; c) lim. 1 3x C x 2 x 2 x 6 x 5 6. tg.sin x/ sin.tg x/ x n : e) lim. x a sin x b tg x. ; f) n. sin 1 p n. log 1 C 3p 1. b) 1 C 2.x.
|
|
- Tomáš Veselý
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 . TAYLORŮV POLYNOM. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě a ro ásledující fukce: a) arctg, k D, a D b) tg, k D, a D c) e, k D 5, a D. Vočtěte: a) cos.;/ s chbou meší ež. b) log.;/ s chbou meší ež. c) e s chbou meší ež.. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě (okud eí řečeo jiak) ro ásledující fukce: a) si cos, k D b) tg, k D 5 c) e, k D d) cos. /, k D, v bodě e) 7 si. /, k D f) cos.si /, k D 5 g) si.si /, k D h) si. cos /, k D i) log.cos /, k D d). Sočtěte limit: cos e ; b) lim ; c) lim si ; si.si / si./ C d) lim ; 5 C 5 C C 5 ; f) lim cotg ; g) lim ; si C e si cos.si / C C ; i) lim.cos / si.cos / si ; j) lim :. si / a) lim e si. C / e) lim!c h) lim!c 5. Najděte N tak, ab říslušá limita bla koečá a růzá od a sočtěte tuto limitu:. C / e. C / a) lim ; b) lim. Najděte a; b R tak, ab D ; c) lim. C /. / C e cos cos.tg / ; d) lim ; e e) lim tg.si / si.tg / : a) lim.a C b cos / si D ; b) lim a si b tg D a sočtěte lim a si b tg 5 ; 7. Všetřete kovergeci ásledujících řad: X a) log si X ; b) D D r!! X C log ; e) C c) lim cos a C arctg b b R a sočtěte ji. si ; c) X D si X D log C ; f) tg 5 si 5 X D e 5 ; arcsi Výsledk:. a) C. /. / C. / b) C. / C. / C 8. / c) e C e. / C e. / C e. / C e. / C e. / 5. a) ;995 b) ;95 c) ;5. a) b) C C 5 5 c) C C C d) g) C 5 h) i) 5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 5 j) 5 5. a) ( D ) b) e ( D ) c) 7 8 ( D ) d) ( D ) e). a) a D, b D b) a D, b D, limita je 7. a) K b) K c) D d) K e) D f) K 9. / 9. / e) 9 f) ( D 7) c) a D, b D, limita je C 5
2 . MOCNINNÉ ŘADY. Nalezěte oloměr kovergece ásledujících mociých řad a všetřete jejich kovergeci v krajích bodech itervalu kovergece: X a) ; b) X X X ; c) Š ; d) ; e) X X Š X Š X log ; f) ; g)./š ; h) ; ) D D D D X i) ; R; j) X Š X a ; a > ; k) D D D X C X C. / ; o) ; ) D D r) X D D D C. /. C / ; l) X D C ; s)* X.Š/./Š ; D C C C ; ) t)* D D X X Š ; ; m) a ; a > ; D D X a C b ; b > a > ; X./ : Š D D Výsledk:. a) R D, AK b) R D, K, D c) R D d) R D C e) R D, D f) R D, D g) R D C h) R D, K, D i) R D, D ro, K ro >, D ro, K ro > j) R D ro a, R D C ro a > k) R D, K, D l) R D C m) R D, D ro a, AK ro a > ) R D e, e D o) R D, D ) R D, D ) R D b, b AK r) R D, AK s) R D, D (Raabe) t) R D e, e K, e D (Raabe+Talor)
3 . PRIMITIVNÍ FUNKCE. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C 7 ; b) 8e C e 8 C cos ; c) C si./; d) cos./ C e ; e). C 5/ ; f) si. C 7/; g) cos. / ; h) ; i) ; j) C. / ; k) ; l) ; m) 5 ) ; o) C ; C ; ) ; ) ; r) C 5 ; s) e C e C ; t) tg ; u) cotg ; v) jcos j; w) si ; ) si ; ) cos ; z). Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: C cos a) e ; b) arctg C ; c) tg ; d) C 5 ; e) cos. / ; f) C ; g) C ; h) log ; i) C C C ; j) si log ; k) r) e e C ; l). C / ; m) C C C 9 ; ) C ; o) 8 C ; ) si ; ) e C e ; s) log C log ; t) cos5 si ; u) tg 5 ; v) si C cos ; w) cos C cos./ log log log ;. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) e ; b) e ; c) log ; d) log ; e) e ; f) cos e ; g) ec si ; h) log ; i) a log ; j) e a si b; k) arctg ; l) arcsi ; m) e ; ) log C C ; o) 5 e ; ) si ; ) arctg ; r) si log ; s) e si ; t) ; u)* earctg. C /. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C ; b) C ; c). / ; d) ; e) C ; f) 5 C ; g) C. /. C / ; h). C /. C / ; i) ; j) 7 5 ; k) 7 5 ; l) C 5 C ; m) ; C ). C C / ; o) C ; ) 8 C C 5. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) si ; g) arctg e b) ; c) e si cos C si ; h) cos si ; m) si cos si C cos ; d) si si C cos ; e) ; f) C e C e C e si si C cos ; i) si C cos si C cos ; j). C cos / si ; k) si C ta ; l) si C si ; C si. C / ; ) si cos C 5 ; o).si C cos / ; ) a si ; a; b > ; C b cos ) C " cos ; < " < ; r) si C si ; s) si cos si C cos ; t) si si C cos ; u) si C cos. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C ; b) C C C ; c). C / ; d) C ; e) C C C ; f) C C C ; g) C ; h) C. /. C / ; i) r C ; j) r C ; k) ; l) ; m). C / ; ) ; o) C C ; ) C ; C ) ; r) C C C C C ; s) C C C C C ; t).5 /
4 Návod: 5. a) R b) er artes c) R t d) R t Ct t.t / e) R f) R t t.ctct Ct /.tc/.t C/ h) R i) R t C j) R k) R t Ct t. t /.t C/.t C/.Ct/. t / t g) R t l) R.tC/ ebo R t.tc/.ct / m) R Csi u du, R.tC/ ) R t CtC o) R Ct.Ct / ) R a t Cb ) R r) R t s) R t.t / t) R t u) R Ct C"C. "/t.t C/.t C/.Ct /.t t / Ct Ct. a) R t Ct b) R.t tc/.t /.t / c) R t d) R e) R t.t / D R t.t /.t t C / t.tc/ Ct.tC/ f) R t tc g) R t 5.t CtC/ h) R t i) R t t. t/ tc j) R t t.t C/.t /.t C/.t / k) R 8t ebo R t.tc/ l) R t ebo R.t Ct / m) R t C ) R.t / o) R. t /. t /.tc/. t /.tc/.t C/. t/.ct / ) R t.ct /.t C ebo R t Ct ) R t r) lze vužít vzorec ro a b, kde a D C a tc/. t/.ct /. t/.ct/ b D C s) R t.t tc/. t/.t / t) R t.ct / Výsledk:. a) C C 7 logjj a. ; / a a.; C/ b) 8e C e 8 logjj C si a. ; / a a.; C/ c) cos./ a.; C/ d) si./ C e a R e). C 5/ a R f) cos. C 7/ a R g) tg. / a ; C C k, k h) logj j a. ; / a a. ; C/ i). / a R j) C a.; C/ k) 9 C a. ; / a a.; C/ l) a. ; 5 / m) arctg a R ) 7 7 C a.; C/ o) arctg a R ) arcsi a ; ) sg a R r) log 5 5 C 5 log a R s) e e C a R t) C tg a. ; / C k, k u) cotg a.; / C k, k v) a R:. / k si C k ro h ; i C k, k w) a R:. /k.si C cos / C k ro h ; i C k, k ) si a R ) 8 C si C si a R z) tg a. ; / C k, k. a) e a R b) arctg a R c) logjcos j a. ; / C k, k d) C 5 a R e) tg. / a C k;, C k k f) 8 log. C / a R g) arctg. / a R h) logjlog j a.; / a a.; C/ i) log. CC/ a R j) cos log a.; C/ k) log.e C/ a R l) arctg a.; C/ m) log. CC9/ a R ) C logj C j a. ; / a a. ; C/ o) arctg a R ) cos C cos a R ) logjlog log j a.; e/ a a.e; C/ r) e log.ce / a R s).clog / C log a. e ; C/ t) si 7 si 7 C si a.; / C k, k u) cos cos logjcos j a. ; / C k, k v) a R: F./ D arctg tg C k arcsi si a R ro. ; / C k, F. C k/ D C k, k w). a) e. / a R b) e.c/ a R c).log / a.; C/ d).log / a.; C/ e) e. C C / a R f) e.si cos / a R g) ec. si cos / a R h).log log C / a.; C/ a.; C/ ro a, log a a si b b cos b a.; C/ ro a D j) e a R k) arctg a Cb i) Ca Ca log Ca log. C / a R l) arcsi C a. ; / m) e a.; C/ ) log C C C a R o). /e a R ). si C si / a R ) arctg C log. C / a.; C/ r).si log cos log / a.; C/ s) e si C. / cos a R t) C arcsi a. ; /. /earctg u) a R C. a) log. C / C arctg a R b) C log ˇˇ ˇ a. ; /, a. ; / a a.; C/ c) C a. ; / a a.; C/ d) 97. / 97 log ˇˇ C ˇ a. ; /, a. C 99. / / 98 ; / a a.; C/ e) log. C / C arctg a R f) 7 7 C 5 C logj C j C logj j a. ; /, a. ; / a a.; C/ g) C log ˇˇ Cˇ a. ; /, a. ; / a a.; C/ h) log ˇˇ Cˇ a. ; /, a. ; / a C C C a. ; C/ i) j log j 8 C a ; C, a C ; C a a C ; C j) logj j C P 7 kd k k a. ; / a a.; C/ k) logj C j logj j C P 8 kd k a. ; /, a. ; / a k a.; C/ l) C logjj 9 logj j C 8 logj j a. ; /, a.; /, a.; / a a.; C/ m). / log C arctg C a. ; / a a.; C/ ) CC o) 8 log C C C C arctg. C / C ) C log.c /C a R 5. a) a. C CC 7 C C 7 7C.C/ 9 arctg C 7 a R arctg. / a R (áověda k rozkladu: racujte s výrazem. C / ) log. C/ C log. C C/ log cos Ccos a.; /Ck, k b) log.ce / arctg e e a R c) arctg. / ; / C k, a.; / C k a a. ; / C k, k e) arctg e log.e C / C arctg. C / log.ccos / a R d) log cos jcos j log.e C / a R
5 f) a. ; / C k: F./ D C log tg C ro.tg C/ C k, F. C k/ D C k, k g) arctg si a R h) logjtg j a.; si / C k, k i) a R: F./ D arctg tg C k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /. /, k j) log. C cos / C log. cos / log. C cos / a.; / C k, k k) logjtg j tg a.; / C k, k l) a. ; / C k: F./ D C ro C k, Ctg F. C k/ D C k, k m) a k C k ; C, a ; a a k C k ; C C, k N: F./ D ro C k, Ctg C F. C k / D, k ) a R: F./ D arctg C tg Ck ro. ; /Ck, F.Ck/ D.kC /, 5 tg C k.ctg / ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k ab arctg a b tg C k ab ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k ) a R: F./ D ab C k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C " /, k r) a R: F./ D k o) a R: F./ D tg arctg ) a R: F./ D arctg " " C" tg arctg tg k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k s) a. ; / C k: F./ D tg C Ctg logˇˇˇ tg ˇ ro C l, F. C l/ D, k; l t) a. tg C ; / C k: F./ D G./ ro. ; / C k, F./ D G./ C ro. ; / C k, F. C k/ D, k, kde G./ D log tg tg C C.tg C/ arctg tg u) a R: F./ D arctg tg C C arctg tg Ck ro. ; /Ck, F. Ck/ D.k C /, k. a) C log C C a. ; C/ b) C C C logˇˇ C C ˇˇ logˇˇ C C ˇˇ a. ; / a a. ; C/ c) C log C 7. C / 7. C / C 5. C / 5 C a.; C/ d) arctg. C / a. ; C/ f) CC " a.; / e). C / log C C a R. C / C g) 7. C / 7 C 5. C / 5. C / C C C C C log C C a. ; / a a.; C/ h) log ˇ C ˇ ˇ C log C C C C arctg C C a. ; /, a. ; / a a.; C/ i) log ˇ C C C ˇˇˇ C arctg C a. ; / a a.; / j) log jt j arctg tc C arctg t, kde t D t Ct C C, a. ; /, a. ; / a a.; C/ k) sg. / Clogˇˇˇ ˇ log C ebo. / C logˇˇ C ˇˇ, a. ; / a a.; C/ l) sg. C r r r /. /. C / C Clogˇˇˇˇ C! ˇ log C C ebo. / C logˇˇ C ˇˇ, a. ; / a a. C ; C/ m) 8 arctg C C 8 arctg C C a. ; / ). / C C C 8 log C C a R o) arctg a. ; / C ) log t C log t C C r C arctg t, kde t D CC, a. ; C /; ebo log. t/ arctg t, kde t D, a. ; / a a.; C /, lze sleit v ) C log C a.; C/ r) C. C / log. C t t C / a.; C/ s) 8 C logjt j logjt j, kde t D 7 C C, a. ; /, a. ; / a a. ; C/ t) 5 log t C tc t C 5 tc arctg. t C/C 5 arctg. t 5t /, kde t D, a.; 5/ Ct 5 5
6 e). Sočtěte tto určité itegrál: a) C e d; N ; b) d C cos ; f) arctg d; g) k) 8. URČITÉ INTEGRÁLY si d; N ; c) j j d; h) 9 C d ; < " < ; l) C " cos si cos d; N ; d) d C ; i). si / d C e ; j) d C cos ; C e ;. /ŠŠ. /ŠŠ Výsledk:. a) Š b) ro sudé, ro liché c) ŠŠ ŠŠ i) j) k) 8 " l) C d) e) f) g) h) log
7 k) f) 5. KONVERGENCE INTEGRÁLŮ. Všetřete kovergeci ásledujících itegrálů ( ; ˇ; R): o) f) k) C si a) d; b) d; g) cos C log C e d; ) t) w) C C d; l) C 7 C C si log d; c) d; d) d arctgˇ d; h) log ; i) C log. C / d; ) logˇ. / arccotg d; u) C ˇ d; ) C d; m) C C arctg d; e) si d; log. C / log d; j) d; log. C e / d; ). C d; r) si cosˇ d; v) d; ) C ˇ. Všetřete kovergeci ásledujících itegrálů ( R): a) C C C ) C si d; b) si d; g) si. / C d; C C si si d; ) e cos C si C d; h) d; c) C C l) si. / d; m) t) C C C arctg si si C d; i) C e.si / si d; r) si C d; u)* jlog j d; s) si cosˇ. tg log cos d; z) d; d) C si. C / d; ) C C C C cos C si d; e) e d; j) si.e / d; o) si d; s) C si si. C log / d C /ˇ d; cos / d; arccos log d C C C C si d; si C d; cos. / d; si.log / d; si C si d; Návod:. b) výočet c) rozdíl itegrálů k) růstová škála ) ro D substituce r) log D log s) Talor arccotg arccos t) lim!c sočteme substitucí D cotg z) lim! sočteme substitucí D cos. /ˇ. d) BC, jsi j si g) rozdíl itegrálů ebo Abel h) jsi j si j) o) substituce ) substituce r), s) součet itegrálů t) si.a C b/ u) substituce Výsledk:. a) K b) K c) D d) D e) K, > f) D g) K, < < C ˇ h) D i) K j) K k) K l) K m) K ) K, >, ˇ > o) K, > ) K, > ebo D a ˇ > ) K, < < r) K, > s) K, < < t) K u) K, >, ˇ > v) K, ˇ >, C > w) K, maf ; ˇg >, mif ; ˇg < ) K, < C < ˇ ) K, < < z) K, <. a) D b) AK c) AK d) AK ro >, NAK ro < e) NAK f) AK g) D h) NAK i) AK ro < < 5, NAK ro < j) NAK k) NAK l) AK ro <, NAK ro > m) NAK ) NAK o) D ) AK ro < <, NAK ro < ) AK ro < <, NAK ro < r) NAK s) D t) NAK ro < < u) AK ro >, NAK ro < 7
8 . APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. Vočtěte obsah obrazce ohraičeého křivkami: a) D C ; D ; b) D C 8; D 7 ; D 8; c) D ; D ; D a; D b; < a < b; < <. Vočtěte lochu elis.. Vočtěte délku křivk, která je grafem fukce: a) log cos ; h; i; b) ; h; i; c) e ; h; ai; a >. Vočtěte obvod kruhu. 5. Vočtěte délku křivk daé arametrickým vjádřeím (a > ): a).t/ D a.t si t/;.t/ D a. cos t/; t h; i; b).t/ D a.cos t C t si t/;.t/ D a.si t t cos t/; t h; i. Vjádřete arametrick asteroidu, tj. roviý útvar C D a, a > a vočtěte jeho délku. 7. Vočtěte délku části Archimédov sirál zadaé v olárích souřadicích rovicí r D a', ' h; i, a >. 8. Vočtěte objem a) koule, b) kužele, c) rotačího elisoidu, d) auloidu. 9. Vočtěte objem rotačího tělesa, které vzike rotací obrazce ležícího v roviě kolem os. Obrazec je ohraiče křivkami jejichž rovice jsou D a D.. Vočtěte ovrch a) koule, b) kužele, c) auloidu.. Vočtěte obsah rotačí loch, která vzike rotací křivk D, h; i kolem os. Výsledk:. a) b) 9 c).b a/. /. ab. a) log b) 8 7. / c) a C C e a C log. C / log. C C e a /. r 5. a) 8a b). a 7. a C C a log C C 8. a) r b) r v c) ab d) Rr 9.. /. a) r b) r r C v C r c) rr. 55 log 8
9 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH ŘEY, LIMITA A SPOJITOST. Určete a akreslete defiičí obor, vrstevice a (okud to lze) řez rovoběžé s roviami a : a) C ; b) ; c) C ; d) ; e) jj C ; f) mif; g; g) maf; g; h) ; i) ; j) C ; k) arcsi ; l). C / ; m). C /. /; ) si. C /; o) sg.si si /. Všetřete lim lim f.; /, lim lim f.; / a lim f.; /, kde!! Œ;!Œ; a) f.; / D C. / ; b) f.; / D. C / si ro ; f.; / D. Všetřete ásledující limit: si. C / a) lim ; b) lim Œ;!Œ; C Œ;!Œ; e) lim Œ;!Œ; i) lim Œ;!Œ; l) lim Œ;!Œ; ; f) lim C Œ;!Œ; ; j) lim C. / Œ;!Œ; C ; m) lim C C Œ;!Œ; log. C C / ; c) lim C Œ;!Œ; si./ ; g) lim C Œ;!Œ; C C ; d) lim C Œ;!Œ; C ; ; h) lim C Œ;!Œ; C ; C C C ; k) lim ; Œ;!Œ; C C C ; ) lim Œ;!Œ;. C / C ; o) lim. C / ; ) lim. C C / ; ) lim. C / e ; r) lim Œ;!Œ; Œ;;!Œ;; Œ;!Œ; Œ;!Œ; s) lim Œ;!Œ; si./ ; t) lim C Œ;!Œ; si si cos cos ; u) lim ; v)* lim cos. C / Œ;!Œ; C Œ;!Œ; w)*. Lze fukci si./ rozšířit sojitě a celou roviu? 5. Lze fukci rozšířit sojitě a celou roviu? si Csi C si C log. C / lim Œ;!Œ; C C C C ; C ; Výsledk:. a) D f D R Œ; C/, vrstevice jsou levé olovi arabol b) D f D.R fg/ R, vrstevice jsou římk rocházející očátkem c) D f D R, vrstevice a hladiě c je kružice se středem v očátku a oloměrem c d) D f D R, vrstevice jsou herbol a jeda dvojice římek e) D f D R, vrstevice a hladiě c R je graf fukce c jj f) D f D R g) D f D R h) D f D Œ; C/ [. ;, vrstevice a hladiě c > jsou herbol tvaru c, a hladiě je to dvojice os i) D f D fœ; R I C g, vrstevice a hladiě c je kružice se středem v očátku a oloměrem c j) D f D fœ; R I C > g, vrstevice a hladiě c > je kružice se středem v očátku a oloměrem C k) D c f D fœ; R I jj > g [ fœ; R I jj < g, vrstevice jsou římk rocházející očátkem l) D f D fœ; R I g, vrstevice jsou dvojice arabol, a hladiě jeda arabola m) D f D fœ; R I C g, vrstevice a hladiě c < jsou dvojice kružic se střed v očátku a oloměr 5 9 c, a hladiě jeda kružice se středem v očátku a oloměrem ) D f D fœ; R I k C.k C /; k N g, vrstevice jsou oslouosti kružic se střed v očátku o) D f D R, vrstevice a hladiě a jsou šachovice, a hladiě mřížka. a) dvojásobé limit jsou, dvojá eeistuje b) rostředí limita eeistuje, ostatí jsou. a) b) c) C d) e) eeistuje f) g) eeistuje h) eeistuje i) j) eeistuje k) l) m) ) o) ) ) r) s) eeistuje t) eeistuje u) v) w) eeistuje. ANO 5. ANO (f.a; a/ D cos a) 9
10 8. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH PARCIÁLNÍ DERIVACE, TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL. Všetřete arciálí derivace a totálí difereciál ásledujících fukcí (říadě dodefiovaých ulou v očátku): a) m ; m; N b) e ; c) C C ; d) ; e) C ; f) C ; g) jj; r h) ; i) C arcsi ; j) j si j; k) C ; l) jj; m) C ; ) C ; o) C C C ; ) C C log. C /; ) e CC ; r). C / si C ; s) C ; t) ; u) ; v) ; w)* jsi si j; )* C log. C /; )*.jj C jj/ C Výsledk:. D D m, totálí difereciál eistuje všude D D e, TD eistuje všude c) D C, @ D C, TD eistuje všude d) D f D fœ; R I C g,.; / D ro C <, TD eistuje okud C < D D mimo očátek, TD eistuje všude kromě očátku f) / D a. C / D. okud C /,.; / D.; / D, TD eistuje všude kromě D g).; / D jj sg ro,.; / D ro,.; / D.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo os a v očátku h).; / @.; / / D.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo i) C D f D fœ; R I. ^ / _. ^ / D C ro Œ; D f, / D arcsi ro Œ; D f,,.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde j).; / D sg. si @ a.; / D sg. si / C k;. /k / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo D si / D a.; / D.C okud.c /, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde PD / D sg ˇ ˇˇ ˇ / D sg ˇ ˇˇ ˇ / D.; / D, jide PD TD eistuje mimo os / D. a C / D. ro Œ; Œ;,.; / D.; / D, TD eistuje mimo očátek / D. C / a. C / D. / ro Œ; Œ;,.; / D.; / D,. TD eistuje všude / D C. a C / D C. C / ro Œ; Œ;,. C / TD eistuje všude ) D f D fœ; R I. > ^ > /_. < ^ < /_. D a.c/.; / mimo / / D.C/. C / D.; / C. C / log.c/ C log. C / ro Œ; D. C /.C/. C / f fœ; g,.; / D.; / D, TD / D e CC.; / D, TD eistuje všude cos ro Œ; Œ;, C / ro Œ; Œ;,. C /_. < ^ < D ^ D ý / D D ý D C a. CC / D e CC / D si C.; / D.; / D, TD eistuje / D log, C cos C C ro Œ; Œ;,. CC / / D si C / D. C / a.; / D. / D, TD eistuje všude t) D f D fœ; ; R I. > ^ D log, TD eistuje všude u) D f D fœ; ; R I D ý log, TD eistuje všude v) D f D fœ; ; R I > ^ > g, D log log, TD eistuje všude w).; / D sg.si si / si / cos okud si si, C l/ C k; C C k; C l/ D, jide PD C C eeistují, TD eistuje tam, kde PD / D log. C / C a. / D log. C / C ro. / / D okud C D, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde PD ).; / /jjc. /jj a. C / D. / sg C jj okud Œ; Œ;,.; / D.; / D, TD eistuje. mimo očátek
11 9. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE. Necht f.u; v/ D uv a echt g W R fœ; g! R je defiováo ředisem g.; / D. C /.e /; C. Vočtěte.; / a.; /, kde F D f Necht rf.; ; / D Œ; ; a echt g W R! R je defiováo ředisem g.; ; / D Œ C C ; C C ; C C. Vočtěte rf.; ; /, kde F D f B g.. Necht f W R! R má všude totálí difereciál. kde F D f B g a g W R! R je dáo ředisem a) g.; / D si cos ; b) g.; / D C ; ; ; c) g.; / D ; C ;. Necht f W R!.; C/ má všude totálí difereciál. kde F W R! R je dáo ředisem a) F.; / D f.; / f.;/ ; b) F.; / D f.; / f.;/ : 5. Necht f W R! R má totálí difereciál v bodě Œ; a slňuje f.; / D. Vjádřete.; /, a) F.; / D f f.; /; f.; / ;.; / / D ; b) F.; / D f f.; /f.;/ ; f.; / f.;/ :. Necht f W R! R má totálí difereciál v bodě Œa; b. Nalezěte jej, latí-li a) F.r; / D f.r cos ; r si /; Œa; b D Œ; ; ; D ; ; b) F.u; v/ D f.e u cos v; e u si v/; Œa; b D Œ; ;.; / D 7;.; / : Výsledk:..; / D e,.; / rf.; ; / D Œ; ;. / D f.si cos /cos / D f.si cos /si si / C ; ; C ; ; ; / C ; C ; ; C C ; ; / / ; C / / D f.; / D f.; f.;/ /.; /.log f.; / C /,.; / log f.; / C f.;/ f.;/ ; / C ; ; C ; C ; C 5. a).; / D b).; @.; / /. a) rf.; / D Œ ; b) rf.; / D Œ7; ; C ; C ;.;/.; / D f.; /f.; /.log f.; / /, ;. / D f.; /f.;/.; / log f.; /
I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
Více+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více1. Písemka skupina A1..
1. Psemka skupina A1.. Nartněte grafy funkc (v grafu oznate všechny průseky funkce s osami) 3 y y sin( ) y y log ( 1) 1 y 1 y = arccotg - 1) Urete, jestli je funkce y = - + 1 omezená zdola nebo shora?
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a) ( ) + ( ) ( 6 ), b) ( π ). a) +, b) +, c) + + 4, f (4) (0) = 48, d) + 4 4, e) + 0, f), g) ++ 6 4, h) + 70 4, i) 4 j) + 6 k) 7 8 40. + o( ), 8 4. a), b), c), d) -, e) 4
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceGeometrické modelování. Diferenciáln
Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace
VíceTakže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceDerivace funkcí jedné reálné proměnné
Derivace fukcí jedé reálé proměé Pozámka Derivaci fukce v zadaém bodě můžeme počítat přímo pomocí defiice, použitím vět o algebře derivací, použitím vět o derivaci iverzí fukce, použitím vět o derivaci
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
VíceZákladní elementární funkce
Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
Více6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68
Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL... 68 6.. Výpočet určitého integrálu... 68 Úloh k samostatnému řešení... 68 6.. Geometrické aplikace... 69 6... Obsah rovinného obrazce... 69 Úloh k samostatnému
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
Vícef(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x
Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceMATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
VíceMATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VícePříklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
Více1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1
DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Opakování SŠ matmatiky Pomocí intrvalů zapišt nrovnosti: a), b) + >, c), d) > a),, b), 5), + ), c),, d), + ) Zjdnodušt výraz: a) 5 a a a ), b) a 5 6 b b 5 ) a b a a) a, a
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
Víceá Í á č á Ó é á é ě ší Ý á á é é á á é á Í É á á é é é č é á š é š ď ď é ě é č é č ě ňá č é č é č ň š ě š ě á š ě á č ě č é č č ď ď ď ť Í Í é é ňě á Í
á č é á Í á ď á ě ěž á é ď č č á ť ď áí ě á š á ě Í ě ě é ě ň á Ó á ě é ě č ť č ň č ťí ď é ú č ú Í ť á á á ě š á á č á ě é ě Í Í ě é ď š ě é á é é é á ď č á á ě Í á Ý á ť á č é č á é é Ý á Í áí ň á Í é
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceSoubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1
Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceCyklometrické funkce
4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Víceá á ě á á ě ě á Č á á ě š ě á ž ž á á š č á ě č Á Š č ě ž čč á ž ě ě ň š š č Ť ě Í ž á ě Ť č á á Ž Ť Ů ř Ž ě Ů á Ě Ž á á Ť á á ě ě á á ě Ť ř ř Ť á á č
č á á š Č č čá čš Í ž č á Ž á ž á ť č Ž Č š á á Ž ě ň ž č á č á ě č Č ž š ě Í č ž ť ě ě á ě Ť ěš ž ž á č š ěš á ž ž ě á á áž ě ě á Ž á á ň č á š á Ž ž ě š ě á Ť č á ú Ů á ÍŤ č Ť š Ť á á ě á Ž ě ž á čá
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více