5. Singulární rozklad
|
|
- Radomír Šimek
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října
2 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální báze R(A) a N (A) atd. Za univerzálnost a sílu tohoto nástroje musíme platit vyššími výpočetními nároky. Motivace vedoucí k zobecnění na singulární rozklad: spektrální rozklad hermitovská a pozitivně semidefinitní A. 3
3 Motivace Spektrální rozklad hermitovské pozitivně semidefinitní matice Nechť A je hermitovská, pozitivně semidefinitní, A C n n hodnosti r, r rank(a). A má nezáporná vlastní čísla λ 1,..., λ n, uvažujme uspořádání λ 1 λ 2... λ r > 0, λ r+1 =... = λ n = 0. Schurova věta pro normální matice: existuje rozklad tvaru A = QΛQ, Q Q = I, Λ = diag(λ 1,..., λ n ). 4
4 Hermitovské pozitivně semidefinitní matice Rozklad do ortogonálních invariantních podprostorů Sloupce unitární matice Q = [q 1,..., q n ] jsou vlastní vektory matice A, platí Aq j = λ j q j, j = 1,..., n. Vlastní vektory q 1,..., q n tvoří ortonormální bázi prostoru C n a definují rozklad prostoru C n na vzájemně ortogonální jednodimenzionální podprostory, jež jsou invariantní vzhledem k násobení maticí A, tj. v span{q j } = Av span{q j }, j = 1,..., n. Aplikace matice A - superpozice, v = n α k q k = Av = k=1 n α k λ k q k. k=1 5
5 Hermitovské pozitivně semidefinitní matice Spektrální rozklad a ortogonální báze R(A) a N (A) Schématicky zobrazené působení A na {q 1,..., q n }: A q 1 λ 1 q 1, A q 2 λ 2 q 2,. A q r λ r q r, A {q r+1,..., q n } 0. Vidíme bázi nulového prostoru a oboru hodnot matice A: R(A) = span{q 1,..., q r }, N (A) = span{q r+1,..., q n }. 6
6 Hermitovské pozitivně semidefinitní matice Dyadický rozvoj, aproximace A maticí nižší hodnosti Dyadický rozvoj matice A, r r A = λ j q j qj = A j, A j λ j q j qj. j=1 j=1 Platí A j = A j F = λ j a vzhledem k uvažovanému setřídění vlastních čísel je A 1 A 2... A r. Aproximace A maticí A (k) hodnosti k, k A (k) = A j. j=1 Chyba aproximace měřená spektrální normou A A (k) = λ k+1. 7
7 Jádro a obor hodnot matic A A a AA Singulární rozklad je možné chápat v určitém smyslu jako rozšíření výše uvedeného pohledu na obecné matice. Uvažujme obecně obdélníkovou komplexní matici A C n m, rank(a) = r. Důležitá role: spektrální rozklady matic A A a AA. Matice A A a AA jsou čtvercové hermitovské pozitivně semidefinitní a lze na ně aplikovat všechny výsledky a úvahy z předchozího. Jádro a obor hodnot matic A A a AA (cvičení) Pro libovolnou komplexní matici A C n m platí N (A A) = N (A), R(A A) = R(A ), N (AA ) = N (A ), R(AA ) = R(A). 9
8 Jádro a obor hodnot matic A A a AA Připomeňme N (A) R(A ) = C m, N (A) R(A ), N (A ) R(A) = C n, N (A ) R(A). Pro libovolnou komplexní matici A C n m platí dim(r(a)) = r = dim(r(a )). S použitím předchozího dim(r(aa )) = r = dim(r(a A)). 10
9 Spektrální rozklad A A Předpoklad: známe spektrální rozklad matice A A, odvodíme spektrální rozklad matice AA. Označme λ j vlastní čísla a v j příslušné ortonormální vlastní vektory A A, A A v j = λ j v j, v j = 1, j = 1,..., m. Bez újmy na obecnosti předpokládejme uspořádání λ 1 λ 2... λ r > 0, λ r+1 =... = λ m = 0. Označíme-li V [v 1,..., v m ], platí V A A V = diag (λ 1,..., λ r, 0,..., 0), V V = I }{{} m. m r 11
10 Vztahy mezi vlastními čísly a vektory matic A A a AA Dle předchozího platí span{v 1,..., v r } = R(A A) = R(A ), span{v r+1,..., v m } = N (A A) = N (A). Existuje vztah mezi vlastními vektory A A a AA? O vlastních vektorech matic A A a AA Uvažujme spektrální rozklad matice A A. Potom jsou vektory u j Av j / λ j, j = 1,..., r, ortonormální vlastní vektory matice AA a platí AA u j = λ j u j, u j = 1, j = 1,..., r. 12
11 Důkaz Vynásobením A A v j = λ j v j maticí A zleva dostaneme A(A A) v j = λ j Av j AA A v j = λ j A v j. }{{}}{{} w j w j AA C n n je opět hermitovská pozitivně semidefinitní, v j N (A) w j = Av j 0 j = 1,..., r, a w j je (nenormalizovaným) vlastním vektorem matice AA. Ortogonalita vektorů w j, j = 1,..., r: Pro j k platí w j w k = (Av j ) (Av k ) = v j (A Av k ) = λ k v j v k = 0, neboť v j v k = δ j,k. Pro j = 1,..., r dostáváme tj. w j = λ j. w j 2 = λ j v j 2 = λ j, 13
12 Spektrální rozklad matice AA u j jsou ortonormální vlastní vektory matice AA odpovídající vlastním číslům λ j 0, platí Av j = λ j u j, j = 1,..., r. u 1,..., u r ortonormální báze R(A) = R(AA ). Doplníme na ortonormální bázi celého prostoru pomocí u r+1,..., u n báze N (AA ) = N (A ). Platí span{u 1,..., u r } = R(AA ) = R(A), span{u r+1,..., u n } = N (AA ) = N (A ). Označíme-li U [u 1,..., u n ], pak U AA U = diag (λ 1,..., λ r, 0,..., 0), U U = I }{{} n. n r 14
13 Spektrální rozklady matic AA a A A Spektrální rozklad A A spektrální rozklad AA. Nalezli jsme ortonormální báze R(A ), R(A), N (A ), N (A), R(A ) = span{v 1,..., v r }, N (A) = span{v r+1,..., v m }, R(A) = span{u 1,..., u r }, N (A ) = span{u r+1,..., u n }. Z konstrukce nenulová vlastní čísla A A a AA se rovnají. Singulární čísla Nechť A C n m. Odmocniny nenulových vlastních čísel matice A A nazveme singulárními čísly matice A, σ j = λ j, j = 1,..., r, r = rank(a). λ j by uspořádána sestupně, proto σ 1 σ 2... σ r > 0. 15
14 Singulární rozklad Av j = λ j u j Av j = σ j u j, j = 1,..., r. Zobrazení C m = span{v 1,..., v m } maticí A: Av 1 σ 1 u 1, Av 2 σ 2 u 2,... Av r σ r u r, A{v r+1,..., v m } 0. Maticově AV = UΣ, Σ = [ Σr ] R n m, Σ r = diag(σ 1,..., σ r ) R r r. 16
15 Singulární rozklad - matice A Ekvivalentně, A = UΣV, A = V Σ T U a analogicky A u 1 σ 1 v 1, A u 2 σ 2 v 2,.. A u r σ r v r, A {u r+1,..., u n } 0. A vzájemně jednoznačné přiřazení dvojic jednorozměrných podprostorů span{u j } a span{v j }, j = 1,..., r.. 17
16 Singulární rozklad - celkové schema A A σ v 1 σ 1 1 u1 v1, σ v 2 σ 2 2 u2 v2,. v r v r+1. v m. σ r. σ r ur vr, u r+1 0,. 0. u n.. 18
17 Věta o singulárním rozkladu obecné matice Geometrická verze Geometrická verze singulárního rozkladu Pro každou matici A C n m hodnosti r existuje ortonormální báze {v 1,..., v m } prostoru C m, ortonormální báze {u 1,..., u n } prostoru C n a kladná čísla σ 1 σ 2 σ r > 0 tak, že platí { σj u j, j = 1,..., r, Av j = 0, j = r + 1,..., m, A u j = { σj v j, j = 1,..., r, 0, j = r + 1,..., n. Čísla σ 1 σ 2 σ r > 0 jsou odmocninami nenulových vlastních čísel matic A A a AA příslušných vlastním vektorům {v 1,..., v r } resp. {u 1,..., u r }. 19
18 Věta o singulárním rozkladu obecné matice Maticová verze Maticová verze singulárního rozkladu A C n m hodnosti r existují unitární matice U C n n a V C m m a kladná čísla σ 1 σ 2 σ r > 0 tak, že platí [ ] A = U Σ V Σr 0, Σ = R n m, 0 0 kde Σ r = diag(σ 1,..., σ r ) R r r. Vektory v j, j = 1,..., m nazýváme pravými singulárními vektory, u j, j = 1,..., n levými singulárními vektory A. SVD singular value decomposition. A reálná existuje reálný singulární rozklad. Zdůvodnění: A A i AA jsou reálné symetrické s reálnými ortonormálními vlastními vektory. 20
19 Zápisy singulárního rozkladu Plný a ekonomický zápis Rozklad A = UΣV s čtvercovými U C n n, V C m m je vhodný především pro teoretické účely (plný tvar). Praktické účely ekonomický tvar singulárního rozkladu. Označíme-li U r [u 1,..., u r ], V r [v 1,..., v r ], platí schematicky A = U r Σ r V r, A U Σ V U r Σ r V r = U r Σ r V r =. (odstraníme násobení nulovými bloky) 21
20 Zápisy singulárního rozkladu Zápis pomocí dyadického rozvoje Ekonomický tvar SVD lze zapsat pomocí dyadického rozvoje r r A = σ j u j vj = j=1 j=1 j-tý vnější součin A j = σ j u j v j A j, A j σ j u j v j. je matice hodnosti jedna, platí A j = A j F = σ j, (cvičení) a proto A 1 A 2... A r > 0. Matici A hodnosti r jsme vyjádřili jako součet r matic hodnosti jedna s nerostoucí normou. 22
21 Jednoznačnost singulárního rozkladu Singulární čísla jsou určena jednoznačně. Pravé a levé podprostory příslušné různým singulárním číslům, jakož i nulové prostory N (A) a N (A ) jsou určeny jednoznačně. Pravé resp. levé singulární vektory, příslušné nulovým singulárním číslům, lze volit jako prvky libovolné ortonormální báze N (A) resp. N (A ). Pokud je singulární číslo jednoduché (není násobné), je příslušný pravý singulární vektor dán jednoznačně až na násobek skalárem α, α = 1. Příslušný levý singulární vektor je dán jednoznačně volbou pravého singulárního vektoru. Je-li singulární číslo násobné, je možné volit pravé singulární vektory libovolně tak, aby tvořily ortonormální bázi příslušného podprostoru. Příslušné levé singulární vektory jsou dány jednoznačně volbou pravých singulárních vektorů. 23
22 Singulární rozklad normální matice Vztah k spektrálnímu rozkladu A C n n normální, pro jednoduchost regulární, Schur A = QΛQ, Λ = diag(λ 1,..., λ n ), λ j obecně komplexní, předpokládejme λ 1 λ n. ( ) λ1 D diag λ 1,..., λ n, DD = D D = I. λ n D Λ = diag( λ 1,..., λ n ) = ΛD. Získání singulárního rozkladu A A = (QD) (D Λ) Q UΣV, kde U QD a V Q jsou unitární, Σ D Λ je reálná diagonální matice s kladnými prvky na diagonále. Singulární čísla normální matice A jsou absolutní hodnoty vlastních čísel A. 24
23 Výpočet singulárního rozkladu a spektrální rozklad matic AA a A A Jeli A obdélníková a jeden z jejích rozměrů je malý (uvažujme např. situaci n m), může být výhodné použít k výpočtu spektrální rozklad A A C m m spočteme v j a σ j. Levé singulární vektory u j (n-prvkové vektory) dopočteme snadno užitím vztahů u j = Av j σ j, j = 1,..., r. n m a n je malé analogicky. Podstatná nevýhoda: κ(a A) = κ(aa ) = κ(a) 2. Je-li matice A špatně podmíněna, mohou být malá singulární čísla počítaná tímto způsobem určena velmi nepřesně. 26
24 Výpočet singulárního rozkladu Standardní způsob První krok transformace A na bidiagonální tvar, B = W AQ, W W = I, Q Q = I. Unitární transformace numerická stabilita. Druhý krok singulární rozklad bidiagonální matice. Provádí se iteračně (pomocí implicitního QR algoritmu). Singulární čísla bidiagonální matice je možné spočíst velmi přesně, s relativní přesností na úrovni strojové přesnosti. 27
25 Výpočetní náročnost výpočtu SVD Odhad počtu operací, pro jednoduchost čtvercové matice řádu n. Jde o iterační proces nemůžeme a priori určit přesný počet operací. Předpoklad: iterační proces konverguje velmi rychle můžeme odhadnout zdola počet operací. Převod na bidiagonální matici 2-krát více operací než QR. Chceme-li spočíst pouze singulární čísla, nejméně 8 3 n3 operací. Chceme-li znát explicitně i U a V, je nutné vynásobit jednotlivé Householderovy reflexe, potřebujeme nejméně 16 3 n3 operací. V většině aplikací je zbytečné provádět explicitní výpočet U a V (stačí je ukládat v implicitním tvaru - ukládají se jen příslušné vektory jež definují Householderovy reflexe). 28
26 Použití singulárního rozkladu Ukážeme, jak pomocí SVD určit hodnost (rank), normu či podmíněnost matice, zkonstruujeme zobecněnou inverzi (pseudoinverzi) matice a nalezneme nejlepší aproximaci matice pomocí matice nižší hodnosti. Pseudoinverze (Moore-Penroseova zobecněná inverze), je zobecněním inverze čtvercové regulární matice. Definice: Moore-Penroseova pseudoinverze Nechť je dána matice A C n m hodnosti r a nechť A = UΣV = U r Σ r Vr je její singulární rozklad. Matici [ ] A V Σ U = V r Σ 1 r Ur, Σ Σ 1 r 0 R m n, 0 0 nazveme Moore-Penroseovou zobecněnou inverzí matice A (zkráceně pseudoinverze). 30
27 Pseudoinverze matice Ekvivalentní definice, projektory A splňuje rovnosti (cvičení) AA A = A, (AA ) = AA, A AA = A, (A A) = A A. A je těmito podmínkami určena jednoznačně (cvičení). Máme dvě ekvivalentní definice pseudoinverze matice A. Z definice pseudoinverze plyne AA = U r Σ r Vr rσ 1 r U r = U rur, A A = V r Σ 1 r U r U rσ r Vr rvr AA = U r Ur je ortogonálním projektorem na R(A). A A = V r Vr je ortogonálním projektorem na R(A ). 31
28 Jiné vyjádření pseudoinverze Pseudoinverze matic s plnou sloupcovou (řádkovou) hodností Věta Uvažujme matici A C n m. Je-li n m a rank(a) = m, potom A = (A A) 1 A. Naopak, je-li n < m a rank(a) = n, potom A = A (AA ) 1. Důkaz. Případ n m a m = rank(a). Potom A = V m Σ 1 m U m = (V m Σ 2 m V m)(v m Σ m U m). Stačí si uvědomit, že V m Σ 2 m V m = (V m Σ 2 mv m) 1 = (A A) 1 a V m Σ m U m = A. Druhá část analogicky (cvičení). Je-li A čtvercová regulární matice, potom platí A = A 1. 32
29 Normy a podmíněnost matice Spektrální a Frobeniova norma Normy a singulární čísla Nechť je dána matice A C n m hodnosti r a nechť σ 1 σ 2 σ r > 0 jsou její singulární čísla. Potom platí A = σ 1, A F = (σ σ σ2 r )1/2 a navíc A A F r A. Důkaz. A = ( (A A)) 1/2 = σ 1. Frobeniova norma je unitárně invariantní a platí A F = UΣV F = Σ F = (σ1 2 + σ σr) 2 1/2. A A F r A plyne z uspořádání singulárních čísel. 34
30 Podmíněnost matice a singulární čísla Podmíněnost čtvercové regulární matice κ(a) = A A 1. Jelikož A = σ 1 a A 1 = σ 1 n, je κ(a) = σ 1 σ n. Zobecnění na obdélníkové matice A C n m, n m s plnou sloupcovou hodností, rank(a) = m, κ(a) = σ 1 σ m. 35
31 Aproximace maticí nižší hodnosti Formulace problému Nechť A C n m je matice hodnosti r a nechť je dáno přirozené číslo k < r. Cíl: nalézt matici B k C n m tak, že rank(b k ) = k a A B k = min A X. X C n m rank(x)=k Lemma Nechť je dána matice A C n m hodnosti r a nechť k je přirozené číslo, k < r. Pro každou matici X C n m, rank(x) = k, platí A X σ k+1, kde σ k+1 je (k + 1)ní singulární číslo matice A. 37
32 Důkaz lemmatu Část 1 Mějme X C n m tak, že rank(x) = k. Zřejmě platí dim N (X) = m k. Uvažujme prostor složený z k + 1 pravých singulárních vektorů matice A, V span{v 1,..., v k+1 }. N (X) i V jsou podprostory C m, součet dimenzí = m + 1 musí existovat netriviální průnik y : y = 1 a y N (X) V. y V = span{v 1,..., v k+1 } k+1 y = α i v i. i=1 38
33 Důkaz lemmatu Část 2 y N (X) V, y = 1, tj. k+1 Xy = 0, 1 = α i 2. i=1 Dále platí k+1 k+1 (A X)y = Ay = α i Av i = α i σ i u i. i=1 i=1 Kvadrát norem, ortonormalita vektorů u i, dostáváme k+1 k+1 (A X)y 2 = α i 2 σi 2 σ2 k+1 α i 2 = σk+1 2. i=1 i=1 Platí tedy A X (A X)y σ k+1. 39
34 Aproximace maticí nižší hodnosti Věta: Eckart, Young, Mirsky Nechť je dána matice A C n m hodnosti r a nechť k je přirozené číslo, k < r. Uvažujme singulární rozklad matice A, Potom je matice r A = σ j u j vj. j=1 k A (k) σ j u j vj j=1 nejlepší aproximací matice A hodnosti k a platí min A X = A A (k) = σ k+1. X C n m rank(x)=k 40
35 Důkaz Matice A (k) je hodnosti k a splňuje A A (k) r k = σ j u j vj σ j u j vj = σ k+1. j=1 j=1 Tvrzení plyne z předchozího lemmatu: X, rank(x) = k, platí A X σ k+1. Našli jsme X = A (k) takovou, že rank(x) = k a zároveň A X = σ k+1. 41
36 Numerická hodnost matice Řekneme, že A má numerickou hodnost k, pokud A má k singulárních čísel výrazně větších než strojová přesnost ǫ a ostatní singulární čísla jsou úměrná ǫ σ 1 σ 2 σ k σ k+1 ǫ. Není přitom kvantifikováno, co znamená, že je singulární číslo úměrné ǫ. Matlab numerická hodnost matice je dána počtem singulárních čísel matice A C n m větších než ǫ A max{n, m}. Příklady: krylovovská matice s normalizovanými sloupci, [ w w, Bw Bw,..., B m 1 ] w B m 1 R n m, w kde m = 100, B R n n Butterfly Gyro, kolekce Oberwolfach. 43
37 10 0 σ i (A) 10 5 ε A max{n,m} ε 10 0 σ i (A) 10 5 ε A max{n,m} ε σ i (A) ε A max{n,m} ε σ i (A) ε A max{n,m} ε krylovovské matice (vlevo nahoře), paralax(100) (vpravo nahoře), heat(100,1) (vlevo dole), heat(100,5) (vpravo dole). 44
38 Použití SVD na kompresi dat Fotografie a matice Fotografie = matice. Černobílá = 1 matice, barevná 3 barevné kanály 3 matice. Příklad: černobílá fotografie stromu matice A R , plná sloupcovou hodnost, singulární čísla k A (k) σ j u j vj T, k = 1,..., 155 j=1 46
39 Použití SVD na kompresi dat Aproximace fotografie Matice co ukládáme počet ukládaných čísel paměť A U 155, V 155, σ 1,...,155 ( ) Kb A (86) U 86, V 86, σ 1,...,86 ( ) Kb A (40) U 40, V 40, σ 1,...,40 ( ) Kb A (10) U 10, V 10, σ 1,...,10 ( ) Kb 47
40 Cvičení 5.1 Dokažte, že pro libovolnou komplexní matici A C n m platí N (A A) = N (A), N (AA ) = N (A ). 5.2 Dokažte, že pro libovolnou komplexní matici A C n m platí R(A A) = R(A ), R(AA ) = R(A). 5.3 Dokažte A j = A j F = σ j, kde A j = σ j u j vj. 5.4 Dokažte A = σ 1 přímo z definice maticové normy. 49
41 Cvičení 5.5 Odvoďte vztah mezi spektrálním a singulárním rozkladem matice A C n n v následujících případech: 1 A je hermitovská, 2 A je hermitovská a navíc pozitivně semidefinitní. 5.7 Ukažte, že A splňuje tzv. Moore-Penroseovy podmínky: AA A = A, (AA ) = AA, A AA = A, (A A) = A A. 5.9 Nechť A C n m, n < m, je matice s lineárně nezávislými řádky. Ukažte, že platí A = A (AA ) Dokažte, že každá regulární matice A s podmíněností rovnou jedné je normální a je (nenulovým) skalárním násobkem unitární matice. 50
Singulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 9. října 2013 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve vstupních datech. Tato
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
Více3. Ortogonální transformace a QR rozklady
3. Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 10. října 2012 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby
Více19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Rozklady matic
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Rozklady matic Bakalářská práce Brno 8 Antonín Tulach PODĚKOVÁNÍ Chtěl bych poděkovat RNDr. Martinovi Tajovskému za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceCHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceMOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod
Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více4. LU rozklad a jeho numerická analýza
4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Více