Dvojý itegrál Zatímo itegračím oborem jeorozměrého itegrálu bl iterval, u vojého itegrálu je třeba raovat s vojrozměrými obor. Může to být obélíová oblast, ale i složitější útvar jao ař. ruh, ruhová výseč ebo útvar tvořeé víe řivami. Z geometriého hleisa je ůvoem zaveeí vojého itegrálu úloha o určeí objemu římého vále s ostavou tvořeou oblastí, zmíěou v rvím ostavi, shora seřízutého fuí z=. Pozáma : V efiii vojého itegrálu oužijeme ojm ifimum a suremum. Je-li A je erázá možia reálýh čísel, a * Číslo M se azývá suremum moži A, jestliže ro všeha A latí erovost M a číslo M je ejmeší z čísel s touto vlastostí. * Číslo m se azývá ifimum moži A, jestliže ro všeha A latí erovost m a číslo m je ejvětší z čísel, teré mají tuto vlastost. Aalogi se efiuje suremum a ifimum fue a možiě. Kažá erázá možia, terá je omezeá shora, má vž suremum. Kažá erázá možia, terá je omezeá zola, má vž ifimum. Dvojý itegrál a obélíové oblasti Nehť z= je fue efiovaá a omezeá a obélíu = {, E ; a b } = a, b,,. ( 2, { } ozělme teto obélí a libovolýh obélíů,, 1 2 (mluvíme o ěleí D),..., jejihž stra jsou rovoběžé se souřaiovými osami. Jejih obsah ozačme 1,,...,. Je-li obsah obélía, otom latí = + +... +. 2 1 2 P a b
V ažém obélíu v tomto obélíu. Určíme součt, = 1,2,..., ozačme m ifimum fue f a s( D, f ) = m, terý azveme olí součet, = 1 S( D, f ) = M, terý azveme horí součet, = 1 Příslušý fui f ři aém ěleí D. M její suremum Taovýh součtů s ( D, f ), S( D, f ) ostaeme eoečě moho, měíme-li očet obélíů a jejih olohu v obélíu. Ozačme ále m ifimum a M suremum fue f a elém obélíu. Zřejmě latí erovosti m m f (, ) M M, ou vásobeím číslem a sečteím ro = 1,2,..., le vztah m s( D, f ) S( D, f ) M. Protože možia všeh možýh olíh (horíh) součtů je shora (zola) omezeá, má suremum (ifimum). Suremum moži olíh součtů { ( D,, ifimum moži horíh součtů { ( D, s se azývá olí itegrál fue f a obélíu S se azývá horí itegrál fue f a obélíu. Dvojý itegrál je efiová jao solečá hoota olího a horího itegrálu. Defiie: Je-li suremum moži { ( D, ifimu moži { ( D, s všeh možýh olíh součtů fue f rovo S všeh možýh horíh součtů této fue, azývá se jejih solečá hoota vojý (ebo vojrozměrý) itegrál fue f a obélíu a začí se smbolem. Obélí se azývá itegračí obor vojého itegrálu. Eistuje-li vojý itegrál, říáme, že fue f je a aém oboru itegrovatelá. Věta: Postačujíí omí ro itegrovatelost a) Nehť je fue f a obélíu sojitá. Pa je a obélíu itegrovatelá. b) Nehť je fue f a obélíu omezeá a sojitá ve všeh jeho boeh s výjimou oečého očtu boů (oř. i eoečého, ou tto bo leží a oečém očtu grafů sojitýh fuí). Pa je fue f a obélíu itegrovatelá.
Geometriý výzam vojého itegrálu v obélíu. Nehť je itegrovatelá a obélíu. Potom olí součet řestavuje součet objemů ejvššíh várů, jejihž olí ostav jsou jeotlivé obélí, ežto horí ostav eřesahují a lohu z= (viz obr.). z z = ) a 1 2 b Aalogi horí součet začí součet objemů ejižšíh várů s ostavou, jejihž horí ostav eřeházejí o lohu z=. Te vojý itegrál fue f v obélíu řestavuje objem části váru s ostavou, seřízutého lohou o rovii z=. Vlastosti vojého itegrálu. Nehť fue f a g jsou itegrovatelé v obélíu, terý je rovoběžou s ěterou ze souřaiovýh os rozěle a va obélí. Je-li libovolá ostata, latí tto vztah: = 1) f,, ( 2) [ (, ± g(, ] = ± 1, 2 f g(,, = 3) +. 1 2
Dvojý itegrál a obeé uzavřeé oblasti Defiie: Nehť f je omezeá fue a uzavřeé oblasti a ehť je taový obélí, že. Defiujeme v obélíu ovou fui F tato: F (, = ro (,, F (, = ro (, ( ). Je-li fue F itegrovatelá a obélíu, ovažujeme fui f za itegrovatelou a oblasti a efiujeme vojý itegrál fue f a oblasti vztahem = F(,. Hoota tato efiovaého vojého itegrálu fue f a uzavřeé oblasti ezávisí a volbě obélía. Defiie: Eistuje-li 1 = m( ), e E2, říáme, že možia je (joraovs měřitelá. Číslo m () se azývá míra moži. Míru v vojrozměrém říaě azýváme lošým obsahem (v trojrozměrém říaě objemem). Plošý obsah měřitelé moži je ole uveeé efiie číselě rove objemu tělesa o výše 1, jehož zálaou je možia. Eistují moži, teré měřitelé ejsou. Jsou to vesměs uměle vtvořeé moži, se terými se v tehiýh výočteh esetáváme. Měřitelé jsou všeh tzv. elemetárí oblasti, teré buou í osá. Jsou to t itegračíh oborů, se terými v zálaíh aliaíh vojého itegrálu zravila vstačíme a ro ěž lze řevést výočet vojýh itegrálů a ostuý výočet jeouhýh itegrálů. Defiie: 1) Nehť g ( ) a h( ) jsou fue sojité a itervalu a,b, ro teré ze latí g( ) h( ). Potom uzavřeou oblast = {(, E2; a b, g( ) h( ) } oblastí tu [,] (obr. A). azýváme elemetárí
2) Nehť g ( a h( jsou fue sojité a itervalu,, ro teré ze latí g( h(. Potom uzavřeou oblast = {(, E2;, g( h( } oblastí tu [,] (obr. B). azýváme elemetárí 3) Elemetárí oblastí azveme uzavřeou oblast, terá je elemetárí oblastí tu [,] ebo tu [,]. f() g( f( g() a b Obr. A Obr. B Věta: Nehť je elemetárí oblast a možia K je tvořea oečě moha bo a oblou. Nehť fue f, a ) jsou omezeé v oblasti a sojité a sobě rové 1( 2 v K. Pa eistují vojé itegrál fuí f, a ) v oblasti a jsou si rov. f 1( 2 1(, f 2 (, =. Pozáma: Uveeá věta rozšiřuje omí, za terýh eistuje vojý itegrál. Uazuje, že eistee a hoota vojého itegrálu ezávisí a hootáh fue f v oečě moha boeh a v boeh oečě moha oblouů. Její hoot ze mohou být libovolé ebo emusí být ai efiovaé, aiž b to ovlivilo eistei a hootu itegrálu. Taže je-li aříla fue f sojitá a omezeá a vitřu oblasti, a latí =. Proto ále bueme za itegračí obor ovažovat oblast i v říaeh, bue fue efiováa ouze ve vitříh boeh této oblasti.