Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot by e l zpt tkto:. Dolí iex ám zčí, který čle poloupoti zrov máme myli. Npříkl zápi 3 zmeá třetí čle poloupoti pole uveeého vzorce by třetí čle byl * 3, což je šet to je třetí ué čílo. Vše tuíž eí jk má. Nejveelejší obvykle bývá určeí pomocí rekuretího vzorce. Te fuguje tk, že určíte áleující čle pomocí přechozího prvího čleu poloupoti. Poloupot uých číel tey lze rekuretě zpt tkto: ;. Poku chcete yí zjitit ruhý čle poloupoti, jeouše oplíte z jeičku počítáte: po ozeí vyje to e rová čtyřem. Což eí, ruhé ué čílo je právě čtyři. Poleí možot vyjářeí poloupot je grficky. Grfem poloupoti je vžy moži mottých vzájem izolových boů.
Aritmetická poloupot Aritmetická poloupot je jeouchá poloupot, ky je mezi jeotlivými čley poloupoti tálý rozíl. Kžý áleující prvek je příkl větší o tři či třeb meší o emáct. Rozíl, o kolik je jeotlivé prvky poloupoti olišují, e zývá iferece (zčíme ). V prvím přípě by byl iferece tři, v ruhém míu emáct v přípě poloupoti uých číel by byl iferece v. Vzorcem by e tey ritmetická poloupot l zpt tkto:. Obecý vzorec pro výpočet tého čleu ritmetické poloupoti je poté ( ). Poku byte příkl měli okázt, jetli je tto poloupot ( 7) ritmetická, potup by byl áleující: 7 ( ) 7 9 7 Diferece je v, jeá e o ritmetickou poloupot. Tk teď ještě pár lších užitečých vzorečků. Zčeme oučtem prvích čleů poloupoti. S ( / ) * ( ). Druhý vzorec pk popiuje způob, jk vypočítt ifereci či libovolý čle poloupoti, poku ezáte prví čle: r (r ). Vzorečky ještě jeou všechy pohromě iferece ritmetické poloupoti oučet prvích -čleů poloupoti r ( ) ( r ) ( )
Příkly: ) Jké hooty bue mít prvích 6 čleů ritmetické poloupoti? ; 3 3 5 6 ( ) 3 3 ( 3 ) 3 6 5 ( ) 3 9 ( 5 ) 3 ( 6 ) 3 5 ) Jký bue. čle iferece poloupoti? 3 5 3 3 36 6 3 7 36 ( 3) 6 6 5 36 7 36 3 6 7 36 36 3 3 6 6 3 6 3 6 3) Pátý čle ritmetické poloupoti je rove, evátý 9. Kolik čleů je třeb ečít, by byl jejich oučet? r r 9 5 3 ( ) ( 9 5) ( ) ( 5 ) ( ) ( ( ) ) ( 3 3) ) Nejmeší vitří úhel mohoúhelíku je 7, ejvětší 7. Velikot úhlů tvoří ritmetickou poloupot. Kolik má mohoúhelík tr jek velké má vitří úhly. počet tr, Pro 3 36 5 5 3 6 7 (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 36 7 7 36 ( )
( ) 6 9 7 7 7 35 9 3 6 7 5 3 M
Příkl: Vypočtěte oučet všech trojciferých číel ělitelých třemi Řešeí : Číl 3, 6 9,... t. tvoří ritmetickou poloupot iferecí 3. Tto úloh e tey týká ritmetické poloupoti to oučtu ritmetické poloupoti. Pro ozeí o vzorce muíme le pře určit vele 3 ještě,, Pro určeí je uté i vzpomeout, že všech číl ělitelá 3 jou tková, jejichž ciferý oučet je ělitelý 3 Nejižší trojciferé čílo je Nejižší trojciferé čílo ělitelé 3 je tey. Nejvyšší trojciferé čílo je 999. To je tké ělitelé 3 Aritmetická ř má tey 999 Zbývá vypočítt potom po ozeí o vzorce vypočítt Výleek : 65 5
Geometrická poloupot Geometrická poloupot e o přechozí ritmetické liší tím, že v oueí čley emjí tejý rozíl, ýbrž poíl. Tomuto poílu e říká kvociet (zčíme q). Tkže jeouchá geometrická poloupot by třeb mohly být mociy eíti -,,... Kvociet by ze byl pochopitelě eet, eboť po ozeí o vzorečku q / oteme příkl q /. Z těchto vzorečků už můžeme pomlu ovoit rekuretí vzorec geometrické poloupoti: q (protě vyáobíte jee čle kvocietem otete áleující čle - poku byte chtěli přechozí čle, míto áobeí buete ělit). Vzorec pro obecý čle goiometrické poloupoti poté je q. Geometrické poloupoti můžeme ještě rozělit o lších vou kupi ice pole toho, jký mjí kvociet. Poku totiž bue bolutí hoot kvocietu meší ež je, bue celá poloupot klet k ule. Tkováto poloupot e tey zývá kovergetí. Nopk poku bue bolutí hoot kvocietu větší ež je, bue poloupot chvátt k ekoeču říká e jí ivergetí poloupot. Pro kovergetí poloupot poté pltí jeouchý vzorec pro oučet celé řy (pltí pouze pro kovergetí, protože ivergetí e blíží k ekoeču tk její oučet je e fcto ekoečo): / q. Vzorečky ještě jeou všechy pohromě q kvociet geometrické poloupoti oučet prvích -čleů poloupoti ± árůt, - pokle r q r q q q q ±
) Jké hooty bue mít prvích 5 čleů geometrické poloupoti? ) Vypočtěte, q? 95 95 q q 3 6 q q 6 6q 6q 6q 3 95 q 6 ( q) ( q q ) 95 ( q) q 6 6 q 95q 55q 6 55 ± 55 6 6 q, 3 q q 6 ( ) 5 9 6 55 ± 5 ( q ) 3 q 5 6 6
3) Z jk louho třááme 9 Kč při uklááí čátky Kč počátku kžého roku při % úrokováí?, 9,, 5,,9,, log, q q,9 log,9 log, log,9 3, 3 % q, ) Jeím tžeím rátu e zmeší průměr rátu o %. Jký průměr bue mít rát půvoím průměrem 6mm po omi tžeích? q % 6mm 6 q (,),5mm 5) Počet obyvtel mět vzrotl z let z 56 7. Jký byl ročí přírůtek obyvtel v procetech? Počet obyvtel mět vzrotl z let z 56 7. Jký byl ročí přírůtek obyvtel v procetech? q 7,3? 56 7 q 56 q q q,3 q,3 (,3 ) q,65 q
Použitá litertur http://mtemtik.hvrlt.et/poloupoti http://www.vyokekoly.cz/mturitiotzky/otzky/m temtik/aritmetickpoloupot.htm Náleující tráky oporučuji: http://www.krli.mff.cui.cz/ktery/km/iplomky/ poloupoti/iex.htm