaneme. 8.4. Trojúhelníková nerovnost Věta (Trojúhelníková nerovnost pro Riemannův určitý integrál). Nechť je integrovatelná v. Pak je integrovatelná v a platí Důkaz. Nejprve ukážeme, že je integrovatelná na. K důkazu použijeme Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Zvolme. Hledejme tak, aby pro každá dvě rozdělení, tak, že,, a pro libovolnou volbu příslušných bodů,, kde,,, pro všechna, platilo Z BCP použité na funkci je zřejmé, že existuje takové, že pro každé rozdělení a libovolné volby a, kde, a, je Zvolme, libovolně tak, že a. Postupujeme podobně jako v důkazu věty o integrabilitě spojité funkce: nechť je sjednocení těchto dvou rozdělení. Potom
kde a volíme z tak, aby a Stejný postup provedeme i pro další sčítance. Nakonec tak celkem dostaneme Vztah ( ) dokážeme snadno ze zřejmých nerovností s použitím věty o nerovnostech. 8.5. Výjimky Věta (Integrovatelnost funkce rovnající se integrovatelné funkci až na konečný počet výjimek). Buď integrovatelná v. Nechť platí v celém intervalu až na konečný počet výjimek. Pak je integrovatelná a Důkaz. Označme. Pak je nenulová pouze v konečně mnoha bodech intervalu. Označme. Zvolme libovolně. Pak pro každé rozdělení, kde, intervalu, pro které, a pro libovolně zvolená, kde, platí proto přímo podle definice určitého integrálu je integrovatelná na a je. Tedy je na integrovatelný i součet a platí. 8.6. Integrál jako funkce meze Věta (O spojitosti a diferencovatelnosti určitého integrálu jako funkce meze). Nechť je integrovatelná na,. Pak funkce je spojitá na. Navíc, je li bod bodem spojitosti, je v tomto bodě diferencovatelná a ; analogické tvrzení platí pro body zprava a zleva. Důkaz. je definovaná na celém, jak plyne z tvrzení o integrabilitě na podintervalu. Zvolme bod libovolně. Ukážeme, že je spojitá v bodě, tj. že Z integrovatelnosti funkce vyplývá, že je na omezená, tj. existuje tak, že pro všechna je. Zvolme libovolně. Pak s využitím trojúhelníkové nerovnosti lze tedy volit. Buď nyní, nechť je v bodě spojitá, tj. Chceme ukázat, že, což je podle definice derivace ekvivalentní s podmínkou Zvolme libovolně, volme dále libovolně a. Pak pro, je
Věta (O existenci primitivní funkce). Buď spojitá na. Pak k ní na existuje primitivní funkce. Důkaz. Zvolme libovolně, položme pro. Pak podle předchozí věty je diferencovatelná na a platí pro všechna. je tedy hledanou primitivní funkcí k. 9. Výpočet Riemannova integrálu Věta (Newtonova formule). Nechť je integrovatelná na, spojitá na, nechť platí pro všechna až na konečný počet výjimek. Pak platí Důkaz. Nechť nejprve vztah platí všude na bez výjimek. Nechť je libovolná posloupnost rozdělení intervalu taková, že. Nechť, kde,,, je kde čísla jsme obdrželi z Lagrangeovy věty o přírůstku funkce. Limitním přechodem v poslední nerovnosti dostaneme tvrzení věty: Nechť nyní vztah platí pro každé až na výjimky, kde. Označme,, pak podle předchozího odstavce je š Sečtením těchto nerovností dostaneme podle věty o aditivitě integrálu v mezích tvrzení věty: Poznámka. Rozdíl v tvrzení předchozí věty často značíme symbolem. Věta (Per partes pro určitý integrál). Nechť existují integrály a. Pak platí: Důkaz. Z existence integrálů plyne diferencovatelnost funkcí a tedy i spojitost na ; z diferencovatelnosti plyne možnost použít větu o derivaci součinu, tj. pro všechna. Odtud a z existence integrálů a plyne i existence integrálu a jeho hodnota Protože je primitivní k na a spojitá na, lze použít Newtonův vzorec a vypočítat což spolu s předchozím vztahem dává tvrzení věty. Věta (Substituce v určitém integrálu). Nechť je spojitá na, nechť existuje integrál. Pak existuje a je mu roven. Důkaz. Předpokládejme, že. Z existence integrálu plyne spojitost a diferencovatelnost na, takže je uzavřený interval,
označme ho. Ze spojitosti na plyne existence integrálu. Označme (a uvažujme ). Pak je spojitá na a vztah platí na. je proto spojitá na a vztah platí pro (díky (jednostranné) diferencovatelnosti v krajních bodech vztah funguje i uvnitř intervalu v bodech, kde by případně nabývala hodnot ). Dvakrát použitým Newtonovovým vzorcem dostaneme rovnosti 10. Věty o střední hodnotě Věta (První věta o střední hodnotě). Nechť jsou integrovatelné v a je v nezáporná. Pak existuje tak, že platí Důkaz. Z integrovatelnosti a na plyne, že také součin je integrovatelný v. To lze ukázat pomocí BCP podobně jako v tvrzení o trojúhelníkové nerovnosti pro integrály. Pro všechna je kde je vhodná konstanta splňující a pro všechna (její existence plyne z omezenosti integrovatelných funkcí ). Vlastní tvrzení věty dokážeme takto: zřejmou nerovnost platnou pro všechna vynásobíme (nezáporné číslo, nerovnosti se nezmění) a zintegrujeme od do. Tak dostaneme Je li, pak z uvedené nerovnosti plyne a lze volit libovolně. Je li, pak nerovnost vydělíme: Položíme li nyní rovno zlomku uprostřed, tvrzení je dokázáno. Příklad. Pomocí první věty o střední hodnotě odhadněme Riemannův integrál. Řešení. Označme,. Je Proto podle první věty o střední hodnotě je kde. Výsledek lze také zapsat v symetrickém tvaru Věta (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť je integrovatelná na, monotónní na. Pak existuje tak, že Důkaz. Integrovatelnost plyne z její monotonie, integrovatelnost součinu viz důkaz první věty o střední hodnotě. Pokud je konstantní, lze volit libovolně a věta plyne z aditivity určitého integrálu v mezích. Předpokládejme proto, že není konstantní. Předpokládejme dále například, že je na klesající (pro rostoucí funkci by se postupovalo obdobně). Protože z tvrzení platného pro dvojici funkcí plyne platnost tvrzení pro dvojici, kde je libovolná konstanta, můžeme navíc předpokládat, že a (to lze vždy zajistit přičtením vhodné konstanty k funkci ). Máme tedy ukázat, že existuje takové, že
Protože funkce je spojitá na, nabývá na něm všech hodnot mezi a. Stačí tedy ukázat, že Zvolme libovolné rozdělení intervalu. Nechť, kde. Vynásobíme zřejmou nerovnost nezáporným číslem : Sečteme li tyto nerovnosti pro, dostaneme kde jsme označili Přitom jde upravit na tvar Studujme, jak se poslední výraz liší od hodnoty. Protože je integrovatelná, je na omezená, tedy existuje tak, že pro všechna. Je Uvažujme nyní posloupnost rozdělení intervalu, kde. Z předchozí nerovnosti plyne, že Limitním přechodem v nerovnosti získáme požadovanou nerovnost ( ). Příklad (Integrál ). Buď. Odhadněme pomocí druhé věty o střední hodnotě integrál. Řešení. Označme,. Předefinujme v bodě tak, že. Pak z druhé věty o střední hodnotě existuje tak, že takže Získali jsme tedy odhad, který vůbec nezávisí na horní mezi integrálu. Pro srovnání, z první věty o střední hodnotě bychom získali horší odhad
který pro roste nade všechny meze.