K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Lagangeovy ovnce duhého duhu V této aptole ž půde o dynamu, tedy o pohyb soustavy hmotných bodů Téměř ve všech zaímavých případech bude ech pohyb omezen vazbam; nadále budeme uvažovat pouze vazby holonomní Od atézsých souřadnc hmotných bodů předeme zobecněným souřadncím a odvodíme ovnce, teé budou velm užtečné a po řešení příladů, ta v dalších aptolách Výchozím bodem nám bude pncp, teý e analogí zobecněného pncpu vtuální páce DʼAlembetův pncp V předchozí aptole sme se seznáml s pncpem vtuální páce Ten e vša použtelný en v případě ovnováhy, dy síla na aždý hmotný bod e ovna nule V případě, dy se hmotné body pohybuí, e ale síla obecně nenulová Víme, že souvsí se zychlením podle ewtonova záona: m F () ( n) ( n) ( n) Zde ndex n číslue hmotné body, n,, de e počet hmotných bodů Exstue ale t, teý nám umožní použít to, co sme zvládl v pvní aptole, tedy vtuální posunutí a vtuální pác Ve vztazích () převedeme vše na ednu stanu: F m 0 () ( n) ( n) ( n) Výaz na levé staně () má ozmě síly, můžeme ho tedy celý chápat ao sílu Používá se po ně název ztacená síla 3 Podstatné e, že tyto ztacené síly se po aždý hmotný bod ovnaí nule Lze na ně tedy aplovat stený postup, ao δ sme v ap aploval na nomální síly: Vztah () po aždé n vynásobíme vtuálním posunutím a sečteme po všechna n od do : ( n ) F ( n) m( n) ( n) δ ( n) n Síla na aždý bod se sládá ze síly atvní a vazbové, (v) F ( n) δ ( n) n 0 (3) F F + F (v) ( n) ( n) ( n) 4 Podobně ao ve statcém případě popsaném v předchozí aptole e vtuální páce vazbových sl ovna nule: 0 5 Vazbové síly tedy z (3) vypadnou a můžeme říc, že za pohybu soustavy hmotných bodů platí: F ( n) m( n) ( n) δ ( n) n 0 (4) Ja holonomní vazby, ta zobecněné souřadnce sme ž potal v ap Index n píšeme do závoe, abychom zde odlšl číslování ednotlvých bodů od číslování souřadnc, teé zavedeme níže a teé budeme používat velm často číslování souřadnc bude bez závoe 3 Snad poto, že tato síla e za pohybu ovna nule, aoby se tedy eí hodnota ztatla 4 Do síly F přtom zahnueme všechny atvní síly působící na daný bod (např síly od všech ostatních bodů), do síly F ( n) (v) ( n) všechny vazbové síly působící na tento bod 5 Omezueme se přtom samozřemě en na vtuální posunutí slučtelná s vazbam Díy tomu, že de o vazby holonomní, de o posunutí vatná Poznáma po šťoualy : V případě eonomních vazeb e důležtá eště edna věc Vtuální posunutí beeme ta, že se odehávaí oamžtě, tedy že se na ně nespotřebue žádný čas
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Tento výslede se nazývá dʼalembetův 6 pncp Stučně bychom ho mohl vyslovt ta, že: Soustava hmotných bodů se pohybue ta, že vtuální páce ztacených sl př lbovolných vtuálních posunutích slučtelných s vazbam e nulová Přtom vazby omezuící pohyb považueme za holonomní a do ztacených sl nezapočítáváme vazbové síly Matematcy e dʼalembetův pncp dán vztahem (4), čl Soustava hmotných bodů s holonomním vazbam se pohybue pávě ta, že: n F m δ 0 po ( n) ( n) ( n) ( n) lbovolná δ ( n slučtelná s vazbam ) Pomocí dʼalembetova pncpu bychom mohl řešt něteé přílady Po nás vša bude důležtý hlavně poto, že z ně odvodíme Lagangeovy ovnce duhého duhu epve s ovšem vhodně očíslueme souřadnce a další velčny, aby se nám s nm dobře a ednotně pacovalo Konfguační posto V dalším odvozování předeme od vetoů souřadncím Přtom bude užtečné očíslovat s všechny souřadnce plynule vpřed, tedy následuícím způsobem: () ( x, x, x3 ) () ( x4, x5, x6 ) (3) ( x7, x8, x9) (5) (,, ) x x x ( ) aposto steně očíslueme složy sl 7 : F F F F F ( F, F, F ) (,, ) () 3 () 4 5 6 Podobné značení zavedeme po hmotnost bodů: m m m m 3 m m m m 4 5 6 m m m m ( ) (6) (7) a pvní pohled to může působt neeonomcy zavádět po hmotnost ednoho bodu tř ůzné symboly, ale umožní nám to zapsat napřílad duhý ewtonův záon velm ednoduše po všechny souřadnce: mx F,,, 3 (8) 6 Vyslovueme [dalambéův] 7 Stené číslování budeme používat po složy atvních a vazbových sl
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Fomálně můžeme říc, že polohy hmotných bodů popsueme edným -ozměným vetoem: ( x x x x x ),,,,, (9) 3 4 3 Toto můžeme chápat ao polohu edného bodu ve -ozměném postou 8 Tomuto postou se říá onfguační posto 9 Konfguační posto samozřemě v příodě eálně neexstue, e to matematcá abstace Pohyb soustavy hmotných bodů postě fomálně vyadřueme ao pohyb ednoho bodu v -ozměném onfguačním postou Poud vám toto vyadřování přpadá přílš nepřozené, bete to postě ta, že máme souřadnc, teé se mění s časem:,,, 3 x x t (0) Ja pomocí souřadnc onfguačního postou zapsat dʼalembetův pncp, tedy vztah (4), teý platí př pohybu soustavy hmotných bodů? Jednoduše 0 : Zobecněné souřadnce 3 F m x δ x 0 () Se zobecněným souřadncem sme se ž potal v příladu v aptole apřílad polohu matematcého yvadla ednoznačně vyádříme pomocí edné souřadnce ϕ, vz obáze Známe-l hodnotu ϕ, sou atézsé souřadnce dány vztahy x l snϕ y l cosϕ () z 0 Dalším příladem může být pohyb hmotného bodu na naloněné ovně V tomto případě může být ozumné měřt polohu bodu měřítem nataženým podél naloněné ovny; příslušnou souřadnc označíme třeba ξ, vz obáze vlevo Katézsé souřadnce sou opět hodnotou ξ ednoznačně dány : x ξ cosα (3) y ξ snα Vdíme, že zobecněné souřadnce volíme ta, abychom espetoval vazby Hodnoty atézsých souřadnc nemohou být lbovolné, sou omezeny vazbam (Bod napřílad nemůže být zatlačen do naloněné ovny) Zobecněné souřadnce napot tomu mohou mít lbovolné hodnoty (ξ v našem 8 Jde přtom o ftvní bod, nol o eden z hmotných bodů soustavy Taé nám může přpadat tochu zvláštní, že tomuto bodu přísluší řada ůzných hmotností (7) Ale de o fomální vyadřování, a dá se na ně zvynout 9 Konfguac soustavy hmotných bodů, tedy polohy všech hmotných bodů v našem tříozměném postou popsueme polohou ednoho (ftvního) bodu v onfguačním postou 0 Složy vtuálního posunutí δx číslueme steně ao složy polohových vetoů v (5) Kyvadlo ýve v ovně z 0 Místo souřadnc x, x, x 3 zde postě píšeme x, y, z Slon naloněné ovny e onstantní, α onst Hodnotu z zde nepíšeme, může být např z 0 3
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 příladě může být lbovolné) Zobecněných souřadnc e ovšem méně než e ch pávě tol, ol e stupňů volnost soustavy 3 Zobecněné souřadnce budeme označovat symboly q, ndex má hodnoty od do počtu stupňů volnost Katézsé souřadnce sou ednoznačně učeny hodnotam zobecněných souřadnc a času: x x q, q,, q, t,,, 4 (4) Konétním přílady těchto vztahů (po eden stupeň volnost, tedy ) byly () a (3) Záps (4) e ale tochu zdlouhavý, taže často píšeme en x x q, t,,, 3,,,, případně an explcte nepíšeme ozsahy ndexů, poud sme dohodnut, že běží od do a od do : (, ) x x q t t (5) 5 Zobecněné ychlost (a něol pomocných vztahů) dx Z úvodního uzu mechany sme zvylí pacovat s atézsým složam ychlostí v x 6 Ty vysthuí, a ychle se s časem mění souřadnce x Podobně časové devace souřadnc q, dq q vyadřuí ychlost změny zobecněných souřadnc s časem Říáme m zobecněné ychlost Katézsé složy ychlost lze vyádřt pomocí zobecněných ychlostí Zdevueme-l (5) podle času a použeme pavdla o devac složené funce více poměnných, dostáváme dx dq x + + (6) q t q t q Přtom pacální devace na pavé staně (6) sou funcem zobecněných souřadnc Je vdět, že x závsí na q, q a t 7 q a času 3 V obou uvedených příladech byl en eden stupeň volnost, taže sme měl vždy en ednu zobecněnou souřadnc Kdybychom uvažoval nol yvadlo ývaící v edné ovně, ale sfécé yvadlo, potřeboval bychom učení eho polohy dvě souřadnce, napřílad sfécé souřadnce θ a ϕ 4 Př pohybu soustavy se samozřemě zobecněné souřadnce mění s časem, q q( t), taže bychom mohl psát obšíně x x( q( t), q( t),, q( t), t ),,, 5 V nch nebyly atézsé souřadnce explcte závslé na čase Příladem, dy by x byly explcte závslé na čase, by bylo matematcé yvadlo, ehož déla závěsu l by se měnla napřílad něaý obotcý mechansmus by podlužoval délu závěsu, třeba podle vztahu l l0 + v 0 t 6 Zde už používáme číslování souřadnc (5) 7 Poznameneme, že zobecněné souřadnce q a zobecněné ychlost q sou vzáemně nezávslé ázoně e to vdět třeba na stále uváděném příladu yvadla: nezávsle můžeme nastavt polohu yvadla, tedy souřadnc ϕ a nezávsle do yvadla stčt, tedy zadat úhlovou ychlost ϕ 4
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Po další odvození budeme potřebovat devac dostaneme 8 Potřebovat budeme taé devac x podle zobecněné ychlost δ q Devací (6) x podle zobecněné souřadnce q Z (6) po devac plyne 9 q+ q + q q q t q q q t d q + t Odvodl sme tedy následuící pomocná tvzení: d q (7) V dʼalembetově pncpu budeme potřebovat vyádřt eště vtuální posunutí δ x pomocí (vtuálních) změn zobecněných souřadnc δ q Vtuální posunutí beeme ao neonečně malá, pacueme s nm tedy ao s dfeencály Z (5), čl z x x( q, t ), dostaneme dfeencováním δx δq 0 (8) Po další odvození e důležté, že všechny změny souřadnce a ech vtuální posunutí nabývat lbovolných hodnot, taže na δ q sou navzáem zcela nezávslé (Katézsé δ x sou omezena vazbam, zobecněné souřadnce mohou δ q nesou žádná omezení ) 8 Př úpavách využíváme toho, že an nezávsí na q a dále toho, že 0 po t (ůzné složy zobecněných ychlostí sou vzáemně nezávslé) a, taže δ 9 Př úpavách zaměňueme pořadí devování v duhých pacálních devacích (Předpoládáme, že patřčné podmíny sou zde splněny) avíc využíváme toho, že e funcí q a času t apíšeme-l f ( q, t), e totální devace podle času d f f f ( q, t) q +, což e přesně obat na duhém řádu odvození t 0 Pozo, nemáme zde žádný člen s δt Je to díy tomu, že vtuální posunutí beeme ao oamžtá, nemění se př nch čas Až na ech velost, výše sme už zdůazňoval, že vtuální posunutí beeme ao nfntesmální 5
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 DʼAlembetův pncp a zobecněné souřadnce Dosaďme do dʼalembetova pncpu () vtuální posunutí (8): 0 F m x x F m x δq δ ( F m x) δ q (9) Toto musí za pohybu platt po lbovolná δ q Jedná možnost, a toho dosáhnout, e, že všechny členy ve složených závoách v (9) sou ovny nule: ( F m x) 0,,, (0) Tenhle obat byl hozně důležtý teď máme pávě tol ovnc, ol e stupňů volnost! 3 Zobecněné síly Po další úpavy dáme ve vztahu (0) na ednu stanu členy se zychlením a na duhou síly: m x F 4 () Výaz na pavé staně () vypadá ao bychom něa převáděl síly z atézsých do zobecněných souřadnc Ja za chvíl uvdíme na příladech, ono to ta opavdu e! Po pavou stanu () poto zavedeme specální označení a těmto členům budeme říat zobecněné síly Q 3 F q Podíveme se, co vyde ao zobecněná síla v onétních příladech dsutovaných výše Po bod na naloněné ovně, podél níž měříme souřadnc ξ vychází 5 : y Q F + F 0 cos + ( mg) ( sn ) mg sn ξ ξ ξ x y α α α Výsledné Q ξ má ozmě síly doážete ntepetovat, aý má fyzální význam? 6 () Sce nfntesmální, ale vzáemně zcela nezávslá 3 Kdybychom měl v ývaící se tuhé tyč třeba 0 5 hmotných bodů, ta napsat pohybové ovnce (duhé ewtonovy záony) po všechny body bychom nesthl do once vesmíu Kývá-l se tyč v edné ovně, má en eden stupeň volnost a nyní máme po eí pohyb en ednou ovnc! Ještě budeme upavovat, ale už teď e vdět, a e tento přístup výhodný 4 Po ednoduchost už zde explcte nepíšeme, že vztah platí po všechna,, 5 Katézsé souřadnce sou dány vztahy (3) Odvození s případně ozepšte podobně, ať se opavdu vyznáte, a se tady zobecněná síla počítá 6 Po ověření vašch úvah: 6
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Pozo, zobecněná síla nemusí mít vždy ozmě síly! apřílad v případě matematcého yvadla vyde y Qϕ Fx + Fy 0 l cosϕ+ mg ( l snϕ) ϕ ϕ mg l snϕ Opět vychází velčna, teá má fyzální význam 7 V případě, že de o síly onzevatvní, můžeme zobecněné síly odvo z potencální enege V Víme, že po nomální (atvní) síly platí F gad V, ve složách tedy 8 Zobecněné síly učíme z (), am dosadíme (3): V F (3) x Q V V F (4) Zobecněné síly tedy z potencální enege počítáme podobně, ao nomální síly (atézsé složy sl), en místo podle atézsých devueme podle zobecněných souřadnc Zlatý hřeb : odvození Lagangeových ovnc duhého duhu Rovnce () odvozené z dʼalembetova pncpu můžeme s pomocí zobecněných sl zapsat ao x m x Q Zbývá nám upavt ech levou stanu V ní můžeme vyádřt 9 : d d d x ( x ) x x S použtím výše uvedených pomocných vztahů (7) pa postupně dostáváme (5) d d m x m x m x d x 3 m x m x (6) Platí ovšem (ozmyslete s, poč), že x ( x ) a analogcy x ( x ) 7 Poznal ste, aý? 8 Zde už specelně v označení nezdůazňueme, že de o atvní síly 9 Jde o podobnou úpavu, teá se užívá třeba př odvozování ntegace pe pates 7
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Po dosazení do (6) dostáváme d q m x m ( x ) m ( x ) d q mx mx (7) Ovšem výaz ve vntřní závoce není nc ného, než celová netcá enege soustavy hmotných bodů T mx!!! To znamená, že (7) dává d T T m x Výsledný tva ovnc (5) odvozených z dʼalembetova pncpu tedy e: d T T Q q Toto už fatcy sou ýžené Lagangeovy ovnce duhého duhu (8) Po případ onzevatvních sl lze ovnce eště upavt Dosadíme za zobecněné síly Q ze vztahu V V d V (4): Q avíc můžeme napsat Q +, potože duhý člen e nulový, neboť q potencální enege V na ychlostech q nezávsí 30 Z ovnc (8) tedy dostáváme d T T d V V, což můžeme přepsat ao ( T V) ( T V) d 0 q Teď už se samo nabízí zavést velčnu azýváme Lagangeova funce nebo edním slovem lagangán 3 Výsledné ovnce, teé sme odvodl, maí velm ednoduchý tva: L T V (9) d L L q 0 (30) A pávě toto sou Lagangeovy ovnce duhého duhu po případ onzevatvních sl 30 Poznáma po fanšmey : Kupodvu, ovnce, teé odvodíme, funguí ve specálním případě, dy e výhodné zavést V, teé na ychlost závsí Jde o pohyb nabté částce v magnetcém pol 3 Vyslovueme laganžán ; lze se setat s tato počeštěnou psanou podobou 8
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Přílady aneb čemu sou nám Lagangeovy ovnce dobé Odvození na předchozích stánách nebylo neatší ale zísal sme ovnce velm užtečné Poďme se podívat, a se daí aplovat na řešení příladů Matematcé yvadlo aším cílem e vyřešt pohyb yvadla s délou závěsu l Jao zobecněnou souřadnc zvolíme úhel ϕ (vz obáze) epve musíme sestavt lagangán K tomu potřebueme netcou a potencální eneg a potřebueme tyto enege vyádřt pomocí zobecněné souřadnce ϕ a zobecněné ychlost ϕ Počítat netcou eneg přes atézsé složy ychlost x a y by bylo zbytečně složté Půdeme na to ednoduše Hmotný bod se pohybue po užnc, taže eho ychlost e v l ω l ϕ Knetcá enege e tedy T mv ml ϕ Potencální eneg spočteme podle lascého vzoce mgh, de výša V mglcosϕ h y lcosϕ, taže Lagangán e tedy L T V ml + mgl ϕ cos ϕ a eho devace L d L d ( ml ϕ ) ml ϕ, ( mgl cosϕ) mgl snϕ (3) ϕ d ϕ ϕ dϕ Lagangeova ovnce (en edna, potože úloha má en eden stupeň volnost) e obecně a po dosazení (3) onétně: což po vydělení ml dává d L L 0 ϕ ϕ d ( ml ϕ) + mgl snϕ 0, g ϕ+ snϕ 0 (3) l Tuto ovnc už řešíme známým způsobem: po malé výchyly e snϕ ϕ, ovnce e tedy +Ω ϕ 0, de g l ϕ Ω ; eí řešení e ϕ ϕ ( φ) max cos Ω t + Vdíme, že lagangeovsý fomalsmus za nás ovnc nevyřeší umožní vša systematcým způsobem sestavt Postup e asný: Zvolt vhodné zobecněné souřadnce Vyádřt netcou eneg a potencální eneg pomocí zobecněných souřadnc a ychlostí 3 Sestavt lagangán (a případně s boem vypočítat eho potřebné devace) 4 Sestavt Lagangeovy ovnce Tato budeme počítat všechny další přílady 9
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Válec valící se po naloněné ovně Knetcou eneg valícího se homogenního válce učíme napřílad pomocí Köngovy věty 3 ao 3 3 T mv mξ Potencální enege e V mgh, tedy 4 4 V mg ξ snα Lagangán e L T V m ξ + mg ξ α 3 sn 4 L Potřebné pacální devace sou 3 L m ξ, mgsnα Lagangeova ovnce ξ ξ po dosazení dá d ( m ξ) 3 mg sn α 0, z čehož d L L 0 ξ ξ ξ 3 g snα Vyšlo nám zychlení válce podél naloněné ovny Opět stačlo vyádřt netcou eneg, potencální eneg, sestavt lagangán a napsat Lagangeovy ovnce Dvě závaží na ladce Opět půde o poblém známý už z úvodního uzu mechany a pevné ladce s momentem setvačnost J a poloměem R vsí na lanu (zanedbatelné hmotnost) dvě závaží, nalevo hmotnost m, napavo hmotnost m Ja se budou závaží pohybovat? 33 Rychlost obou závaží sou stené, Úhlová ychlost lady e x x x (Místo x budeme psát postě x) ozn ω x R Celová netcá enege e tedy ( ) T mv + mv + J ω m + m + J R x Potencální enege e V m gx + m gx m m gx+ 34 Lagangán e onst Lagangeovy ovnce tedy daí ( ) L T V m + m + J R x m m gx d L L x 0 3 Posíme lasavého čtenáře, aby s z úvodního uzu mechany přpomněl, a netcou eneg př valení spočítat 33 Uvažueme en pohyb závaží nahou a dolů, ne případné ývání do stan Tento přísto e znám pod názvem Atwoodův padosto, používal se měření tíhového zychlení 34 O co pvní závaží stoupne, o to duhé lesne, taže x onst x Hodnota onstanty závsí na délce lana, ale vlastně nás nezaímá, potože potencální enege e učena až na onstantu; v Lagangeových ovncích se L devue, taže aáol avní onstanta vypadne 0
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 d Oud dostaneme po zychlení závaží výslede (( ) ) m + m + J R x + m m g 0 x m m m + m + J R Vdíme, že opot řešení tohoto poblému pomocí duhého ewtonova záona a duhé věty mpulsové (a se to dělalo v úvodním uzu lascé mechany) e řešení pomocí Lagangeových ovnc výazně ednodušší emusíme uvažovat tahy v lanu nalevo a napavo a místo tří ovnc máme ovnou ovnc ednou g Z uvedených příladů e snad vdět, že aplace Lagangeových ovnc není na složtá a opavdu může řešení úloh dost zednodušt Další řešené přílady lze naít v eletoncé sbíce fyzálních úloh 35 Uvedeme poto už en eden přílad, na němž uážeme řešení poblému s více stupn volnost Šmý vh V obou výše uvedených příladech šlo o pohyby s edným stupněm volnost, dostával sme tedy ednou Lagangeovu ovnc Po uázu případu s více stupn volnost, spočteme Lagangeovy ovnce po šmý vh v homogenním tíhovém pol Půde tedy o přílad velm ednoduchý, ehož výslede samozřemě známe 36 Za zobecněné souřadnce zvolíme v tomto případě atézsé souřadnce x, y, z, vz obáze Složy ychlost sou x, y, z, netcá enege e tedy T mv m x + y + z Potencální eneg učíme podle známého vztahu mgh, tedy V lagangán e ( ) mgz, čl L T V m x + y + z mgz (33) Lagangeovy ovnce sou obecně 37 d L L x d L L y y d L L z z 0, 0, 0 (34) 35 http://fyzalnulohycz/ndexphp?pedmet4 36 Z úvodního uzu mechany nebo už ze střední šoly ho umíme vyřešt elementáně Uvdíme, že Lagangeovy ovnce přozeně daí stený výslede 37 Úloha má tř stupně volnost, máme tedy tř ovnce
K přednášce UFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 Lagangeovy ovnce duhu Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Devace lagangánu (33) sou Rovnce (34) daí po dosazení čl L mx, d L 0, d d ( mx ) ( my ) L my, y 0, 0, (mz) +mg 0, L 0, y L mz, z L mg z x 0, y 0,, (35) z g Fyzální význam zísaných vztahů e asný: zychlení ve vodoovných směech e nulové, svslá složa zychlení má velost g a míří dolů (pot směu osy z) Řešt už ovnce (35) musíme sam, to za nás fomalsmus neudělá 38 Poznameneme, že řešt šmý vh Lagangeovým ovncem e opavdu ao ít s anónem na vabce Šlo opavdu en o lustac a eálně by ndo Lagangeovy ovnce po tato ednoduchý 39 přílad nepoužl Lagangeovy ovnce nám výhodně poslouží ve složtěších stuacích, de by výpočet užívaící sl a duhého ewtonova záona byl výazně omplovaněší 38 Řešení e ovšem ednoduché: x v 0x t+ x, 0 y v 0yt+ y, 0 z gt + v 0z t+ z ; opavdu vydou známé 0 vztahy po šmý vh 39 Souhlasím, výpočet přímo z duhého ewtonova záona e ednodušší a atší