2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1
Prut: konstrukční prvek, jehož jeden roměr (délka) převládá nad ostatními. h l >> h l >> b l b Průře: příčný ře prutu Střednice: čára tvořená těžišti průřeů prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí. 2
Prostorový prut - střednice je prostorová křivka nebo lomená čára Rovinný prut - střednice je rovinná křivka nebo lomená čára Primatický prut - přímý prut konstantního průřeu osa Obecný prut - akřivený, proměnného průřeu 3
Nosník = podepřený prut Př: Prostý nosník Prostý nosník s převislými konci Konolový nosník, konola, krakorec 4
Nosníky přímé obloukové lomené prutové soustavy 5
2.2 Vnitřní síly prutu L Prut v rovnováe (reakce a atížení... rovnovážná soustava sil) P rodělíme fiktivním řeem na 2 části L a P by každá část byla v rovnováe, musí v řeu působit síly a momenty: F P, M P... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy F L, M L... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy M L kce a reakce: L M P F P F L P F P = -F L M P = -M L 6
V y F P Ve koumaném řeu avedeme lokální souřadný systém -y-; osa tečna ke střednici, y, normály M y y V N T=M M P M Vntiřní síly prutu Vektory F P a M P roložíme do složek: F P = N... normálová síla [N] F Py = V y... posouvající síla [N] F P = V... posouvající síla [N] M P = T = M... kroutící moment [Nm] M Py = M y... ohybový moment [Nm] M P = M... ohybový moment [Nm] 7
Kladná orientace vnitřních sil Záporně orientovaný průře (vidíme e směru áporné poloosy ) F L = -F P F P M L = -M P M y M y V y V N T T N V M L M y Kladně orientovaný průře (vidíme e směru kladné poloosy ) kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnicovými osami M P M F L y V y kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy 8
Rovinný prut atížený v rovině g g Pokud: 1) střednice - rovinná křivka 2) vnější síly (atížení a reakce) - rovnovážná soustava v rovině střednice jednodušení vnitřních sil: V y = 0 T = M = 0 podmínek rovnováhy oddělené části y Μ V N Vnitřní síly: N... normálová síla [N] V = V... posouvající síla [N] M y = M... ohybový moment [Nm] 9
Kladná orientace vnitřních sil g g M V N N V M Kladně orientovaný průře (vidíme e směru kladné poloosy ) Záporně orientovaný průře (vidíme e směru áporné poloosy ) 10
Příklad 1: Určete vnitřní síly v průřeu rovinného nosníku. 11
12
Příklad 2: Určete vnitřní síly v průřeu prostorového nosníku. 13
14
15
2.3 Sřednicový model rovinného prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí. 16
Zatížení prutu/nosníku Pruty modelujeme jejich střednicí veškeré síly působící na konstrukci (atížení i reakce) redukujeme ke střednici Příklady: h h 2 F h/2 h/2 h B osamělé síly/reakce v redukujeme k těžišti průřeu, ve kterém působí F h F F 2 v h B 17
f f f d m = f d spojité momentové atížení [Nm/m] 18
f f = f sinα f = f cosα d α f = f cosα f = f sinα m = f cosα d 19
F F F d 1 d 1 atížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku d 2 d 2 F F M 2 = F d 2 M 1 = F d 1 20
f F = f d 2 atížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku d 2 d 2 F = f d 2 M s =F 21
Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.) osa... vždy tečná ke střednici prutu osa... preferujeme ve směru emské tíže (shora dolu) nebo leva doprava - pravotočivá soustava souřadnic někdy též * "spodní" vlákna (stranu) prutů onačujeme čárkovanou čarou 22
2.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřeu prutu (rovinná složená sousava) Určete vnitřní síly v průřeu. F f 1 1) Prut vyjmeme e soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (atížení a reakce) F F R1 f 2 h v B h B v 23
2) Prut rodělíme řeem na části L a P a do řeu avedeme nenámé vnitřní síly. h v F F R1 h v F L M V N N M V F R1 P B h B h B v B v 3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil. 24
3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řeu určíme podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P: h v F F R1 h v F L M V N N M V F R1 P Bv B h L: h, v, F, N, V, M... musí být v rovnováe Bv B h P: B h, B v, F R1, N, V, M... musí být v rovnováe * ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) kontrola výsledku! 25
3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řeu určíme podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřeu: F F V M M N F R1 h h v L v N L P L V P B h h, v, F jsou ekvivalentní N, V, M působícím na P B v B h, B v, F R1 jsou ekvivalentní N, V, M působícím na L * ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) kontrola výsledku! 26
Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řeech, B, C dané konstrukce. F 2 = 2 kn f = 1,5 kn/m B C F 1 = 8 kn 3 3 2 2 4 (m) Reakce: 2 6 4 4 3 6 8 3 8 4 4 5 (kn) 9 27
Průře : Výpočet rovnováhy oddělené části prutu "leva" N M V N + 5 = 0 N = 5kN 8 V + 4 8 + 8 = 0 V = 4 kn 8 4 M + 4 6 8 6 + 8 3 = 0 M = 0kNm 3 3 5 (m, kn) 28
Průře : Výpočet rovnováhy oddělené části prutu "prava" V 2 1,5 4 4 N M 3 N + 6 3+ 2 = 0 N = 5kN 2 2 V + 4 = 0 V = 4 kn (m, kn) M + 4 3 6 2 = 0 M = 0kNm 29
Průře : Výpočet ekvivalence vnitřních sil a sil působících na oddělenou část prutu "leva" V 8 M N = 5kN N 8 5 4 3 3 (m, kn) V = 4 + 8 8 = 4kN M = 4 6 + 8 6 8 3 = 0kNm Pon.: oproti výpočtu rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice... rychlejší výpočet 30
Průře B: Výpočet rovnováhy oddělené části prutu "leva" 2 B M B N B N + 4 8 + 8 = 0 N = 4 kn B B 8 8 V B 4 3 3 V 5 + 2 = 0 V = 3kN B B M + 4 6 8 6 + 8 3+ 2 0 = 0 M = 0kNm B B 5 (m, kn) 31
Průře B: Rovnováha ve styčníku V N V B 2 M B B N N B V = 0 N B = V = 4kN B VB + N + 2 = 0 VB = N 2 = 3kN M (m, kn) M M = 0 M = M = 0kNm B B 32
Průře C: 2 1,5 2 C M C N C 8 8 4 V C 3 3 5 (m, kn) 2 N + 4 8 + 8 = 0 N = 4 kn V 5 + 2 + 3 = 0 V = 0kN C C M + 4 6 8 6 + 8 3+ 2 2 5 2 + 3 1 = 0 M = 3kNm C C C C 33
Průře C: (alternativní výpočet): N B V B 1,5 2 C M C N C M B 2 V C (m, kn) N N = 0 N = N = 4 kn C B C B V V + 3 = 0 V = V 3 = 0kN C B C B M M V 2 + 3 1 = 0 M = 3kN C B B C 34
2.5 Vnitřní síly v průřeu vs. vnitřní síly v bodě střednice V bodech, kde se mění tvar střednice (a) stýká více prutů (e) působí osamělá síla či moment (b, c) je umístěna vaba (d) mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodech je třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřeech. a b c d e 35
Vi předchoí příklad: Určete vnitřní síly v bodě a. V bodě a leva průře V bodě a prava průře B 8 2 a 6 3 4 M 8 N V 8 2 B M B V B N B 8 4 8 4 8 4 5 (m, kn) N V M 5 = 5kN = 4 kn = 0kNm N V B M B 5 = 4 kn = 3kN B = 0kNm 36
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední revie: 22.2.2011 37