Cvičení z ineární agebry 64 Vít Vondrák Cvičení č 3 Determinant a vastnosti determinantů Výpočet determinant djngovaná a inverzní matice Cramerovo pravido Determinant Definice: Nechť je reáná čtvercová matice řád n Čtvercovo matici M, která vznika z matice vynecháním i-tého řádk a j-tého sopce nazýváme minorem matice přísšném k prvk a Příkad: 3 4 5 6, M 4 6, 3 M 7 9 3 5 6 7 8 9 Definice: Determinantem reáné čtvercové matice a ] řád n, nazýváme reané číso, které značíme det nebo, a pro které patí a je-i n, [ n a M a M ( ) a n M n pro n Příkad: Vypočtěte determinant matice 3 4 5 6 7 8 9 det 4 7 5 8 3 6 5 9 8 6 4 9 7 6 3 4 9 7 5 8 5 9 6 8 4 9 6 7 3 4 8 5 7 5 9 6 8 4 9 6 7 3 4 8 5 7 ( 3) ( 6) 3 ( 3) 3 9 Příkad: Vypočtěte determinant matice a b c d det a b a d b c ad bc c d
Cvičení z ineární agebry 65 Vít Vondrák Determinant doní trojúheníkové matice je roven sočin prvků na diagonáe Nechť je dána doní trojúheníková matice L n n Pak de definice determinant je det 3 33 L n 33 43 n3 n 44 n4 n n3 ( ) n ( ) n gebraickým dopňkem prvk a čtvercové matice nazýváme číso i j ) M (, kde M je minor matice přísšný prvk a Pak se dá drhý bod definice determinant přepsat do tvar a a a n n Vastnosti determinant: Nechť, B jso čtvercové matice stejného řád Jestiže matice B vznika z matice vzájemno výměno dvo řádků pak det =det B Jestiže matice B vznika z matice vynásobením jednoho řádk čísem pak det =det B 3 Jestiže matice B vznika z matice přičtením násobk jednoho řádk k drhém pak det =det B Důsedek: Jestiže má čtvercová matice jeden řádek nový pak det = Jestiže má čtvercová matice ineárně závisé řádky pak det = 3 Jestiže je čtvercová matice singární pak det = Věta (Rozvoj determinant pode řádk): Nechť je čtvercová matice řád n Pak i=,,n a a a i i i i in in pro ibovoné Determinant horní trojúheníkové matice je roven sočin prvků na diagonáe
Cvičení z ineární agebry 66 Vít Vondrák Nechť je dána horní trojúheníková matice n U n, n Pak de rozvoje determinant pode posedního řádk je n det U n, n n, n n n3, n n, n n, n n n, n n, n Nechť je ibovoná čtvercová matice Pak det T det Důsedek: Všechny všechny výše vedené vastnosti determinant patí i pro sopce Výpočet determinant Z výše vedených vastností tedy vypývá, že je možné pomocí eementárních řádkových úprav podobně jako v případě Gassovy eiminace pravit ibovono matici na horní trojúheníkovo Přitom msíme ovšem mít na paměti násedjící pravida: Vynásobíme-i ibovoný řádek matice nenovým čísem, vynásobí se tímto čísem i determinant této matice a proto msíme determinant takto pravené matice vyděit tímto čísem Vyměníme-i dva ibovoné řádky matice, změní se znaménko determinant matice 3 Přičteme-i násobek jednoho řádk matice k jiném, determinant se nemění Navíc všechny tyto úpravy můžeme požít pokd je to výhodné i pro úprav sopců Pokd takto pravíme matici na horní případně i doní trojúheníkový tvar, je výsedný detrminant roven sočin prvků na diagonáe Příkad: Vypočtěte determinant matice 3 4 5 6 7 8 9
Cvičení z ineární agebry 67 Vít Vondrák 3 3 3 det 4 5 6 4ř 3 6 ( ) ( 3) 6 7 8 9 7ř 6 ř 3 6 3 8 8 djngovaná a inverzní matice Definice: Matici n n, n n kde je agebraický dopněk prvk a ve čtvercové matici nazýváme adjngovano maticí k matici Příkad: Naezněte adjngovano matici k matici ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 3, 3 3 3 3 3 33 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), 3 3 ( ) (4 ) 4, 3 ( ) ( ) 4, 33 ( ) ( ) 3 4 3 4 3 3 3 33 Nechť je čtvercová matice řád n a nechť det Pak je matice regární a patí det
Cvičení z ineární agebry 68 Vít Vondrák Příkad: Naezněte inverzní matici k matici det ř 4 4 4 ř ř 4 3 4 3 det Je třeba si povšimnot, že sestavení adjngované matice je výpočetně vemi náročný proces a napříkad pro matici řád 4 je zapotřebí vypočítat 6 determinantů řád 3 Z tohoto důvod je mnohem výhodnější pro výpočet inverzní matice požívat Gass-Jordanov eiminační metod Požití adjngované matice pro výpočet inverzní matice má tedy snad význam poze pro výpočet inverzní matice k matici, jejíž prvky jso zadány parametricky a to jen pro vemi maé řády Cramerovo pravido Nechť je dána sostava n ineárních rovnic o n neznámých x pak sostava má jediné řešení a pro jeho sožky patí b det i xi, det kde matice vznika z matice záměno i-tého sopce za vektor pravých stran b b i Příkad: Pomocí Cramerova pravida vyřešte sostav x x x3 x x3 x x x, b 3 b Je-i matice regární
Cvičení z ineární agebry 69 Vít Vondrák det a proto je matice sostavy regární Rozvoj pode sopce b det 4 x ř 4 ( 4), det det x ř ř det ř ř x b 4 3 3 3 ( ) 4, 4 3 sopce det b s s ř ( ) det Řešením sostavy je tedy x, x, x3 což se dá snadno ověřit dosazením do zadané sostavy Z příkad je patrné, že řešení sostavy ineárních rovnic pomocí Cramerova pravida je výpočetně mnohem více náročné než řešení pomocí Gassovy eiminace Např pokd počítáme determinant matice, msíme ji pravit na trojúheníkový tvar již toto odpovídá svo náročností pravě na schodový tvar v Gassově eiminaci Tto úprav pak při žití Cramerova pravida msíme ještě opakovat pro všechny sožky řešení!!!! Rozvoj pode