spektra e Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 70
spektra e 1 2 3 spektra e Hessenbergovy 4 2 / 70
- aplikace (eigenvalues and eigenvectors) Modelování a analýza vibrací spektra e 2 / 70
- aplikace Modelování a analýza vibrací Tacoma bridge spektra e 3 / 70
- aeroelasticita spektra e Aeroelastic Phenomena and Related Research - Part 2 https://www.youtube.com/watch?v=jw8i2hx4gss 4 / 70
- eigenfaces Zpracování obrazu rozpoznání obličejů spektra e 5 / 70
- spektra atomů spektra e 6 / 70
7 / 70 Tomáš spektra e Theorem 1 Bud p n (x) = n k=0 a kx k polynom stupně n. Potom nalezení jeho kořenů je ekvivalentní výpočtu spektra Frobeniovy e C R n,n svázané s polynomem p n (x) a definované jako (a n 1 /a n ) (a n 2 /a n )... (a 1 /a n ) (a 0 /a n ) 1 0... 0 0 C = 0 1... 0 0....... 0 0... 1 0 Remark 2 Z Abelovy věty pak plyne, že nelze sestrojit přímou metodu pro výpočet spektra e pro n 5.
spektra e Remark 3 Všechny metody pro výpočet spekter jsou proto iterativní. Je tedy nutné znát nějaký aposteriorní odhad chyby, abychom dokázali stanovit vhodné zastavující kritérium při napočítávání iterací. Apriorní odhady chyb aproximace v tomto kurzu vynecháme. 8 / 70
9 / 70 Tomáš Aposteriorní odhad chyby spektra e Theorem 4 Necht A C n,n je hermitovská e a necht ˆλ a ˆ x 0 jsou napočítané aproximace vlastního čísla λ a vlastního vektoru x. Pro residuum pak platí min λ i σ(a) r = Aˆ x ˆλˆ x, r ˆλ λ i 2. ˆ x 2
vlastních čísel spektra e výpočet spektra je velmi náročná úloha často nám stačí nalézt třeba je jedno, v absolutní hodnotě největší vlastní číslo mluvíme pak o částečném u pro tento účel se používá hlavně mocninná 10 / 70
11 / 70 Tomáš spektra e tato konstruuje posloupnost vektorů { x (k)} k=1 a číselnou posloupnost {ρ k } k=1 postupujeme podle následujícího předpisu ( x 0 lze volit libovolně) y (k+1) = A x (k), ρ k+1 = e 1 T y (k+1), x (k+1) = 1 y (k+1). ρ k+1
12 / 70 Tomáš spektra e Example 5 Pomocí mocninné metody nalezněte největší vlastní číslo e 1 A = 2. 3
spektra e Remark 6 Metoda vlastně funguje tak, že opakovaným násobením í A se zesiluje "průmět" vektorů x (k) do směru vlastního vektoru příslušejícího v absolutní hodnotě největšímu vlastnímu číslu. Pokud by ale tento "průmět" byl od začátku nulový, se "nemá od čeho odrazit". Zajistit předpoklady věty není jednoduché. Naštěstí nás zachrání zaokrouhlovací chyby, které způsobí, že časem vždy vznikne nenulový "průmět" do vhodného vlastního vektoru a ho následně začne zesilovat. V praxi je tak nejlepší volit za x (0) vektor ze samých jedniček. 13 / 70
spektra e Theorem 7 Vektor x (k) z mocninné metody lze vyjádřit takto x (k) = 1 ρ 1 ρ 2... ρ k A k x (0). Theorem 8 Až na "normování" jde tedy o aplikaci e A k na počáteční vektor x (0). 14 / 70
spektra e Theorem 9 Necht e A C n,n má jedno v absolutní hodnotě největší vlastní číslo λ jednonásobné nebo vícenásobné se stejnou algebraickou i geometrickou násobností a y (1),..., y (r) jsou příslušné vlastní vektory. Necht e X převádí A do Jordanova tvaru, tj. A = X 1 J A X tak, že λ se vyskytuje na prvních r řádcích J A. Pak pro libovolné x (0) takové, že alespoň jedna z prvních r složek vektoru X x (0) je nenulová, platí, že v mocninné metodě konverguje posloupnost ρ k k vlastnímu číslu λ a posloupnost x (k) k příslušnému vlastnímu vektoru. 15 / 70
spektra e Theorem 10 Necht e A C n,n má dvě v absolutní hodnotě největší vlastní čísla λ 1, λ 1 s opačným znaménkem. Necht y (1), y (2) jsou příslušné vlastní vektory. Necht e X převádí A do Jordanova tvaru, tj. A = X 1 J A X tak, že ±λ se vyskytuje na prvních dvou řádcích J A. Pak pro libovolné x (0) takové, že alespoň jedna z prvních dvou složek vektoru X x (0) je nenulová, platí, že v mocninné metodě konverguje posloupnost ρ 2k ρ 2k+1 k absolutní hodnotě největších a posloupnost A x (2k) + λ 1 x (2k) k vlastnímu vektoru příslušejícímu k vlastnímu číslu λ 1 a posloupnost A x (2k) λ 1 x (2k) k vlastnímu vektoru příslušejícímu k vlastnímu číslu λ 1. 16 / 70
17 / 70 Tomáš spektra e Remark 11 K napočítání samotného vlastního vektoru stačí konstruovat tzv. Krylovovu posloupnost x (0), A x (0), A 2 x (0),... a dělení číslem ρ k není nutné, je dobré jen pro lepší numerickou stabilitu. Remark 12 Rychlost konvergence závisí na poměru λ i λ 1. Konvergenci můžeme urychlit vhodným posunem spektra o číslo λ úpravou původní e na i A λ I. Tím můžeme λ zmenšit podíl i λ λ 1 λ. K ρ pak musíme přičíst λ.
spektra e Remark 13 Pokud chceme najít v absolutní hodnotě nejmenší vlastní číslo e A, můžeme použít mocninnou metodu na i A 1. Nejmenší vlastní číslo pak bude 1 ρ. Pokud chceme najít vlastní číslo e A, které je nejblíže zvolenému číslu λ budeme hledat největší vlastní číslo e ( A λ I ) 1. Hledané číslo pak získáme jako 1 ρ + λ. 18 / 70
spektra e Remark 14 V případě z předchozí poznámky napočítáváme y (k+1) = A 1 x (k). Abychom se vyhnuli výpočtu inverze e A, převedeme vztah na A y (k+1) = x (k), a řešíme soustavu lineárních rovnic. S výhodou lze využít iterativní metody nebot : pro k malé je zbytečné řešit lineární soustavu s vysokou přesností a stačí proto počítat menší počet iterací pro k velké se po sobě jdoucí vektory y (k) a y (k+1) příliš neliší a y (k) je dobrým odhadem řešení pro soustavu s neznámým vektorem y (k+1) Tento trik, jak se zbavit výpočtu inverze e, jež pouze aplikujeme na jeden nebo několik vektorů, se v numerice používá velmi často. 19 / 70
spektra e tato slouží k odseparování již nalezených, pokud chceme např. napočítat více než jedno v absolutní hodnotě největší vlastní číslo nehodí se ale pro výpočet spektra, kvůli rychlé ztrátě přesnosti Remark 15 Bud tedy A C n,n a λ 1 σ (A) a x k němu příslušný vlastní vektor. Odvodíme metodu pro výpočet e B C n 1,n 1, která má všechna vlastní čísla stejná jako A až na λ 1, u kterého se sníží násobnost. 20 / 70
spektra e i A převedeme do báze, tvořené vektory x, e 2,..., e n v této bázi bude e vypadat takto ( P 1 λ1 q t ) AP =, θ B kde P je e přechodu mezi bázemi. 21 / 70
22 / 70 Tomáš spektra e Tvar e P je zřejmý, její sloupce tvoří bazické vektory P = x 1 x 2 1.... x n 1 Inverzní i k i P je taková, která první řádek podělí x 1 a vynuluje všechny prvky pod diagonálou v prvním sloupci. Takovou i ale snadno najdeme, známe ji z GEM. P 1 = 1 x 1 x 2 x 1 1.... xn x 1 1
23 / 70 Tomáš spektra e Roznásobením snadno získáme tvar e B B = a 22 x 2 1 a 12 a 23 x 2 1 a 13... a 2n x 2 1 a 1n a 32 x 3 x 1 a 12 a 33 x 3 x 1 a 13... a 3n x 3 x 1 a 1n. a n2 xn x 1 a 12... a n3 xn x 1 a 13... a nn xn x 1 a 1n Její tvar lze také snadno odvodit, pokud si uvědomíme, že pravý dolní čtverec e AP o rozměrech (n 1) (n 1) odpovídá přesně prvkům e A. Při násobení í P 1 zleva pak v tomto čtverci od každého řádku i odečítáme x i x 1 násobek prvního řádku e A. To je právě význam e P 1.
spektra e Podobně lze odvodit, že q T = 1 x 1 (a 12, a 13,..., a 1n ) Nyní známe i B a můžeme najít některé její vlastní číslo λ 2. Bud z = (z 2,..., z n ) T k němu příslušný vlastní vektor. Jak najít odpovídající vlastní vektor e A? 24 / 70
25 / 70 Tomáš spektra e Logicky jako lineární kombinaci bazických vektorů daných sloupci e P. K tomu ale musíme dopočítat složku z 1. Musí platit ( λ1 q T θ a tedy B ) ( z1 z ) = = ( λ1 z 1 + q T z B z ( ) λ2 z 1 λ 2 z λ 1 z 1 + q T z = λ 2 z 1 z 1 = ) = q T z λ 2 λ 1. ( λ1 z 1 + q T z λ 2 z )
spektra e Pokud by bylo λ 1 = λ 2, pak musí být q T z = 0 a z 1 lze volit libovolně. Vlastní vektor e A je pak dán jako y = P ( z1, z ) ( 0 = z 1 x + z ). 26 / 70
spektra e Bud A C n,n, řešíme úlohu nalezení všech a vlastních vektorů této e. konstruujeme dvě posloupnosti { L (k)} k=1 Cn,n horní trojúhelníkové s jedničkami na diagonále { R (k)} k=1 Cn,n dolní trojúhelníkové L (0) volíme libovolně (např. I) L (1) a R (1) získáme rozkladem e AL (0) tj. platí L (1) R (1) = AL (0) L (1) je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále R (1) je horní trojúhelníková obecně počítáme tvaru L (k+1) R (k+1) = AL (k) L (k+1) je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále R (k+1) je horní trojúhelníková 27 / 70
spektra e Remark 16 Pokud ukážeme, že L (k) L a R (k) R, pak platí AL = LR A = LRL 1 a jde tedy a podobnostní transformaci a vlastní čísla e A najdeme na diagonále e R. 28 / 70
29 / 70 Tomáš spektra e Remark 17 Jak vypočítat vlastní vektory? Řešíme nejprve rovnici (R λi) y i = 0. Z tvaru e R λi (dolní trojúhelníková s 0 na diagonále na i-tém řádku) snadno vidíme, že 0 j < i y j i = 1 j = i 1 j 1 r jj λ k=i y k i r jk j > i nebot pro j > i musí platit j 1 k=i yk i r jk + y j ( j rjj λ ) = 0. Jelikož e R je e A vyjádřená v bázi dané sloupci e L, platí, že vlastní vektory e A jsou x i = L y i.
spektra e L 0 lze volit libovolně, nemusí být ani dolní trojúhelníková díky tomu má samoopravující schopnost pokud bychom někdy napočítali L (k) špatně, lze ho brát jako nové L (0) 30 / 70
31 / 70 Tomáš spektra e Existence LU rozkladu Remark 18 Obě metody jsou postaveny na počítání LU rozkladu. Ten ale existuje jen pro silně regulární e. V první iteraci musíme předpokládat, že toto je splněno. Připomeňme si navíc vzorce pro výpočet LU rozkladu: j 1 l ij = a ij l ik u kj proj i k=1 i 1 u ij = (a ij l ik u kj )/l ii proi < j k=1 Z nich vidíme, že prvky L a U závisí spojitě na prvcích e A. Pokud tedy i A změníme jen málo, bude LU rozklad opět existovat.
Existence LU rozkladu spektra e Theorem 19 Necht e A je silně regulární tj. existuje její LU rozklad. Bud e E taková, že E je dostatečně malé. Pak existuje i LU rozklad e A + E. Theorem 20 Necht A = I + E, kde E je malé. Potom existuje rozklad A = LR, kde L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a R je horní trojúhelníková. Platí-li, že pokud E 0, pak L I a R I. 32 / 70
spektra e Konvergence trojúhelníkové metody Theorem 21 Pokud existuje trojúhelníkový rozklad e A k L (0) = L (k) R (k), pak platí L (k) = L (k), R (k) = R (k) R (k 1)... R (1). Remark 22 V důkazu konvergence budeme zkoumat i A k L (0). Odvodíme, kdy existuje její LU rozklad A k L (0) = L (k) R (k). Jelikož platí, že L (k) = L (k), dokážeme-li, že L (k) L, bude platit i L (k) L. Pak již lze i dokázat, že R (k) R, čímž máme vyšetřenou konvergenci trojúhelníkové metody. 33 / 70
spektra e Konvergence trojúhelníkové metody Theorem 23 Necht e A C n,n je regulární a diagonalizovatelná a předpokládejme, že pro dostatečně velké k existují LU rozklady AL (k) a necht dále platí předpoklady, které vyplynou z důkazu 1. Pak posloupnosti L (k) a R (k) z trojúhelníkové metody konvergují a na diagonále e R je spektrum e A seřazené sestupně podle velikosti v absolutní hodnotě. Důkaz. Pouze pro případ všech jednonásobných a různých v absolutní hodnotě. 1 Pro případ všech jednonásobných a různých v absolutní hodnotě je to existence LU rozkladu X a X 1 L (0) 34 / 70
35 / 70 Tomáš spektra e konstruujeme tři posloupnosti { A (k)} k=1 Cn,n {ˆL(k)} k=1 diagonále { ˆR(k)} k=1 na počátku volíme C n,n dolní trojúhelníkové s jedničkami na C n,n horní trojúhelníkové A (1) = A, (1) ˆL ˆR(1) A (2) = = A (1), obecně mají jednotlivé tvar (k) ˆL ˆR(k) ˆR(1) ˆL(1) = A (k), A (k+1) = ˆR(k) ˆL(k).
36 / 70 Tomáš spektra e Remark 24 Z úvahy A (k+1) = = = ˆR(k) ˆL(k) ( (ˆL(k) ) 1 ˆL(k)) (ˆL(k) ) 1 A (k) ˆL(k). (k) ˆR ˆL(k) plyne, že pokud posloupnost { A (k)} konverguje k horní k=1 trojúhelníkové i, budou na její diagonále vlastní čísla e A.
37 / 70 Tomáš spektra e má menší nároky na pamět než trojúhelníková trojúhelníková potřebuje pracovní pole pro napočítání LU rozkladu, pro výsledek součinu AL (k) a pro i A potřebuje pracovní pole pro LU rozklad a napočítání součinu ˆR(k) ˆL(k) nemá tak dobrou samoopravující schopnost, takže vlivem numerických chyb můžeme získat špatné spektrum nepamatuje si i A nekonverguje pro libovolnou počáteční i, tou je zde e A na rozdíl od trojúhelníkové metody, kde ji byla libovolná e L 0
Konvergence LR algoritmu spektra e Theorem 25 Existuje-li trojúhelníkový rozklad e A k = L (k) R (k), pak platí L (k) = ˆL1 ˆL2... ˆL(k) R (k) = ˆR(k) ˆR(k 1)... ˆR(1). 38 / 70
Konvergence LR algoritmu spektra e Remark 26 Pokud v trojúhelníkové metodě volíme L (0) = I, pak je A k L (0) = A k a musí platit tj. L (k) = L (k) = ˆL1 ˆL2... ˆL(k), R (k) = R (k) R (k 1)... R (1) = ˆR(k) ˆR(k 1)... ˆR(1), L (k) = ˆL1 ˆL2... ˆL(k), R (k) = ˆR(k). 39 / 70
Konvergence LR algoritmu spektra e Remark 27 Z konvergence trojúhelníkové metody L (k) L a R (k) R, plyne A (k) = ˆL(k) ˆR(k) = ( L (k 1)) 1 L (k) R (k) L 1 LR = R, tj. e A (k) z LR algoritmu skutečně konverguje k horní trojúhelníkové i. Na diagonále má vlastní čísla e A seřazené sestupně podle velikosti v absolutní hodnotě (to už jsme ukázali). 40 / 70
Konvergence LR algoritmu spektra e Nyní již můžeme vše shrnout ve formě následující věty: Theorem 28 Necht e A C n,n je regulární a diagonalizovatelná a předpokládejme, že trojúhelníková konverguje s volbou L 0 = I. Pak konverguje také, a platí, že posloupnost A (k) konverguje k horní trojúhelníkové i s hlavními čísly e A na diagonále seřazenými sestupně podle velikosti v absolutní hodnotě. 41 / 70
spektra e Remark 29 Velkou nevýhodou LR algoritmu je jeho špatná numerická stabilita zejména při aplikování na velké e. Proto byl v roce 1961 J.G.F. Francisem navržený. Funguje stejně jako, ale místo LU rozklad napočítává QR rozklad, tj. rozklad na unitární a horní trojúhelníkovou i. Omezíme se nyní pouze na reálné e. 42 / 70
spektra e Theorem 30 Bud A R n,n regulární e. Pak existuje rozklad A = QR, kde e Q je unitární a R je horní trojúhelníková. Pokud budeme předpokládat, že diagonální prvky e R jsou kladné, pak je tento rozklad jednoznačný. 43 / 70
QR rozkladu spektra e Existují tři způsoby, jak napočítat QR rozklad: 44 / 70
spektra e jde o algoritmus, který převede lineárně nezávislé vektory x (1),..., x (n) na množinu vektorů q (1),..., q (n), které jsou vzájemně ortonormální a tvoří bázi stejného prostoru jako původní vektory 45 / 70
spektra e 1: procedure GRAMMSCHMIDTKLASICKÝ( x (1),..., x (n) ) 2: r (1) := r (2) :=... := r (n) := 0 3: r (1) 1 := x (1) 2 4: q (1) := 1 r 11 x (1) 5: for k = 2,..., n do 6: q (k) := x (k) 7: for i = 1,..., k 1 do := ( q (i), x (k)) 8: r (k) i 9: q (k) := q (k) r (k) i 10: end for 11: r (k) k := q (k) 2 12: q (k) := 1 r (k) k q (k) q (i) 13: end for 14: return [ q (1),..., q (n) ], [ r (1),..., r (n) ] 15: end procedure 46 / 70
spektra e pro lepší numerickou stabilitu se používá modifikovaný G.-S. ort. 1: procedure GRAMMSCHMIDTMODIFIKOVANÝ( x (1),..., x (n) ) 2: r (1) := r (2) :=... := r (n) := 0 3: r (1) 1 := x (1) 2 4: q (1) := 1 r 11 x (1) 5: for k = 2,..., n do 6: q (k) := x (k) 7: for i = 1,..., k 1 do 8: r (k) i := ( q (i), q ) (k) 9: q (k) := q (k) r (k) i 10: end for 11: r (k) k := q (k) 2 12: q (k) := 1 r (k) k q (k) q (i) 13: end for 14: return [ q (1),..., q (n) ], [ r (1),..., r (n) ] 15: end procedure 47 / 70
48 / 70 Tomáš spektra e Theorem 31 Bud A R n,n regulární e. Položme v Gramově-Schmidtově m u vektory x (1),..., x (n) rovny jednotlivým sloupcům e A, tj. x (1) = a 1,..., x (n) = a n. Pak lze psát r 11 r 12... r 1n (a 1,..., a n ) = ( q (1),..., q (n)) r 22... r 2n...., r nn tj. A = QR, kde Q je unitární a R je horní trojúhelníková e (s kladnými prvky na diagonále).
spektra e Připomeneme si: Definition 32 Householderovou reflekční í (elementární unitární í) nazveme každou i H ( w ) tvaru H ( w ) = I 2 w w, kde w je Householderův vektor, pro který platí w 2 = ( w, w ) = 1. 49 / 70
50 / 70 Tomáš spektra e Theorem 33 Necht ( H w ) je Householderova reflekční e a v C n je libovolný vektor. Pak vektor ( H w ) v je zrcadlový obraz vektoru v podle nadroviny { L x C n w H x = ( w, x ) } = 0 v tom smyslu, že splňuje následující podmínky: H ( w ) v = v H ( w ) v + v L ( H ( w ) v v ) L.
51 / 70 Tomáš spektra e Remark 34 Chceme-li pomocí transformovat vektor x na vektor y, kde x 2 = y 2, pak volíme w = x y x y 2 Pokud zvolíme y = ± x 2 e (1), pak získáme unitární transformaci, která nuluje všechny složky vektoru x kromě první.
spektra e Remark 35 Pokud by byla první složka vektoru x silně převládající tj. x 1 x 2, pak bychom při špatné volbě znaménka vektoru y mohli dostat x y velmi malé a dělit téměř nulou. Proto volíme y = signx 1 x 2 e (1) tj. w = x + signx 1 x 2 e 1 x + signx 1 x 2 e 2. 1 52 / 70
53 / 70 Tomáš spektra e obecně, pokud pro k 1 chceme zachovat prvních k 1 složek vektoru x a nulovat složky k + 1,... n, použijeme i ( ) Q (k) I (k) θ = θ Q(k), kde Q(k) R n k+1,n k+1, I (k) R k 1,k 1 a Q (k) = I 2 w (k) ( w (k)) T, w (k) = x (k) + signx (k) 1 x (k) 2 e (k) x (k) + signx (k) x (k) 2 e (k) 2, kde x (k) R n k+1 je vektor tvořený posledními n k + 1 složkami vektoru x a vektor e (k) je první vektor standardní báze prostoru R n k+1,n k+1. 1
54 / 70 Tomáš spektra e pro vektor y = Q (k) x pak platí, y j = signx (k) 1 x j pro j = 1,..., k 1 x (k) 2 pro j = k 0 pro j = k + 1,... n vhodnou aplikací Householderových transformací na sloupce e A tak lze eliminovat nenulové prvky pod diagonálou jelikož se vše děje pomocí unitárních transformací, získáme unitarní převod na i v horním trojúhelníkovém tvaru, tj. QR rozklad
55 / 70 Tomáš spektra e 1: procedure HOUSEHOLDER(A) 2: R (1) = A 3: Q (1) = I 4: for k = 1,..., n 1 do 5: x (k) := R (k) k...n,k (= složky k... n k-tého sloupce ) 6: w (k) := x (k) +signx (k) 1 x (k) 2 e (k) x (k) +signx (k) 1 x (k) 2 e (k) 2 R n k+1 7: Q(k) := I 2 w (k) ( w (k)) T R n k+1,n k+1 ( ) 8: Q (k) I (k) := Q (k) R n,n 9: Q (k+1) := Q (k) Q (k) 10: R (k+1) := Q (k) R (k) 11: end for 12: return Q (n), R (n) 13: end procedure
spektra e jsou ortogonální, které umožňují eliminovat jednotlivé prvky vektoru x R n pro dvojici indexů i, j a úhel θ je Givensova rotace definována jako 1 1... cos θ sin θ G (i, j, θ) =... sin θ cos θ... 1 1 pro vektor x R n odpovídá součin y = G (i, j, θ) x rotaci složek (x i, x j ) o úhel θ po směru hodinových ručiček 56 / 70
57 / 70 Tomáš spektra e platí tedy x j pro k i, j y k = cx i + sx j pro k = i sx i + cx j pro k = j kde jsme použili značení s = sin θ a c = cos θ. volbou x i x j c =, s =, xi 2 + xj 2 xi 2 + xj 2 pak bude y i = xi 2 + xj 2 a y j = 0 to odpovídá rotaci o úhel θ = arctan x j /x i pomocí Givensových rotací lze postupně eliminovat všechny prvky pod diagonálou a opět tak získat QR rozklad
QR rozklad spektra e Ukázali jsme si tři způsoby, jak získat QR rozklad ortogonalizační je numericky nestabilní používá se v modifikované podobě v některých metodách pro řešení soustav lineárních rovnic a Givensovy jsou numericky stabilnější ve všech případech je složitost n 3 58 / 70
59 / 70 Tomáš spektra e QR rozklad ztrátu ortogonality lze poměřovat pomocí hodnoty I QQ lze ukázat, že platí (ɛ označuje strojovou přesnost aritmetiky) Algoritmus Householderův QR rozklad Givensův QR rozklad Klasický GS Modifikovaný GS Iterační GS I QQ ɛ ɛ κ(a) 2 ɛ κ(a)ɛ ɛ
60 / 70 Tomáš spektra e pro zadanou i A R n,n konstruujeme tři posloupnosti { T (k)} k=1 Rn,n { Q (k)} k=1 Rn,n ortogonální e { R (k)} k=1 Rn,n horní trojúhelníkové na počátku volíme T (1) = A, Q (1) R (1) = T (1), T (2) = R (1) Q (1) obecně mají jednotlivé tvar Q (k) R (k) = T (k), T (k+1) = R (k) Q (k).
platí tedy R (k) = ( Q (k)) 1 T (k) spektra e a resp. T (k+1) = R (k) Q (k) = ( Q (k)) 1 T (k) Q (k), T (k) = (Q (0) Q (1)... Q (k)) T A (Q (0) Q (1)... Q (k)) pro k > 0 a tedy e T (k) je ortogonálně podobná i A. 61 / 70
Konvergence QR algoritmu spektra e Remark 36 QR rozklad je opět spojitou funkcí prvků e A, jak lze vidět např. z Grammova-Schmidtova algoritmu. Lemma 37 Existuje-li QR rozklad e A k = Q (k) R (k), pak platí Důkaz. Stejný jako u LR algoritmu. Q (k) = Q (1) Q (2)... Q (k), R (k) = R (k) R (k 1)... R (1). 62 / 70
Konvergence QR algoritmu spektra e Theorem 38 Je-li e A R n,n taková, že její vlastní čísla λ i splňují λ 1 > λ 2 >... > λ n, pak posloupnost T (k) konverguje k horní trojúhelníkové i s vlastními čísly λ i na diagonále seřazené podle velikosti. Je-li A symetrická, pak T (k) konverguje k diagonální i. 63 / 70
spektra e klasický přístup ke QR rozkladu vyžaduje v každém kroku n 3 operací ukážeme si tzv. Hessenbergovy se složitostí n 2 64 / 70
Hessenbergův tvar e spektra e Definition 39 Matice v Hessenbergově tvaru je horní trojúhelníková e, která má navíc nenulové prvky bezprostředně pod diagonálou. Remark 40 Hessenbergův tvar je zřejmě nejjednodušší tvar, na který dokážeme libovolnou regulární i převést podobnostní transformací, kterou lze získat přímým algoritmem. 65 / 70
Hessenbergovy spektra e Hessenbergovy využívá Hessenbergův tvar e na začátku metody převedeme i A podobnostní transformací do Hessenbergova tvaru se složitost O(n 3 ) ukážeme, že následující lze provádět se složitostí O(n 2 ) 66 / 70
67 / 70 Tomáš spektra e Hessenbergovy v prvním kroku nulujeme prvky v prvním sloupci na řádcích 3 až n pomocí ) Q (1) := ( 1 Q (1) transformací A = Q (1) A dostaneme i, jejíž první sloupec odpovídá Hessenbergovu tvaru, není ale podobná i A trik je v tom, že e Q (1) při násobení A (1) = A (Q (1) ) T nemění první sloupce e A, takže ten stále odpovídá Hessenbergovu tvaru a A (1) je navíc podobná i A takto po celkem n 2 krocích získáme i v Hessenbergově tvaru, kterou označíme H (0), a která je podobná původní i A
68 / 70 Tomáš spektra e Hessenbergovy Hessenbergovy generují posloupnost H (k), které jsou v Hessenbergově tvaru pro QR rozklad e H (k 1) stačí eliminovat pouze n 1 nenulových prvků pod diagonálou k tomu stačí provést n 1 Givensových rotací definujme ( Q (k)) T (k) = G n 1... G(k) 1 pak je a tudíž a z definice QR iterací je ( Q (k)) T H (k 1) = R (k) H (k 1) = Q (k) R (k) H (k) = R (k) Q (k) = R (k) ( G (k) 1 ) T... ( ) G (k) T n 1
Hessenbergovy spektra e Lemma 41 Výsledkem násobení ( ) R (k) G (k) T ( ) 1... G (k) T n 1 je opět e v Hessenbergovu tvaru. celou iteraci se nám podařilo provést s O(n 2 ) operacemi na konci mámě opět i v Hessenbergovu tvaru 69 / 70
spektra e částečný mocninná jak v praxi zaručit její podmínky konvergence? jak napočítat nejmenší vlastní číslo? redukční úplný trojúhelníková Grammův-Schmidtův ortogonalizační Hessenbergovy na čem závisí rychlost konvergence? jak konvergenci urychlit? 70 / 70