9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie pravděpodobosti rozdělují a dva typy: zákoy velkých čísel a tzv. klasické (cetrálí limití věty. Obsah zákoa velkých čísel lze zhruba popsat takto: Nechť jsou áhodé veličiy X,..., X,... defiovaé a stejém pravděpodobostím prostoru (Ω, A, P. Utvoříme-li posloupost aritmetických průměrů {Y = i= [X i E(X i ]}, ztrácí prvky této poslouposti s rostoucím svůj áhodý charakter a blíží se ule v ásledujícím smyslu: lim P( Y ε = 0, ε > 0. Aritmetické průměry Y = i= [X i E(X i ] se pro velká chovají jako kostata ula. Obsahem cetrálích limitích vět je tvrzeí, že distribučí fukce F Y součtů áhodých veliči Y = i= X i kovergují za určitých předpokladů pro k distribučí fukci ormálího ebo Poissoova rozděleí. Vzhledem k rozsahu tohoto učebího textu se omezíme a jedodušší případy a ěkteré věty uvedeme bez důkazů. 9.. Slabý záko velkých čísel V dalším textu budeme předpokládat, že všechy uvažovaé áhodé veličiy jsou defiováy a stejém pravděpodobostím prostoru (Ω, A, P. Defiice 9. [kovergece podle pravděpodobosti] Říkáme, že posloupost áhodých veliči X, X 2,... koverguje podle pravděpodobosti k áhodé veličiě X, platí-li pro každé ε > 0 ebo ekvivaletě lim P( X X ε = 0, lim P( X X < ε =. Ozačujeme: X P X pro. 83
Defiice 9.2 Řekeme, že se posloupost áhodých veliči {X } řídí slabým zákoem velkých čísel, jestliže posloupost {Y = [X j E(X j ]} koverguje podle pravděpodobosti k ule, tj. jestliže ( lim P [X j E(X j ] ε = 0, ε > 0. ( V dalších větách jsou uvedey ěkteré postačující podmíky pro to, aby se posloupost {X } řídila slabým zákoem velkých čísel. IX.3 Věta. [Čebyševova] Nechť {X } je posloupost po dvou ezávislých áhodých veliči, které mají stejoměrě omezeé rozptyly, tj. existuje číslo c 0 ezávislé a takové, že var(x c, N. Potom se posloupost {X } řídí slabým zákoem velkých čísel, tj. [X i E(X i ] P 0 pro. i= Důkaz. Ozačme Y = X j, N. Potom E(Y = E(X j a podle Čebyševovy erovosti ( 0 P( Y E(Y ε = P X j E(X j ε var(y = var( X j = var(x j c ε 2 ε 2 2 ε 2 2 ε = c 2 ε 0 pro. 2 V praxi se užívají ásledující dva důsledky Čebyševovy věty. IX.4 Věta. [Beroulliho] Nechť je áhodá veličia Y rova počtu úspěchů v poslouposti ezávislých alterativích áhodých pokusů takových, že v každém pokuse astae úspěch s pravděpodobostí p (0,. Pak pro posloupost { Y } relativích četostí úspěchů v pokusech platí Y P p pro. IX.5 Věta. [o aritmetickém průměru] Nechť {X } je posloupost po dvou ezávislých áhodých veliči, které mají stejé středí hodoty a stejoměrě omezeé rozptyly, tj. Potom E(X = a, var(x b, N, a R, 0 b <. X P j a pro. Marek, J.: Pravděpodobost a matematická statistika 84
IX.6 Věta. [Markovova] Nechť posloupost áhodých veliči {X } splňuje podmíku [ ( ] lim var X 2 j = 0. Pak pro libovolé ε > 0 platí ( lim P [X j E(X j ] ε = 0, tj. posloupost se řídí slabým zákoem velkých čísel. Důkaz. Užitím Čebyševovy erovosti obdobě jako v důkaze Čebyševovy věty ( ( 0 P [X j E(X j ] ε = P X j E(X j ε var( X [ j = ( ] ε 2 ε 2 var X 2 j 0 pro. IX.7 Věta. [Chičiova] Nechť {X } je posloupost ezávislých áhodých veliči, které mají stejé rozděleí pravděpodobostí s koečou středí hodotou E(X = µ, N. Potom pro libovolé ε > 0 platí ( lim P X j µ ε = 0, tj. X j P µ pro. 9.2. Klasické (cetrálí limití věty V úvodu kapitoly jsme popsali obsah cetrálích limitích vět teorie pravděpodobosti. Jsou to věty, které formulují předpoklady uté k tomu, aby distribučí fukce součtů X j áhodých veliči kovergovaly pro k distribučí fukci ormálího ebo Poissoova rozděleí. Tyto věty se často užívají v matematické statistice a v růzých aplikacích počtu pravděpodobosti (apř. ve stochastických metodách. IX.8 Věta. [cetrálí limití] Nechť {X } je posloupost ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči s koečou středí hodotou µ a s koečým eulovým rozptylem σ 2. Potom posloupost distribučích fukcí ormovaých součtů Z = X k E( k X k var( X = (X k µ k σ, IX Limití věty. 85
koverguje a R k distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí N(0,, tj. ( lim P (X k µ σ x = x e t2 2 dt = Φ(x, x R. 2π (2 Pozámka. Tvrzeí věty formulujeme stručě takto: Náhodá veličia Z koverguje pro k áhodé veličiě X N(0, v distribuci. Zapisujeme L (Z L (X. Rychlost kovergece ve vztahu (?? určuje tzv. Berry-Esséova erovost ozačíme-li symbolem F (x distribučí fukci áhodé veličiy Z z věty??, platí F (x Φ(x 0.7975 E X i µ 3 σ 3, x R. Řád přiblížeí k distribučí fukci Φ(x ormovaého ormálího rozděleí je O( 2. Při pevém je aproximace tím lepší, čím meší je charakteristika σ 3 E X i µ 3 společého rozděleí áhodých veliči X, X 2,.... IX.9 Věta. [itegrálí věta Moivreova Laplaceova] Nechť áhodá veličia Y má N biomické rozděleí Bi(, p. Ozačme F (x distribučí fukci áhodé veličiy Potom platí Z = Y p p( p. lim F (x = x e t2 2 dt = Φ(x, x R. 2π Důkaz. Tvrzeí plye ihed z věty??. Y = k= X k, kde X,..., X jsou ezávislé áhodé veličiy se stejým alterativím rozděleím. µ = E(X k = p, σ 2 = var(x k = p( p (0,. Normovaé součty 4 Z odpovídají ormovaým součtům v citovaé větě. Pozámka. Je-li Y Bi(, p, lze v praxi často užít toho, že pro dostatečě velká má áhodá veličia Z = Y p, p( p přibližě ormálí rozděleí N(0,, ebo jiak formulováo, že pro velká má biomická áhodá veličia Y přibližě ormálí rozděleí N(p, p( p. Marek, J.: Pravděpodobost a matematická statistika 86
Tato tvrzeí o asymptotické ormalitě biomického rozděleí se často užívají v aplikacích, apř. pro výpočet pravděpodobostí ( p k ( p k k = P ( P(Y y = k y Y p p( p y p p( p (. = Φ y p, p( p je-li velké. Aproximace se považuje za vyhovující, je-li p( p > 9, < p <, viz [?, str. 36]. + + Příklad 9.0 (viz [?, str. 90] Mějme geerátor, který vytváří áhodě a ezávisle číslice a 0 se stejou pravděpodobostí. Vytvořme posloupost 0 4 těchto cifer. Jaká je pravděpodobost (při- 2 bližě, že četost jediček bude v mezích 4900 až 500? Ozačme Y četost jediček v uvedeé poslouposti, Y Bi( = 0 4, p =. Tedy E(Y = p = 5000, var(y = p( p = 2500, 2 var(y = 50. Nerovost, která ás zajímá, 4900 Y 500, je rovoceá erovosti Y 5000 50 2. Ozačme Z = Y 5000 50 ormovaou áhodou veličiu. Podle předchozí pozámky dostaeme výsledek P(4900 Y 500 = P( Z 2. = 2Φ(2 = 0.9445. Numerickou hodotu posledího výrazu ajdeme pomocí tabulek hodot distribučí fukce Φ(x rozděleí N(0,. Příklad 9. (viz [?, str. 90] Bylo sečteo 300 čísel zaokrouhleých a jedo desetié místo. Vyšetřujme chybu tohoto součtu, která vzikla zaokrouhleím sčítaců. Zaokrouhlovací chyba jedoho sčítace epřesáhe 0.05 v absolutí hodotě. Výpočetí zkušeost však ukazuje, že chyba součtu bude zpravidla mohem meší, eboť chyby ze zaokrouhleí se mohou vzájemě kompezovat. Předpokládejme, že zaokrouhlovací chyby X k, k =,..., 300, jedotlivých sčítaců jsou ezávislé áhodé veličiy, které mají rovoměré rozděleí a itervalu ( 0.05; 0.05. Tedy µ = E(X k = 0, σ 2 = var(x k = 200. Chyba součtu je pak Y 300 = 300 X k, ormovaá chyba Z 300 = Y 300 300 200 = 2Y 300 IX Limití věty. 87
a tato veličia má (přibližě ormovaé ormálí rozděleí. Pravděpodobost, že chyba součtu epřekročí v absolutí hodotě daé číslo ε > 0 je tedy P( Y 300 ε = P( Z 300 2ε. = 2Φ(2ε. Aproximace biomického rozděleí rozděleím ormálím je ejlepší pro p blízká. Při malých hodotách p ebo při hodotách p 2 blízkých tato aproximace eí dobrá (její zlepšeí dosáheme pouze zvyšováím a je třeba užít aproximace biomického rozděleí rozděleím Poissoovým. IX.2 Věta. [Poissoova] Uvažujme ásledující posloupost ezávislých sérií pokusů: V -té sérii je ezávislých alterativích pokusů takových, že v každém pokuse astae jev A (úspěch s pravděpodobostí p (0,. Nechť áhodá veličia X je rova počtu úspěchů, které astaly v -té sérii. Jestliže lim p = 0, pak [ ] lim P (X = k e λ λk pro k = 0,,..., kde λ = p. Důkaz. P(X = k = = 0, ( p k k ( p k, k = 0,,...,, N. Uvažujme pevé k a pevé ε > 0. Protože platí existuje A > 0 takové, že x k x e x k lim x x e 2 = 0, ε 2, pro x A. (3 2 Ozačme B = { : 2k, p A}. Protože x < e x pro 0 x, platí pro B ( ( k + P(X = k = p k ( p k = ( = ( 2 ( k (p k e p ( k (p k (p k ( p k e p 2 ε 2, (4 Marek, J.: Pravděpodobost a matematická statistika 88
kde jsme použili vztah (?? a defiici možiy B (odkud vyplývá implikace k 2 k 2. Na druhé straě pro B platí vzhledem k (?? (p k e p < (p k e p 2 ε 2. (5 Ze vztahů (??, (?? vyplývá, že pro B je P(X = k (p k e p ε 2 + ε 2 = ε. Nechť B 2 = { : p < A}. Platí P(X = k = (p k ( p ( ( 2 k (. ( p k Protože pro B 2 posledí zlomek v tomto výrazu koverguje k pro a protože pro tato platí [( p ] e p = 0, lim B 2 je tím dokázáo tvrzeí věty. Na základě tvrzeí Poissoovy věty se ahrazuje pravděpodobostí fukce biomického rozděleí takto ( Y Bi(, p P(Y = k = p k ( p k. (p k = e p, k = 0,,...,. k Aproximace se považuje za vyhovující, je-li > 30, p 0. (viz [?, str. 69]. Příklad 9.3 (viz [?, str. 45] Dělice v přádelě obsluhuje 800 vřete. Pravděpodobost toho, že se příze přetrhe během časového itervalu délky t, je pro každé vřeteo stejá a rova 0.005. Určete ejpravděpodobější počet přetržeí příze během itervalu délky t. Je tedy = 800, p = 0.005, λ = 4. Podle Poissoovy aproximace (p malé, velké jsou dva ejpravděpodobější počty přetržeí, a to 3 a 4 (víte proč?. P(X 800 = 3 =. 43 3! e 4 = 0.954 = 44. 4! e 4 = P(X800 = 4. Pravděpodobost, že počet přetržeí během itervalu délky t je ejvýše 0, je rova P(X 800 0 =. 4 k e 4. k= 0.9976 P(X 800 0 0.99724. IX Limití věty. 89
Příklad 9.4 Do opevěé oblasti protivíka se shodí 00 sérií bomb. Nechť je při jedé sérii středí hodota zásahu rova 2 a středí kvadratická odchylka je,5. Je třeba určit přibližě pravděpodobost toho, že při shozeí 00 sérií do oblasti spade 80 až 220 bomb. Celkový počet zásahů je 00 X = X + X 2 + + X 00 = X i, kde X i je počet zásahů v i-té sérii. Podmíky cetrálí limití věty jsou splěé, protože veličiy X ; X 2 ;... X 00 mají stejé rozděleí. Počet = 00 budeme považovat za dostatečý pro použití cetrálí limití věty. Pak 00 mx = X i = 200, 00 i= P (80 < X < 220 = Φ i= 00 D i =,5 2 = 225, i= i= ( ( 220 200 80 200.= Φ 0,82. 225 225 Marek, J.: Pravděpodobost a matematická statistika 90