pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly

060221 1 1 060221 1.1 Permutace Definice 1. Permuntací množiny {1, 2,, n} rozumíme zobranení p: {1, 2,, n} {1, 2,, n}, které je prosté a na. zápis permutace tabulkou: x 1 2 3 4 5 6 p(x) 4 1 3 2 6 5 zkrácený zápis: (4, 1, 3, 2, 6, 5) grafem: (šipky) rozkladem na cykly: (1, 4, 2), (5, 6), (3) zkráceně se cykly délky 1 vynechávají pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly Notace 2. s n množina všech permutací množiny {1, 2,, n} S n = n! skládání permutací - binární operace na S n!není komut. př:(1, 3, 2) (2, 1, 3)=(3, 1, 2) p 1 inverzní permutace p(i) = j p 1 (j)=i Definice 3. Transpozice je permutace s pouze jedním cyklem délky 2 a ostatní cykly mají délku 1. Každá permutace lze složit z transpozic indukcí podle cyklů délky 3 Bůno - cyklus délky k probíhající postupně čísla 1, 2,, k můžu složit jako transpozici (1, k) a cyklus délky k 1 cyklus délky k lze rozložit na k 1 transpozici pozn.: rozložení není jednoznačné Definice 4. Nechť p je permutace množiny {1, 2,, n} potom inverzí permutace p rozumíme dvojici prvků i, j {1, 2,, n} takovou, že i < j &p(i) > p(j) Příklad 5. pro p = (4, 1, 3, 2, 6, 5) tvoří (1, 4) inverzi jsou to ty šipky, které se kříží počet inverzí perm utace p Definice 6. znaménko permutace p nazveme veličinu sgn(p)=( 1) znaménko je jednoznačné určení počtu inverzí ze zápisu tabulkou: pro každé číslo se dívám, kolik je před ním větších čísel; všechna tato čísla sečtu znaménko permutace (4, 1, 3, 2, 6, 5)=( 1) 5 = 1 sgn(q p) = sgn(p) sgn(q) #křížení(q p) =#křížení(p) +#křížení(p) 2 {(i, j): i < j&p(i)> p(j)&q(p(i)) < q(p(j))} tento člen se neprojeví v argumentu nad (-1)

2 Sekce 2 Každá transpozice má znaménko -1 každá šipka protne všechny šipky mezi nimy + navíc se protnou spolu Důsledky: Znaménko permutace lze určit jako: sgn(p) =( 1) #transpozic nebo jako: #cyklů sudé délky sgn(p) =( 1) Důsledek: sgn(p 1 )=sgn(p) p p 1 = id sgn(id)=1 1.2 Determinant Definice 7. Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem T. Potom Determinant matice A je dán výrazem det(a)= n sgn(p) a i,p(i) p S n dá se dobře násobit z definice - horní trojůhelníková, 2x2, 3x3, 1x1 1.2.1 Vlastnosti determinantu det(a T ) = det(a) kde det(a T )= p S n sgn(p) n (A T ) i,p(i) = p S n sgn(p) n q = p 1 p(i) = i q(i ) = i a p(i),i = q S n sgn(q) Korolár 8. přerovnání sloupců matice A podle permutace Q { nezm ění znam énko determ inantu n i =1 a i,q(i ) = det(a) sgn(q)=1 zm ění znam énko determ inantu sgn(q)= 1 det(a ) = sgn(q) p S n sgn(p) sgn(p)sgn(q 1 ) p S n =sgn(p q 1 ) n (A ) ij = a i,q(j) ; a ij =(A ) i,q 1 (j) (A ) i,p(q(i)) = sgn(p)sgn(q)sgn(q 1 ) p S n n a i,(p q 1 )(i)= sgn(q)det(a) n a i,p(q 1 (i)) = 2 060228 Důsledky: přerovnání řádků se chová stejně, jako přerovnání sloupců

060228 3 - záměna dvou řádků změní znaménko determinantu (odpovídá transpozici... ta má znaménko -1). -jsou-li 2 řádky shodné, potom je determinant roven nule. A po záměně dvou stejných řádků => A = A det(a)= det(a ) = det(a) 2 det(a) =0 det(a)=0 -tato úvaha platí pouze v tělesech charakteristiky 2 Tvrzení 9. Determinant je lineární funkcí každého sloupce (i řádku) dané matice. búno se omezíme jen na řádky. 1. Linearita vůči skalárnímu násobku. Buď A T n n, t T, označím A matici, která vznikne z A vynásobením i-tého řádku skalárem t. det(a ) = t p S n sgn(p) p S n sgn(p) n A= n a j,p(j) = t det(a) 2. Linearita vůči sčítání A = a 11 a 1n a i1 a in i A = a n1 a nn a 11 a 1n ta i1 a n1 a nn ta in (A ) j,p(j) = ( ) sgn(p) a 1,p(1) a 2,p(2) tai,p(i) a n,p(n) = p S n ( A ) i,p(i) a 11 a i1 a n1 a 1n a in = a 11 a 1n b i1 + c i1 b in + c in a nn a n1 a nn řádku a ij =b ij + c ij pro j = 1,, n B = a 11 a 1n b i1 b in a n1 a nn C = a 11 a 1n c i1 c in det(a) = p S n sgn(p) n a j,p(j) = p S n sgn(p)a 1,p(1) b i,p(i) a n,p(n) + a n1 a nn mějme rozklad i-tého p S n sgn(p) a 1,p(1) (b i,p(i) +c i,p(i) ) ai,p(i) a n,p(n) = p S n sgn(p)a 1,p(1) c i,p(i) a n,p(n) = det(b)+det(c) Důsledek: Přičtení t-násobku j-tého řádku (nebo sloupce) k i-tému (i j) nezmění determinant A...původní matice A...pozměněná det(a )=[matice ij] +tdet[matice jj] = det(a) det(a) 0 2.0.2 Výpočet determinantu: převedením matice na odstupňovaný tvar využitím elem. operace - přičtení t-násobku j- tého řádku k i-tému....podobně jako Gaussovou eliminací NESMÍME: řádky násobit t T ; zaměňovat dvojice řádků ALE: můžeme provádět elementární operace i na sloupcích Úkol: spočtěte determinant Vandermondovy matice.

4 Sekce 3 pro různá x 1,, x n 1 2 1 x 1 x 1 n 1 x 1 2 1 x 2 x 2 n 2 x 2 1 x 3 1 x n x n 2 x n n 1 2.1 Geometrický význam determinantu matic z R n n... det(a) udává objem rovnoběžnstěnu z R n jehož hrany jsou určeny řádky (sloupci) matice A V = {x R 3 : x =α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 : α 1, α 2, α 3 0, 1 Také: je-li f lineární zobrazení f: R n R n a A je matice tohoto zobrazení (A=[f] xx ) potom se objemy těles mění podle předpisu: vol(f(v)) = det(a) vol (v) v R n Teorém 10. Nechť A a B jsou čtvercové matice stejného řádu nad tělesem T. Potom platí: det(a B)=det(A) det(b) Je-li A nebo B singulární singulární matice A... alespoň 1 řádek je lineární kombinací ostatních n úpravami které nemění determinant lze získat nulový řádek det(a)=0 součin A B je též singulární det(a B)=0 Předpokládejme, že A i B jsou regulární, rozložíe A jako součin elementárních matic A = E 1 E 2 E k det(a B) = det((e 1 E 2 E k )B) = det(e 1 (E 2 E k B)) = det(e 1 ) det(e 2 E 3 E k B) iterace = det(e 1 ) det(e 2 ) det(e k ) det(b) = inverzním postupem = det(e1 E 2 E k ) det(b) Pokud provedeme elementární operaci E n (vynásobíme) na matici (E n+1 E k B), projeví se na determinantu jako 1 násobek, pokud byla úprava vynobení nějakého řádku číslem t t 1násobek, pokud úprava byla prohození dvou řádků jinak se determinant nezmění Teorém 11. Čtvercová matice A je regulární det(a) 0 3 060307 Důsledek: det(a 1 )= 1 det(a) Značení: sloupce Nechť A ij je matice, která vznikne z matice A vypuštěním i-tého řádku a j-tého Pro libovolné i platí: det(a) = n rozvoj determinantu podle i-tého řádku a) vytýkáním prvků a ij ze vzorce pro det. ( 1) i+j det(a ij )a ij b) využitím linearity - i-tý řádek rozložím jako lin. kombinaci řádků z kanonické báze (a i1, a i2,,a in )=a i1 (1, 0,, 0)+a i2 (0, 1, 0, 0)+ + a in (0, 0,, 0, 1)

060314 5 potom: det ( A ) = a i1 det( A (1) na i-tém řádku je a i1 a in a i2 det( A (2) )+ + a in det(a (n) ) na i-tém řádku je 0 1 0... 0 na i-tém řádku je 100 0 ) + Definice 12. Pro čtvercovou matici A definujeme adjungovanou matici adj(a) předpisem (adj(a)) ij =( 1) i+j det(a ji )!!!! Teorém 13. Pro libovolnou regulární matici A nad tělesem T platí: A 1 = 1 det(a) adj(a) ( 1 prozkoumáme součin A adj(a) = det(a)i n A )= adj(a) I det(a) n i-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = rozvoj det(a) podle i-tého řádku n a ij ( 1) i+j det(a ij )=det(a) k-tý řádek A i-tý sloupec adj(a) = rozvoj determinantu v matici, kde i-tý řádek byl nahrazen k-tým řádkem...t.j. má 2 stejné řádky n a kj ( 1) i+j det(a ij )=0 Důsledek: Dcv: A R n n, celočíselná: det(a)=±1 A 1 celočíselná Určete det(adj(a)), zkuslosti na det(a) & pro regulární matice Teorém 14. (Cramerovo pravidlo) Nechť A je regulární matice. Potom řešení soustavy Ax = b lze psát jako x i = det(ai b), kde det(a) A i b je matice, která vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce vektorem b odtud Ax =b x =A 1 b= 1 det(a) adj(a)b x i = 1 n adj(a) ij b j = 1 det(a) det(a) det(a i b) 3.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Definice 15. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a f: V V je lineární zobrazení. Potom λ T pro nějž existuje nenulový vektor x V t.ž. f(x) = λx se nazývá vlastní číslo zobrazení f. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ je libovolné x V t.ž. f(x)=λx Poznámka 16. Je-li dim(v ) < potom V T n a f lze reprezentovat maticí T n n. Odtud můžeme definici rozšířít a hovorit o vlastních číslech matic & vlastních vektorech matic. Ax=λx 4 060314 Vlastní vektory příslušné stejnému λ tvoří podprostor V. f(cx) =cf(x)=cλx=λ(cx) f(x+ y)= f(x)+ f(y)=λx + λy = λ(x+ y)

6 Sekce 4 DÚ ( ) 1 1 [f] kk = 1 0 Teorém 17. Nechť f je lineární zobrazení a λ 1, λ 2,, λ n jsou navzájem různá vlastní čísla zobrazení f a x 1,, x n jsou příslušné nenulové vlastní vektory. Potom platí, že x 1, x 2,, x n jsou lineárně nezávislé. Důsledky a) různá vlastní čísla mají různé vl. vektory b) #vlastních čísel dim(v ) indukcí & sporem nechť x 1,, x k & λ 1,, λ k tvoří nejmenší protipříklad (tzn. λ 1,, λ k jsou různá, x 1,, x k LZ) k a1,,a k T a i x i =0 0= f(0)= f ( k a i x i ) 0=λ k 0 = λ k k = k a i x i = k a i f(x i ) = k a i λ k x i a i λ i x i 0 =0 0= k a i λ i x i k a i λ k x i = k (λ i λ k ) =0 pro i=k k 1 a i x i = (λ i λ k ) x 1,,x k 1 jsou LZ - spor s minimalitou a i x i 4.0.1 Vlastnosti vlastních čísel matic f: V V ; dim(v )=n; x V ; f(x) =λx [f(x)] B = [f] BB [x] B lze vzít bázi X & nalézt matici A = [f] BB [x] B vektor x V [λx] B = λ[x] B [f] BB [x] B = λ[x] B přeznačením [f] BB A [x] B x dostaneme maticovou rovnici A T n n Ax = λx x T n x λ T n Co platí pro 2 matice téhož zobrazení (vůči různým bazím) Označme báze X, Y [f] XX = A platí [f] XX = [id] YX [f] YY [id] XY matice přechodu jsou regulární označíme R = [id] XY [f] YY = B rovnost přepíšu A =R 1 BR Definice 18. Čtvercové matice A a B řádu n se nazývají podobné, pokud existuje regulární R taková, že A=R 1 BR. Teorém 19. Jsou-li matice A a B podobné a λ je vlastní číslo matice A a x je příslušný vlastní vektor. Potom λ je také vlastní číslo matice B a y = R x je příslušný vlastní vektor (pro R: AR 1 BR)

060321 7 BÚNO x je netriviální By = (RAR 1 ) B (Rx) y = R(Ax)=R(λx)=λy λ je vl. číslo B (x netriv Rx = y je také netriv.) Y je vl. vektor příslušný x Cíl k dané matici hledáme co nejjednodušší matici, která je jí podobná, pokud možno diagonální. Dcv Nalezněte vl. čísla & vektory diagonální matice Definice 20. Matice se nazývá diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici. Užití diagonalizovatelných matic A=R 1 DR a) výpočty součinu matic A n = (R 1 DR) n =R 1 DRR 1 DR R = R 1 D n R lze použít i výpočet inverze n = 1 5 060321 1. Určete vlastní čísla a vlastní vektory diagonální matice vlastní vektory... e 1,, e n d 11 0 D = d 22 kanonické báze De i = d ii e i d 11,, d nn jsou vlastní čísla. 0 d n n (0,, 0, 1, 0, 0,, 0) Vlastní čísla matice ( ) 1 1 1 0 A =R 1 DR A prostá, D diagonální. potom λ i =d ii je i-té vlastní číslo matice A (A a D jsou podobné vlastní čísla) i-tý sloupec R 1 je vlastní vektor příslušný λ i n různých vlastních čísel, potom je diagonalizova- Tvrzení 21. Pokud má matice A T n n telná. Vlastní čísla λ 1,, λ n příslušné vlastní vektory x 1,, x n sestavím matici R = x 1 x n LN R je regulární Ax i = λ i x i AR=RD matice A=RDR 1 x 1 0 0 xn t.j. různá vlastní čísla... postačující podmínka na diagonalizovatelnost. Nutná & postačující podmínka (charakterizace diagonalizovatelných matic): Tvrzení 22. Matice A T n n je diagonalizovatelná existuje n lineárně nezávislých vlastních vektorů.. existuje R: R 1 AR = D neboli AR = RD potom sloupce R jsou LN vlastní vektory. z LN vlastních vektorů sestavíme R a ta splňuje AR =RD

8 Sekce 5 5.0.2 Charakteristický mnohočlen Definice 23. Nechť A je čtvercová matice řádu n nad T. Potom charakteristický mnohočlen matice A v proměnné t je dán výrazem P A (t)=det(a t I) Příklad 24. A = ( ) 1 1 1 0 P A (t) = det ( 1 t 1 1 0 t ) =t 2 t 1 Pozorování je vždy stupně n Teorém 25. Pro matici A T n n platí: číslo λ je vlastním číslem matice A λ je kořenem charakteistického polynomu matice A - t.j. P A (λ) =0 λ je vlastní číslo matice A netriv. x takové, že Ax=λx ( netriviální x takové, že (A λi)x =0 hom. soustava x je neriv. řešení hom. soustavy s maticí A λi matice A λi je regulární det(a λi)=0 P A(λ) ) x = Ix λx = (λi)x Příklad 26. osová souměrnost A= ( 0 1 1 0 rotace o 90 : A = ) ; PA (t)= t 1 1 t =t2 1 kořeny jsou λ 1 = 1; λ 2 = 1 Tvrzení 27. Podobné matice mají stejná vlastní čísla, protože mají shodné charakteristické mnohočleny. A=R 1 BR I P A (t) = det(a ti) = det(r 1 BR t(r 1 IR )) = det(r 1 (B ti)r) = det(r 1 ) det(b ti) det(r)=p B (t) Tvrzení 28. Pro libovolné čtvercové matice A a B stejného řádu mají matice AB a BA stejná vlastní čísla Dcv: Nalezněte jednoduchý důkaz, jsou-li A, B regulární Opakování: ( I )( J P Q K L R S T Zn Zn ) ( ) = IP + JR IQ + JS KP + LR KQ + LS I,J,K,L,P,Q,R,S T ( )( ) ( ) n n AB 0 I A B 0 0 I = AB ABA B BA ( )( ) ( ) I A 0 0 0 I B BA = AB ABA B BA t.j matice ( ) ( AB 0 B 0 a 0 0 B BA Teorém 29. (Cayley-Hamilton) ) jsou si podobné protože ( I A 0 I ) je regulární (má hodnost Zn )

060328 9 Nechť A T n n a P A (t) = ( 1) n t n + a n 1 t n 1 + + a 1 t + a 0 je charakteristický mnohočlem matice A Potom platí: ( 1) n A n + a n 1 A n 1 + + a 1 A +a 0 I =0 an využijeme faktu: M adj(m)=det(m)i, za M dosadíme A ti prvky adj(a ti) jsou determinanty minorů matice A ti a to jsou mnohočleny stupně nejvýše n 1 lze adj(a ti) rozepsat jako adj(a ti) = t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + + tb 1 + B 0 kde B i je matice koeficientů u t i z prvků v adj(a ti) (rovnost polynomů... musí mít stejné koeficienty) (A ti)(t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + + tb 1 + B 0 )=det(a ti)i = P A (t)i = ( 1) n t n I +a n 1 t n 1 I + +a n ti +a 0 I ut n : B n 1 = ( 1) n I vynásobíme zleva A n ut i pro,, n 1 AB i B i 1 = a i I vynásobíme zlevaa i ut 0 AB 0 = a 0 I & sečtu vše dohromady na levé straně dostanu 0 0 = A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 + = ( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I Dcv: dokažte sami a jednoduše pro diagonalizovatelné A 6 060328 Pro dnešní přednášku se omezíme na těleso C... tzv. algebraicky uzavřené těleso... zde platí tzv. základní věta algebry Teorém 30. Každý mnohočlen stupně 1 má v tělese komplexních čísel alespoň 1 kořen Důsledek: Každý komplexní mnohočlen stupně n 1 lze rozložit na součin n jednočlenů. kde λ 1,, λ n jsou kořeny daného mnohočlenu (důkaz indukcí) p(t)=a n (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n ) Idea důkazu: p(t)=a n t n + a n 1 t n 1 + + a 1 t +a 0 i=0,,n a i C chceme λ C p(λ)=0 búno a 0 0 (jinak t = 0 je kořen) a n 0 n 1 & techn. předp. a 1 0 označme si D r = {t C: t = r} pro r R je r 0 Jak vypadá p(d r ) pro { a)r b)r 0 b) pro r 0 je p(p r ) v okolí a 0 a) r max {a i } obraz p(d r ) pro r hodně velké Zvážíme-li spojitý přechod od r 0 k r musí obraz D r pro nějaké r R obsahovat 0 kořen pokud máme A C n n, víme, že p A (t) lze rozložit na jednočleny p A (t) = (λ 1 t) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) rk

10 Sekce 6 λ 1,, λ k různé kořeny r i algebraickou násobností vlastního čísla λ i r 1 + r 2 + +r k =n p A (t)=a n t n + +a 1 t + a 0 a n = ( 1) n a 0 = det(a) dosazením 0 do P A(t) r = λ 1 r 1 λ 2 r 2 λ k k prvky na diag. A a n 1 = ( 1) n 1 (r 1 λ 1 +r 2 λ 2 + + r k λ k ) =( 1) n 1 (a 1,1 +a 2,2 + + a n,n ) Jaký člen získáme u ( t) n 1 v součinu (λ 1 t)(λ 1 t) (λ 1 t) (λ 2 t) (λ k t) tento koe- r1x ficient = λ 1 + λ 1 + + λ 1 + λ 2 + + λ n =r 1 λ 1 + r 2 λ 2 + +r k λ k r1x Jaký koef. získáme u ( t) n 1 v det(a ti)= p A (t) t n 1 lze získat pouze ze součinu odpovídající identické permutaci t.j. (a 1,1 t)(a 2,2 t) (a n,n t) (ostatní permutace p S n dají součin n který je stupně n 2 v t) koef n( t) n 1 je (a 1,1 + +a n,n ) a i,p(i) Tvrzení 31. Matice A C n n je diagonalizovatelná každé vlastní číslo λ i splňuje rank(a λ i I)=n r i (neboli dim(ker(a λ i I))=r i ) A diagonalizovatelná báze C n složená z vlastních vektorů A součty dimenží prostorů vlastních vektorů t.j. ker(a λ i I) dají dohromady n. Fakt: každá čtvercová komplexní matice je podobná matici ve tvaru Jordanovy buňky Jordanův normální tvar matice λ 1,, λ k jsou (ne nutně různá) vl. čísla Příklad 32. matice která není diagonalizovatelná A = ( ) 1 1 λ1 = λ 0 1 2 = 1 kdyby A měla být podobná nějaké D potom D = ( ) 1 0 0 1 R: R 1 AR = D neboli A=R I2 D R 1 =RR 1 = I 2 A spor Cíl: každá reálná symetrická matice má všechna vl. čísla Definice 33. Nechť A je komplexní matice, potom matici A H pro níž platí (A H ) ij = a ji nazýváme Hermitovskou transpozicí k matici A. (Někdy se značí A, konjungovaná matice) platí (AB) H = B H A H pokud je součin def. pro standardní skalární součin x y na C n platí

060405 11 x y = n x i y ī = Y H x zde sloupcové vektory vnímáme jako matice užití: ON (ortonormální) báze C n x 1,, x n sestavíme A= A H = A H A =I x 1 x n x 1 x n Definice 34. Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární pokud splňuje A H A=I Definice 35. komplexní čtvercová matice se nazývá Hermitovská, pokud je rovna své Hermitovské transpozici, t.j. A H = A Teorém 36. Tvrdím, že každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná a dokonce existuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální příště 7 060405 Teorém 37. Každá Hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, a exitstuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální Indukcí podle n (řád matice) A C n n označím A n zádladní věta algebry... vlastní číslo λ (kořen ch. polynomu) & příslušný vl. vektor x. búno vezmu x =1 & doplním x na ON bázi C n P n je unitární z těchto vektorů sestavíme pomocnou matici P n = A n P n 1 sloupecλ nás. x x (P H n A H n P n ) H =P H n A H n (P H n ) H = P H n A n P n = λ 0 0 A n 1 P H n A np n je Herm λ R & použijeme ind. předp na A n 1 tzn. unitární R n 1 : R 1 n 1 A n 1 R n 1 = D n 1 vezmu R n 4 P n 1 0 0 R n 1 označ. Sn Pozorování P n, S n unitární R n =P n S n je také unitární I R n H R n =(P n S n ) H P n S n = S n H P n H P n I S n Zbývá ověřit R H n AR n = (P n S n ) H AP n S n = S H n P H n AP n S n = 1 0 H 0 R n 1 λ 0 1 0 = λ 0 =D n 0 A n 1 0 R n 1 0 D n 1 Poznámka 38. větu lze sesílit pro tzv normální matice AA H = A H A

12 Sekce 7 interpretace v R Důsledek: Každá reálná symetrická matice má n vl. čísel (počítáno vč. násobnosti) a navíc ortogonální R t.ž. R 1 AR je diagonální...třeba ukázat reálných vlastních vektorů, ale ty jsou řešením soustavy (A λi) x = 0 reálná matice reálné řešení 7.1 SVD rozklad (singular value decomposition) Definice 39. SVD rozkladem matice A C m n nazveme součin A = SDR H kde R C n n, S C m m jsou unitární a D je nezáporná reálná (částečně) diagonální matice. Geometrický význam: Je-li f: C n C m lineární zobrazení s maticí A = [f] KK tak hledáme ON báze x = {x 1,, x n } prostoru C n a Y = {y 1,, y m } prostoru C m tak, že pro i = 1,, r f(x i )=d ii y i & f(x i )=0 jinak D = S H AR A =SDR H [f] XY = [id] KY [f] KK [id] XK [id] XK = x 1 x 2 = R [id] YK =S x n Teorém 40. Pro libovolnou A C m n vždy existuje SVD rozklad. dokonce pro A R m n vždy existuje reálný SVD rozklad Důkaz pokud by existoval A=SDR H AA H = (SDR H )(SDR H )=SDR H RD H S H = S DD H A H A =(SDR H ) H (SDR H ) =RD H DR H diagonální diagonální Konstrukce R, S: AA H.Hermitovská.podobná diag. unit. S: S D S H = AA H A H A..Hermitovská... podobná diag unit R: R D RH = A H A Konstrukce D odmocněním D nebo D Třeba ještě ukázat A=SDR H S H Užití: r = rank(a) prvních r řádků v R H (= prvních r sloupců v R)... ON báze R(A) zbylých n r řádků = zbylých n r sloupců v R... ON báze Ker(A) prvních r sloupců S... ON báze S(A) pseudoinverze A + = RD + S H kde (D + ) ii = 1 d ii pro,, r další užití... přibližná řešení soustav, statistika, numerika, komprese obrazu (!jiná než F. transf. - jpeg) 7.2 Vztah skalárního součinu & unitárních matic pozorování Nechť V je vekt. prostor se skalárním součinem konečné dimenze a X = {x 1,, x n } je jeho ON báze.

060411 13 Potom pro u,v V platí u = n v = n u v = n u v = n α i x i α i =([u] x ) i = u x i β i x i β i = ([v] x ) i = v x i α i x i n β j x j = n n α i β j x i x j u x i x i v =[v] x H [u] x u +v z = u z + v z αu v = α u v { a)=1pokud i= j b) =0pokud i j = n α i β j = n u x i x i v Tvrzení 41. Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem konečné dimenze a X = {x 1,, x n } je jeho ortonormální báze a f: V V je lineární zobrazení. Potom f zachovává skalární součin (t.j. f(u) f(v) = u v ) právě když matice [f] XX je unitární u v =[v] X H [u] X f(u) f(v) =[f(v)] H X [f(u)] X =([f] XX [v] X ) H H [f] XX [u] X = [v] X [f] XX [f] XX [u] x =I n [f] XX je unitární u v = f(u) f(v) u,v [f] XX je unit. 8 060411 8.1 Pozitivně definitní matice Skalární součin na konečnědimenzionálním prostoru X...ON báze u v =[v] x H [u] x Pozorování n Nechť V C n je prostor se skalárním součinem (ne nutně tím standardním x i y ) i potom existuje matice E taková, že u v =v H Eu vezmeme kanonickou bázi k: u=[u] k = (u 1, u 2,, u n ) T v = [v] k = (v 1,, v n ) T k = e 1, e 2,, e n e i = (0,, 0, 1, 0,, 0)

14 Sekce 8 u = n u i e i ; v = n v j e j n n n u, v = u i e i, n v j e j = u i v j e i e j =v H Eu Jaké vlastnsti musí E splňovat, aby j. bylo možné použít pro výpočet v H Eu DCV Ukažte, že pro libovolnou bázi X prostoru V konečné dimenze matice E: u v =[v] X H E[u] X Pozorování (E) ij = (E) j i Definice 42. Splňuje-li Hermitovská matice A řádu n, že pro každé x C n {0} platí x H Ax > 0 potom se A nazává pozitivně definitní matice. Poznámka 43. x H Ax 0 - pozitivně semidefinitní <, - negativně semidefinitní x1 : x H 1 Ax 1 > 0 x2 : x H 2 A 2 < 0 - indefinitní Užití pozitivně definitních matic: ve výpočtu sk. součinu (vůči různým bazím) Analýza: vyšetřování funkcí více proměnných... lokální extrémy Teorém 44. Pro Hermitovskou matici A jsou následující podmínky ekvivalentní: a) A je pozitivně defininí (tzn. x H Ax > 0 x 0 x C n ) b) A má všechna vlastní čísla kladná. c) existuje regulární matice U taková, že A =U H U (dokonce lze vzít U horní trojůhelníkovou) a) b). A Hermitovská všechna vlastní čísla jsou R nechť x C n vlastní vektor příslušný vl. číslu λ Ax = λx potom x H Ax > 0 x H Ax=λx H x x H x = n x i x i > 0 λ > 0 b) c). A Hermitovská A = R H DR kde R je unitární ^ má vl. čísla na diag. rozložím D =D D t.j A=R H D HD R = U H U pro U 4 D R... regulární protože D, R jsou také reg. c) a). netriviální x: x H Ax = x H U H Ux = (Ux) H (Ux)... součin 2 netriviálních komplexně sdružených vektorů

060411 15 Ux Ux pro std. skalární součin Dcv: Rozšiřte tvrzení pro p. semidefinitní matice,... Tvrzení 45. Pro pozitivně definitní matici existuje jediná horní trojúhelníková matice s kladnými prvky na diagonále... tzv. Choleského rozklad, která splňuje A = U H U Algoritmus pro výpočet Choleského rozkladu: vstup: Hermitovská matice A výstup: Choleského rozklad, nebo odpověď, že A není poz. definitní pro i 4 1 do n opakuj i 1 u ii = a ii u ki u ki k=1 pokud není reálná STOP A není pozitivně definitní pro j =i+1 do n projdi ( u ij = 1 a ij ) i 1 u ki u kj u ii k=1 Dcv: Ukažte, že pro pozitivně definitní matice A, B platí -A+B je pozitivně definitní -A 1 je pozitivně definitní Pozitivně definitní matice mají kladný determinant. Tvrzení 46. (Jacobiho podmínka) Hermitovská matice A řádu n je pozitivně definitní pravě když mají matice A = A 0, A 1,, A n 1 kladný determinant, A i vznikne z A umazáním posledních i sloupců a řádků. (Bez důkazu) ( ) α a Tvrzení 47. Bloková matice A = H je pozitivně definitní tehdy a jenom tehdy když α > 0 a à a matice à 1 α aah je pozitivně definitní. vezmeme libovoné x C n označíme x= x H Ax = ( x 1 x 1 x 1 x C C n 1 ) α a x H H ( a A x = x 1 α + x Ha x 1 a H + x Hà ) x 1 x = x 1αx 1 + x Hax 1 + 0 x 1 a H x + x HÃx + 1 α x Haa H x 1 α x Haa H x x H(à 1 α aah )x >0 pokud x netriv > 0 1 1 = (x 1 α + x Ha)(x 1 α + a H x) α α komplexně sdr. >0 pokud netriv. + 1. e 1 H Ae 1 = α > 0

16 Sekce 9 2. nechť x C n 1 je lib. netriv. x 1 = 1 α ah x & položím x = ( ) x 1 x Potom 0 < x H Ax =x H(A 1 α aah )x + ( α x1 + 1 x Ha)( α x1 + 1 x )=0 volbou x α α ah 1 9 060418 9.0.1 Bilineární a kvadratické formy Definice 48. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a f: V V T je zobrazení splňující: potom se f nazývá bilineární forma na V. Bilineární forma je symetrická, pokud: α T u,v V f(αu, v)=αf(u, v) u,v,w V f(u +v, w)= f(u, w) + f(v, w) α T u,v V f(u, αv)=αf(u, v) u,v,w V f(u, v + w) = f(u, w) + f(u, w) u,v V f(u, v)= f(v, u) Zobrazení g: V T se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma f t.ž. g(u) = f(u, u) u V. Definice 49. Nechť V je vektorový prostor nad T konečné dimenze a X = {u 1,, u n } je jeho báze. Pro bilineární formu f: V V T definujeme matici B formy f vůči bázi X předpisem b ij = f(u i, u j ) Maticí kvadratické formy g: V T rozumíme matici symetrické formy f, která g vytvořuje (pokud f existuje, je určeno jednoznačně, ovšem takové f nemusí existovat nad tělesem char. 2) Cauchy Počítání s maticí formy u V, [u] x =(α 1,, α n ) T g(u)= f(u, u) = f ( n Podobně f(u, v)=[u] x T B[v] x α i u i n α j u j ) = n n α i α j f(u i, u j )= n n α i α j b ij =[u] x T B[u] x Definice 50. Analytické vyjádření bilineární formy f: V V T vůči konečné bázi X je polynom f(u, v) = n n b ij x i y j kde x i, resp y j jsou souřadnice vektorů u a v vůči bázi X. (tzn. b ij jsou koeficienty z matice formy) Podobně pro kvadratickou formu dostaneme g(u)= n n j=i a ij x i x j kde a ij = { 2b ij pro i j b ii pro i= j dcv g(αu) =α 2 g(u) Lemma 51. Nechť g: V T je kvadratická forma s maticí B vůči bázi X potom B [id] T YX B[id] YX je její matice vůči bázi Y.

060418 17 [u] x = [id] YX [u] Y g(u)=[u] T X B[u] X = [u] T Y [id] T YX B B[id] YX [u]y Pozorování Matice kv. formy musí být symetrická. Teorém 52. Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem Nechť V je vektorový prostor nad R konečné dimenze a g: V R je kvadratická forma. Potom existuje báze X prostoru V taková, že matice B této formy je diagonální a prvky na diagonále splňují b ii { 1, 0, 1}. Navíc počet kladných prvků a počet záporných prvků nezávisí na volě X (tudíž je pro všechny vhodné X stejný) Poznámka 53. vektoru (#1, #0, # 1) se říká signatura formy. Příslušná báze je tzv. polární báze. a) existence. Zvolme X 0...libovolná báze V vůči ní máme matici B 0... reálná, symetrická věta o diag. unitární (ortogonální) R: Herm. matic RT B 0 R = D < diagonální. D : (D ) ii = =D TB D B je dagonální ± 1, 0 matice které určují znaménka d ii D = D TBD ( ) TB B 0 = D R 1 (D R 1 ) matice přechodu od X 0 k hledané X aby součin byl regulární dodefinuji: D ii =1pro a ii = 0 b) Důkaz jednoznačnosti značení X = {v 1,, v n }, Y = {w 1,, w n }, příslušné matice jsou B, B ve tvaru i) #0 v B = #0 v B T B = [id] XY B [id] XY obě regulární pro reg. R platí rank(a) = rank(ra) čili rank(b)=rank(b ) #0 v B = n rank(b) =n rank(b ) =#0 v B 1 0-1 -1 0 0 ii) sporem #1 v B #1 v B g(u)= { x 2 1 + x 2 2 + +x 2 2 2 r x r+1 x n pro [u] x = (x 1,, x n ) T &n = rank(b) y 2 1 + y 2 2 + + y 2 2 2 s y s+1 y n pro [u] y = (y 1,, y n ) T &n = rank(b) búno r >s potom lze vzít z Z(v 1, v 2,, v r ) Z(w s+1,, w n ) z 0 g(z) >0protože některá z prnvích r složek [z] x je nenulová & poslední n r složek jsou nulové. 0protože některá z prnvích r složek [z] y je nenulová & poslední s r složek jsou nulové.

18 Sekce 10 spor s r > s r =s 10 060425 10.1 Lineární programování Literature: skripta Tůma-Matoušek J.Rohr:Lineární algebra a optimalizace (karolinum 2004) L. Grygarová: Úvod do lineárního programování (SPN 1975) J. Dupačová: Lineární programování (SPN 1982) 10.1.1 Úloha LP - optimalizovat hodnotu lineární účelové funkce přes množinu vymezenou lineárními podmínkami Lineární účelová funkce o proměnných x 1,, x n omezující podmínky c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n { max min a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n b 2 nerovnost může být i nebo = Definice 54. Úloha LP zní: Nalezněte vektor x R n jež maximalizuje účelovou funkci c t x za podmínek Ax b (provnávání vektorů je po složkách x y i x i y i ) kde c R n, b R m, A R m n Každý vektor, který splňuje Ax b se nazývá přípustné řešení. Optimální řešení úlohy LP je libovolné přípustné řešení x pro nějž platí, že každé jiné přípustné řešení x splňuje c T x c T x. Geometrická interpretace prostor všech řešení... R n (podmínka nezápornosti nezáporný ortant) 1 podmínka... podprostor vymezený nadrovinou všechny podmínky... průnik těchto podprostorů... t.j. mnohostěn přípustných řešení účelová funkce... udává gradient. t.j. směr ve kterém se mění hodnota účelové funkce optimum... takový bod x, že celý mnohostěn přípustných řešení leží pod nadrovinou c T x=z, kde z = c T x (tzn. leží v poloprostoru c T x z) 1. x 1 0 2. x 2 0 3. x 1 x 2 2 4. x 1 + x 2 1 5. 2x 1 +x 2 7 max x 1 +2x 2 k oboru hodnot... proč jen R C, Z P nelze... nejsou uspořádané Q (stejně jako R)

060509 19 1 2 šlo by Z... přísloušné úlohy jsou tzv. celočíselné programovíní ILP Rozdíl mezi LP (lze v polinomiálním čase) a ILP (je NP těžký) geometricky Z n jsou mřížové body v R n a zaokrouhlování nemusí pomoci ( př: u proměnných x 1,, x n max x 1 + x 2 + + x n LP: i x i 0, 1... optimum x 1 =, 1 ), 2 2, T tzn c T x= n 2 za podmínky i j : x i + x j 1 ILP: i x i {0, 1}... optimum x = ( 1, 0, 0,, 0) T tzn c T x=1 Pomocí ILP lze spočítat velikost max nezávislé množiny v grafu (což je NP těžká) Převod na ILP: vrchol n i x i {0, 1} 0...nepatří do nez. 1...patří max x 1 + x 2 + + x n (u i, u j ) E ϕ : x i + x j 1 nez. množina: vrcholy, které nejsou spojeny hranou x 1 + x 2 1 x 2 + x 3 1 optimum(1, 0, 1) Různé tvary uloh LP: (neboli jak dostat tvar max c T x, Ax b) min -> max min c T x max c T x a i1 x 1 +a i2 x 2 + + a in x n b i a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i = = & = & nezápornost a i1 x 1 +a i2 x 2 + + a in x n b i a i1 x 1 + +a in x n + x n+1 =b i &x n+1 0 neom. nezáp. prom. substituce x i R xi x i x i, x i 0 Dcv: nezáporné prom nekladné prom Jaké mohou být výsledky úloh LP a) Úloha nemá optimum, protože neexistuje žádné přípustné řešení. b) Úloha nemá optimum, protože úč. funkce není omezena na mnohostěn příp. řešení Pozn: neomezenost mnohostěnu neznamená vždy nemonezenost účelové funkce c) Úloha má jednoznačné řešení d) Úloha má mnoho optimálních řešení (každý bod na úsečce je optimem) 11 060509 11.0.2 Konvexita Definice 55. Množina A R n je konvexní pokud u,v A α 0,1 α u+(1 α)v A. Množina přípustných řešení je konvexní.... plyne z libovolný průnik konvexních množin je konvexní Množina optimálních řešení je konvexní.

20 Sekce 11 Definice 56. Konvexní mnohostěn... průnik konečně mnoha poloprostorů. Hraniční nadroviny... hranice poloprostorů které vymezují mnohostěn Př: R 2... Vrchol mnohostěnu P... průnik n lineárně nezávislých hraničních nadrovin, x P...jednoznačné řešení soustavy Ax = b kde A je sestavena z rovnic vybraných n hraničních nadrovin Teorém 57. Má-li úloha LP ve tvaru Ax b optimální řešení a matice A má hodnost rovnu # proměnných, potom se optima nabývá v nějakém vrcholu mnohostěnu přípustných řešení. 11.0.3 Simplexová metoda: -postup řešení úlohy LP takový, že se prochází množina vrcholů mnohostěnu přípustných řešení tak, že účelová funkce neklesá. pozn: může trvat i exp. dlouho (klee-mintyho krychle) Motivační příklad: řešte úlohu LP: max x 1 + 2x 2 za podmínek: x 1 x 2 2, x 1 + x 2 1, 2x 1 + x 2 7, x 1, x 2 0 Výchozí tvar pro simplexovou metodu je Ax=b x 0 x 1 x 2 +x 3 = 2 x 1 + x 2 +x 4 = 1 2x 1 + x 2 +x 5 = 7 výchozí pozice... zvolím hodnoty 2 volných proměnných tak, aby zbylé byly nezáporné. nabízí se x 1, x 2 =0, vyjádřím bázické proměnné pomocí volných. -> x 3 = x 1 + x 2 +2 x 1 2 x 4 = x 1 x 2 + 1 x 1 neomezuje x 5 = 2x 1 x 2 + 7 x 1 7 2 z = x 1 + 2x 2 -snažím se ho maximalizovat vybereme jednu z proměnných na které úč. fce závisí v přímé úměrnostni s kladným koeficientem a určím, která ze stávajícíh rovnic nejvíce omezuje hodnotu této proměnné z podmínky, která nejvíce omezuje x 1 vyjádřím x 1 pomocí x 3 a dosadím -> x 1 = x 3 +x 2 + 2 x 4 = x 3 +3 x 5 = 2x 3 3x 2 +3 z = x 3 +3x 2 +2 Výchozí tvar pro simplexovou metodu: max c T x za podmínek Ax =b, x 0 kde A je matice řádu m n m n a rank(a) =m

060509 21 pokud n m proměnným přiřadíme hodnotu 0 a sloupce odpovídající zbylým proměnným jsou LN (n m... volné prom., m... bázické), potom jsou hodnoty zbylých m proměnných určené jednoznačně. Definice 58. Nechť max c T x, Ax = b, x 0 je úloha LP, kde A R m n, b R m, c R n a rank(a) = m. Nechť dále B {1, 2,, n} je množina indexů velikosti B = m taková, že matice A B sestává ze sloupců matice A určených indexy z množiny B je regulární. Jestliže existuje přípustné řešení x takové, že x i = 0 pro i B tak potom x se nazývá bázické přípustné řešení určené bází indexů B. A A B B {1,, n} { xb.(x 1, x 3, x 5 ) chceme 0 x N.(x 2, x 4 )=0 B = {1, 3, 5} B = {3, 4, 5} X B = (2, 1, 7) T 0 (x 3, x 4, x 5 ) X N = (0, 0) T =0 (x 1, x 2 ) x = (0, 0, 2, 1, 7) bázické přípustné řešení pro B = {3, 4, 5} B = {1, 3, 4} x 2 = 0 x 5 = 0 => x 3 < 0... příslušné x 1,, x 5 není přípustné řešení => B není přípustná báze Pozorování I různé báze mohou dát stejné bázické přípustné řešení Příklad 59. x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 4 = 1 x 1 +x 2 + x 5 = 2 B = {1, 2, 3} B = {1, 2, 4} -> dávají stejné bázické přípustné řešení x=(1, 1, 0, 0, 0) T úloha Ax = b x 0 odvozenou z A x b m podmínek... n proměnných... n proměnných (t.j. n=n + m) když zvolím n m volných složek ve vektoru x BÚNO zvolím jen pomocné proměnné A B je regulární...*1 x je přípustné...*2 x je přípustné bázické řešení v původní úloze si zvolím n m hraničních nadrovim & hledám jejich průnik *1...průnik je jednoznačný *2...průnik je v mnohostěnu

22 Sekce 12 x je vrcholem mnohostěnu přípustných řešení. Lemma 60. Báze B určuje bázické přípustné řešení A B 1 b 0 x je řešení... Ax=b A B 1 Ax=A B 1 b A B 1 A B =I n x B = I n x B =A B 1 A B x B = A B 1 b 0 x N = 0 tzn. vektor A 1 B b určuje bázické složky býzického příp. řešení určeného bází B a ty musí být nezáporné. 12 060516 Definice 61. Pro úlohu LP a přípustnou bázi B definujeme simplexovou tabulku následovně: B A b c t z, kde matice podmínek A b je upravena elementárními úpravami tak, aby A B = I a navíc aby řádek c T z byl upraven tak, aby c B =0 (t. j. c i =0 pro i B ) Příklad 1. B = {3, 4, 5} A B = I 3 1-1 1 0 0 2 4-1 1 0 1 0 1 5 2 1 0 0 1 7 1 2 0 0 0 0 c B T b 3 Značení: řádky simplexové tabulky budeme indexovat prvky báze B kolik je hodnota účelové funkce za f(x) =c T x dáme na začátku do simplexové tabulky řádek c T 0 c T x= f(x)=0 co se stane, když elementární úpravou získáme c T z c T x= f(x) z = 0 f(x)=z c B = 0...tak počítáme s.t. x N =0...to je volba báz. příp. řešení } >c T x=0 Simplexový algoritmus 0. Nalezni nějaké bázické přípustné řešení a sestav simplexovou tabulku. opakuj: 1. Jestliže c j 0 pro j B potom STOP...bázické řešení je optimální, jinak zvol j B: c j > 0 2. Jestliže a kj 0 pro k B potom STOP...účelová fce je neomezená b jinak zvol i B: i = min { bk, kde a a ij a kj > 0,k B} kj 3. Polož B 4 B {j}\{i} a uprav simplexovou tabulku vzhledem k nové bázi. Příklad 62. 3 1-1 1 0 0 2 4-1 1 0 1 0 1 5 2 1 0 0 1 7 1 2 0 0 0 0

060516 23 1 4 5 1-1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 3 0 3-2 0 1 3 0 3-1 0 0-2 Pozorování elementární úpravy nemění prostor řešení t.j. simplexová tabulka popisuje stále stejnou úlohu LP Lemma 63. 3. krok je korektní, neboli nová báze je opět přípustná. B půl báze B nová báze podobně A, A, b, b stačí ukázat b 0: pro i: b i 0&a ij > 0 b i = bi a ij 0 pro k B, b i: b k = b k a kj b i a ij 0 protože bk bi volbou i. a kj a ij Lemma 64. 2.krok jee korektní, neboli úloha LP je neomezená jakmile c j >0 a a kj 0 pro k B nechť x je bázické příp. řešení k akt. bázi zvol y: y j = 1 y k = a kj pro k B y l=0jinak 1. y 0 x+ty 0 pro t 0 2. A(x +ty)=ax+t (A y ) 0 volbou y. na kterém řádku dostaneme a kj1+1a kj=0 =b+t0=b x +ty je příp. řešení 3. f(x +ty) =z +c T x =0 + tc T y = z + tc j + Lemma 65. 1. krok je korektní, neboli jakmile c 0 tak potom příslušné bázické řešení je optimální. Pro všechna x 0 musí platit c T x 0 f(x) =z +c T x z = f(x ) Dokončení: 0. krok lze vyřešit simplexovou metodou na pomocnou úlohu. Původní úloha: max c T x: Ax=b, x 0 búno b 0 jinak vynásobíme přísl. řádek 1 pomocná úloha min y i : Ax + I y = b, x, y 0 pokud opt=0 y = 0& přípustná báze vybírá jen indexy vektoru x opt>0 žádné příp. řešení x. Poznámka 66. různá pravidle jak vybrat nejlepší i a j např. tzv. Blandovo pravidlo (nejmenší možné i& j)... ukazuje konečnost simpl. metody Dualita lineárního programování x 1 x 2 2 příklad LP(P) max x 1 +2x 2 : x 1 + x 2 1 ; x 1, x 2 0 2x 1 + x 2 7 lze nějak odhadnout hodnotu účelové funkce 2x 1 + x 2 7 4x 1 + 2x 2 14 f(x) =x 1 + 2x 2

24 Sekce 12 lépe: 2. a 3. nerovnost dohromady f(x)=x 1 +2x 2 x 1 + x 2 + 2x 1 + x 2 1++7=8 Obecně: pro úlohu LP max c 1 x 1 + +c n x n a 11 x 1 + +a 1n x n b 1 y 1 a m1 x 1 + + a mn x n b m y m takové, aby c j a 1j y 1 + + a mj y m pro,,n a navíc aby y 1 b 1 + + y m b m bylo co nejmenší protože pro libovolné přípustné x získáme odhad: ( ) e T x= n c j x j n m a ij y i x j = m ( n a ij x j ) y i m b i y i = b T y Definice 67. Pro úlohu LP: max c T x, Ax b, x 0, tzv. primární úlohu (p) definujeme tzv. duální úlohu jako min b T y: A T y c, y 0. Příklad 68. k (p) dostáváme (d) min 2y 1 + y 2 +7+ y 3 : y 1 y 2 +2y 3 1 y 1 + y 2 + y 3 2 y 1, y 2, y 3 0 x =(2, 3) T y =(0, 1, 1) T c T x = b T y =8 Teorém 69. Nechť (P) a (D) jsou vzájemě duální úlohy LP potom platí BUĎ obě mají přípustná řešení a potom platní c T x =b T y pro optima x, y. NEBO jedna z úloh nemá příp. řešení a druhá je pak neomezená nebo také nepřípustná. Bez Důkazu