Martina Litschmannová

VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Základy matematiky Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016

Základy matematiky 1. cvičení 1. Množiny Definice 1.1 Množinou rozumějme soubor (souhrn) navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které patří do dané množiny, se nazývají prvky množiny. Zápis a A znamená, že a je prvkem množiny A. Zápis a A znamená, že a není prvkem množiny A. Množiny zadáváme výčtem prvků (tj. do složených závorek; obsahuje-li množina A prvky a, b, c, píšeme A = {a, b, c} ), pomocí charakteristické vlastnosti zápis B = {x E: V(x)} znamená, že množina B je tvořena prvky z množiny E a to pouze těmi, které mají vlastnost V(x). Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a označuje se nebo { }. Definice 1.2 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množiny A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B a každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A. Příklad 1.1 Rozhodněte, zda A = B. a) Nechť A = {2,4,5}, B = {5,4,2}. b) Nechť A = {2,2}, B = {2}. Definice 1.3 Nechť A, B jsou množiny. Říkáme, že množina A je podmnožinou množiny B a píšeme A B, jestliže každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B. Příklad 1.2 Najděte všechny podmnožiny množiny A = {1,2,3}. Základní množinové operace název operace sjednocení průnik rozdíl doplněk označení A B A B A\B A Martina Litschmannová 1

1. cvičení - Množiny Příklad 1.3 Vyšrafujte dané množiny ve Vennových diagramech. A Z A Z A Z A Z B B B B A B A B A\B A Příklad 1.4 Nechť A = {1,2,3,4}, B = {2,4,5}. Určete A B, A B, A\B, B\A. Početní pravidla pro operace s množinami 1. A B = B A, A B = B A komutativní zákony 2. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 3. (A B) C = A (B C) asociativní zákon 4. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 5. (A B) C = (A C) (B C) distributivní zákon 6. (A B) = A B, (A B) = A B de Morganovy zákony 7. (A ) = A 8. A\B = A B Číselné množiny N = {1; 2; 3; } Z = { ; 2; 1; 0 1; 2; } Q = { p : p Z; q Z} racionální q R R\Q C přirozená čísla celá čísla čísla reálná čísla iracionální čísla komplexní čísla Příklad 1.5 Nechť A = {1,2,3,4}, B = N. Určete A B, A B, A\B, B\A. 2 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 1.6 Zjednodušte: a) (A B) (A C) b) (A B) (A C) c) [[(A B) C] (A B) C] 2. Výroková logika Definice 1.4 Výrok je tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Mějme výrok A. Je-li A pravdivý, zapisujeme tuto skutečnost p(a) = 1, je-li A nepravdivý, píšeme p(a) = 0. Symboly 0, 1 se nazývají pravdivostní hodnoty. Definice 1.5 Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Negaci výroku A budeme značit A. Definice 1.6 Obměna výroku A je výrok, který říká totéž co výrok A, ale jinými slovy. Příklad 1.7 Určete, zda lze dané věty považovat za výrok. V případě, že jde o výrok, určete jeho pravdivostní hodnotu a výrok negujte. a) V: Hradcem Králové protéká řeka Labe. b) V: V kolik hodin odjíždí rychlík Pendolino z Prahy? c) V: Rychlík Pendolino odjíždí z Prahy v 16:15h. d) V: x < 5 e) V: 4 < 5 f) V: 4 + 5 = 10 Jednotlivé výroky lze spojovat pomocí logických spojek: název spojky označení slovní vyjádření konjunkce A B A a zároveň B disjunkce A B A nebo B implikace A B jestliže A pak B ekvivalence A B A právě tehdy, když B Výrok obsahující logické spojky nazýváme výrokem složeným. Neobsahuje-li výrok logické spojky, nazývá se výrok elementární. Martina Litschmannová 3

1. cvičení - Výroková logika Definice 1.7 Mějme výroky A, B. Logické spojky, které spojují dva výroky, definujeme tabulkou pravdivostních hodnot vypsáním všech existujících kombinací. p(a) p(b) p(a B) p(a B) p(a B) p(a B) 1 1 1 0 0 1 0 0 Příklad 1.8 Doplněním tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že platí následující vztahy pro negace. 1. ( A) = A 2. (A B) = A B 3. (A B) = A B 4. (A B) = A B 5. (A B) = (A B) ( A B) p(a) p(b) p( A) p( B) p( ( A)) p( (A B)) p( A B) 1 1 1 0 0 1 0 0 p(a) p(b) p( (A B)) p( A B) p( (A B)) p(a B) 1 1 1 0 0 1 0 0 p(a) p(b) p( (A B)) p(a B) p( A B) p((a B) ( A B)) 1 1 1 0 0 1 0 0 4 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 1.9 Doplňte tabulku pravdivostních hodnot. p(a) p(b) p(c) p((a B) C) p((a B) (B C)) p((b A) (A B)) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Definice 1.8 Výroková forma je tvrzení obsahující proměnné, z něhož se stane výrok po dosazení konstant za proměnné. Z výrokové formy lze vytvořit výrok také tak, že všechny proměnné ve formě vážeme nějakou omezující podmínku, jednoznačně specifikující jejich hodnoty. Tato podmínka se nazývá kvantifikátor. V matematice se nejčastěji používají dva kvantifikátory: obecný kvantifikátor, který se označuje a čte se pro každé, existenční kvantifikátor, který se označuje a čte se existuje alespoň jeden, kvantifikátor jednoznačné existence, který se označuje! A čte se existuje právě jeden. Negací obecného kvantifikátoru je existenční a naopak. Například: ( x N y N: V(x)) = x N y N: V(x). Příklad 1.10 Určete pravdivostní hodnoty následujících výroků a určete jejich negace. V p(v) V x R: x 0 x 2 0 x N y N: x y x N y N: x y x R: x > 0 x 3 0 x N y N: x y x 3 y 3 Výroková forma, která při dosazení libovolné kombinace pravdivostních hodnot nabývá pravdivostní hodnoty 1 se nazývá tautologie. Martina Litschmannová 5

1. cvičení - O logické výstavbě matematiky Příklad 1.11 Pomocí tabulky pravdivostních hodnot dokažte, že se jedná o tautologii: a) (A B) ( B A) (vztah pro nepřímý důkaz) b) (A B) (A B) (vztah pro důkaz sporem) p(a) p(b) p( A) p( B) p(a B) p( B A) p(a B) p( (A B)) 1 1 1 0 0 1 0 0 p(a) p(b) p((a B) ( B A)) p((a B) (A B)) 1 1 1 0 0 1 0 0 3. O logické výstavbě matematiky Jak budovat vědeckou teorii? Jednotlivé části této kapitoly jsou převzaty z [2]. 1. Na počátku uvedeme axiomy, tj. výroky, jejichž pravdivost se předpokládá. V axiomech se vyskytují tzv. primitivní pojmy, které nedefinujeme. Axiomy vypovídají o primitivních pojmech vše, co je možné říci. 2. Pak následují věty, tj. pravdivé výroky, které lze odvodit pomocí pravidel logiky z axiomů nebo z vět předcházejících. Nedílnou součástí vět je jejich důkaz. 3. Další pojmy zavádíme pomocí definic, přičemž definice je vymezením obsahu a rozsahu nového pojmu. Matematické důkazy Věty mají tvar implikace (α β) nebo ekvivalence (α β). Protože však lze každou ekvivalenci převést na implikaci, stačí se v důkazech soustředit na věty ve tvaru implikace. Mějme větu α β, pak α jsou předpoklady věty a β jsou tvrzení věty. Slovně lze takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů: Nechť platí α. Potom platí β. Jestliže platí α, potom platí β. Když platí α, pak platí β. Nedílnou součástí věty je její důkaz. Důkazem rozumíme logické deduktivní odvození výroku z jiných pravdivých výroků. Používáme následující typy důkazů: přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem a důkaz matematickou indukcí. 6 Martina Litschmannová

Základy matematiky Princip matematických důkazů: Přímý důkaz vychází z pravdivosti předpokladů α a má tvar řetězce na sebe navazujících implikací, tj. α γ 1 γ 2 γ n β. Nepřímý důkaz využívá vztahu (α β) ( β α). Vyjdeme z β a přímým důkazem dokážeme α. (viz příklad 1.11) β δ 1 δ 2 δ n α. Důkaz sporem využívá vztahu (α β) (α β). (viz příklad 1.11) Chceme ukázat, že není pravda, že platí α a zároveň neplatí β. Předpokládáme tedy současnou platnost α a β a postupně dojdeme k tzv. sporu. Spor je stav, kdy pro nějakou formuli γ ukážeme, že současně platí γ a γ. Důkaz matematickou indukcí je popsán např. v [2], v oddílu 2.7. Příklad 1.12 Dokažte přímo, nepřímo i sporem, že n N: n 2 6n + 3 > 13. Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Moravec Luboš Výuka logiky (diplomová práce webová aplikace pro výuku matematické logiky na střední škole) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.2 Výroky a operace s výroky, kap. 2.7 Matematická indukce, kap.2.9 O log. výstavbě matematiky) [3] VUT Brno, web Matematika online - Matematika I, Základy logiky a teorie množin (studijní text, neřešené příklady, řešené příklady) [4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz - Matematická logika a teorie množin, Matematické věty a jejich důkazy [5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě Výroková logika, Výroky (příklady), Množiny, operace s množinami [6] Šarmanová Petra, web Základy matematiky - Výroky, kvantifikátory (příklady k procvičení) Martina Litschmannová 7

2. cvičení - Komplexní čísla základní poznatky 2. cvičení 1. Komplexní čísla základní poznatky Definice 2.1 Komplexním číslem z nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel x a y píšeme z = [x; y]. Číslu x říkáme reálná část komplexního čísla z, číslu y imaginární část komplexního čísla z. Geometrické znázornění komplexních čísel Komplexní čísla znázorňujeme jako body Gaussovy roviny. Každé komplexní číslo z = [x; y] je v ní znázorněno bodem Z o souřadnicích [x; y]. Každému komplexnímu číslu z = [x; y] lze přiřadit polohový vektor, jehož počáteční bod je počátek soustavy souřadnic a koncový bod je bod o souřadnicích [x; y]. Geometrické znázornění komplexních čísel pomocí polohových vektorů je výhodné při znázorňování operací s komplexními čísly. Klasifikace komplexních čísel Nechť je x R, y R. Pak používáme následující označení. z = [x; 0] = x z = [0; 1] = i z = [x; y], y 0 z = [0; y] = y[0; 1] = iy z = [ x; y] z = [x; y] reálné číslo imaginární jednotka imaginární číslo (C\R) ryze imaginární číslo (leží na imaginární ose) číslo opačné k z číslo komplexně sdružené k z z = x 2 + y 2 absolutní hodnota (modul) čísla z 8 Martina Litschmannová

Základy matematiky Rovnost komplexních čísel a početní operace s komplexními čísly Nechť z 1 = [x 1 ; y 1 ], z 2 = [x 2 ; y 2 ], α R. Rovnost: z 1 = z 2 (x 1 = x 2 ) (y 1 = y 2 ) Součet: z 1 + z 2 = [x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ] Součin komplexního a reálného čísla: αz 1 = [αx 1 ; αy 1 ] Součin: z 1 z 2 = [x 1 x 2 y 1 y 2 ; x 1 y 2 + x 2 y 1 ] Poznámka: Rozdíl a podíl komplexních čísel není nutno definovat. z 1 z 2 = z 1 + ( 1)z 2 z 1 = z 1 z 2 = z 1z 2 = 1 z 2 z 2 z 2 z 2 2 z 2 2 z 1z 2 (uvědomte si, že 1 z 2 2 je reálné číslo) Příklad 2.1 Dokažte, že i 2 = 1. Mocniny imaginární jednotky i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = i i 4 = i 2 i 2 = 1 i 73 = i 72+1 = i 4 18+1 = i 4 18 i 1 = (i 4 ) 18 i 1 = 1 i = i 2. Algebraický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = x + iy. z = [x; y] = [x; 0] + [0; y] = x[1; 0] + y[0; 1] = x 1 + y i = x + iy Operace s čísly v algebraickém tvaru Nechť z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, α R. Pak: Součet: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Součin reálného čísla a komplexního čísla: αz 1 = αx 1 + iαy 1 Martina Litschmannová 9

2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel Součin: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + ix 2 y 1 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Podíl: z 1 z 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 = (x 1+iy 1 )(x 2 iy 2 ) x 2 2 +y 2 2 = 1 x 2 2 +y 2 2 (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) Poznámka: Pro určení n-té mocniny a n-té odmocniny používáme goniometrický tvar komplexního čísla. Příklad 2.2 Nechť z 1 = 3 + 2i, z 2 = 2 i. Určete: a) z 1 + z 2 b) z 1 2z 2 c) z 1 z 2 z d) 1 z 2 Příklad 2. 3 Zjednodušte: z = (5+2i)2 i 1 i 3 + 6i7 +6i 6 i. i 5 +1 3. Goniometrický tvar komplexních čísel Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = z (cos φ + i sin φ ), kde z je velikost čísla z a φ je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu z s kladnou poloosou x. sin φ = y y = z sin φ z cos φ = x x = z cos φ z z = x + iy = z cos φ + i z sin φ = = z (cos φ + i sin φ ) 10 Martina Litschmannová

Základy matematiky Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly Převod čísel z goniometrického do algebraického tvaru (a naopak) Příklad 2.4 Převeďte do algebraického tvaru čísla: a) 3 (cos π 3 + i sin π 3 ) b) 0,727(cos 0,534 + i sin 0,534) Příklad 2.5 Převeďte do goniometrického tvaru čísla: a) 1 b) 1 + i c) 1 i d) 1,20 0,65i Operace s čísly v goniometrickém tvaru Nechť z 1 = z 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = z 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ), n N Součin: z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 ) ) Podíl: z 1 = z 1 (cos(φ z 2 z 2 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 ) ) Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Martina Litschmannová 11

2. cvičení - Goniometrický tvar komplexních čísel Mocnina Moivreova věta Pro každé n Na všechna φεr platí: ( z (cos φ + i sin φ )) n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ) ). Odmocnina Věta (důkaz lze najít v literatuře) Je-li z = z (cos φ + i sin φ ) nenulové komplexní číslo a n N, pak existuje právě n komplexních čísel, která jsou n-tou odmocninou ze z, tj. takových čísel z i, že z k n = z. Jsou to čísla n z k = z [cos ( φ+2kπ n ) + i sin ( φ+2kπ )], kde k = 0, 1,, n 1. ( z (cos φ + i sin φ )) n = z n (cos(nφ) + i sin(nφ) ). n Všimněte si: n z k = z φ + 2kπ φ + 2kπ n [cos ( ) + i sin ( )] = z n n [cos ( φ n + 2kπ n ) + i sin (φ n + 2kπ n )] n Vidíme, že všechny n-té odmocniny ze z mají stejnou absolutní hodnotu z a jejich argumenty se liší o násobek 2π. To znamená, že: n je-li n 3, pak obrazy z k jsou vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice se středem n v počátku a poloměrem z, je-li n = 2, pak z k (z 0 a z 1 ) jsou čísla komplexně sdružená. Příklad 2.6 Určete: a) (1 + i) 53 3 b) 1 + i Příklad 2.7 3 a) x R: x = 1; x =? 3 b) x C: x = 1; x =? 12 Martina Litschmannová

Základy matematiky 4. Eulerův tvar komplexního čísla Každé komplexní číslo z = [x; y] lze vyjádřit ve tvaru z = z e iφ, kde z je velikost čísla z a φ je úhel, který svírá polohový vektor příslušný k číslu z s kladnou poloosou x. Pro převod čísel z goniometrického tvaru do Eulerova tvaru se používá tzv. Eulerův vzorec. Eulerův vzorec (důkaz lze najít v literatuře) e iφ = cos φ + i sin φ Operace s čísly v Eulerově tvaru Poznámka: Pro určení součtu a rozdílu používáme algebraický tvar komplexního čísla. Nechť z 1 = z e iφ, z 1 = z 1 e iφ 1, z 2 = z 2 e iφ 2, n N Součin: z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(φ 1+φ 2 ) Podíl: z 1 = z 1 z 2 z 2 ei(φ 1 φ 2 ) Mocnina: z n = z n e i(nφ) n Odmocnina: z n = z k = z e i(φ+2kπ n ), kde k = 0, 1,, n 1. Příklad 2.8 Nechť z 1 = 3e 0,32i, z 2 = 2e 0,20i. Určete: a) z 1 z 2 b) z 1 z 2 20 c) z 1 3 d) z 1 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Šilarová, L.: Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu (diplomová práce vedoucí: RNDr. Jarmila Robová, CSc., MFF UK) [2] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra -Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 2.3 Reálná čísla, kap. 2.4 rozšířená množina reálných čísel) [3] web priklady.eu Komplexní čísla (řešené příklady) Martina Litschmannová 13

3. cvičení - Algebraické výrazy 3. cvičení 1. Algebraické výrazy Definice 3.1 Proměnnou rozumíme znak, který označuje libovolné číslo z určité množiny, kterou nazýváme obor proměnné nebo definiční obor výrazu. Pokud není obor proměnné výslovně určen, považujeme za obor proměnné množinu všech čísel, která lze do výrazu dosadit, aniž ztratí smysl některá z uvedených operací (nedochází např. k dělení nulou, odmocňování záporného čísla v reálném výrazu apod.) Definice 3.2 Algebraický výraz je zápis, ve kterém se vyskytují konstanty, které nemění svou hodnotu a které jsou vyjádřeny čísly, dále proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Definice 3.3 Dosadíme-li za proměnné do výrazu libovolná čísla, pro která má daný výraz smysl, a provedeme všechny předepsané operace, dostaneme jako výsledek číslo hodnotu výrazu. Vlastnosti mocnin Nechť a R, b R, m N, n N, pak a 0 = 1, pokud a 0, a 1 = a, 0 n = 0, (uvědomte si, že tato rovnost platí pouze proto, že n > 0), 0 0 je nedefinovaný výraz, a m a n = a m+n, a m : a n = am a n = am n pokud a 0, a n = a0 = 1 a n a n, (ab) n = a n b n, (a m ) n = a mn, n a m Příklad 3.1 = a m n. Zjednodušte algebraický výraz a7 b 3 c 1 2 3 a7 b 3 a 2 b 5 c 2 3. 14 Martina Litschmannová

Základy matematiky 2. Mnohočleny Mnohočlen (polynom) n-tého stupně jedné proměnné je výraz tvaru a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, kde a n, a n 1,, a 1, a 0 jsou konstanty (koeficienty) mnohočlenu a x je proměnná. Mnohočlen 1. stupně nazýváme lineární, mnohočlen 2. stupně kvadratický (popř. kvadratický trojčlen), mnohočlen 3. stupně pak kubický. Pojem mnohočlenu lze zobecnit na případ více proměnných, kde místo mocnin nx jedné proměnné vystupují součiny mocnin několika proměnných. Např.: 3xy xy 2 + x. Základní operace s mnohočleny Příklad 3.2 Upravte: a) (x 3 + 3x 2 y + 2xy 2 + y 3 ) (x x 2 y + 3xy 2 + 1) b) ( 2rs 2 t 3 ) (2s 4 t 2 ) c) (3x + 5)(2x 2 + x 1) d) ( 2rs 2 t 3 ): (2s 4 t 2 ) e) (15r 4 s 5 10r 3 s 2 + 5r 2 s 5 ): (5r 2 s 2 ) f) (20x 4 4x 3 + 10x 2 7x + 1): (5x 1) g) (15x 4 10x 3 + 5x 2): (5x 1) h) (10a 4 3a 2 + 2): (2a 1) i) j) x+1 x x x+1 Umocňování mnohočlenů Nechť A, B, C jsou mnohočleny, pak: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A B) 2 = A 2 2AB + B 2, (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC, (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3, (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3, Příklad 3.3 Upravte výraz (3a 2 b 3 2a 3 b 2 ) 2 : a) roznásobením: b) úpravou podle vzorce: Příklad 3.4 Upravte výraz (x 2y + 3z) 2. Martina Litschmannová 15

3. cvičení - Mnohočleny Příklad 3.5 Upravte výraz (x 2y + 3z 2w) 2. Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním použitím vzorců A 2 B 2 = (A B)(A + B) A 3 B 3 = (A B)(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) A 2 + B 2. nelze v reálném oboru rozložit!!! rozkladem kvadratického trojčlenu (Vietovy vzorce, doplnění na čtverec) Rozklad kvadratického trojčlenu Příklad 3.6 Rozložte na součin: a) 6x 2 t 3 + 24x 4 t 5 b) x 2 t 4 16a 4 b 6 c) t 3 7t 2 ta 2 + 7a 2 Mějme kvadratický trojčlen ax 2 + bx + c. Je-li D = b 2 4ac 0, pak Vietovy vzorce ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ), kde x 1,2 = b± D 2a. (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 2 x 2 = x 2 + px + q, kde Příklad 3.7 Rozložte na součin: a) x 2 + 7x + 10 b) x 2 6x + 5 c) 2x 2 6x + 5 2 p = (x 1 + x 2 ), q = x 2 x 2 Rozklad kvadratického trojčlenu doplněním na čtverec přinutíme fungovat druhou mocninu trojčlenu a následně rozdíl čtverců. Například: x 2 + 8x + 7 = x 2 + 8x+???? +7 = x 2 + 8x + 16 16 + 7 = (x + 4) 2 9 = x 2 + 2Bx + B 2 x 2 + 2Bx + B 2 (x + B) 2 = [(x + 4) 3][(x + 4) + 3] = (x + 1)(x + 7) 16 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 3.8 Doplňte na čtverec a následně, pokud to lze, rozložte na součin. a) x 2 + 4x 3 b) x 2 6x 7 c) 2x 2 8x + 10 d) 3x 2 2x + 1 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Základní poznatky [2] web priklady.eu Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Algebraické výrazy [4] web Matematika-online-a.kvalitne.cz Algebraické výrazy a jejich úpravy [5] Havrlant Lukáš, web Matematika polopatě - Zlomky Martina Litschmannová 17

4. cvičení - Racionální lomené výrazy 4. cvičení 1. Racionální lomené výrazy Definice 4.1 Racionálním lomeným výrazem rozumíme výraz, který lze zapsat ve tvaru podílu dvou mnohočlenů. Vždy bychom měli uvádět, kdy mají dané výrazy smysl. Příklad 4.1 Zjednodušte: a) 3x2 +12x+12 6x 2 24 b) a+1 + a 1 a 1 a+1 c) (1 x2 y 2) ( x2 + 1) y 2 x 2 d) am 2 an 2 m 2 +2mn+n 2 am 2 2amn+an 2 3m+3n e) 1 x y x y2 x 2. Iracionální výrazy Příklad 4.2 Usměrněte výrazy: a) 1 x+ y b) 1+a 1 a + 1 a 1+a 1+a 1 a 1 a 1+a c) 3 a b 3 a b d) 3 2 + 3+ 2 3+ 2 3 2 e) 1 + 1+ 3 2+ 3 f) 1+ x 3 x + 3+ x 1 x 1+ x 1 x 18 Martina Litschmannová

Základy matematiky Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Základní poznatky [2] web priklady.eu Algebraické výrazy, Odmocniny (řešené příklady) [3] Martíšek, Faltusová, Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Algebraické výrazy Martina Litschmannová 19

5. cvičení - Reálné funkce jedné reálné proměnné 5. cvičení 1. Reálné funkce jedné reálné proměnné Definice 5.1 Nechť A R, A. Zobrazení f množiny A do množiny R (f: A R) nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jen funkcí). Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f) Ke každému prvku x A existuje právě jeden prvek y R takový, že y = f(x). Množinu všech takových y R, k nimž existuje x D(f), pak nazýváme obor hodnot funkce f a označujeme H(f). Zadání funkce K zadání funkce f je nutné uvést jednak definiční obor D(f) a jednak pravidlo (předpis), pomocí něhož je každému x D(f) přiřazen právě jeden prvek y H(f). Je-li funkce zadána pouze předpisem a definiční obor není výslovně uveden, pak za definiční obor pokládáme množinu takových x R, pro která má daný předpis smysl. Příklad 5.1 Určete definiční obory následujících funkcí. a) f: y = 13 x 2 3x+2 b) f: y = 1 x 1 + x c) f: y = x 2 5x + 6 d) f: y = 3x 1 6 x+1 2 e) f: y = x+5 ln(9 x) Rovnost funkcí Definice 5.2 Funkce f a g jsou si rovny, právě když mají stejný definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru platí f(x) = g(x). Příklad 5.2 Rozhodněte, zda se následující funkce rovnají. a) f: y = x + 1, x ( ; 1), g: y = x2 1 x 1, x ( ; 1) b) f: y = 2 ln x, g. y = ln x 2 20 Martina Litschmannová

Základy matematiky Graf funkce Definice 5.3 Grafem funkce f: D(f) R rozumíme množinu bodů {(x, y) R 2 : x D(f) y = f(x)}, kde (x, y) značí bod roviny o souřadnicích xa y. POZOR! Ne každá množina uspořádaných dvojic je funkcí (např. kružnice, elipsa, hyperbola, ) Příklad 5.3 Nakreslete graf funkce. 1, x < 0 a) f: y = sgn (x) = { 0, x = 0 1, x > 0 x, x 0 b) f: y = x = { x, x < 0 0, x < 0 c) H: y = { 1, x 0, x = 0 d) δ: y = { 0, x 0 1, x Q e) f: y = { 0, x R\Q (signum) (absolutní hodnota) (Heavisideova funkce, také jednotkový skok) (Diracova δ funkce, také jednotkový impuls) (Dirichletova funkce) 2. Některé vlastností funkcí Ohraničená funkce Definice 5.4 Funkce f je shora ohraničená na množině M D(f), jestliže existuje L R, tak že f(x) L pro každé x D(f). Je-li M = D(f), říkáme, že funkce je shora ohraničená. y L x Martina Litschmannová 21

5. cvičení - Některé vlastností funkcí Definice 5.5 Funkce f je zdola ohraničená na množině M D(f), jestliže existuje K R, tak že f(x) K pro každé x D(f). Je-li M = D(f), říkáme, že funkce je zdola ohraničená. y K x Definice 5.6 Funkce f je ohraničená na množině M D(f), jestliže je na množině M ohraničená shora i zdola. Jeli M = D(f), říkáme, že funkce je ohraničená. Příklad 5.4 Určete, zda je funkce f: y = x2 1, x R ohraničená. x 2 +1 Monotónní funkce Definice 5.7 Řekneme, že funkce je a) rostoucí (resp. klesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) > f(x 2 )), b) nerostoucí (resp. neklesající) na množině M D(f), jestliže pro každé x 1, x 2 M takové, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ) (resp. f(x 1 ) f(x 2 )), c) rostoucí (resp. klesající, nerostoucí, neklesající), je-li rostoucí resp. klesající, nerostoucí, neklesající) na celém svém definičním oboru. Příklad 5.5 Vyšetřete monotónii následujících funkcí. a) b) c) d) 22 Martina Litschmannová

Základy matematiky Prostá funkce Definice 5.8 Řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro každé x 1, x 2 D(f) takové, že x 1 x 2 platí, že f(x 1 ) f(x 2 ). Poznámka: Složením dvou prostých funkcí vznikne funkce prostá. Příklad 5.6 Dokažte, že f: y = (x 1) 2 + 7, x 1; ) je prostá. Sudá a lichá funkce Definice 5.9 Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), pokud platí: a) Je-li x D(f), pak x D(f). b) f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)) pro všechna x D(f). funkce lichá (graf souměrný podle počátku) funkce sudá (graf souměrný podle osy y) Příklad 5.7 Určete, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. a) f: y = x x 2 +1 b) g: y = 1 x2 1+x 2 c) h: y = 1+x 1+x 2 Periodická funkce Definice 5.10 Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, p R +, jestliže platí: a) Je-li x D(f), pak x + p D(f). b) f(x) = f(x + p) pro všechna x D(f). Martina Litschmannová 23

5. cvičení - Operace s funkcemi Příklad 5.8 Nakreslete graf periodické funkce f, jejíž perioda p = 2 a x D(f), jestliže víte, že 1, x ( 1,0) f(x) = { 0, x = 1 a x = 0. 1, x (0,1) 3. Operace s funkcemi Součet, rozdíl, součin a podíl funkcí Definice 5.11 Nechť f a g jsou funkce. Součtem f + g, rozdílem f g, součinem f g a podílem f/g funkcí f a g nazveme funkce, které jsou dány předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), (f g)(x) = f(x) g(x), pro x D(f) D(g), f(x) ) (x) =, pro x D(f) D(g) {x R: g(x) = 0}. ( f g g(x) Absolutní hodnotou funkce f nazýváme funkci definovanou předpisem f (x) = f(x) pro x D(f). Skládání funkcí Definice 5.12 Nechť f a g jsou funkce. Složenou funkcí f g nazveme funkci definovanou předpisem (f g)(x) = f(g(x)), pro x D(g) g(x) f(x). Funkci f nazýváme vnější složka a funkci g nazýváme vnitřní složka složené funkce f g. Příklad 5.9 Jsou dány funkce f: y = 3 2x a g: y = ln x. a) Určete složenou funkci f g a její definiční obor. b) Určete složenou funkci g f a její definiční obor. Inverzní funkce Definice 5.13 Nechť f je funkce. Funkce f 1 se nazývá funkce inverzní k funkci f, jestliže platí: a) D(f 1 ) = H(f). b) y D(f 1 ): f 1 (y) = x y = f(x). Věta 5.1 Nechť f je funkce. Funkce f 1 existuje právě tehdy, když f je funkce prostá. (Důkaz lze najít například v [1].) 24 Martina Litschmannová

Základy matematiky Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle přímky p: y = x. Jak postupujeme, chceme-li najít funkci inverzní k funkci f? 1) Ověříme, že funkce f je prostá. 2) Určíme definiční obor D(f) a obor hodnot H(f) funkce f. 3) Určíme D(f 1 ) a určíme předpis f 1. Příklad 5.10 Ověřte, že k funkci f: y = x+2 existuje funkce inverzní, a najděte ji. x 3 Martina Litschmannová 25

5. cvičení - Transformace grafu funkce 4. Transformace grafu funkce Nechť je dána funkce f: y = f(x), x D(f). Připomeňme si, jak lze pomocí grafu funkce f sestrojit grafy následujících funkcí: a) f 1 : y = f(x), b) f 2 : y = f( x), c) f 3 : y = f(x) + b, d) f 4 : y = f(x a), e) f 5 : y = k f(x), f) f 6 : y = f(mx), kde a, b R\{0}, k R +, m R + jsou konstanty. a) grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy x b) grafy funkcí f a f 2 jsou souměrné podle osy y c) graf funkce f 3 je posunutím grafu funkce f o b ve směru osy y (je-li b > 0, jde o posunutí nahoru ; (je-li b < 0, jde o posunutí dolů ) d) graf funkce f 4 je posunutím grafu funkce f o a ve směru osy x (je-li a > 0, jde o posunutí doprava ; je-li b < 0, jde o posunutí doleva ) e) graf funkce f 5 je deformací grafu funkce f ve směru osy y (je-li k > 1, jde o k násobné zvětšení ve směru osy y; je-li 0 < k < 1, jde o k násobné zmenšení ve směru osy y) f) graf funkce f 6 je deformací grafu funkce f ve směru osy x (je-li m > 1, jde o m násobné zúžení ve směru osy y; je-li 0 < m < 1, jde o m násobné rozšíření ve směru osy y) 26 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 5.11 Nakreslete v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí f: y = x 2 a g: y = 1 2 x2 4x + 9. Doporučená on-line dostupná literatura: [1] web Matematika s radostí Funkce [2] web priklady.eu Funkce (řešené příklady) [3] Kuben Jaromír, Šarmanová Petra Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (kap. 3 Reálné funkce jedné reálné proměnné) [4] Míča Daniel Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) Martina Litschmannová 27

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí 6. cvičení 1. Grafy elementárních funkcí Lineární funkce p: y = ax + b, x R a směrnice přímky (a > 0 grafem je rostoucí přímka, a < 0 grafem je klesající přímka) Příklad 6.1 Načrtněte grafy funkcí: p: y = 2x, x R; q: y = 2x, x R; r: y = 2x + 2, x R. 28 Martina Litschmannová

Základy matematiky Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz Martina Litschmannová 29

6. cvičení - Grafy elementárních funkcí Zdroj: Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák: Herbář funkcí, dostupné z mi21.vsb.cz 30 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 6.2 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x 2 a g: y = 3x 2 6x 1 (využijte doplnění na čtverec). Příklad 6.3 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x a g: y = 2 1 x. Příklad 6.4 3 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = x 2 3 a g: y = 1 + (2 x) 2. Příklad 6.5 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = 1 x a g: y = x+1 x+2. Příklad 6.6 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = e x a g: y = 1 + e 4 2x. Příklad 6.7 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = 0,3 x a g: y = 1 2 0,3 x 1. Příklad 6.8 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = ln x a g: y = 1 2 ln(x + 3). Příklad 6.9 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = sin x a g: y = 1 + 2 sin (x + π 4 ). Příklad 6.10 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = sin x a g: y = 1 2 sin ( π 2 2x). Příklad 6.11 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = cos x a g: y = 1 + cos ( π 2 2x). Příklad 6.12 V jednom souřadnicovém systému načrtněte grafy funkcí f: y = tg x a g: y = 1 2 tg ( π 2 2x). Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Míča Daniel Průběh funkce (freeware program prezentující vliv parametrů nejčastěji se vyskytujících funkcí na jejich graf) [2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák - Herbář funkcí Martina Litschmannová 31

7. cvičení - Rovnice a nerovnice - základní pojmy 7. cvičení 1. Rovnice a nerovnice - základní pojmy Rovnice (nerovnice) je zápisem rovnosti (nerovnosti) hodnot dvou výrazů. Hodnoty neznámých, po jejichž dosazení do rovnice (nerovnice) získáme pravdivý výrok, nazveme kořeny dané rovnice (nerovnice). Množinu, ve které hledáme všechny kořeny rovnice, označíme O a nazveme ji oborem řešení rovnice. Množinu, která vznikne jako průnik množiny O a množin, ve kterých jsou definovány výrazy na levé i pravé straně rovnice, označíme D a nazveme ji definiční obor rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označíme písmenem K. Obdobnou terminologii pak používáme i u nerovnic. Ekvivalentní rovnice (nerovnice) Dvě rovnice (nerovnice) nazveme ekvivalentní, právě když mají stejnou množinu kořenů. Ekvivalentní úprava Úpravu rovnice nazveme ekvivalentní úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, s ní ekvivalentní. Obdobně definujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Neekvivalentní (důsledková) úprava Úpravu rovnice nazveme důsledkovou úpravou, právě když tato úprava převede rovnici na rovnici jinou, pro niž platí, že množina kořenu původní rovnice je podmnožinou množiny kořenů nové rovnice. (Při použití důsledkových úprav je nutné dělat zkoušku.) Ekvivalentní úpravy rovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém O, k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém O, umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém O. Ekvivalentní úpravy nerovnic jsou: přičtení téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definován na celém O, k oběma stranám nerovnice, vynásobení obou stran nerovnice číslem, nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a kladný, pro všechny hodnoty neznámé z O, vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem, nebo výrazem s neznámou, který je záporný a definovaný v celém O, přitom znak nerovnosti se mění v obrácený, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nezáporné v celém oboru řešení nerovnice O, umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany nerovnice nekladné v celém O a současným otočením znaménka nerovnosti. 32 Martina Litschmannová

Základy matematiky 2. Lineární rovnice a nerovnice Příklad 7.1 Řešte v R rovnici 3 3x = 3. Příklad 7.2 Řešte v Z rovnici 3 3x = 3. Příklad 7.3 Řešte v R rovnici 1 1 = 3x 10. x 2 x 3 (2 x)(3 x) Příklad 7.4 Řešte v R rovnici (x 1) 2 (x + 1) 2 = 4x. Příklad 7.5 Řešte nerovnice v daném oboru řešení. a) x 7 v R b) 2 x v R c) x 7 v N d) 2 x v Z Příklad 7.6 Řešte v R nerovnici 3x 5 x 3. Příklad 7.7 Řešte v R nerovnici x 5 x 3. Příklad 7.8 Řešte v R nerovnici x + 5 x + 3. Soustava lineárních nerovnic Postup: 1. Určíme O a D společné pro celou soustavu (pro všechny nerovnice), 2. určíme množiny kořenů K 1, K 2, pro každou nerovnici zvlášť, 3. najdeme průnik všech množin K 1, K 2,, které nám vyšly. Tím získáme K celé soustavy, neboli všechna x, která jsou řešením všech nerovnic současně. Příklad 7.9 Řešte v R soustavu nerovnic: 3 z 2 < 2z + 1 < 1 2 z. Martina Litschmannová 33

7. cvičení - Kvadratické rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako součin libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v součinovém tvaru. Rovnice, jejichž jedna strana se dá zapsat jako podíl libovolného počtu součinů lineárních dvojčlenů v čitateli i jmenovateli a jejichž druhá strana je nulová nazýváme lineární rovnice v podílovém tvaru. Obdobně definujeme lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Příklad 7.10 Řešte v R rovnici (3 x)(2x 4) (5+x)(x 3) = 0. Příklad 7.11 Řešte v R nerovnici (3 x)(2x 4) (5+x)(x 3) 0. Příklad 7.12 Řešte v R nerovnici x+1 x 2 < 0. Příklad 7.13 Řešte v R nerovnici x+1 x 2 1. POZOR!!! Při násobení a dělení výrazem s neznámou (musíme zjistit, zda je výraz kladný nebo záporný a pokud může být obojí, musíme výpočet rozdělit). 3. Kvadratické rovnice a nerovnice Příklad 7.14 Řešte v R rovnice: a) 2x 2 + x 1 = 0 b) 2x 2 1 = 0 c) 2x 2 + x = 0 d) 9t 2 + 12t + 4 = 0 e) a 2 + a + 1 = 0 Příklad 7.15 Řešte v C rovnici a 2 + a + 1 = 0. 34 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 7.16 Řešte v R rovnici 5 7 = 3. x 2 x 1 3 x Příklad 7.17 Řešte v R nerovnice: a) 2x 2 + x 1 > 0 b) 9t 2 + 12t + 4 0 c) 9t 2 + 12t + 4 > 0 d) 9t 2 + 12t + 4 < 0 e) a 2 + a + 1 > 0 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + řešené příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu Lineární rovnice, Lineární nerovnice, Kvadratické rovnice, Kvadratické nerovnice (řešené příklady) Martina Litschmannová 35

8. cvičení - Iracionální rovnice a nerovnice 1. Iracionální rovnice a nerovnice 8. cvičení Iracionální rovnice se nazývají rovnice s neznámou pod odmocninou. Základní ekvivalentní úpravou, kterou budeme v této kapitole používat je umocnění obou stran rovnice na druhou. Tato úprava je ekvivalentní pouze, když obě strany rovnice mají stejné znaménko. Pokud ale toto nejsme u řešených rovnic schopni zajistit a použijeme-li přesto tuto úpravu, je nezbytně nutné, abychom po jejich vypočtení, provedli zkoušku, kterou si správnost vypočtených hodnot ověříme. Příklad 8.1 Řešte v R rovnici x 3 = 2. Příklad 8.2 Řešte v R rovnici 2x + 5 = 8 x 1. Iracionálními nerovnicemi se nazývají nerovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá pod odmocninou. Při řešení iracionálních nerovnic je velmi důležité dbát na ekvivalentnost úprav, které s nerovnicí provádíme. U nerovnic totiž nemáme možnost provádět zkoušku dosazením. Nemůžeme tedy ověřovat, zda všechna vypočítaná čísla jsou kořeny i původní nerovnice. Příklad 8.3 Řešte v R nerovnici x 3 < 1. Příklad 8.4 Řešte v R nerovnici 2x 6 1. Příklad 8.5 Řešte v R nerovnici x 2 4 x 2. 2. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Zápis a b můžeme interpretovat jako vzdálenost obrazu čísla a od obrazu čísla b. Příklad 8.6 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) x = 3 b) x < 3 c) x 2 > 3 d) x + 2 = 3 e) 2x + 2 = 4 f) 2 x 3 g) 2 3x 3 36 Martina Litschmannová

Základy matematiky Příklad 8.7 Řešte v R dané rovnice a nerovnice. a) 2x + x = 1 + 1 x b) x 2 2x < x 3. Rovnice a nerovnice s parametry V matematice slovo parametr nejčastěji znamená nějaké číslo, jehož konkrétní hodnotu v době řešení, nebo zpracování úlohy ještě neznáme. Nicméně potřebujeme onu úlohu vyřešit i bez této znalosti, abychom pak mohli pro konkrétní hodnoty parametrů jednoduše získat konkrétní řešení celé úlohy. Řešit rovnici s neznámou x a s parametrem t znamená řešit celý systém rovnic, tj. ke každé přípustné hodnotě parametru t určit obor pravdivosti K rovnice, kterou získáme po dosazení této hodnoty za t. Příklad 8.8 Řešte v R rovnici s neznámou x a reálným parametrem t. a) x + t = 1 x b) t(2 t)x = 4t Příklad 8.9 Řešte v R rovnici 2+at a+t Příklad 8.10 = 2a s neznámou t a reálným parametrem a. Řešte v R rovnici m 4 = 1 2 s neznámou x a parametrem m R\{0}. x mx m Příklad 8.11 Řešte v R rovnici az2 +(a 1)z 1 a 3 = 0 s neznámou z a parametrem a R\{3}. Řešení nerovnic s parametry není principiálně jiné než řešení rovnic s parametry. Často ale řešení bývá rozvětveno do více částí, těžší na diskuzi řešení v závislosti na hodnotě parametrů a celkově náročnější na pozornost. Příklad 8.12 Řešte v R nerovnici a(a 1)x < 2 s neznámou x a parametrem a R. Martina Litschmannová 37

8. cvičení - Rovnice a nerovnice s parametry Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Jaromír Gloc: web Rovnice a nerovnice - http://www.rovnice.kosanet.cz/ (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] web priklady.eu 38 Martina Litschmannová

Základy matematiky 9. cvičení 1. Exponenciální funkce Exponenciální funkce: f: y = a x, kde neznámá x R a a R + \{1}. Příklad 9.1 Určete pravdivostní hodnotu daných výroků. a) V1: 3 0,375 > 0 b) V2: 3 0,375 > 0 c) V3: 3 0,375 > 1 d) V4: 3 0,375 > 1 e) V5: ( 3) 0,375 > 0 f) V6: 3 0,375 > 0,3 0,375 g) V7: 3 0,375 > 0,3 0,375 Příklad 9.2 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) 3 x > 0 b) 0,3 x > 0 c) 3 x > 1 d) 0,3 x > 1 Martina Litschmannová 39

9. cvičení - Logaritmus, logaritmická funkce 2. Logaritmus, logaritmická funkce Logaritmus čísla x > 0 o základu a > 0, a 1 je takové číslo y, pro které platí a y = x, tj. log a x = y a y = x Příklad 9.3 Určete: a) log 2 8 b) log 10 100 = log 100 c) log 5 1 d) log2 = 25 7 = 7 2 e) log e e 3 = ln e 3 = Věty o logaritmech a, z R + \{1}, x, y R +, c, n R: 1. Vztah mocniny a logaritmu: a log a x = x (např.: e ln x = x, 10 log x = x; 2 log 2 x = x) 2. Logaritmus součinu: log a x y = log a x + log a y x 3. Logaritmus podílu: log a = log y a x log a y 4. Logaritmus mocniny: log a x n = n log a x 5. Podíl dvou logaritmů o stejném základě: log a x = log log a z z x (např.: log 3 4 = log 4 = ln 4 ) log 3 ln 3 6. Převod reálného čísla na logaritmus: c = log a a c (např.: 3 = log 2 2 3 = log 10 3 = ln e 3 ) Příklad 9.4 Vypočtěte: a) log 3 (81 27) b) log 6 9 + log 6 4 c) log 3 18 log 3 2 d) log 3 9 4 e) 3 log 8 2 40 Martina Litschmannová

Základy matematiky Logaritmická funkce: f: y = log a x, kde a R + \{1}, x R + Příklad 9.5 Určete pravdivost daných výroků: a) V1: log 3 5 > 0 b) V2: log 3 0,2 > 0 c) V3: log 0,1 5 > 0 d) V4: log 0,1 0,25 > 0 e) V5: log 3 ( 5) > 0 f) V6: log 3 1 > 0 3. Exponenciální rovnice Exponenciální rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny. Rovnice ve tvaru a f(x) = a g(x), resp. rovnice, které lze převést na tento tvar Rovnice a f(x) = a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) = g(x). Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme porovnání exponentů. Martina Litschmannová 41

9. cvičení - Exponenciální rovnice Příklad 9.6 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 3 x 1 = 3 2 b) 5 x = 1 25 c) 2 2x+1 = 1 d) 5 x 2 x = 100 x 2 4 e) 4 x 3 2 x 3 Logaritmování 6 = 16 27 f) = 8 (2 3 )x ( 9 4 )x+1 g) 3 x + 3 x+2 = 90 h) 2 5 x+2 5 x+1 = 9 Rovnice a f(x) = b g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1}, b R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) log c a = g(x) log c b pro c R + \{1}. Tuto ekvivalentní úpravu nazýváme logaritmování. Příklad 9.7 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 2 x = 10 b) 3 x = 13 x 1 c) 2 x 3 x 1 = 4 x+1 d) 3 7 x 7 x 1 = 60 Substituce Úpravě rovnice s neznámou x R, kde všechny výskyty výrazu V(x) nahradíme neznámou a tak, že v nové rovnici se nevyskytuje neznámá x, říkáme substituce výrazu V(x) neznámou a. Příklad 9.8 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 4 x 5 2 x + 4 = 0 b) 5 x + 2 = 3 5 x c) 3 x + 3 1 x = 4 d) 16 x 0,5 + 16 0,5 x = 17 4 e) 2 ( 1 4 )x 3 ( 1 2 )x = [1 + ( 1 2 )x ] ( 1 4 ) 1 42 Martina Litschmannová

Základy matematiky 4. Exponenciální nerovnice Porovnávání exponentů Nerovnice a f(x) < a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s nerovnicí f(x) < g(x), pro a > 1, f(x) > g(x), pro 0 < a < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání exponentů. Příklad 9.9 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 3 x+1 27 b) ( 1 3 )x 2 > 3 c) 7 3x 3 1 d) 2 x 1 < 4 x+1 ( 1 2 )x e) 3 x2 2 2 x2 2 < 36 f) ( 1 2 )x 1 + ( 1 2 )x 2 12 Logaritmování Při logaritmování nerovnic platí: Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem a > 1, neotáčíme znaménko nerovnosti. Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem a (0; 1), otáčíme znaménko nerovnosti. Příklad 9.10 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 2 x 7 b) 0,3 x < 5 c) 4 x 3 x > 14 x 1 Substituce Příklad 9.11 Řešte nerovnice s neznámou x R. a) 9 x 10 3 x + 9 < 0 b) 2 ( 1 4 )x 9 ( 1 2 )x + 4 > 0 Martina Litschmannová 43

9. cvičení - Exponenciální nerovnice Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3 44 Martina Litschmannová

Základy matematiky 10. cvičení 11. cvičení 1. Logaritmické rovnice Logaritmickou rovnicí (nerovnicí) nazýváme každou rovnici (nerovnici), ve které je neznámá v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu. Porovnání argumentů Rovnice log a f(x) = log a g(x) s neznámou x R je pro a R + \{1} ekvivalentní s rovnicí f(x) = g(x) za předpokladu, že f(x) > 0 a g(x) > 0. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.1 Řešte rovnice s neznámou x R. a) log 4 (x + 2) = log 4 (4 x) b) log 3 (2x + 1) = 3 c) log 0,3 (x + 1) = 2 d) log 5 ( x2 +1 x 1 ) = 1 Aplikace logaritmických vět Logaritmické rovnice lze upravovat pomocí vět o logaritmech. V argumentech logaritmu nemusí být jen čísla, ale i výrazy s neznámou. Příklad 10.2 Řešte rovnice s neznámou x R. a) log 3 (x + 7) log 3 (2x) = log 3 4 b) log 2 (x + 1) + log 2 (x 1) 3 = log 2 (x 2) c) log 8 (6x 2) = 2log 8 (x 3) d) 2 log(x + 1) = log(x + 4) + log x Substituce Příklad 10.3 Řešte rovnice s neznámou x R. a) 2log 2 2 x + 7 log 2 x 4 = 0 b) 20 log x 2 = 1 + log x3 c) log 5 2 5x + log 5 25x = 7 Martina Litschmannová 45

10. cvičení - Logaritmické nerovnice Převod neznámé na logaritmus Příklad 10.3 Řešte rovnici s neznámou x R: log 3 (10 3 x 3) 1 = 2x Rovnice s různými základy logaritmů Připomeňme si, že log z x = log a x log a z. Příklad 10.4 Řešte rovnici s neznámou x R: log 2 x 2 log1 x = 9 2 Rovnice s neznámou v základu logaritmu Příklad 10.5 Řešte rovnici s neznámou x R: log x 2 9 = 2 Logaritmování Příklad 10.6 Řešte rovnici s neznámou x R: x log 3 x = 9x 2. Logaritmické nerovnice Porovnávání argumentů Nerovnice log a f(x) < log a g(x) s neznámou x R je ekvivalentní s nerovnicí f(x) < g(x), pro a > 1, f(x) > g(x), pro 0 < a < 1. Tuto ekvivalentní úpravu budeme nazývat porovnání argumentů. Příklad 10.7 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log 2 (2x + 1) > log 2 (x + 7) b) log1(x + 5) > log1(5x 3) 3 3 c) log 1 (x + 3) > 1 10 d) log 6 (x 2 3x + 2) 1 46 Martina Litschmannová

Základy matematiky Aplikace logaritmických vět Příklad 10.8 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log1(x 2 + 6) log1 x + log1 5 6 6 6 b) 2 log(x 1) 1 (log 2 x5 log x) Substituce Příklad 10.9 Řešte nerovnice s neznámou x R: a) log 5 2 x + log 5 x 2 b) 2+log 1 2 x < 3 log 1 x 2 3. Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.10 Je známo, že atmosférický tlak s rostoucí nadmořskou výškou klesá. Předpokládejme, že se pokles řídí rovnicí p = p 0 0,88 h, kde p 0 je atmosférický tlak v nadmořské výšce 0 m.n.m a h je nadmořská výška uváděná v kilometrech. Jestliže klesne tlak vzduchu na 40% p 0, nemá již člověk dostatečný přísun kyslíku z atmosféry. Určete kritickou výšku. Příklad 10.11 Do banky jste uložil na úrok 3% částku 500 000 Kč. Za kolik let budete mít k dispozici 750 000 Kč? Příklad 10.12 Do banky chcete uložit částku 500 000 Kč. Jaký musí banka poskytnout úrok, abyste si za 10 let našetřil 750 000 Kč? Příklad 10.13 Intenzita rentgenových paprsků se sníží na polovinu při průchodu vrstvou olova o tloušťce 13,5 mm. Určete tloušťku olověné desky, která zeslabí intenzitu rentgenových paprsků na desetinu původní hodnoty. Martina Litschmannová 47

10. cvičení - Slovní úlohy vedoucí na exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Příklad 10.14 Počet baktérií jisté kultury vzroste za 1h o 32%. Označme počáteční počet baktérií N 0, čas měření t a konečný počet baktérií N t. Vyjádřete závislost počtu baktérii na čase vztahem: a) N t = N 0 a t (tj. určete parametr a) b) N t = N 0 e λt (tj. určete parametr λ) Příklad 10.15 Hmotnost izotopu radia je 133 g. Jeho poločas rozpadu je 2,7minut. Určete, jaké množství z původního izotopu radia zůstane za 19 minut. Příklad 10.16 Pacientovi byla jednorázově podána léčebná látka, jejíž koncentrace v krvi pacienta dosáhla 3 mg/l. Poločas přeměny této látky je cca 4 h. Za jak dlouho se koncentrace látky sníží na 0,5 mg/l? Příklad 10.17 DDT (dichlordifenyltrichlorethan), pro člověka velice škodlivá látka, se dostává potravinovým řetězcem do mléka a dalších potravin. Její koncentrace ve výši 5 10 6 % je v současné době ještě tolerována, do budoucna je však požadována limitní koncentrace 2 10 6 %. Používání DDT je dnes téměř všude zakázáno. Chemický rozklad této látky však probíhá velmi pozvolna (poločas rozpadu je 30 let). Za jakou dobu bude dosaženo požadované nižší koncentrace? Příklad 10.18 Radiouhlíková metoda určování stáří organických materiálů využívá rozpad radioaktivního uhlíku 14 6 C. 14 Radioaktivní uhlík 6 C má poločas rozpadu 5 730 let, protože však neustále vzniká kvůli dopadu kosmického záření, jeho obsah v atmosféře se nemění. Protože suchozemské živé organismy čerpají 14 uhlík z atmosféry, je za jejich života obsah radioaktivního uhlíku v jejich tělech stejný jako v atmosféře. Jakmile však zemřou, přestane se radioaktivní uhlík v jejich tělech doplňovat a kvůli rozpadu jeho množství exponenciálně klesá. Z podílu radioaktivního uhlíku tak můžeme zjistit, jak dlouhá doba uplynula od okamžiku, kdy organismus uhynul. Při vykopávkách byl nalezen skelet zvířete, který obsahoval 78,6% radioaktivního uhlíku živého organismu. Jaké je stáří nálezu? C 6 Doporučená on-line dostupná literatura: [1] Miroslav Řezáč: Exponenciální, logaritmické rovnice a jejich soustavy na internetu (diplomová práce) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/miroslav_rezac/index.php (teorie + příklady použité v těchto pracovních listech) [2] Martin Krynický: Matematika pro SŠ - http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=3 48 Martina Litschmannová

Základy matematiky 12. cvičení 13. cvičení Martina Litschmannová 49

13. cvičení - Goniometrické funkce 13. cvičení 1. Goniometrické funkce 50 Martina Litschmannová

Základy matematiky 2. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku sin φ = c b cos φ = a b sin φ tg φ = cos φ = c a pro φ π + kπ, k Z 2 cotg φ = 1 cos φ = tg φ sin φ = a c pro φ kπ, k Z 3. Goniometrické funkce základní tabulkové hodnoty Hodnoty funkcí sinus a kosinus pro základní úhly Pomocné obrázky pro určení goniometrických funkcí úhlů: π 6 ; π 4 ; π 3 Jak pracovat s jednotkovou kružnicí při určování hodnot goniometrických funkcí? sin φ cos φ tg φ cotg φ 0 0 2 4 2 0 π 6 π 4 π 3 π 2 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 4 2 0 2 1 3 --- --- 3 3 1 3 Tabulka základních hodnot goniometrických funkcí 0 Martina Litschmannová 51

13. cvičení - Goniometrické rovnice Příklad 11.1 Pomocí jednotkové kružnice určete: a) sin 3π 4 b) cos 3π 4 c) tg 3π 4 d) cotg 3π 4 e) sin 7π 6 f) cos 7π 6 g) tg 7π 6 h) cotg 7π 6 i) sin ( 4π 3 ) j) cos ( 4π 3 ) k) tg ( 4π 3 ) l) cotg ( 4π 3 ) 4. Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. Základní goniometrická rovnice je každá rovnice zapsaná ve tvaru g(x) = a, kde g(x) je jedna z goniometrických funkcí (sin x, cos x, tg x, cotg x), a R, x R. (Uvědomte si, že při definici goniometrické rovnice uvažujeme, že x R, tzn. že hodnoty neznámé x uvádíme v obloukové míře!!!) Řešení základních goniometrických rovnic je přímo viditelné z grafů příslušných goniometrických funkcí nebo z jednotkové kružnice. Příklad 11.2: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin x = 1 2 cos x 1 4cos x+1 b) 2 = 1 cos x 3 2 c) tg x = 3 3 d) cotg x = 3 3 e) sin x = 0,374 1 (výsledek zapište s přesností na 2 des. místa) 52 Martina Litschmannová

Základy matematiky Složitější goniometrické rovnice Substituce na základní typ: Pomocí jednoduché substituce y = x + l nebo y = x l převedeme složitější gon. rovnici typu g(x + l) = k nebo g(x l) = k, kde g je gon. funkce s neznámou x a l, k jsou reálná čísla, na základní typ gon. rovnic g(x) = k. Příklad 11.3: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin 2x = 2 2 b) 2 cos(4π + 2x) = 1 Substituce na kvadratickou rovnici Příklad 11.4: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) 2cos 2 x cos x 1 = 0 b) 2sin 2 x 3 = 3 cos x Dvojnásobný argument při řešení tohoto typu úloh se využívají vzorce pro dvojnásobný argument gon. funkcí: sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos 2 x sin 2 x Příklad 11.5: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) cos x + sin 2x = 0 b) 2 sin 2x 2 cos 2x = 2 Goniometrické funkce součtů a rozdílů, součet a rozdíl gon. funkcí při řešení tohoto typu úloh se používají následující vzorce: sin(x + y) = sin x sin y + cos x cos y sin(x y) = sin x sin y cos x cos y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y x + y x y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x y x + y sin x sin y = 2 sin cos 2 2 x + y x y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x + y x y cos x cos y = 2 sin sin 2 2 Martina Litschmannová 53

13. cvičení - Goniometrické nerovnice Příklad 11.6: Řešte goniometrické rovnice s neznámou x R. a) sin (5x + π ) = sin x 4 b) cos 3x = cos 7x 5. Goniometrické nerovnice Základní goniometrické nerovnice Příklad 11.7: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou x R. a) sin x > 0,5 b) cos x < 0,5 c) tg x 3 3 Složitější goniometrické nerovnice Příklad 11.8: Řešte goniometrické nerovnice s neznámou x R. a) sin (2x π 4 ) 0,5 b) 2sin 2 x + 5 cos x + 4 0 6. Slovní úlohy vedoucí na goniometrické rovnice Příklad 11.9: Silnice má stoupání 3 30. O kolik metrů se liší nadmořská výška dvou míst, která jsou od sebe po silnici vzdálená 2km? (Výsledek zaokrouhlete na celé metry.) Příklad 11.10: Železniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 12m a 8m, výška náspu je 3m. Vypočítejte úhel sklonu náspu. (Výsledek zaokrouhlete na celé stupně a minuty.) Příklad 11.11: Štít střechy má tvar rovnoramenného trojúhelníka. Jeho šířka je 14m, sklon střechy je 31. Jaká je výška štítu v metrech? (Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.) 54 Martina Litschmannová