INVESICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Zpracování signálů pro diagnostiu a jeho apliace Učební tety semináři Autoři: Ing. Jindřich Liša, Ph.D. ZČU v Plzni Datum: 0.. 00 Centrum pro rozvoj výzumu poročilých řídicích a senzoricých technologií CZ..07/.3.00/09.003 ENO SUDIJNÍ MAERIÁL JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A SÁNÍM ROZPOČEM ČESKÉ REPUBLIKY
OBSAH Obsah... 3. Úvod - motivace pro signálovou analýzu v časo-frevenční oblasti... 4. Metody časo-frevenční analýzy... 7.. Krátodobá Fourierova transformace a spetrogram... 7.. Heisenbergův-Gaborův princip neurčitosti....3. Wavelet transformace... 3.4. Wigner-Villeova distribuce... 5.5. Oamžitá frevence a omplení signál... 9.6. Hilbertova-Huangova transformace HH... 5.7. Využití Kalmanova filtru modální deompozici signálu... 3.8. Analýza jednoduchých signálů... 44 3. Případové studie využití časo-frevenčních metod pro diagnostiu... 50 3.. Systém pro deteci volných částí v primárním oruhu jaderných eletráren - LPMS... 50 3.. Systém pro deteci volných částí ve spalovací omoře plynových turbín 53 Seznam použité literatury... 57 3
. ÚVOD - MOIVACE PRO SIGNÁLOVOU ANALÝZU V ČASO- FREKVENČNÍ OBLASI V mnoha průmyslových zařízeních je vzhledem náladům spojeným s jejich opravou vlivem případné poruchy laden velý důraz na jejich monitorování a diagnostiu. Včasné odhalení závady a její odstranění v raném stádiu vzniu je ta nemalou eonomicou výhodou pro provozovatele zařízení. Průmyslová zařízení lze z pohledu diagnostiy rozdělit na ta, de je stav zařízení monitorován řídce - v delších časových intervalech - a na ta, terá je potřeba monitorovat permanentně - online. Druhá supina zahrnuje systémy, u nichž je eonomicy výhodné zařízení sledovat a včasnou detecí vzniajícího pošození ta zabránit rozsáhlejším šodám na zařízení. U systémů jao jsou jaderné eletrárny je požadave na instalaci diagnosticých systémů ještě umocněn bezpečnostními a eologicými riziy, terá jaderná eletrárna v případě havárie představuje. Algoritmy a metody používané v diagnosticých systémech mají své ořeny zhruba v polovině minulého století, dy vznily první potřeby monitorovat a diagnostiovat stav provozovaných zařízení. Implementace metod byla omezena především dostupným analogovým hardwarem. Z toho plynoucí zjednodušení algoritmů a často podstatná reduce dostupné informace o stavu zařízení jsou největšími omezeními těchto "analogových" metod, teré jsou v celé řadě systémů používány dodnes. V dnešní době lze využít dostupné technologie a "digitalizovat" diagnosticé metody ta, abychom opět zjemnily jejich rozlišení a pousili se z měřených signálů zísat co nejvíce informací o provozním stavu zařízení. Časo-frevenční analýza je jednou z oblastí, terá pro svoji výpočetní náročnost nebyla v diagnosticých systémech využívána a nebyla tudíž taovým metodám věnována pozornost. Následující tet čtenáři přiblíží něteré apliace, pro teré se podařilo navrhnout a implementovat metody založené na časofrevenčním zpracování signálů a významně ta vylepšit schopnosti diagnosticých systémů. Diagnosticá měření využívají identifiaci jevů s rozmanitou podstatou. Patří sem monitorování vibrací, teplotních jevů, vnějších a vnitřních úniů, vzniu a růstu trhlin, monitorování únavových jevů atd. U jaderných reatorů je z bezpečnostních důvodů taé vyžadována detece volně se pohybujících částí, 4
jejichž přítomnost by mohla mít, z hledisa životnosti, nežádoucí vliv na stav chladicího oruhu nebo by mohla vést pošozením v tlaové nádobě reatoru. Pro potřeby tohoto tetu využijme vibračních signálů nárazů volných částí jao názorný přílad problematiy, ve teré je vhodné zoumat vlastnosti signálů v časové a frevenční oblasti současně. Volné části loose parts vzniají nejčastěji uvolněním namáhaných součástí chladícího oruhu, jao jsou různé matice, části šroubů, části zajišťující laminaritu proudění chladiva atd. Systém monitoringu volných částí Loose Part Monitoring System - LPMS disponuje sítí senzorů, teré snímají vibrace parogenerátorů, tlaové nádoby, čerpadel a dalších významných armatur. Je jedním z diagnosticých systémů DS, de využití časo-frevenční analýzy významně vylepšilo výsledy monitoringu. DS umožňuje včas odhalit nebezpečné volné části a předejít ta nepříjemným problémům s pošozením např. palivových článů nebo potrubí výměníu v parogenerátorech. Přímé metody detece u jaderných zařízení téměř nepřipadají v úvahu - hlavně vůli vysoé radioativitě a teplotě sledovaného zařízení. Pro diagnostiu volných částí se tedy využívá nepřímá metoda - detece šíření napěťových vln z místa nárazu uvolněné části. Napěťová vlna se šíří materiálem a je snímána v různých vzdálenostech od nárazu. Pro snímání jsou použity velmi odolné piezoacelerometry, teré jsou pomocí ocelových pásů, silných magnetů nebo šroubů připevněny z vnější strany e ovovým stěnám sledovaných částí oruhu. Prvotně je tedy snímána vlna či zvu šířící se pevnými částmi zařízení něm. Körperschall; angl. structure-born sound a šíření vlnění chladicím médiem či vzduchem je zanedbáno. Vlastnosti austicého signálu rázů samozřejmě závisí na tom, jaým způsobem nárazu dojde, jaou má volná část hmotnost a rychlost, jaý má tvar atp. Na obrázu - nahoře je uveden přílad měřených provozních signálů na jednom z acelerometrů umístěném na primárním oruhu JE. Signál nárazu volné části při odstaveném blou je uázán na obrázu uprostřed. Poud dojde uvolnění části zařízení za provozu, pa je signál charaterizován průběhem na obrázu - dole superpozice horních dvou průběhů. Je zřejmé, že provozní šum "masuje" signál události a analýzou signálu v časové oblasti není v něterých případech možné náraz volné části vůbec deteovat. Ve frevenčním spetru na obrázu - je v signálu pozadí - provozního hluu - je zřetelně patrná rezonance senzoru v oblasti přibližně 8 Hz. Signál nárazu volné části se projevuje hlavně v oblasti 5
6 Hz, de se u signálu provozního šumu vysytuje taé zřetelné rezonanční navýšení. Obráze -: Superpozice dole provozního šumu nahoře a uměle vyvolané události uprostřed. Obráze -: Frevenční spetra provozního šumu, austicé události a výsledného signálu. 6
. MEODY ČASO-FREKVENČNÍ ANALÝZY Časo-frevenční analýza spojuje, ja název napovídá, dvě záladní oblasti analýzy signálů a umožňuje ta ve většině případů využít více informace z analyzovaného signálu. Její využití je především v oblasti zpracování nestacionárních signálů. V předchozí apitole byla provedena časová a frevenční analýza signálů z primárního oruhu JE. Ja bylo uázáno, informace o události je v časovém signálu dána změnami oamžité hodnoty měřených vibrací. Přímé vyhodnocení časově-amplitudové reprezentace pro deteci a hlavně pro loalizaci austicé události burst signálu není příliš výhodné vůli přítomnosti provozních šumů na něterých frevencích. Analýza austicého signálu v čase ta nepodává dostatečnou informaci o průběhu událostí. Je tedy nutné zvolit jiný druh analýzy. Navíc, ja již bylo řečeno, nemá signál události stacionární charater... Krátodobá Fourierova transformace a spetrogram Při studiu vlastností nestacionárního signálu v určitém čase t, je vhodné signál rozdělit na dostatečně ráté realizace, u nichž je možné předpoládat stacionaritu ergodicitu a tím potlačit vliv slože signálu v ostatních časech. oho je dosaženo pomocí oénové funce, h t, se středem v čase t, terá rozděluje signál ve výše popsaném smyslu: s t s t h t Modifiovaný signál je funcí dvou časů. Fiovaného času t, terý je předmětem zájmu a průběžného času. Oénová funce je zvolena ta, aby zachovávala signál v původní podobě v blízém oolí času t a zbyte signálu potlačovala, tzn.: s t s 0 proτ blízé t proτ vzdálenéodt S využitím oénové funce pa Fourierova transformace zohledňuje rozložení frevence v oolí tohoto bodu t, - - S t e j e j t s d s h t d -3 7
a spetrum hustoty energie v čase t je potom j PSP t, St e s h t d -4 V aždém čase ta zísáme rozdílná spetra a souhrn zobrazení těchto speter je časo-frevenčním zobrazením signálu, P SP, v běžném názvosloví označované jao spetrogram. Použitím oénové funce byl signál modifiován a tím v jistém smyslu zrácen pouze na blízé oolí času t, pa je Fourierova transformace taovéhoto signálu rovnice -3 označována jao rátodobá Fourierova transformace dále jen SF - short-time Fourier transform. Ne vždy je ovšem používána úzá oénová funce tedy v případech, dy jsou určovány především časové charateristiy signálu. V případě, dy je analýza signálu zaměřena na určení vlastností na určité onrétní frevenci, pa je nutné použít ono širší. Pa je v literatuře např. [6] tato forma Fourierovy transformace občas nazývána jao dlouhodobá Fourierova transformace long-time Fourier transform nebo taé ráto-frevenční Fourierova transformace short-frequency Fourier transform. Pozn.: Pro zobrazení spetrogramů je v tomto tetu často použita normalizovaná frevence. Jedná se o frevenční měříto, de odpovídá vzorovací frevenci f s hodnota 0.5 odpovídá Shannonově frevenci - / f Použijme tedy nyní SF pro analýzu austicé události z obrázu -. Abychom uázali vliv dély ona SF na rozlišení ve frevenci a čase, použijme pro výpočet dvě rozdílná nastavení parametrů. Pro výpočet prvního spetrogramu je použita déla ona SF =.6 ms a tedy f = 65 Hz. V druhém spetrogramu je použita déla ona SF =.8 ms a tedy f = 78. Hz v obou případech SF = 0. ms. Amplitudy jednotlivých frevenčních slože v čase pro vybrané parametry jsou zobrazeny na obr. -. s 8
Obráze -: Spetrogram austicé události při dvou různých nastaveních SF Z obou spetrogramů je patrné, že oeficienty dosahují největší intenzity přibližně v čase 30 ms. Nejintenzivnější jsou oeficienty v oolí rezonanční frevence 0.075. Srovnání obou spetrogramů uazuje, ja se projevuje tzv. princip neurčitosti detailněji viz apitola., tedy změna rozlišení v časové a frevenční oblasti v závislosti na délce ona použitého pro výpočet spetra. Na pravém spetrogramu s délou ona SF =.8 ms, de je poměrně dobré rozlišení ve frevenci, je celá událost v čase jistým způsobem rozmazaná. První nárůst hodnot je zde patrný již přibližně v čase t =.5 ms spetrogram s onem SF =.6 ms zobrazuje událost až v čase t = 6.0 ms. o je dáno tím, ja je posouváním oéna signál události zpracováván a tudíž v delším oně je událost registrována dříve a po delší dobu. Oproti tomu rozlišení delšího ona umožňuje pozorovat jednotlivé frevenční složy signálu a oddělit ta frevence, na terých není událost viditelná. Následující obrázy - až -4 uazují časofrevenční rozlad signálu provozního šumu, signálu události a výsledného signálu zísaného superpozicí obou pomocí SF, terý byl proveden pro délu ona 3. ms N 56 tedy s frevenčním rozlišením f 3. 5 Hz. oto nastavení bylo zvoleno především proto, aby rozlišení metody obsahovalo přibližně stejnou informaci ja ve frevenci ta v čase. 9 SF SF
Obráze -: SF provozního šumu SF = 3. ms, SF = 0. ms. Ve spetrogramu provozního šumu jsou opět zřetelně rozpoznatelné rezonanční oblasti. Uazuje se zde taé olísání amplitudy na těchto frevencích, což je nejmarantnější na rezonanční frevenci senzoru. Kolísání amplitudy v časovém signálu je způsobeno nejčastěji vlivem různých šumů ale hlavním důvodem je ten, že časový signál je součtem jednotlivých harmonicých slože, jejichž příspěvy se sčítají s různou fází. Poud se tyto příspěvy setají ve fázi, dojde v časovém signálu nárůstu rozmitu a tento stav by mohl být za určitých oolností mylně považován za přízna vzniu austicé události. Spetrogram provozního šumu ale uazuje, že toto olísání v časovém signálu je částečně dáno i změnou energie na něterých frevencích. yto změny jsou malé vzhledem intenzitě většiny událostí, ale v dalších apitolách bude uázáno, že v úloze loalizace události může toto olísání způsobovat řadu problémů. Spetrogram -4 pa uazuje vzájemný poměr energie události a pozadí po jejich součtu. Je vidět, že oblast události je ve spetrogramu oblastí s maimem v amplitudě a loální změny amplitud na rezonančních frevencích jsou jen málo pozorovatelné vzhledem energii, terá byla vybuzena událostí. 0
Obráze -3: SF uměle vyvolané austicé události SF = 3. ms, SF = 0. ms. Obráze -4: SF austicé události s provozním šumem SF = 3. ms, SF = 0. ms.
.. Heisenbergův-Gaborův princip neurčitosti Uvažujme libovolný signál s t a jeho Fourierovu transformaci X F f. Energie E s signálu s t je pa popsána následujícím vztahem s využitím Parsevalova teorému: E s s t S f df. -5 Nechť je dále definována střední hodnota signálu s t v čase a ve frevenci t m E s t s t dt, -6 f m E s f S f df. -7 Vzhledem tomu, že člen E s s t a E s S f jsou nenegativní a jejich integrál je jednotový, splňují požadavy ladené na pravděpodobnostní hustotní funci náhodných veličin t a f a můžeme ta mluvit o střední hodnotě těchto veličin. Jejich směrodatná odchyla je pa dána následujícími vztahy t t tm s t dt, -8 E s f f fm S f df. -9 E s Jestliže je pa signál s t dobře loalizovaný v čase, pa bude s t soustředěný olem střední hodnoty t m a směrodatná odchyla t bude malá. Stejným způsobem lze popsat signál i ve frevenční oblasti, de dobrá loalizace signálu znamená jeho oncentraci olem hodnoty f m s malou směrodatnou odchylou f. V případě časo-frevenční oblasti bude signál dobře loalizován, poud bude malý součin t f. Důležitou vlastností tohoto součinu je, že není závislý na změně časového měříta, tedy: t s at t s t, -0 a s at a s t. - f Z výše uvedených vztahů pro součin směrodatných odchyle t f vyplývá f
s at s t. - t f t Jinými slovy, poud se bude zjemňovat časové měříto, resp. a, pa se musí zhoršovat frevenční rozlišení, aby platila rovnost - a naopa. Samotný Heisenbergův-Gaborův princip neurčitosti je pa popsán následující nerovností f t f -3 ato nerovnost se stává rovností pro Gaussovsý puls, terý není ohraničen ani v čase ani ve frevenci a je rovnoměrně rozložen olem t m = 0 a t f = 0. Pro všechny ostatní signály platí nerovnost. Na tomto místě je nutné zmínit, že Heisenbergův- Gáborův princip neurčitosti je spojen s použitím Fourierovy transformace a je označován viz např. Huang [3] jao artefat spojený s použitím Fourierových transformačních párů..3. Wavelet transformace Waveletová transformace dále jen W je transformace rozládající signál do frevenčních slože podobně, jao v případě Fourierovy transformace. Na rozdíl od F vša rozladu nepoužívá harmonicé signály, ale množinu ortonormálních funcí bází. yto funce jsou generovány posouváním a roztahováním záladního tzv. matičního waveletu, označovaného jao. Posunutí waveletu b a jeho roztažení a se řídí následujícím předpisem: t b a b t. -4, a a Wavelet transformace je pa vlastně Fourierova transformace s nastavitelným onem s následující obecnou definicí: t b W a b s, ;, s t dt, -5 a a de je matiční waveletová funce, terá vyhovuje určitým velmi obecným podmínám, a je oeficient roztažení a b charaterizuje posun počátu. Ačoli se čas a frevence eplicitně neobjevují ve výsledu transformace, hodnota / a určuje frevenční měříto, b pa časové umístění události. W je tedy přímo určena pro časo-frevenční rozlad signálu na rozdíl od F, terá primárně slouží pouze pro frevenční analýzu. Pro specificé apliace může být záladní 3
waveletová funce modifiována podle potřeb dané apliace, ale forma musí být zvolena před vlastní analýzou signálu. V této práci je pro W zvolen jao matiční wavelet Morletův wavelet viz [9] str. 8. Obdobně jao SF, taé W loalizuje výsyt frevenčních slože u nestacionárních signálů v čase. W posytuje tzv. analýzu signálu s vícenásobným rozlišením multiresolution analysis, terá se provádí apliací postupně rozšiřované oénové funce. Obráze -5: Rozdělení v časo-frevenční rovině pro různé typy analýzy signálů. Hlavní rozdíl mezi wavelet a Fourierovou transformací je ten, že pomocí wavelet transformace je možné zísat přesnější informace o změnách chování signálu ve vyšších frevencích na úor frevenčního rozlišení. Wavelet transformace totiž používá ono proměnné dély, de se nachází stále jedna vlna. U Fourierovy transformace má ono onstantní délu a pro vyšší frevence je v oně obsaženo více period harmonicé funce. Zatímco F reprezentuje danou periodicou funci v ortogonálním bázovém systému odvozeném z jediného sinového mitu pouhou změnou frevence měříto a fáze posunutí, W podobně vyjadřuje obecnou funci i neperiodicou v bázovém systému odvozeném z jediné tlumené mitající funce mateční wavelet opět změnou měříta a posunutí. Porovnání jednotlivých přístupů je schematicy znázorněno na obrázu -5, de je romě SF a W zobrazen princip analýzy signálu v čase Shannon a ve frevenční oblasti Fourier. 4
Na obrázu -6 je pa zobrazena W signálu austicé události s provozním šumem. Z výpočetních důvodů byla frevenční oblast zobrazení omezena na normalizovanou frevenci od 0.0 do 0.3 a W byla počítána v 5 úrovních. V porovnání s SF je událost ve spetrogramu W daleo intenzivnější vzhledem oolnímu šumu a rezonančním frevencím. Obráze -6: W austicé události s provozním šumem..4. Wigner-Villeova distribuce Wigner-Villeova distribuce WVD má zásadní význam v časo-frevenční analýze. WVD je taé často označována jao Heisenbergův wavelet a je alternativou SF a W pro nestacionární nebo rychle se měnící signály. Z definice se jedná o Fourierovu transformaci centrální ovarianční funce signálu. Pro jaýoli signál s t můžeme definovat centrální rozptyl varianci jao Wigner-Villeova distribuce je pa * c, t s t s t. -6 i c, t e d. W, t -7 5
Pro zdůraznění něterých vlastností WVD je zajímavé porovnat ji se spetrogramem, terý představuje první intuitivní prototyp časofrevenční analýzy. Spetrogram s onem h t ze signálu s t byl výše definován jao: * j, SP t s h t e d. -8 P Jeho výpočet ombinuje lineární operaci Fourierova transformace váženého signálu s druhou mocninou. Opačná situace se vysytuje u WVD, definované jao: W t, * s t s t e i d, -9 de je nejprve použit vadrát signálu a poté lineární transformace Fourierova transformace. oto představuje záladní rozdíl mezi spetrogramem a WVD. Další rozdílnou vlastností je fat, že WVD ve své originální formě nevyžaduje zavedení oénové funce, terá je vnějším omezujícím prvem v SF. Na obrázu -7 je zobrazen výstup analýzy austicé události s provozním šumem pomocí WVD. Obráze -7: WVD austicé události s provozním šumem 5 úrovní. Na časo-frevenčním zobrazení jsou opět patrné rezonanční frevence viz porovnání se spetrem vlevo, ale romě toho lze identifiovat i oblast se zvýšenou intenzitou energie mezi oběmi rezonancemi. Jedná se o jeden z vedlejších jevů výpočtu WVD o tzv. interferenční term podobně jao výstup 6
Fourierova transformace obsahuje harmonicé složy. yto termy se stávají nepříjemnými v oamžiu, dy by mělo dojít přerývání s frevencemi, de se v signálu energie sutečně vysytuje a tím zhoršení interpretace časofrevenčního zobrazení. Výpočet Fourierovy transformace ve WVD ta, ja je uvedeno např. v rovnici -7 může pro obecný signál znamenat eventuálně neonečný časový interval, tedy od do a to samozřejmě představuje problémy v praticých apliacích. Proto je vhodné modifiovat původní definici WVD zavedením omezení na rozsah c, t ve smyslu posunutí. oho je dosaženo zavedením ona p : * p s t s t e i d V případě, že tato funce může být rozdělena na 7 P W t, d. -0 * p h h, - je tato modifiovaná metoda nazývána jao pseudo Wigner Villeova distribuce PWVD viz [8]. V rámci porovnání obou metod zaveďme posunutý a vážený signál o nám umožňuje definovat PWVD jao PW t, * s t h t s t. - * * h h st s t e * i s s e d s i d * i s e d. -3 V aždém oamžiu je PWVD počítána ze shodné informace jao tomu odpovídající spetrogram. Obě distribuce, spetrogram i PWVD ta využívají výpočtu stejný segment signálu vybraný prostřednictvím oénové funce a apliují na něj Fourierovu transformaci společně s druhou mocninou. Opačné pořadí, ve terém jsou operace u metod použity, vede ovšem e zcela odlišným vlastnostem obou metod. Zaměřme se nyní na vzájemné porovnání vlastností spetrogramu a WVD z pohledu přesnosti časo-frevenčního rozlišení, teré je nejdůležitější vlastností pro loalizaci. Vlastností WVD je zachování salárního součinu z časové oblasti taé v časo-frevenční:
* t y t dt * W t, W t, dtd, -4 ento vztah je taé nazýván jao Moyalova rovnice viz [8]. Pomocí tohoto vztahu lze popsat spetrogram jao vyhlazování WVD: y P t, W t, W, d d, -5 SP h de W h je Wigner-Villeova distribuce ona h. Využitím oénové funce v PWVD dochází e ztrátě frevenčního rozlišení a PWVD a spetrogram jsou si ta v úloze loalizace téměř rovnocenné. Poud ovšem přidáme do úlohy další stupeň volnosti a budeme uvažovat WVD oénové funce v následujícím tvaru de H je Fourierova transformace oéna h t s W h t, g t H, -6, pa tento přístup umožňuje nezávislou ontrolu vyhlazení WVD v čase i ve frevenci. ato zísaná distribuce * SPW t, h g t s s d e i d -7 je známa jao vyhlazená pseudo Wigner-Villeova distribuce smoothed-pseudo Wigner-Ville distribution SPWVD. Na obrázu -8 je zobrazena SPWVD austicé události s provozním šumem. Vyhlazení bylo provedeno hammingovým onem o délce 7 bodů v čase a 9 bodů ve frevenci. 8
Obráze -8: SPWVD austicé události s provozním šumem h t hamming9. = hamming7, h f = Z obrázu je patrné, v porovnání s WVD bez vyhlazování, že se v časo-frevenčním zobrazení již nevysytuje interferenční term. Kompromis mezi časovým a frevenčním rozlišením, terý byl učiněn při výpočtu SF, je u SPWVD nahrazen ompromisem mezi společným časo-frevenčním rozlišením a interferenčními termy. Čím více je tedy signál vyhlazován v čase nebo frevenci, tím jsou interferenční termy více potlačovány, ale zároveň dochází e zhoršení rozlišení. Při porovnání výpočtu SF a SPWVD je třeba podotnout, že při výpočtu SPWVD je třeba provést mnohonásobně větší počet matematicých operací. Přestože SPWVD posytuje lepší časové i frevenční rozlišení je doba výpočtu, obzvláště při zpracování signálů s velým počtem vzorů, značně omezující..5. Oamžitá frevence a omplení signál V předchozím tetu byla věnována pozornost především metodám, teré používají lasicý způsob frevenčního rozladu signálu. Za lasicý považujme taový postup, de je frevence v signálu určována na záladě opaování určitého děje, jehož projevy se v signálu vysytují s určitou periodou. Děj se tedy v signálu objevuje s jistou frevencí. 9
V této apitole je popsán odlišný přístup, terý na záladě znalosti analyticého signálu definuje tzv. oamžitou frevenci, tedy frevenci, terá je definována v aždém časovém vzoru signálu. Vzhledem tomu, že se jedná o poměrně novou teorii, je jí v této práci věnována větší pozornost. Ačoli jsou signály v přírodě ve své podstatě signály mající reálný charater, je pro zísání oamžité frevence nutné definovat signál v omplení podobě ta, aby v určitém smyslu orespondoval s reálným signálem. Jedna z motivací pro definování ompleního signálu je ta, že omplení signál dovoluje definovat fázi, ze teré je pa možné zísat oamžitou frevenci viz. taé [3]. Je tedy hledán omplení signál, z t, jehož reálná složa je "reálný signál", t, a jehož imaginární část, s i t, je volitelná imaginární složa taová, aby byl dodržen fyziální a matematicý popis jt z t s j s a t e. -8 r i Jestliže je možné určit imaginární část, je pa jednoznačná definice amplitudy a fáze následující: sr a t sr si ; t arctan, -9 s což znamená, že oamžitá frevence může být definována jao derivace oamžité fáze: i si ' sr sr ' si t ' t. -30 a Sporným bodem je tedy, ja definovat imaginární část s i ompleního signálu t ta aby bylo možné vypočítat oamžitou frevenci t z rovnice -30. Analyticý signál Jestliže má reálný signál s t spetrum S, pa omplení signál z t, nazývaný jao analyticý signál, je zísán inverzní Fourierovou transformací z S, de integrace probíhá pouze přes ladné frevence, jt z t S e dt -3 0 s r z, 0
Násobe se zde objevuje z matematicých důvodů pro to, aby reálná část analyticého signálu byl původní signál s t jina by to byla právě polovina. Nyní zísejme eplicitní vyjádření pro analyticý signál z t. Mějme spetrum S jt s t e dt -3 pa pomocí rovnice -3 zísáme následující z t 0 s t' e 0 s t' e j tt' jt ' dtd ' e jt dtd ' -33 využitím vztahu pa obdržíme e j d 0 j z t s t' t t' dt' t t' j -34-35 Výsledný vztah popisující analyticý signál je tedy j s t' z t s t dt' t t' -36 Signál je nazýván analyticý, neboť třída taovýchto ompleních funcí vyhovuje Cauchy-Riemannovu ritériu pro diferencovatelnost a prvy této třídy jsou tradičně označovány jao analyticé funce. Druhá část rovnice -36, tedy imaginární člen, se nazývá Hilbertovou transformací signálu s t a v literatuře je nejčastěji označována jao s t nebo H st. Pro libovolný časový signál s t, zísáme Hilbertovou transformací signál s t jao: H j s t' t t' s t s t P dt', -37 de P je Cauchyho hlavní hodnota. Signál s t a transformovaný signál t ompleně onjugovaný pár, tedy analyticý signál z t s tvoří z t s t js t a t e jt, -38
eoreticy eistuje mnoho způsobů určení imaginární části, ale Hilbertova transformace posytuje jednoznačný způsob ta, že výsledem transformace je analyticá funce. Hilbertova transformace je tedy onvolucí s t a / t ; tím jsou zdůrazněny loální vlastnosti signálu s t. Polární souřadnice v rovnici dále objasňují loální povahu této reprezentace: jedná se o nejlepší loální popis signálu s t, terý je trigonometricou funcí s měnící se amplitudou a fází viz taé [3]. Stále ale ještě nebyla zodpovězena sporná otáza, zda je možné bez omezení definovat oamžitou frevenci jao d t t. dt -39 Oamžitá frevence v rovnice je definována jao derivace fáze t, terá v aždém časovém oamžiu t nabývá právě jedné hodnoty. Většina reálných signálů je ovšem tvořena celým spetrem frevencí a snaha vypočítat oamžitou frevenci z taovýchto signálů vede často záporným frevencím, teré nejsou fyziálně interpretovatelné. Z tohoto důvodu zavádí Cohen [6] termín monoomponentní signál monocomponent signal, terý obsahuje právě jednu frevenční složu. ωt 3 Obráze -9: Analyticý signál ze signálu s t cos t cos t : Fázová rovina. Vývoj 4 oamžité frevence vypočtené Hilbertovou transformací
Na obrázu -9 je zobrazen analyticý signál ze signálu s t cos t cos t, terý není monoomponentní. Analyticý signál byl zísán výše popsaným způsobem pomocí Hilbertovy transformace. Červeně je na obrázu zvýrazněna oblast, de frevence nabývá záporných hodnot a ta neodpovídá fyziální představě o frevenci harmonicého signálu. Omezení musí být ale taé ladena na monoomponentní signály. Poud platí, že střední hodnota signálu není nulová, pa vývoj fáze a tím i oamžité frevence nemůže být správně interpretován. Na obrázu -0 je uázáno, ja vypadá fázová rovina a vývoj fáze a frevence pro tři principiálně možné případy. ransformovaným signálem je zde s t sin t. Pro 0 v obrázu modrou barvou je vývoj fáze analyticého signálu lineární a i vypočtená frevence odpovídá fyziální představě. Zvětšuje-li se posunutí signálu, 0případ b zelenou barvou, pa dojde e vzniu oscilací ja ve fázi analyticého signálu, ta i následně ve vypočtené oamžité frevenci. V oamžiu dy posunutí přeročí amplitudu mitání, na obrázu -0 se jedná o variantu c, pa se vývoj oamžité frevence dostává i do záporných hodnot. Poud se omezíme na popis signálu jen pomocí jeho maim, minim a průchodů nulou, pa lze říci, že záporné frevence se objevují tehdy, dyž signál mezi maimem a minimem neprochází nulou případ c. outo problematiou se ve své práci zabývá Huang [3], terý navrhuje i metodu, jaým způsobem rozložit reálný signál do jednotlivých slože ta, aby pro aždou z nich mohla být vypočtena oamžitá frevence. 3 4 3
c b a 3 a b a b c c Obráze -0: Fyziální interpretace oamžité frevence: fázová rovina funce s t sin t. a 0 ; b ; c. Fáze jednotlivých funcí. 3 Oamžitá frevence. 4
.6. Hilbertova-Huangova transformace HH ato apitola se zabývá onrétním řešením problému, jaým způsobem zísat funce oretně transformovatelné na analyticý signál. Vzhledem tomu, že se jedná o metodu, terá vznila teprve nedávno a není doposud dostatečně rozšířena, je metoda v tomto tetu popsána detailněji. Vlastní modální funce IMF - Intrinsic Mode Function Jednoduchý přílad uvedený výše na obrázu -0, uazuje fyziální interpretaci omezujících podmíne. Naznačuje taé, ja v prai deomponovat data ta, aby vznilé omponenty splňovaly podmíny na ně ladené. Fyziálně nutné podmíny pro to, abychom mohli definovat smysluplně oamžitou frevenci jsou taovéto: funce jsou symetricé vzhledem loální hladině nulové střední hodnoty funce mají stejný počet průchodů nulou a počet etrémů S využitím těchto poznatů, byla navržena třída funcí označovaná jao vlastní modální funce IMF. IMF je funce, jejíž časový průběh splňuje dvě podmíny: V celém souboru dat se musí počet etrémů a počet průchodů nulou buď rovnat, nebo se lišit maimálně o jeden. V aždém oamžiu je střední hodnota obály definované loálními maimy a obály definované loálními minimy rovna nule. Přesná modální deompozice EMD - Empirical Mode Decomposition Výpočtem Hilbertovy transformace z IMF funcí můžeme velmi snadno zísat průběh oamžité frevence daného signálu. Bohužel většina dat nesplňuje požadavy ladené na IMF. zn., že v signálu je obsaženo více oscilačních módů, a proto použití samotné Hilbertovy transformace nemůže posytnout úplný frevenční popis pro obecná data. Úolem je deomponovat vstupní data do bázových slože, teré by splňovaly požadavy ladené na IMF funci. 5
Huang v [3] popisuje právě taovouto adaptivní metodu, terou nazývá přesná modální deompozice EMD - Empirical Mode Decomposition. Deompozice je založena na následujících předpoladech: Deomponovaný signál má nejméně dva etrémy - jedno maimum a jedno minimum Charateristicé časové měříto je definováno odstupem mezi etrémy Poud data postrádají etrémy, ale obsahují inflení body, pa musí být možné zísat etrémy derivací signálu Podstata této deompozice je identifiovat vlastní oscilační módy v signálu podle jejich charateristicých časových měříte a následně signál rozložit ta, aby aždá ze slože obsahovala právě jeden tento mód. EMD je implementována jao iterační proces, terý má něoli fází. Prvním roem EMD je identifiace loálních etrémů. Identifiovaná loální minima a loální maima jsou poté interpolována řivou. Huang předpoládá použití ubicého splinu. Proložením vznine vrchní obála e a spodní obála e. Obě řivy ta vytvářejí obálu původního signálu s t. Střední hodnota obály m je pa definována jao Odečtením signálu a střední hodnoty obály ma t emin t ema t m t. -40 s t m h -4 zísáme první omponentu. Ideálně by tato omponenta mohla být označena již jao první složa EMD rozladu. Reálně ovšem h většinou nesplňuje požadavy ladené na IMF. Po provedení -4 vzniají nové etrémy vlivem nepřesné aproimace ubicým splinem přemitnutí nebo podmitnutí v obálce. Proto jsou v omponentě h opět nalezeny loální etrémy, vypočtena obála a nový střed obály jao další ro iteračního procesu: h -4 m h. ento postup je opaován, doud výsledná omponenta nesplňuje podmíny ladené na IMF. min t 6
h m h -43 Výsledem iterací je první IMF omponenta c Iterační proces má dva vlivy na deomponovaná data: c h. -44 eliminuje výyvy v datech filtruje nízofrevenční složy vyhlazuje rozdílné amplitudy 3 Obráze -: Obála signálu s t cos t cos t. 4 Aby bylo zajištěno, že IMF omponenty mají fyziální smysl aby nedošlo přeiterování, nebo aby nevznila neonečná smyča, je nutné zavést ritérium pro uončení iteračního procesu. Jao ritérium může být s úspěchem použita hodnota směrodatné odchyly, terá je vypočtena ze dvou po sobě následujících výsledů iteračního procesu: h. t h t -45 t0 h t ypicá hodnota pro směrodatnou odchylu je mezi 0. a 0.3, ja uvádí Huang v [3]. První IMF omponenta obsahuje, ja lze z výše uvedeného odvodit, nejvyšší frevenční složu signálu s t. Můžeme ji jednoduše separovat od zbytu signálu podle -46. s t c r -46 7
Protože reziduum r stále ještě obsahuje složy s nižšími frevencemi, je reziduum označeno jao nový signál s t, terý je následně opět podroben výše popsanému iteračnímu procesu. ento proces může být opaován na všechna pozdější rezidua r j r c r,, rn cn rn. -47 Deompozice je uončena jedním z následujících ritérií: omponenta c n, nebo residuum r n je menší než předem zvolená hranice residuum r n je monotónní funce, ze teré již nelze etrahovat IMF složy Původní signál je tedy za předem zvolených podmíne pro uončení deompozice rozložen do n IMF omponent módů. s t n -48 i c i r n Veliosti střední hodnoty obály v iteračním procesu je vhodné určovat v závislosti na veliosti amplitudy příslušného módu, ale vnucením příliš malé prahové hodnoty pro uončení iteračního procesu může dojít přeiterování, tedy "předeomponování" signálu. Pro lepší ontrolu nad iteračním procesem je používáno modifiované ritérium, teré zároveň zohledňuje maimální povolený počet iteračních roů. Kritérium je charaterizováno dvěma hodnotami. Parametr N je již zmíněný maimální povolený počet iteračních roů. Poud je tento počet přeročen, dojde uončení iteračního cylu, atuální zpracovávaný mód je prohlášen za IMF funci a následuje výpočet následujících módů. Parametr S je číslo, teré udává počet iteračních roů, v nichž se nezměnil počet průchodů nulou a etrémů. Poud se tedy v S po sobě následujících iteračních rocích výpočtu nezmění charateristiy zpracovávané funce, je iterační proces uončen. V literatuře lze nalézt ještě další způsob ja zvolit ritérium pro uončení iteračního procesu. Rilling, Flandrin a Goncalves [5] zavádějí pro uončení iteračního procesu v EMD nové ritérium se dvěma prahovými hodnotami a. V ritériu je taé zavedena amplituda módu jao ema t emin t a t -49 a funce pro ohodnocení flutuace střední hodnoty je pa definována jao m t t. -50 a t 8
Iterační proces pa probíhá doud t v úseu signálu o délce z celové dély signálu a t ve zbytu signálu. ypicé nastavení uvedené v [5] je 0.05, 0. 05 a 0. Obráze -: Přesná modální deompozice austicé události s provozním šumem. Hilbertovo spetrum Po výpočtu jednotlivých omponent IMF pomocí EMD již nic nebrání apliovat Hilbertovu transformaci na aždou ze zísaných omponent a vypočítat oamžitou frevenci podle rovnice -30. Po výpočtu Hilbertovy transformace aždé složy IMF můžeme popsat data následující rovnicí: s t n j a t e j i j t dt -5 V rovnici -5 je vynecháno reziduum r n, neboť je to monotónní funce nebo onstanta. Vezmeme-li v úvahu neurčitost residua, v zájmu informace obsažené v ostatních nízoenergeticých složách a složách na vyšších frevencích, byla reziduální složa, terá nemá vlastnosti IMF vynechána. Rovnice -5 popisuje amplitudu a frevenci aždé složy v závislosti na čase. Stejná vstupní data vyjádřená Fourierovou reprezentací s t j a j e i jt -5 9
obsahují a j a j jao onstanty. Kontrast mezi rovnicemi -5 a -5 je zřejmý. Amplituda závislá na čase a oamžitá frevence dovolují přesnější popis nestacionárních dat. Rovnice -5 taé umožňuje zobrazit amplitudu a frevenci jao funce času do třech dimenzí: amplituda je zobrazena do časo-frevenční roviny. aovéto frevenčně-časové rozložení amplitudy je označováno jao Hilbertovo amplitudové spetrum Hilbert amplitude spectrum H, t, nebo zjednodušeně Hilbertovo spetrum. Poud je zobrazována druhá mocnina amplitud, běžně označovaná jao hustota energie, pa se jedná o Hilbertovo energeticé spetrum Hilbert energy spectrum. Optimální rozlišení Hilbertova spetra může být vypočteno následujícím způsobem. Nechť je celová déla dat seund a déla vzoru t. Pa nejnižší frevence, terá může být z dat etrahována je Hz, což je samozřejmě taé limit frevenčního rozlišení. Nejvyšší frevence, terá může být z dat etrahována je n t, de n reprezentuje minimální počet vzorů nutných přesnému definování frevence. Neboť Hilbertova transformace definuje oamžitou frevenci pomocí derivace, je potřeba více bodů definování oscilace minimální počet jsou čtyři body pro jednu periodu sinu. Z toho vyplývá, že rozlišení ve frevenci N by mělo být N n t. n t -53 Z Hilbertova spetra může být dále odvozeno marginální spetrum h jao h H, t dt. -54 0 Marginální spetrum nabízí měříto celového amplitudového příspěvu aždé frevence. Frevence v H, t nebo v h má odlišný význam než ve Fourierově spetrální analýze. Eistence energie na frevenci ve Fourierově reprezentaci vyjadřuje sinovou či osinovou složu, terá je obsažena v celém časovém rozsahu signálu. V Hilbertově marginálním spetru eistence energie na frevenci znamená to, že v celém časovém rozsahu dat je větší pravděpodobnost eistence oscilace na dané frevenci. Přesný časový výsyt oscilace je vyjádřen Hilbertovým spetrem. Jao doplnění marginálního spetra definuje Huang ještě úroveň oamžité hustoty energie instantaneous energy density level IE jao IE t H, t d. -55 30
Vzhledem tomu, že IE je závislá na čase, může být použita určení změn energie v signálu. Ja je patrné z obrázu -3, neposytuje Hilbertovo spetrum dostatečně přesné zobrazení události v časo-frevenční oblasti. V porovnání s předchozími metodami je frevenční pásmo jednotlivých rezonancí širší a průběh oamžité frevence výrazně mitá ve snaze obsáhnout všechny složy frevenčního pásma. Analýzou jednotlivých IMF po deompozici signálu lze uázat, že frevenční pásmo aždé další IMF je zhruba poloviční oproti IMF předcházející. Následem toho je průběh oamžité frevence zřetelný hlavně u nízých frevencí do 3 Hz. ato vlastnost je významně omezující pro nalezení počátu události v časo-frevenční oblasti, nicméně zušenosti s implementací HH a oamžité frevence umožnily navrhnout metodu, terá řeší tuto problematiu. Metoda je založena na adaptivním odhadu jednotlivých módů signálu Kalmanovým filtrem a je předmětem následující apitoly. Obráze -3: Hilbertovo spetrum austicé události s provozním šumem. 3
.7. Využití Kalmanova filtru modální deompozici signálu ato apitola se zabývá využitím adaptivních vlastností Kalmanova filtru pro deompozici signálu do slože módů. Ja již bylo výše zmíněno, je vůli výpočtu oamžité frevence požadováno, aby odhadnuté složy signálu byly ompleními funcemi, ta aby mohla být vypočtena oamžitá fáze resp. frevence signálu. Model ompleního signálu s využitím soustavy rezonátorů Mějme analyzovaný signál, terý byl zísán měřením mechanicých vibrací pomocí acelerometru na určitém reálném zařízení. aovýto signál se sládá z celé řady slože, teré jsou příspěvem mitání od jednotlivých omponent zařízení. Předpoládáme-li, že u zařízení nedochází nevratným deformacím a že se zařízení ani niam nepohybuje, pa složy měřeného mitání mají nulovou střední hodnotu. Při zohlednění těchto podmíne použijme pro měřený vibrační signál s r t následujícího modelu N n s t s t t, -56 r n r terý se sládá ze šumu t reprezentujícího jaéoli nežádoucí nemodelované složy signálu a z N monoomponentních slože. Každá z N slože je pa popsána amplitudovou obálou a a frevencí. První derivace složy signálu je popsána rovnicí s n r t a cos t -57 n 3 n n s t a sin t -58 r a druhá derivace pa může být vyjádřena následujícím způsobem n n n n n s t a cos t s t -59 r n n n Předpoládejme dále, že systém generující jednoduchý mitavý pohyb můžeme popsat autoregresním AR stavovým modelem druhého řádu. t A t n r -60 y t C t -6 de A je stavová matice a C je maticí výstupní. Stavový vetor t se v tomto případě sládá ze dvou vnitřních stavů: reálné složy r t a z imaginární složy
i t. Výstup systému, tedy měřené mitání je v modelu reprezentováno výstupem yt. S ohledem na zavedený analyticý signál a předchozí značení, zvolme jednotlivé n složy stavového vetoru jao cos t n r n a sin t i n. ato zvolené složy si zachovávají ortogonální charater stejně jao analyticý signál výpočtem Hilbertovou transformací. edy na záladě rovnice -59 lze upravit výše popsaný stavový model složy signálu s n r t následujícím způsobem: a výstup modelu: r i n n t 0 t n n r 0 i n n t t -6 y n r t n t 0-63 n i Výstup modelu y n t reprezentuje složu signálu s n r t. Stavová matice A je D rotační matice jejíž vlastní čísla jsou ryze imaginární. rajetorie taovéhoto systému ve stavové rovině je ružnice a model reprezentuje netlumený rezonátor oscilátor s vlastní frevencí n. Řešení stavové rovnice má pouze homogenní část model nemá vstup a je popsáno rovnicí t n r r 0 A tt0 t e n t -64 At Výpočtem stavové přenosové matice e a disretizací systému s roem h t h zísáme disrétní stavovou reprezentaci. Zároveň do modelu zaveďme stavový šum. Popis modelu má pa následující formu: n r n i a výstupní rovnice je: cos hn sin hn sin hn r cos hn i n n -65 y n r n 0-66 n i Zobecněná výstupní rovnice pro všechny složy signálu je pa y C -67 V předchozích rovnicích byl zaveden šum jao stavový šum a jao výstupní šum stavového modelu. Oba vetory šumů, a, mají nulovou střední hodnotu a identicou ovarianční matici. Specificé vlastnosti šumů jsou pa charaterizovány ovariančními maticemi a. 33
ato odvozený model složy signálu jao rezonátoru vytváří, společně s Kalmanovou metodou adaptivního odhadu, estimátor analyticého signálu. Odhad první složy stavu modelu je reálná část cosinová funce a odhad druhé složy stavu je imaginární část sinová funce signálu. Volba parametrů a Volba správných parametrů a je důležitou součástí popisu modelu signálu s následným vlivem na správnost odhadu jednotlivých slože signálu. yto dva parametry rozhodují o tom, jaé množství energie měřeného signálu bude přiděleno atuální odhadované složce signálu. Výše, v rovnici -8 byl definován omplení signál, terý popisuje obecný výstup modelu složy signálu. Uvažujme nyní, že amplituda a n-té omplení složy signálu z n není onstantní, ale mění se mezi vzory a + o odchylu : z a n j e -68 o znamená, že amplituda ve vzoru + je popsána reurzivní formou tato:, de ~ N0, -69 a a Časový vývoj fázoru a jemu příslušné amplitudy a, fáze a odchyly je zobrazen na obrázu -4. Sutečná trajetorie ompleního signálu je vyznačena černou řivou a trajetorie fázoru v případě onstantní amplitudy a je zobrazena šedou čárovanou ružnicí. Reurzivní forma vývoje amplitudy je znázorněna v levé části obrázu. Každá amplituda veliost fázoru se liší od té předchozí zelená tečovaná čára o odchylu ta je znázorněna červenou čarou. Pravá část obrázu -4 uazuje detail vývoje fázoru ve vzoru a +. Vlastnosti parametrů γ a γ jsou pa odvozeny v následujícím tetu. Stav modelu signálu ve vzoru + v závislosti na stavu ve vzoru je popsán, ja již bylo výše definováno, následující rovnicí, de ~ N0, -70 A ato rovnice využívá stav, terý je nejdříve rotován maticí A a následný součet s odchylou vede e vzniu nového stavu. Použijme rovnici -70 v trochu pozměněné formě, de vetor je nejprve sečten s výchylou a pa teprve rotován maticí A. A 34-7
35 ato forma popisu je použita vůli odvození jednoznačné závislosti mezi odchylou a vetorem. o je taé důvod proč byla do stavové rovnice zavedena nová veličina. V dalším odvození využijme toho, že rovnice -7 může být bez porušení rovnosti obou stran přepsána do vadraticé formy ve vetorové a maticové algebře jsou použity transpozice příslušných veličin A A A A -7 Obráze -4: Časový vývoj fázoru ompleního signálu amplitudy a, fáze a odchyly. Rozepsaná forma rovnice je pa následující A A A A A A A A -73 Stejně ta rovnici -69 lze přepsat do vadraticé formy a a a a -74 S využitím rovnice -74 a následující znalosti o součinu stavových vetorů a, -75 může být rovnice -73 přepsána do podoby -77, přičemž součin stavových matic A A je substituován identicou maticí, ja je uázáno v následujících vztazích: ; A A A A I A A -76 Výsledná forma po substitucích je a r a r i γ γ + a i
36 a a -77 Hlavním důvodem tohoto odvození je zísání vztahu mezi odchylou a vetorem. Apliací operátoru střední hodnoty na rovnici -77 zísáme výsledný vztah, de jsou přítomny právě tyto dvě požadované veličiny: 0 0 0 E E E a E E a E a E -78 a výsledný vztah, terý spojuje a je: -79 Vetor se sládá ze dvou slože model druhého řádu a výsledem součinu s jeho transponovanou formou je součet vadrátů obou slože -80 Po dosazení do rovnice -79 ta zísáme první podmínu pro určení slože v následující formě -8 Druhá podmína, terá umožňuje určit předpis pro složy vetoru je poznate, že fázor stavu a mají v omplení rovině stejnou směrnici. Budeme-li tedy vycházet ze slože odhadu signálu r a i, měl být poměr mezi nimi stejný jao poměr mezi a viz rovnice -8. V rovnici se formálně vysytuje podíl součinu slože vetoru a šumu. Vzhledem tomu, že vliv šumu na obě složy je stejný v podílu se vyrátí není součin se šumem použit ani v obrázu -4 namísto toho jsou používány pouze složy a r i -8 Upravená forma podílové rovnice pa vyjadřuje složu r i. -83
Po dosazení do rovnice -8 a následné úpravě je ta zísán výsledný předpis pro v závislosti na odhadnutém stavu a známém rozptylu odchyly r -84 r Pro druhou složu vetoru pa platí následující vztah i i -85 r yto rovnice přepsané pro původní definici modelu s vetorem má tento tvar: r A i i r r i i -86 ato rovnice popisuje vlastnosti amplitudové odchyly mezi vzory a + ve stavové rovnici definované v -65, terá je společně s rovnicí -66 použita jao model složy signálu při jejím odhadu v Kalmanově filtru. Pro výpočet v Kalmanově filtru je pa místo stavu použit jeho odhad -93. viz rovnice Volba hodnoty ve výstupní rovnici -67 je posledním roem v definování stavového modelu. Výstup y n-omponentního modelu je tvořen pouze reálnými částmi slože signálu. oho je v modelu dosaženo vetorem C tedy součinem C t. Hodnota umožňuje zahrnout šum měření do výstupní rovnice. V případě modelování vibračního signálu reprezentuje rozptyl aditivní chyby měřícího řetězce. Napřílad, v případě, dy třída přesnosti senzoru je definována ve statisticém smyslu ta, že absolutní aditivní chyba je 95%-ní vantil v rozmezí součinu třída přesnosti měřicí rozsah, pa 95%-ní vantil reprezentuje rozsah 0, de je směrodatná odchyla aditivní chyby. V tomto případě je tedy rozptyl chyby měření popsán vztahem trida presnosti mericirozsah -87 37
Odhad slože signálu disrétním Kalmanovým filtrem Disrétní Kalmanův filtr realizuje statisticý odhad vnitřních stavů zašuměného lineárního systému a je schopen při vhodné volbě parametrů modelu filtrovat neorelovaný šum. Uvažujme nyní výše zmíněný model rezonátoru pro více omponent systému. Pa bude stavová matice složena z následujících diagonálních bloů: cos h n An sin h n sin h n, cos h n -88 a bloy vetoru stavového šumu jsou definovány jao v -86. Pa popis celého systému, terý je definován sumou rezonátorů, je ve stavové reprezentaci dán následujícími maticemi: pro výstupní matici platí A 0 0 0 0 A 0 0 A 0 0 ; -89 0 0 0 0 A n nn C [ 0 0 0]; -90 a stavový šum a šum měření jsou charaterizovány těmito parametry: n ;. -9 n n Obecně je Kalmanova filtrace složena ze dvou fází prediční a oreční fáze. Předpoládejme, že odhad stavu 0 je znám s chybou, jejíž ovarianční matice je P 0. Apriorní hodnota stavu ve vzoru + může být zísána jao A -9 38
Měřená hodnota y je následně použita e oreci stavu ve vzoru. Aditivní orece apriorně odhadnutého stavu v +. vzoru je pa podle [8] proporcionální rozdílu mezi apriorním výstupem ve vzoru, definovaném jao C, a měřeným de y : A K y C, -93 K je Kalmanův zis, terý garantuje minimální rozptyl chyby. Současně je v aždém rou vyhodnocována chybová ovarianční matice P chyby odhadu viz [8]. P A P A K C P A, -94 ato ovarianční matice je pa použita výpočtu Kalmanova zisu v dalším rou reurzivního výpočtu oreční fáze: A P C C P C K, -95 Určení frevenčních parametrů modelu Frevenční parametry pro model Kalmanova filtru jsou zísávány z odhadu spetra signálu. V principu eistuje mnoho metod ja tyto parametry určit, uveďme zde dvě z nich. Obecně je nutné definovat, teré módy respetive frevence mají být odhadovány a jaý je rozptyl amplitudy na těchto frevencích. n První způsob ja určit frevence modelu je založen na rátodobé Fourierově transformaci SF. Polovina dély ona SF je použita jao polovina řádu modelovaného systému počet modelovaných rezonátorů a odpovídající frevence ze SF jsou pa zvoleny jao frevence modelovaných omponent signálu. Rozptyl amplitudy v jednotlivých pásmech SF pa slouží jao odhad rozptylu pro aždý rezonátor. ento přístup uazuje metodu Kalmanova filtru založenou na rátodobé Fourierově transformaci a na jejím časo-frevenčním zpřesňování. Druhá alternativa vychází z odhadu spetrální hustoty pomocí parametricých metod pro odhad spetra. Parametricé metody nepočítají spetrum přímo z měřeného signálu, ale signál je zde nejprve použit pro identifiaci autoregresního modelu signálu a poté je na záladě identifiovaného modelu 39
vypočtena jeho frevenční odezva. V této práci používaná Burgova metoda je založena na minimalizaci ve smyslu nejmenších čtverců aritmeticého průměru vadrátu dopředné a zpětné chyby predice detailní popis parametricých metod je uveden např. v [0] v apitole 8. Pro názornost je na následujícím obrázu zobrazeno výonové spetrum austicé události s pozadím, de déla signálu je 5. ms 4096 vzorů s f s = 80Hz. Jedná se o stejný signál, terý byl analyzován v předchozích apitolách. Pro parametricé metody byl zvolen řád identifiovaného systému n = 00 na obrázu je romě výonového spetra a Burgovy metody pro srovnání ilustrativně zobrazena i Yule-Walerova metoda a v případě průměrované Fourierovy transformace bylo použito Hannovo ono o délce t = 6.4 ms 5 vzorů s přerytím 50% 56 vzorů. Obráze -5: Spetrální výonová hustota a její odhady. 40
Obráze -6: Odhad výonové spetra austicého signálu a zvolené frevence modelu červeně. Z obrázu je zřejmé, že se výsledy obou parametricých metod i průměrovaného výonového spetra liší jen nepatrně a zobrazený odhad výonového spetra signálu je složen z relativně ostrých peaů. Frevenční parametry Kalmanova filtru jsou pa zísány jao loální maima odhadnuté spetrální hustotní funce, terá jsou větší než předem definovaná hodnota viz obráze -6. yto zvolené frevence uazují na energeticy významné složy signálu a jejich počet opět určuje počet odhadovaných slože signálu. Na obrázu -7 je pa schematicy znázorněn princip funce metody. Odhadnuté parametry ze vstupního signálu slouží pro inicializaci frevencí rezonátorů, jejichž stavy jsou odhadovány pomocí Kalmanova filtru v omplení formě. o znamená, že imaginární složy omponent signálu jsou odhadovány současně s reálnými. ento způsob deompozice signálu nahrazuje Hilbertovu transformaci ve výpočtu analyticého signálu a výpočet je na rozdíl od Hilbertovy transformace prováděn reurzivně. 4
analyzovaný signál odhad spetra významné frevence Kalmanův filtr odhad složy z odhad složy z. výpočet časofrevenční. oamžité amplitudy a zobrazení frevence odhad složy z n Obráze -7: Schéma metody využívající Kalmanova filtru určení oamžité frevence signálu. Každá složa signálu v omplení formě pa slouží pro výpočet oamžité amplitudy a oamžité frevence. Výstupem metody je časo-frevenční reprezentace analyzovaného signálu, terá zobrazuje amplitudové řivy s měnící se frevencí na rozdíl od jiných časo-frevenčních metod, teré reprezentují signál v časo-frevenčních pásmech a tím je jejich rozlišení omezováno. Pro úplnost uveďme časo-frevenční zobrazení signálu z předchozích apitol, teré bylo vypočteno metodou Kalmanova filtru. Odhad frevencí modelu byl v tomto případě zísán Burgovou metodou identifiovaný model řádu 30. V odhadnutém spetru bylo identifiováno 8 maim a tedy řád systému Kalmanova filtru je v tomto případě n = 6. Rozptyl šumu měření, tedy parametr, byl nastaven na = 0.. 4
Obráze -8: Časo-frevenční analýza signálu pomocí Kalmanova filtru 8 módů. 43
.8. Analýza jednoduchých signálů V předchozí apitole byla představena metoda využívající pro modální deompozici signálu Kalmanův filtr. Před vlastní analýzou reálných měřených signálů, bude tato apitola věnována analýze jednoduchých simulovaných signálů. Mějme signál se třemi harmonicými omponentami, terý je vzorován frevencí Hz. Celová déla analyzovaného signálu je s N = 000 vzorů. Signál je tvořen sinovými funcemi s frevencemi f 0Hz, f 30Hz a f3 50Hz. Amplituda A = 0 je shodná pro všechny tři složy, přičemž druhá složa je prvních 0.5 s nulová. K signálu byl přidán aditivní šum se střední hodnotou m 0 a rozptylem. Časový průběh signálu a jeho frevenční spetrum jsou zobrazeny na obrázu -9. Obráze -9: Časový průběh a frevenční spetrum signálu s třemi harmonicými složami. Změna amplitudy v druhé složce signálu má jednoduchým způsobem simulovat nestacionaritu v ampitudě, e teré dochází po příchodu austicé vlny nárazu v LPMS. Energie na rezonancích monitorovaného systému jsou relativně stacionární a příchod austicé vlny pa způsobuje změny energií na jednotlivých frevencích. 44
Obráze -0: Analýza signálu s 3 harmonicými složami pomocí metody Kalmanova Filtru vlevo a pomocí SF vpravo. Konstantní složy v signálu z obrázu -9 ta simulují stacionární rezonance systému a proměnná složa modeluje frevenci na níž se projevila změna amplitudy. Nechť je nyní tento signál podroben časo-frevenční analýze pomocí metody Kalmanova filtru a SF. Pro odhad frevenčních slože je opět použita parametricá Burgova metoda, de řád odhadovaného modelu je 30. Hladina pro určení maim ve výonovém spetru byla volena 0. a šum měření =. Celem bylo identifiováno 3 významných frevenčních slože, na nichž byla reurzivně odhadována oamžitá frevence a amplituda. Detail časo-frevenční reprezentace oamžité frevence je uázán na obrázu -0 vlevo. Výslede uazuje, že adaptace druhé složy modelu signálu, terá v čase 0.5 s mění svoji amplitudu z hodnoty 0 na 0, má vliv na odhad oamžité frevence ostatních omponent. Pro srovnání je na témže obrázu vpravo uázán výstup SF při nejlepším nastavení vzhledem identifiaci jednotlivých linií v zobrazení. Bylo použito Hannovo ono o délce 0.56 s 56 vzorů s přerytím 99% 55 vzorů. Při volbě větších déle ona docházelo pomalejšímu nárůstu amplitudy druhé složy signálu. Při ratších délách ona již vznialy v zobrazení artefaty mezi frevenčními liniemi a linie začaly splývat. Výše uvedené nastavení bylo tedy použito jao nejlepší vzhledem požadavům ladeným na rozlišení v čase a ve frevenci. Zaměřme se nyní na oblast změny amplitudy ve druhé složce signálu v čase 0.5 s. Identifiace této změny je při určování počátu austicé události při loalizaci 45
úderů v LPMS jednou z nejdůležitějších úloh. Na obrázu - jsou porovnány amplitudy z časo-frevenčního zobrazení obou metod metoda Kalmanova filtru modře a SF červeně. Obráze -: Porovnání změny amplitudy. složy signálu. Z obrázu je zřejmé, že posouváním oénové funce registruje SF změnu amplitudy dřívě než ní ve sutečnosti dochází. Oproti tomu metoda Kalmanova filtru reaguje až v oamžiu sutečné změny energie v signálu a ja je z obrázu patrné i adaptace na atuální amplitudu je rychlejší. Pro srovnání je v obrázu - zobrazena i Hilbertova transformace zeleně druhé složy signálu bez uvažování aditivního šumu, terá byla vypočtena ještě před součtem jednotlivých slože jehož výsledem je analyzovaný signál. ato řiva reprezentuje taový případ, dybychom měli dispozici ideální metodu pro deompozici signálu, terá by deomponovala signál do původních slože. Hilbertovou transformací by pa mohl být zísán omplení signál a následně průběh oamžité amplitudy ta ja je na obrázu -. V tomto případě opět není dodržena auzalita signálu a změna amplitudy se po Hilbertově transformaci projevuje ještě před počátem v čase 0.5 s. Nicméně oamžitá amplituda roste rychleji a dosahuje svého maima dříve v porovnání s ostatními metodami. Porovnání původní nestacionární složy signálu po Hilbertově transformaci a po deompozici signálu metodou Kalmanova filtru je uázáno na obrázu -. 46
Obráze -: Porovnání složy signálu po Hilbertově transformaci červeně a deompozici metodou Kalmanova filtru modře. aé v tomto zobrazení je patrné, že náběh na ružnici odpovídající amplitudě 0 je rychlejší v případě Hilbertovy transformace. Algoritmus založený na Kalmanově estimaci je taé ilustrován na dalším příladu signálu viz obráze -3. Modelový signál se sládá ze dvou slože, z nichž první je harmonicý signál s onstantní normalizovanou frevencí 0.7. ento signál je v časové oblasti sečten s parabolicým chirp signálem tedy signálem s proměnnou frevencí jehož normalizovaná frevence se měnila od 0.45 do 0.. Obě omponenty signálu byly nenulové mezi časem t = 00 a t = 900. Počáteční podmíny metody Kalmanova filtru byly nastaveny jao v předchozím případu a odhadované frevence modelu byly zísány Burgovou metodou pro model řádu 5. počet odhadovaných frevencí byl n = 0 a tedy řád modelu odhadovaného Kalmanovým filtrem byl 0. Metoda Kalmanova filtru je porovnána s ostatními časo-frevenčními metodami, teré byly zmiňovány v předchozích apitolách rátodobá Fourierova transformace SF, wavelet transformace W a vyhlazená pseudo-wigner-villeova distribuce SPWVD. Výsledy odhadů metody Kalmanova filtru v časo-frevenční oblasti jsou srovnatelné s SPWVD. Ostatní metody mají relativně široou oblast, do teré je energie signálu zobrazována. Podobné výsledy jsou uázány na dalším příladu signálu. V tomto případě je signál složen ze čtyř harmonicých slože a je testována přesnost metod v identifiaci frevence a času změny na jednotlivých frevencích. Signál opět 47
začíná v čase t 00 a ončí v čase t 900. Ke soové změně frevence dochází v čase t 300 a t 600, zatímco v úseu definovaném těmito časy jsou v signálu přítomny dvě harmonicé složy. Schopnost metod rozlišit tyto dvě omponenty je zřejmá z obrázu -4. SPWVD a metoda Kalmanova filtru zobrazují tyto dvě simultánní složy odděleně. Naproti tomu SF a W obsahují časo-frevenční artefaty mezi těmito omponentami a to je taé důvodem, proč identifiace aždé omponenty zvlášť může být v taovýchto případech opravdu složitá. Obráze -3: Odhad oamžité frevence a amplitudy harmonicé a chirp složy signálu. 48
Obráze -4: Odhad oamžité frevence a amplitudy harmonicých slože signálu. 49
3. PŘÍPADOVÉ SUDIE VYUŽIÍ ČASO-FREKVENČNÍCH MEOD PRO DIAGNOSIKU 3.. Systém pro deteci volných částí v primárním oruhu jaderných eletráren - LPMS Algoritmus, terý je použit v systému LPMS je založen na předpoladu, že přítomnost události v austicém signálu způsobí zvýšení intenzity resp. efetivní hodnoty signálu v oamžiu vzniu rázu v systému. Obráze 3-: Primární oruh tlaovodního reatoru naznačeny jsou pozice senzorů systému LPMS. Studiem signálů bylo zjištěno, že nárůst intenzity signálu při austicé události je rozpoznatelný jen v určitých frevenčních pásmech. Přítomnost provozního šumu s vysoou intenzitou a často s olísajícím charaterem na ostatních frevencích signálu znemožňuje deteci události. Měřený austicý signál je proto v systému LPMS nejprve filtrován pásmovou propustí. Intenzita signálu je vyjádřena jao efetivní hodnota RMS = Root Mean Square z určitého časového intervalu o délce RMS t t t s. 3-50
Pro ohodnocení navýšení intenzity signálu se používá podíl mezi rátodobou a dlouhodobou efetivní hodnotou. Metoda tedy využívá toho, že při vzniu události dojde taé navýšení intenzity signálu a tím i nárůstu efetivní hodnoty, terá je ze signálu počítána. ato efetivní hodnota může ale vlivem změn stavu zařízení značně olísat. Pro odstranění těchto relativně pomalých změn je rátodobá efetivní hodnota K-RMS dělena dlouhodobou efetivní hodnotou L-RMS. Déla ona L-RMS je řádově větší než u K-RMS jedná se řádově o seundy, dežto ono K-RMS je v řádu miliseund. L-RMS je taé nědy označována jao vyhlazená K-RMS neboť sleduje dlouhodobější změny. Rychlé změny v signálu, jaé může způsobovat napřílad hledaná událost, představují vzhledem délce ona L-RMS nepatrné změny a hodnotu L-RMS proto příliš neovlivňují. Hledané navýšení efetivní hodnoty, teré uazuje na energeticé změny v signálu je pa hodnoceno charateristicou funcí t, terá je, ja již bylo výše uvedeno, definována jao podíl rátodobé a dlouhodobé efetivní hodnoty: K RMS t t. 3- L RMS t Za normálního stavu, dy se v signálu nevysytují žádné rázy rátodobé změny se hodnota charateristicé funce t pohybuje olem hodnoty. Ráz je pa deteován v případě, že hodnota této charateristicé funce přeročí stanovenou hranici K trigger. Pro loalizaci rázů je pa používán algoritmus R založený na deteci rázu na něolia snímačích. Se znalostí pozice senzorů a geometrie omponent systému lze určit místo vzniu rázové vlny. S využitím časo-frevenční analýzy lze vša loalizaci významně zpřesnit. V případě analýzy časového signálu lze pro loalizaci využít pouze střední rychlost šíření vlny v materiálu pro ocel cca 3000 m/s. V časo-frevenční oblasti pa lze využít disperzi, e teré při šíření rázové vlny dochází. Rozdílné časy detece rázové vlny na různých frevencích jednoznačně určují vzdálenost, po terou se vlnění z místa rázu senzoru šíří. Porovnání analyticého a MKP výpočtu módů rázové vlny je uázáno na obrázu 3-. Z obrázu je zřetelně patrný disperzní charater jednotlivých módů. Na obrázu 3-3 je pa uázán spetrogram z provozního signálu měřeného na tlaové nádobě reatoru, de je příchod napěťové vlny charaterizován změnami amplitudy v široém spetru frevencí. 5
Obráze 3-: Porovnání analyticého a MKP výpočtu módů rázové vlny Obráze 3-3: Spetrogram slabého rázu na reatorové nádobě 5
3.. Systém pro deteci volných částí ve spalovací omoře plynových turbín Na záladě zušeností s diagnosticým systémem LPMS v JE vznil systém pro deteci volných částí pro spalovací omory plynových turbín. Systém je osazován na turbíny firmy Siemens. Obráze 3-4: Model plynové turbíny. U plynových turbín firmy Siemens probíhá spalování vůli zvýšení účinnosti při vysoých teplotách. Aby vlivem teploty nedocházelo natavení ovového pláště turbíny, jsou spalovací omory na obrázu 3-4 červeně z vnitřní strany obloženy speciálními eramicými oblady. Občas dochází vlivem mechanicého nebo tepelného namáhání prasnutí obladu a následně jeho uvolnění. Nepřítomnost obladu pa může mít za následe např. roztavení nechráněné části stěny turbíny. Uvolněný oblad je většinou unášen poměrně silným prouděním rozváděcím lopatám turbíny, de způsobuje změny v charateristicém proudění spalovaného plynu a tím i nežádoucí vibrace, teré mohou vézt dalšímu pošození turbíny. Úlohou diagnosticého systému je pád achle odhalit, včas na tento stav upozornit a automaticy turbínu odstavit. Signály jsou ze spalovací omory snímány soustavou acelerometrů. Aby bylo možné oeficienty na jednotlivých 53
frevencích určitým způsobem sloučit, aniž by byla ztracena informace o jejich změnách, je prováděno tzv. stochasticé normování Fourierových oeficientů. Časové průběhy vznilých normovaných oeficientů An f, t mají pa na všech frevencích nulovou střední hodnotu a jednotový rozptyl viz [], de se předpoládá, že normované oeficienty jsou realizacemi stacionárních ergodicých procesů, přičemž pro aždou frevenci má daný proces střední hodnotu rovnou nule a rozptyl jedna. Normováním jsou tedy zísány hodnoty, teré nesou informaci o relativních změnách na jednotlivých frevencích. Jao ritérium pro posuzování změn v celém spetru je použita opět efetivní hodnota RMS, tj. v aždém čase t je vypočtena efetivní hodnota normovaných oeficientů přes všech N frevencí normovaných oeficientů. ímto způsobem je zísána charateristicá funce t obsahující příspěve relativních změn na všech frevencích. Přeročí-li tato funce určitou mez, je deteován náraz volné části. Obráze 3-5: Časový signál s událostí z plynové turbíny 54
Obráze 3-6: Časo-frevenční zobrazení rázu - spetrogram Obráze 3-7: Normovaný spetrogram 55