SMA2 Přednáška 05 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Skutečný stav x E,A N N Virtuální práce vnějších posunutí W e Virtuální stav x u E,A u δu N N O 1 W e =N u EA u u N skutečná síla na prutu u skutečný posun konce prutu u virtuální (myšlený) posun, který nezávisí na skutečných posunutích a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) N virtuální síla, která plyne ze zvoleného u Hustota energie deformace Virtuální práce vnitřních posunutí W i E 1 W i = V dv O 2
Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Pro prut z lineárně elastického materiálu platí δ W i = V σ δ ε d V = 0 δ W e =N δ u 0=δW i δw e =δ u( 0 Eu δ u A d x= 0 Z rovnosti vnitřních a vnějších virtuálních prací posunutí plyne obecně podmínka rovnováhy. Pozn. Virtuální posun u prozatím uvažujeme na okraji prutu (uzlu), posun po délce prutu uvažujeme lineární s maximální hodnotou u. ze však obecněji uvažovat, že u(x) je variace funkce posunutí a tím položit základ pro přibližné řešení úlohy (např. metoda konečných prvků). EA u δu d x EA u d x N ) =δ u ( EA u N ) =δu (N i N )=0 3
Srovnání silové a deformační metody Silová metoda (SM) Obecná deformační metoda (ODM) Řídící princip Princip virtuálních sil Princip virtuálních posunutí Neznámé Základní předpoklad Počet neznámých (rovnic) Podmínečné rovnice Poznámky Síly, momenty Rovnováha sil a momentů Stupeň statické neurčitosti konstrukce Podmínky spojitosti posunů a natočení v odebraných vazbách Vhodná pro ruční výpočet Posuny a natočení ve styčnících (uzlech) Spojitost posunutí a natočení Stupeň kinematické neurčitosti konstrukce Podmínky rovnováhy sil a momentů ve styčnících Snadná algoritmizovatelnost, speciální případ metody konečných prvků 4
Statická a kinematická neurčitost Stupeň statické neurčitosti určuje počet přetvárných podmínek v SM neznámé X 1, X 2... Stupeň kinematické neurčitosti určuje počet podmínek rovnováhy v ODM neznámé u 1, w 1,... u w u w u SUK, 2x KNK 0 rovnic SM, 2 rovnice ODM 1x SNK, 2x KNK 1 rovnice SM, 2 rovnice ODM 2x SNK, 1x KNK 2 rovnice SM, 1 rovnice ODM SUK, 9x KNK 0 rovnic SM, 9 rovnic ODM 3x SNK, 6x KNK 3 rovnice SM, 6 rovnic ODM 7x SNK, 2x KNK 7 rovnic SM, 2 rovnice ODM 5
Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Potřebovali bychom odvodit vztah mezi posunem konce prutu u a výslednou normálovou silou na prutu N, abychom se vyhnuli časté integraci po délce prutu. u( 0=δW i δw e = V σ δε d V N δu=δ 0 z x u b Eu Přeznačení dle konvence deformační metody 1 X ab u a 4 X ba A d x N ) =δ u ( EA u N ) Tuhost prutu v tahu/tlaku. Výsledek integrace hustoty virtuální energie posunutí. Výsledek nezávisí na virtuálním posunu v deformační metodě se u přímo nevyskytuje. Styčník a r={u a (1), w a (2), ϕ a (3 ), u b (4), w b (5), ϕ b (6) } T R={X (1) ab,z (2) ab, M (3) (4 ab, X ) (5 ba, Z ) ba,m (6) ba } T Styčník b u a u b { X ab X ba} = EA [ 1 1 1 ]{ u a b} 1 u { X ab X ba} = [ k 11 k 14 k 44]{ u a k 41 u b} Matice tuhosti prutu pro tah/tlak. Singulární, pozitivně semidefinitní symetrická matice, na diagonále čísla vždy > 0. Síla v místě a směru síly 4 od jednotkového posunu v místě a směru síly 1. 6
Matice tuhosti prutu pro ohyb x r={u a (1), w a (2), ϕ a (3 ), u b (4), w b (5), ϕ b (6) } T R={X 1 ab, Z 2 ab, M 3 ab, X 4 ba, Z 5 ba, M 6 ba } T z Styčník a w a 3 6 Styčník b w b ϕ a 2 5 b Získání prvků matice tuhosti. Vynucení jednotkového posunu w a. w a =1 k 32 z k 22 x k 52 k 62 { (2) Zab k23 k25 k26 (3) k 32 k 33 k 35 k 36 (5) k 52 k 53 k 55 k 56 (6)}=[k22 a k 62 k 63 k 65 k 66]{w (2) =1 ϕ (3) a (5 w ) b ϕ (6) b =0} Matice tuhosti prutu pro ohyb. Symetrická pozitivně definitní matice. 7
Alt. 1: Pomocí diferenciální rovnice ohybu 3 M ab =k 32 Z 2 ab =k 22 6 M ba =k 62 w a =1 w a =1 Z 5 ba =k 52 = Staticky určitá kce 3 a =0 2 x 5 6 Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry. M x = x EIw' '= x + EIw'= x 2 2 + x+c 1 EIw= x 3 6 + x 2 2 +C 1 x+c 2 w (0)=1= C 2 C EI 2 =EI w ' (0)=0 C 1 =0 w ' ()=0= 1 EI [ w ()=0= 1 EI [ 2 + ] 3 6 +... čtyři okrajové podmínky, čtyři neznámé. = 2 w (x)=2 x 3 2 + EI ] = 3[ 1 6 1 4 ] + EI =12 EI 3 3 x 2 +1 Tzv. Kubická bázová funkce pro posun w a. 3, = 6 EI 8
Alt. 2: Pomocí silové metody 3 M ab =k 32 6 M ba =k 62 = w a =1 w a =1 M (3) ab =X 1 a =0 x 6 Z 2 ab =k 22 Z 5 ba =k 52 (2 Z ) ab =X 2 5 δ 11 = EI rad/knm, δ 12= 2 2 EI rad/kn δ 22 = 3 3 EI m/kn 1 δ 10 =0 rad, δ 20 = 1 1= 1 m 1 1 M 0 M 1 M 2 1 [ 6 3 3]{ 2 X 1 2} 6 EI 3 2 X + { 1} 0 = { 0 0} [ 6 3 3]{ X 1 2} 3 2 X = { 0 } 6 EI { =X 1 } =X = 1 [ 2 3 3 ]{ 0 } 2 12 4 9 4 3 6 6 EI = 1 [ 2 3 3 ]{ 0 } 3 4 3 6 6 EI = { 6 EI / 2 12EI / 3 } 9
Matice tuhosti prutu pro ohyb (bez vlivu smyku) Stav pro w a =1 Stav pro w b =1 =k 32 = 6EI w a =1 M =k 62 = 6EI =k 35 = 6EI M =k 65 = 6EI w b =1 =k 22 = 12EI 3 + w x =2 x 3 3 3 x 2 1 =k 52 = 12EI 3 x3 w x = 2 3 x 2 3 =k 25 = 12EI 3 + =k 55 = 12EI 3 Stav pro a =1 Stav pro b =1 =k 33 = 4EI a =1 M =k 63 = 2EI + =k 36 = 2EI w x = x 3 2 x 2 3 x w x = x 2 x 2 2 M b =1 =k 66 = 4EI + =k 23 = 6EI =k 53 = 6EI =k 26 = 6EI =k 56 = 6EI 10
{ X (1 ) ab (2) (3) (4 ) X ba (5) Matice tuhosti prutu pro tah/tlak a ohyb EA / 0 0 EA / 0 0 0 12 EI / (6)}=[ 3 6 EI / 0 12 EI/ 3 6 EI / 0 6 EI / 4 EI / 0 6 EI / 2EI / EA / 0 0 EA / 0 0 0 12 EI / 3 6 EI / 0 12 EI / 3 6 EI / ]{ua 2 0 6 EI / 2EI / 0 6 EI / 4 EI / (1) (2) w a (3) ϕ a (4 ) u b (5) w b ϕ b (6)} Zkráceně pomocí vektorů a matic: {R}=[K ]{r } Vnitřní a vnější energie prutu: E i = 1 2 σ εd V =E V e= 1 2 {r }T [K ]{r } {R} 1 X ab 3 6 4 X ba Pro ruční výpočet lze výpočet z uzlových přetvořeních přepsat. Přidejme vliv zadaných koncových momentů a koncových sil na prutu: 2 5 = +2 EI ( 2ϕ a +ϕ b +3 w b w a ) = +2 EI ( ϕ a +2 ϕ b +3 w b w a ) = 2 EI ( 3 ϕ a +3ϕ b +6 w b w a ) = +2 EI ( 3 ϕ a +3ϕ b +6 w b w a ) Pozn. Vliv smykové deformace (Timošenkův, Mindlinův prut) by se v matici tuhosti projevil dalšími členy. Ty jsou standardně obsaženy ve většině programů pro analýzu konstrukcí. 11
Pomůcka Vzorce a koncové síly/momenty 12
Příklad Určete průběh M na polorámu pomocí ODM 18 knm ϕ b 18 knm 1 =4 m b c EI=13 500 knm 2 M bc M bc Z bc Z cb M cb a =5 m Podmínka momentové rovnováhy ve styčníku b : =2 EI 1 (2 ϕ b ), M bc =2 EI (2 ϕ b ) +M bc 18=0, 2 EI 1 (2ϕ b )+2 EI (2ϕ b )=18 ϕ b (13 500+10800)=18 ϕ b =7,407e-4 rad =2 EI 1 (2 ϕ b )=10 knm, =5 knm M bc =2 EI (2ϕ b )=8 knm, M cb =4 knm Zpětná substituce: 10 2,4 2,4 5 3,75 3,75 3,75 5 8 4 8 2,4 2,4 + 10 M 4 3,75 13
Program EduBeam Volně šiřitelný software pro 2D lineární analýzu prutových konstrukcí, ODM http://www.oofem.org/wiki/doku.php?id=edubeam:edubeam Napsán v jazyce Python 2.7 Běží na většině OS (Win, Mac, Unix), vytvořen exe pro Win Grafické rozhraní pro vstupy/výstupy, pdf manuál 14
Řešený rám v EduBeamu Vliv smykového zkosení eliminujeme nastavením >>1 b=0,2 m h=0,3 m A=0,06 m 2 I y =4,5 10 4 m 4 E=30 GPa Vstup Výstup M Globální neredukovaná matice tuhosti konstrukce dof/dof 0, u, 2_Y 1, p, 1_x 2, p, 1_z 3, p, 1_Y 4, p, 3_x 5, p, 3_z 6, p, 3_Y 7, p, 2_x 8, p, 2_z 0, u, 2_Y 24300-5062.49 0 6749.98 0 3240 5399.99 5062.49-3240 1, p, 1_x -5062.49 2531.25 0-5062.49 0 0 0-2531.25 0 2, p, 1_z 0 0 449999 0 0 0 0 0-449999 3, p, 1_Y 6749.98-5062.49 0 13500 0 0 0 5062.49 0 4, p, 3_x 0 0 0 0 360000 0 0-360000 0 5, p, 3_z 3240 0 0 0 0 1296 3240 0-1296 6, p, 3_Y 5399.99 0 0 0 0 3240 10800 0-3240 7, p, 2_x 5062.49-2531.25 0 5062.49-360000 0 0 362531 0 8, p, 2_z -3240 0-449999 0 0-1296 -3240 0 451295 15
Otázky 1. Z diferenciální rovnice ohybové čáry odvoďte koncové síly a momenty na prutu s jednotkovým natočením pravého konce. 2. Jaký je rozdíl mezi statickou a kinematickou neurčitostí? Ukažte na příkladu staticky neurčitého spojitého nosníku. Namalujte konstrukci, která je staticky neurčitá a kinematicky určitá a konstrukci, která je staticky určitá a kinematicky neurčitá. 3. Jak vypadá průběh momentu na prutu, kde je vynucen posun a bráněno pootočení? Jaký je poměr velikostí momentů na pravé a levé straně? 4. Určete, zda je matice prutu pro tah/tlak 2x2 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky. 5. Určete, zda je matice prutu pro ohyb 4x4 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky a jak prut podepřít, aby matice byla regulární. 6. Z jakých podmínek vypočteme neznámé deformace na konstrukci v obecné deformační metodě? Vytvořeno 02/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer 16