Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)

Podobné dokumenty
Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Princip virtuálních prací (PVP)

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy)

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu

Redukční věta princip

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy)

Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav

Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak

Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli

Integrální definice vnitřních sil na prutu

SMA2 Přednáška 08. Symetrické konstrukce Symetrické a anti(sy)metrické zatížení Silová metoda a symetrie Deformační metoda a symetrie Příklady

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 10. Kroucení prutů

Vícerozměrné úlohy pružnosti

SMA2 Přednáška 08. Symetrické konstrukce Symetrické a anti(sy)metrické zatížení Silová metoda a symetrie Deformační metoda a symetrie Příklady

Přednáška 10. Kroucení prutů

SMA2 Přednáška 09 Desky

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli

Přibližné řešení úloh mechaniky

Přednáška 10. Kroucení prutů

Přednáška 09. Smyk za ohybu

Složené soustavy v rovině, stupně volnosti

Vybrané metody řešení soustavy rovnic. Podmínky rovnováhy či ekvivalence vedou často na soustavu rovnic, např.

Rovnoměrně ohýbaný prut

Stupně volnosti a vazby hmotných objektů

Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky

Přednáška 05. Vybočení ideálně přímého prutu Vybočení prutu s počáteční deformací Okrajové podmínky a staticky neurčité případy Příklady

Přednáška 01 Úvod + Jednoosá napjatost

Stavební mechanika přednáška, 10. dubna 2017

Spojitý nosník. Příklady

Zjednodušená deformační metoda (2):

Název materiálu: Hydrostatická tlaková síla a hydrostatický tlak

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM

Pružnost a plasticita II CD03

Lokalizace QGIS, GRASS

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Program EduBeam. Uživatelský manuál. 13. března Vít Šmilauer, Bořek Patzák, Jan Stránský

Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášky. Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků.

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

Rastrová reprezentace geoprvků model polí Porovnání rastrové a vektorové reprezentace geoprvků Digitální model terénu GIS 1 153GS01 / 153GIS1

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou

Obecná a zjednodušená deformační metoda

Téma 12, modely podloží

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Stavební mechanika 1 - K132SM1 Structural mechanics

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

PostGIS Topology. Topologická správa vektorových dat v geodatabázi PostGIS. Martin Landa

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Příklad 7 Průhyb nosníku - složitější případ

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

Statika soustavy těles.

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

PostGIS Raster. Správa rastrových dat v geodatabázi PostGIS. Martin Landa. 155UZPD Úvod do zpracování prostorových dat, zimní semestr

PRUŽNOST A PEVNOST II

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I

1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

GIS 1 155GIS1. Martin Landa Lena Halounová. Katedra geomatiky ČVUT v Praze, Fakulta stavební

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

Analýza stavebních konstrukcí

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Téma 8 Příčně zatížený rám a rošt

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

Úlohy rovnováhy staticky určitých konstrukcí

Analýza stavebních konstrukcí

PRUŽNOST A PLASTICITA I

Předpjatý beton Přednáška 4

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky

Projevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů)

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Vnitřní síly v prutových konstrukcích

STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3

Napěťový vektor 3d. Díky Wikipedia za obrázek. n n n

Kontraktantní/dilatantní

Analýza stavebních konstrukcí

Petr Kabele

1 Stabilita prutových konstrukcí

trojkloubový nosník bez táhla a s

Autor: Vladimír Švehla

Transkript:

SMA2 Přednáška 05 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation icense, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation icense" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Skutečný stav x E,A N N Virtuální práce vnějších posunutí W e Virtuální stav x u E,A u δu N N O 1 W e =N u EA u u N skutečná síla na prutu u skutečný posun konce prutu u virtuální (myšlený) posun, který nezávisí na skutečných posunutích a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) N virtuální síla, která plyne ze zvoleného u Hustota energie deformace Virtuální práce vnitřních posunutí W i E 1 W i = V dv O 2

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) Pro prut z lineárně elastického materiálu platí δ W i = V σ δ ε d V = 0 δ W e =N δ u 0=δW i δw e =δ u( 0 Eu δ u A d x= 0 Z rovnosti vnitřních a vnějších virtuálních prací posunutí plyne obecně podmínka rovnováhy. Pozn. Virtuální posun u prozatím uvažujeme na okraji prutu (uzlu), posun po délce prutu uvažujeme lineární s maximální hodnotou u. ze však obecněji uvažovat, že u(x) je variace funkce posunutí a tím položit základ pro přibližné řešení úlohy (např. metoda konečných prvků). EA u δu d x EA u d x N ) =δ u ( EA u N ) =δu (N i N )=0 3

Srovnání silové a deformační metody Silová metoda (SM) Obecná deformační metoda (ODM) Řídící princip Princip virtuálních sil Princip virtuálních posunutí Neznámé Základní předpoklad Počet neznámých (rovnic) Podmínečné rovnice Poznámky Síly, momenty Rovnováha sil a momentů Stupeň statické neurčitosti konstrukce Podmínky spojitosti posunů a natočení v odebraných vazbách Vhodná pro ruční výpočet Posuny a natočení ve styčnících (uzlech) Spojitost posunutí a natočení Stupeň kinematické neurčitosti konstrukce Podmínky rovnováhy sil a momentů ve styčnících Snadná algoritmizovatelnost, speciální případ metody konečných prvků 4

Statická a kinematická neurčitost Stupeň statické neurčitosti určuje počet přetvárných podmínek v SM neznámé X 1, X 2... Stupeň kinematické neurčitosti určuje počet podmínek rovnováhy v ODM neznámé u 1, w 1,... u w u w u SUK, 2x KNK 0 rovnic SM, 2 rovnice ODM 1x SNK, 2x KNK 1 rovnice SM, 2 rovnice ODM 2x SNK, 1x KNK 2 rovnice SM, 1 rovnice ODM SUK, 9x KNK 0 rovnic SM, 9 rovnic ODM 3x SNK, 6x KNK 3 rovnice SM, 6 rovnic ODM 7x SNK, 2x KNK 7 rovnic SM, 2 rovnice ODM 5

Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Potřebovali bychom odvodit vztah mezi posunem konce prutu u a výslednou normálovou silou na prutu N, abychom se vyhnuli časté integraci po délce prutu. u( 0=δW i δw e = V σ δε d V N δu=δ 0 z x u b Eu Přeznačení dle konvence deformační metody 1 X ab u a 4 X ba A d x N ) =δ u ( EA u N ) Tuhost prutu v tahu/tlaku. Výsledek integrace hustoty virtuální energie posunutí. Výsledek nezávisí na virtuálním posunu v deformační metodě se u přímo nevyskytuje. Styčník a r={u a (1), w a (2), ϕ a (3 ), u b (4), w b (5), ϕ b (6) } T R={X (1) ab,z (2) ab, M (3) (4 ab, X ) (5 ba, Z ) ba,m (6) ba } T Styčník b u a u b { X ab X ba} = EA [ 1 1 1 ]{ u a b} 1 u { X ab X ba} = [ k 11 k 14 k 44]{ u a k 41 u b} Matice tuhosti prutu pro tah/tlak. Singulární, pozitivně semidefinitní symetrická matice, na diagonále čísla vždy > 0. Síla v místě a směru síly 4 od jednotkového posunu v místě a směru síly 1. 6

Matice tuhosti prutu pro ohyb x r={u a (1), w a (2), ϕ a (3 ), u b (4), w b (5), ϕ b (6) } T R={X 1 ab, Z 2 ab, M 3 ab, X 4 ba, Z 5 ba, M 6 ba } T z Styčník a w a 3 6 Styčník b w b ϕ a 2 5 b Získání prvků matice tuhosti. Vynucení jednotkového posunu w a. w a =1 k 32 z k 22 x k 52 k 62 { (2) Zab k23 k25 k26 (3) k 32 k 33 k 35 k 36 (5) k 52 k 53 k 55 k 56 (6)}=[k22 a k 62 k 63 k 65 k 66]{w (2) =1 ϕ (3) a (5 w ) b ϕ (6) b =0} Matice tuhosti prutu pro ohyb. Symetrická pozitivně definitní matice. 7

Alt. 1: Pomocí diferenciální rovnice ohybu 3 M ab =k 32 Z 2 ab =k 22 6 M ba =k 62 w a =1 w a =1 Z 5 ba =k 52 = Staticky určitá kce 3 a =0 2 x 5 6 Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry. M x = x EIw' '= x + EIw'= x 2 2 + x+c 1 EIw= x 3 6 + x 2 2 +C 1 x+c 2 w (0)=1= C 2 C EI 2 =EI w ' (0)=0 C 1 =0 w ' ()=0= 1 EI [ w ()=0= 1 EI [ 2 + ] 3 6 +... čtyři okrajové podmínky, čtyři neznámé. = 2 w (x)=2 x 3 2 + EI ] = 3[ 1 6 1 4 ] + EI =12 EI 3 3 x 2 +1 Tzv. Kubická bázová funkce pro posun w a. 3, = 6 EI 8

Alt. 2: Pomocí silové metody 3 M ab =k 32 6 M ba =k 62 = w a =1 w a =1 M (3) ab =X 1 a =0 x 6 Z 2 ab =k 22 Z 5 ba =k 52 (2 Z ) ab =X 2 5 δ 11 = EI rad/knm, δ 12= 2 2 EI rad/kn δ 22 = 3 3 EI m/kn 1 δ 10 =0 rad, δ 20 = 1 1= 1 m 1 1 M 0 M 1 M 2 1 [ 6 3 3]{ 2 X 1 2} 6 EI 3 2 X + { 1} 0 = { 0 0} [ 6 3 3]{ X 1 2} 3 2 X = { 0 } 6 EI { =X 1 } =X = 1 [ 2 3 3 ]{ 0 } 2 12 4 9 4 3 6 6 EI = 1 [ 2 3 3 ]{ 0 } 3 4 3 6 6 EI = { 6 EI / 2 12EI / 3 } 9

Matice tuhosti prutu pro ohyb (bez vlivu smyku) Stav pro w a =1 Stav pro w b =1 =k 32 = 6EI w a =1 M =k 62 = 6EI =k 35 = 6EI M =k 65 = 6EI w b =1 =k 22 = 12EI 3 + w x =2 x 3 3 3 x 2 1 =k 52 = 12EI 3 x3 w x = 2 3 x 2 3 =k 25 = 12EI 3 + =k 55 = 12EI 3 Stav pro a =1 Stav pro b =1 =k 33 = 4EI a =1 M =k 63 = 2EI + =k 36 = 2EI w x = x 3 2 x 2 3 x w x = x 2 x 2 2 M b =1 =k 66 = 4EI + =k 23 = 6EI =k 53 = 6EI =k 26 = 6EI =k 56 = 6EI 10

{ X (1 ) ab (2) (3) (4 ) X ba (5) Matice tuhosti prutu pro tah/tlak a ohyb EA / 0 0 EA / 0 0 0 12 EI / (6)}=[ 3 6 EI / 0 12 EI/ 3 6 EI / 0 6 EI / 4 EI / 0 6 EI / 2EI / EA / 0 0 EA / 0 0 0 12 EI / 3 6 EI / 0 12 EI / 3 6 EI / ]{ua 2 0 6 EI / 2EI / 0 6 EI / 4 EI / (1) (2) w a (3) ϕ a (4 ) u b (5) w b ϕ b (6)} Zkráceně pomocí vektorů a matic: {R}=[K ]{r } Vnitřní a vnější energie prutu: E i = 1 2 σ εd V =E V e= 1 2 {r }T [K ]{r } {R} 1 X ab 3 6 4 X ba Pro ruční výpočet lze výpočet z uzlových přetvořeních přepsat. Přidejme vliv zadaných koncových momentů a koncových sil na prutu: 2 5 = +2 EI ( 2ϕ a +ϕ b +3 w b w a ) = +2 EI ( ϕ a +2 ϕ b +3 w b w a ) = 2 EI ( 3 ϕ a +3ϕ b +6 w b w a ) = +2 EI ( 3 ϕ a +3ϕ b +6 w b w a ) Pozn. Vliv smykové deformace (Timošenkův, Mindlinův prut) by se v matici tuhosti projevil dalšími členy. Ty jsou standardně obsaženy ve většině programů pro analýzu konstrukcí. 11

Pomůcka Vzorce a koncové síly/momenty 12

Příklad Určete průběh M na polorámu pomocí ODM 18 knm ϕ b 18 knm 1 =4 m b c EI=13 500 knm 2 M bc M bc Z bc Z cb M cb a =5 m Podmínka momentové rovnováhy ve styčníku b : =2 EI 1 (2 ϕ b ), M bc =2 EI (2 ϕ b ) +M bc 18=0, 2 EI 1 (2ϕ b )+2 EI (2ϕ b )=18 ϕ b (13 500+10800)=18 ϕ b =7,407e-4 rad =2 EI 1 (2 ϕ b )=10 knm, =5 knm M bc =2 EI (2ϕ b )=8 knm, M cb =4 knm Zpětná substituce: 10 2,4 2,4 5 3,75 3,75 3,75 5 8 4 8 2,4 2,4 + 10 M 4 3,75 13

Program EduBeam Volně šiřitelný software pro 2D lineární analýzu prutových konstrukcí, ODM http://www.oofem.org/wiki/doku.php?id=edubeam:edubeam Napsán v jazyce Python 2.7 Běží na většině OS (Win, Mac, Unix), vytvořen exe pro Win Grafické rozhraní pro vstupy/výstupy, pdf manuál 14

Řešený rám v EduBeamu Vliv smykového zkosení eliminujeme nastavením >>1 b=0,2 m h=0,3 m A=0,06 m 2 I y =4,5 10 4 m 4 E=30 GPa Vstup Výstup M Globální neredukovaná matice tuhosti konstrukce dof/dof 0, u, 2_Y 1, p, 1_x 2, p, 1_z 3, p, 1_Y 4, p, 3_x 5, p, 3_z 6, p, 3_Y 7, p, 2_x 8, p, 2_z 0, u, 2_Y 24300-5062.49 0 6749.98 0 3240 5399.99 5062.49-3240 1, p, 1_x -5062.49 2531.25 0-5062.49 0 0 0-2531.25 0 2, p, 1_z 0 0 449999 0 0 0 0 0-449999 3, p, 1_Y 6749.98-5062.49 0 13500 0 0 0 5062.49 0 4, p, 3_x 0 0 0 0 360000 0 0-360000 0 5, p, 3_z 3240 0 0 0 0 1296 3240 0-1296 6, p, 3_Y 5399.99 0 0 0 0 3240 10800 0-3240 7, p, 2_x 5062.49-2531.25 0 5062.49-360000 0 0 362531 0 8, p, 2_z -3240 0-449999 0 0-1296 -3240 0 451295 15

Otázky 1. Z diferenciální rovnice ohybové čáry odvoďte koncové síly a momenty na prutu s jednotkovým natočením pravého konce. 2. Jaký je rozdíl mezi statickou a kinematickou neurčitostí? Ukažte na příkladu staticky neurčitého spojitého nosníku. Namalujte konstrukci, která je staticky neurčitá a kinematicky určitá a konstrukci, která je staticky určitá a kinematicky neurčitá. 3. Jak vypadá průběh momentu na prutu, kde je vynucen posun a bráněno pootočení? Jaký je poměr velikostí momentů na pravé a levé straně? 4. Určete, zda je matice prutu pro tah/tlak 2x2 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky. 5. Určete, zda je matice prutu pro ohyb 4x4 singulární. Jaká je hodnost matice? Vysvětlete pozadí problému z pohledu mechaniky a jak prut podepřít, aby matice byla regulární. 6. Z jakých podmínek vypočteme neznámé deformace na konstrukci v obecné deformační metodě? Vytvořeno 02/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer 16