VYSOKÉ UČEÍ TECHICKÉ V BRĚ BRO UIVERSITY O TECHOLOGY AKULTA STROJÍHO IŽEÝRSTVÍ ÚSTAV MECHAIKY TĚLES, MECHATROIKY A BIOMECHAIKY ACULTY O MECHAICAL EGIEERIG ISTITUTE O SOLID MECHAICS, MECHATROICS AD BIOMECHAICS ÁVRH A KOSTRUKCE UKÁZKOVÉ ÚLOHY DO PŘEDMĚTU PPI DESIG AD COSTRUCTIO O THE TASK TO THE SUBJECT PPI BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR JIŘÍ KRÁL Ing. TOMÁŠ ÁVRAT, Ph.D. BRO 011
Abstrakt Bakalářská práce se zabývá vytvořením výpočtového modelu pro určení napjatost a deformací rovnné prutové soustavy. a základě tohoto modelu je pak následně vytvořen fyzcký model určený pro výukové účely. S využtím tenzometrů bude měřeno napětí jednotlvých prutů soustavy. V závěru budou prezentovány případné rozdíly mez teoretckým a reálným modelem. Abstract The bachelor thess deals wth creatng of computatonal model for defnton of tensty and deformatons of bars system. Then the physcal model s made accordng to the theoretcal model. Ths physcal model s used for educatonal purposes. ext step s measurement of stress and deformaton of bars. The fnal part s focused on eventual varatons between theoretcal and real model. Klíčová slova prutové soustavy, pružnost, pevnost, mezní stavy, tenzometry, měření napětí, výukové modely, výpočtové modely, statcká určtost, Castglanova věta, Keywords bars systems, elastcty, strength, ultmate state, stran gauges, stress measurement, educatonal models, computatonal model, statc determnaton, Castglano s theorem
Bblografcká ctace KRÁL, J. ávrh a konstrukce ukázkové úlohy do předmětu PPI. Brno: Vysoké učení techncké v Brně, akulta strojního nženýrství, 011. 30 s + IV s příloh. Vedoucí bakalářské práce Ing. Tomáš ávrat, Ph.D.
Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou prác vypracoval samostatně s použtím uvedených pramenů a lteratury. V Brně:...... podps
Poděkování Zde bych chtěl poděkovat všem, kteří m pomohl př řešení problémů vznklých během tvorby mé bakalářské práce. Zejména bych uvedl vedoucího mé práce, kterým byl Ing. Tomáš ávrat, Ph.D.
Obsah 1. Úvod.... Prutové soustavy... 3 3. Teoretcké podklady... 5 3.1. Statcké předpoklady... 5 3.. Vnější statcká určtost... 6 3.3. Vntřní statcká určtost... 6 3.4. Metody řešení...7 3.5. Předpoklady dle Pružnost a Pevnost I... 8 3.6. apjatost prutové soustavy...10 3.7. Castglanova věta... 1 3.8. Mezní stavy, bezpečnost... 14 4. Výpočtový model...17 4.1. Posouzení statcké určtost... 17 4.. Výpočet prutových sl... 19 4.3. Výpočet napětí... 1 4.4. Výpočet posuvu styčníku... 1 4.5. Výpočet bezpečnost... 5. Reálný model... 4 5.1. Tenzometre... 7 6. Závěr... 8 7. Použté prameny... 9 8. Seznam příloh... 30-1 -
1. Úvod Bakalářská práce vychází z obsáhlé problematky mechanky těles, která je vyučována na akultě strojního nženýrství VUT. Konkrétně jsem zde čerpal znalost z oblast Pružnost a Pevnost a pak ze Statky. Já jsem z těchto oblastí využl nformace vztahující se k řešení prutových soustav. Tuto problematku jsem pak v prác rozděll do tří hlavních částí. V první část uvádím teoretcký pops prutových soustav. Tato teore vlastně popsuje odlšnost mez praktckým realzacem soustav z kaptoly první a soustavam, které jsou náplní výuky na SI. Plynule zde přecházím ze Statky k Pružnost a Pevnost. Druhá část práce obsahuje výpočtový model. Všechny výpočty použté pro tento model vychází právě z část první. Konkrétně jsem zde musel navrhnout rozměrové parametry soustavy. Dále jsem zde řešl namáhání soustavy př určtém zatížení a s tím spojené výpočty napětí, pohybu soustavy a také bezpečnost. Tyto výpočty a návrh jsem musel několkrát opakovat tak, aby soustava vyhověla bezpečnost. Poslední část se pak věnuje návrhu a realzac konkrétní fyzckého modelu. Tento model vychází z modelu výpočtového uvedeného ve druhé část. Uvedl jsem zde řešení všech částí, které bylo nutné vyrobt. Také jsem tu uvedl veškerá úskalí př realzac součástí. Samozřejmostí byla tvorba výrobních výkresů jednotlvých součástí, které jsou přloženy v přílohách práce. Reálný model pak slouží k měření teoretcky vypočtených hodnot a jejch vzájemnému porovnání s teorí. Z těchto částí jsou jasné cíle této práce. Jsou jm: sestavení výpočtového modelu na základě teoretckých znalostí, návrh a realzace fyzckého modelu pro měření mechanckých velčn. - -
. Prutové soustavy Konstrukce skládající se z jednotlvých prutů je možné nalézt na mnoha místech. Můžeme se s nm setkat velm často v dopravním stavtelství, kdy jsou pomocí prutových konstrukcí, jnak nazývaných příhradové konstrukce, realzovány například železnční mosty nejrůznějších velkostí. Obr. 1: železnční příhradový most nedaleko Chebu -převzato z [] Boční příhradové nosníky [5] mostu na Obr. 1, velm názorně reprezentují prutové konstrukce, kterým se zabýváme v Pružnost a Pevnost I. emalé zastoupení lze nalézt v archtektuře, kde dovolují realzac rozsáhlých nosných konstrukcí. Pro příklad není třeba chodt daleko, protože pavlon Z brněnského výstavště a jeho kopule s průměrem 93m [9] je dobrou ukázkou. Obr. : pohled na kopul pavlonu Z brněnského výstavště-převzato z [4] Z mého pohledu studenta SI je dobré vědět, že prutové konstrukce lze nalézt v případě konstrukcí strojů a zařízení. Snadno rozpoznatelným zástupcem mohou být věžové jeřáby používající se ve stavebnctví. a obrázku níže je dobře vdět že jednotlvé segmenty se skládají z jednoduchých prutových konstrukcí. - 3 -
Obr. 3: jednotlvé segmenty určené pro stavbu věžového jeřábu -převzato z [3] Z nemnoha výše uvedených příkladů je patrné, že znalost problematky prutových konstrukcí je poměrně užtečná a mohu s tím položt základy pro řešení složtějších konstrukcí. - 4 -
3. Teoretcké podklady V první část mé práce uvedu teoretcký rozbor a problematku, jakou jsem použl pro řešení výpočtového modelu. Jsou zde uvedeny předpoklady z hledska statky a pružnost a také možnost řešení prutových soustav. 3.1. Statcké předpoklady Statcké předpoklady defnují, z čeho se prutová konstrukce skládá a jak je možné j zatížt z pohledu statky [6]. Vazby mez pruty jsou realzovány pomocí rotačních knematckých dvojc v případě rovnných soustav, což je můj řešený případ. Soustavy jsou složeny z prutů nebo styčníkových těles. Prut je určen středncí která představuje spojnc těžšť příčných průřezů prutu. Takto defnovaný prut může nabývat nejrůznějších tvarů. V mém případě se však omezím pouze na případ přímých prutů. Obr. 4: střednce prutu se znázorněným příčným průřezy Styčníkové těleso, dále jen styčník, je střed knematckých dvojc mez jednotlvým vázaným pruty. Vnější zatížení soustavy je realzováno pouze přes styčníky (vz Obr. 5). Tento předpoklad je vzhledem k realtě velm omezující, protože málokterá soustava je zatížena pouze podle tohoto předpokladu. S tím souvsí uložení soustavy k základnímu tělesu, které je realzováno taktéž pouze pomocí styčníků prostřednctvím knematckých slových dvojc. Obr. 5: jednotlvé prvky soustavy Tímto jsem s stanovl základní předpoklady pro řešení prutových soustav a je možné začít s řešením, na jehož konc získám síly působící na jednotlvé pruty. - 5 -
3.. Vnější statcká určtost Př řešení vnější určtost [6] je možné uvažovat soustavu jako jedno těleso, kdy mě jako řeštele nezajímá z čeho je toto těleso složeno (vz Obr. 6). Obr. 6: těleso pro určení vnější určtost Z obrázku výše je vdět, že uvažované těleso je k základnímu tělesu vázáno pomocí dvou vazeb A, B. Vazba A je obecná, vazba B je rotační. Pro zjštění určtost je třeba tyto vazby uvolnt a nahradt je tak odpovídajícím slovým účnky. Obecná vazba se nahrazuje jednou slou, rotační vazba pak dvojcí sl (vz. Obr. 7). Obr. 7: uvolněné těleso Pro vnější určtost s zavedu označení sex a pro její určení lze sestavt jednoduchou rovnc ex - ex = sex, kde ex jsou vnější neznámé parametry, zde síly Ay, By, Bx, ex udává počet použtelných statckých podmínek pro danou slovou soustavu. V mém případě se jedná o obecnou rovnnou soustavu sl, pro kterou platí ex = 3 a z toho jsou dvě slové a jedna momentová M statcká podmínka. Po dosazení získám, že 0 = sex z čehož vyplívá, že těleso je statcky určtě uložené. 3.3. Vntřní statcká určtost Pro vyřešení vntřní statcké určtost [6] je třeba uvolnt pruty a styčníky prutové soustavy. a každý uvolněný prut bude působt jedna síla, která bude ležet na střednc prutu. Kladný smysl této síly je orentován ven z prutu. Př uvolňování styčníků je třeba respektovat prncp akce a reakce. Síly z uvolněných prutů budou tedy na styčníku orentovány opačným směrem. Pro početní řešení stačí uvolnt pouze styčníky, jak je uvedeno na obrázku níže. - 6 -
Obr. 8: uvolněné styčníky Po uvolnění styčníků je patrné, že na každý styčník působí centrální rovnná soustava sl. Vntřní statckou určtost s nazvu sn a lze napsat, že pokud platí rovnost k 3 = p, pak je soustava vntřně statcky určtá. Písmeno k prezentuje počet styčníků soustavy, p je počet prutů soustavy, číslo m říká, kolk statckých podmínek mohu použít pro každý styčník a číslo 3 pak kolk statckých podmínek musím odečíst, protože jž byly použty pro výpočet vnější statcké určtost. Po dosazení získám rovnost 3 = 3, soustava je tedy vntřně statcky určtá. 3.4. Metody řešení yní jsem konečně dospěl k bodu, kdy je možné určt jednotlvé síly působící v prutech. Pro jejch stanovení exstuje více metod, já zde nastíním pár z nch a ukázkový výpočet předvedu pro metodu, kterou jsem zvoll pro řešení výpočtového modelu (vz. kaptola 4). Obecná styčníková metoda Tato metoda [6] spočívá v úplném uvolnění celé soustavy z Obr. 5. Pro uvolněné styčníky dle Obr. 8, mohu napsat rovnce statcké rovnováhy, které pak tvoří soustavu lneárních rovnc. Takovou soustavu pak mohu přepsat do matcového zápsu ve tvaru A x b, (3.1) kde A je matce soustavy, x je matce neznámých parametrů, v mém případě prutové síly a síly ve vazbách a matce b obsahuje úplně zadané slové parametry. Pro takové řešení je vhodné zvolt nějaký výpočtový software, protože pro větší prutovou soustavu mohou být matce poměrně velké a ruční výpočet poměrně obtížný. Postupná styčníková metoda Je to metoda [6], kterou lze použít na řešení statcky určtých soustav. ejprve s musím zvolt styčník, u kterého začnu řešt výpočet. Volba prvního styčníku je důležtá s hledska dalších výpočtů. Jako první s vyberu takový styčník, na který mmo úplně zadaných slových parametrů, působí pouze dva další neznámé slové parametry. V mém případě je to styčník, na který působí vnější úplně zadaná síla a také prutové síly, 3 neznámé velkost. Pro tento styčník s pak sestavím rovnce rovnováhy ve dvou osách (vz. 3.). x y : : sn cos - 7-3 3 sn cos 0 0 (3.)
Z rovnc rovnováhy bych získal prutové síly a 3 jako funkc zadané síly. Dále mohu řešt styčník s vazbou A, na který opět působí známá prutová síla 3 a pouze dva neznámé slové parametry 1, Ay. Po sestavení rovnc statcké rovnováhy (3.3) mohu tyto parametry vypočítat. Z tohoto postupu je patrné, že pro určení sl v prutech jsem nepotřeboval výpočty pro všechny styčníky. Pro úplnost uvedu rovnce statcké rovnováhy také pro poslední styčník, ze kterého je možné získat síly vznkající v rotační vazbě. : x 3 : y Ay sn 3 1 0 cos( ) 0 (3.3) : x : y By 1 Bx cos sn 0 0 (3.4) Grafcké řešení Z výše uvedené postupné styčníkové metody vychází také grafcké řešení [5]. Pokud budu uvažovat jednoduchou soustavu dle Obr. 5, pak musím nejprve stanovt z podmínek statcké rovnováhy síly vznkající ve vazbách. Stejně jako u postupné metody, začínám řešení od styčníku, ve kterém jsou neznámé pouze dva slové parametry. Tyto síly se pak postupně zakreslují do slových obrazců jednotlvých styčníků. apříklad pro styčník A bude obrazec vypadat tak, jak je uvedeno na Obr. 9. Obr. 9: slový obrazec ejprve je nutné v patřčném měřítku vynést známou sílu, ke které se následně sestrojí dvě přímky svírající úhel a jejch průsečík určí velkost, 3. V pravdě s nedokážu představt grafcké řešení složtějších prutových soustav. 3.5. Předpoklady dle Pružnost a Pevnost I Díky zavedení několka omezení a předpokladů ze statky, jsem byl schopen určt síly působící na jednotlvé pruty. Pro určení jak moc jsou pruty namáhány, je však potřeba zavést další předpoklady, tentokrát z oblast pružnost a pevnost [1]. - 8 -
Prutové předpoklady Tyto předpoklady popsují model reálného tělesa z hledska napjatost a deformace [1]. 1. Geometrcké předpoklady Prut je určen středncí a v každém bodě střednce je určen příčním průřezem (vz Obr. 4). Tento předpoklad je stejný jako v případě statckých předpokladů uvedených výše. Průsečík střednce a příčného průřezu je těžštěm příčného průřezu. Střednce je spojtá a hladká křvka. Příčný průřez je spojtá nebo vícenásobně spojtá souvslá oblast ohrančená obrysovou křvkou. Takto defnovaný průřez lze popsat průřezovým charakterstkam. Délka střednce je řádově větší jak největší rozměr příčného průřezu.. Vazbové a zatěžovací předpoklady Vazby prutu omezují jen posuvy a úhly natočení střednce. Zatížení působí pouze na střednc. Slové působení tedy prezentují osamělé, lnové síly, slové dvojce (vz Obr. 10). 3. Deformační předpoklady Obr. 10 Střednce zůstává př deformac spojtá a hladká. Příčné průřezy zůstávají př deformac rovnné a kolmé k deformované střednc. Podle charakteru zatěžování lze rozlšt průřezy: a) vzájemně se oddalující nebo přblžující a deformující se tah/tlak b) natáčející se kolem osy ležící v průřezu a deformující se ohyb c) natáčející se kolem osy kolmé k průřezu a nedeformující se krut d) posouvající a nedeformující smyk 4. apjatostní předpoklady apjatost v bodě prutu je dána smykovým napětím v příčném průřezu a normálovým napětím, tak jak je znázorněno na obrázku 11. Takový typ napjatost je nazýván jako prutová napjatost. - 9 -
Obr. 11: prutová napjatost na elementárním prvku 3.6. apjatost prutové soustavy Tak jak jsem výše uvedl, na pruty soustavy působí prutové síly, jejchž nostelka je totožná se středncí prutu. Tyto síly způsobují namáhání tlakem resp. tahem. Prostý tah a tlak Př namáhání prostým tahem a tlakem je jednou složkou VVÚ normálová síla [1]. V případě namáhání tlakem je tato normálová síla orentována prot směru vnější normály, tedy míří do prutu. V případě tahu je pak orentována v kladném směru vnější normály a míří tak z prutu, tak jak je pro názornost uvedeno na obrázku 1. Obr. 1: orentace normálových sl V mém případě uvažuj homogenní, lneárně pružný materál, pro který platí: E E 1 (3.5) Význam velčn v rovncích (3.5) je následující, E modul pružnost v tahu, délkové přetvoření zde ve směru střednce, součntel příčné deformace (Possonovo číslo), je úhlové přetvoření. Př namáhání tahem a tlakem se příčné průřezy prutů pouze oddalují nebo přblžují, z čehož plyne, že úhlová přetvoření jsou nulová a smykové napětí je taktéž rovno nule. Př výpočtech je tedy nutno stanovt pouze normálové napětí. Obr. 13: úhlová přetvoření Za předpokladu, že E je společně s v průřezu konstantní, pak lze říc, že normálové napětí bude v tomto průřezu konstantní. Takto vznklá napjatost se označuje jako jednoosá - 10 -
Obr. 14: napětí v průřezu Z výše uvedeného vztahu (3.5) lze napětí vypočítat, ncméně málokdy je známá hodnota ba naopak je často nutné j vypočítat. Proto níže uvedu, jak napětí vypočítat pomocí známých průřezových charakterstk a pomocí normálové síly. Z prutu zatíženého slou s uvolním elementární prvek podle obrázku 11. Obr. 15 Pro takto uvolněný prvek použj podmínku statcké ekvvalence [6] d ds. Obr. 16 Teď je možné sestavt podmínky statcké rovnováhy statcké ekvvalence. : x M M oy oz : : ds x z ds M y ds M (3.6) Ze slové rovnováhy za předpokladu x = konst., vyplívá vztah = /S. Z tohoto vztahu už mohu snadno vypočítat tahové resp. tlakové napětí, protože tvar a rozměry průřezu jsou většnou známé a pro určení je potřeba znát VVÚ. oy oz - 11 -
3.6.1. Energe napjatost Díky znalost této energe mohu pomocí Castglanovy věty dále vypočítat posuvy lbovolného styčníku prutové soustavy. V oblast lneární pružnost je energe napjatost tělesa dána deformační prací působících sl a nezáleží přtom na druhu sl, tedy jestl je to osamělá síla, slová dvojce č soustava těchto sl [7]. V mém případě je každý prut zatížen jednou osamělou prutovou slou. Pro osamělou sílu je deformační práce dána vztahem A 1 u (3.7) kde je působící síla, u posuv působště této síly. Pokud s uvolním elementární prvek podle obrázku 13, pak mohu ve vztahu (3.7) sílu zapsat jako ds, u jako du. Obr. 17 Ze zvýše zmíněných vztahů vím, že du = dx, = /E a vztah (3.5) mohu přepsat jako (3.8) Pokud se tedy změna energe napjatost W rovná celé deformační prác A, pak lze pro prut délky l zapsat akumulovanou energ napjatost jako kde je normálová síla, E modul pružnost v tahu, S plocha průřezu. 3.7. Castglanova věta A 1 dx dx dsdx ds ES ES ES W l 0 dx ES (3.9) Tuto větu využj pro výpočet posuvu lbovolného styčníku prutové soustavy. Jako další možnost mám určení jednotlvých prodloužení prutů a z toho dopočítat posuvy styčníků jenomže by to bylo velm zdlouhavé a poměrně pracné. yní zde uvedu, jak je Castglanova věta defnována [1]. - 1 -
Obr. 18 Pokud budu mít těleso dle Obr. 14 zatížené soustavou sl 1,,.., j, pak pro takovou soustavu mohu napsat výraz pro deformační prác A ve tvaru n A 1 u j j 1 j (3.10) Teď vezmu do úvahy -tou sílu soustavy a zvětším j o velkost d. Tento přírůstek síly způsobí změnu deformační práce A soustavy a lze jej zapsat jako A da d (3.11) V případě lneárně pružného materálu deformační práce nezávsí na hstor zatěžování a tak musí platt vztahy pro případ, kdy bych nejprve těleso zatížl přírůstkem síly d s deformační prací podle (3.1). da 1 1 (3.1) Dále pak zatížím těleso opět soustavou sl 1,,, j a přírůstek síly d pak vykoná prác danou vztahem (3.13). Pro tento způsob zatěžování je pak celková deformační práce přírůstku rovna vztahu (3.14). d du da du (3.13) 1 da d du du (3.14) Pokud teď porovnám pravé strany rovnc (3.13), (3.14), ve druhé zanedbám člen druhého řádu a přhlédnu k tomu, že deformační práce se rovná energ napjatost, získám první část Castglanovy věty (3.15). W u (3.15) Tento vzorec m říká, že posuv síly po její nostelce ve směru působení síly je dán parcální dervací energe napjatost podle této síly. Mnou uvedená energe napjatost odpovídá jednomu tělesu, proto dále uvedu, jak určt energ napjatost prutové soustavy obsahující n-prvků. Ve vztahu (3.9) mám uvedený obecný vztah pro energ napjatost tahu resp. tlaku. Tento mohu za předpokladu konstantního průřezu S, normálové síly a modulu pružnost E přepsat jako - 13 -
l W ES (3.16) kdy tento vztah platí pro jeden prut. Pro celou soustavu pak platí vztah (3.17) a následně pak mohu určt posuv lbovolného styčníku podle vztahu (3.18). W n 1 l ES (3.17) u W n 1 l ES (3.18) 3.8. Mezní stavy, bezpečnost Všechny výše uvedené vztahy platí pro prut jako modelové těleso. Vymezení prutu jsem provedl výše a dále jsem předpokládal, že se pohybuj v pružném elastckém stavu materálu. Otázkou zůstává, jestl je prut v takovém stavu, v jakém předpokládám a jak případně zjstím hranc tohoto stavu. 3.8.1. Mezní stav pružnost Pro tento stav, dále jen MSP, je charakterstcké, že po jeho překročení se v materálu začnou objevovat plastcké deformace [7]. Mezní hodnota, kterou nesmím překročt, se nazývá mez kluzu K a je pro většnu materálů zjšťována expermentálně pomocí tahové zkoušky. Co se týká bezpečnost, tak ta se dá obecně vyjádřt jako poměr provozní hodnoty ku hodnotě mezní. Provozní hodnota bude v mém případě tlakové resp. tahové napětí = /S. V souladu s tím mohu zapsat bezpečnost vzhledem k MSP jako k K K (3.19) kdy jsou pro mě důležté tř hodnoty bezpečnost kk a to: kk > 1: v tomto případě jsem nedosáhl MSP a mohu uvažovat všechny výše uvedené vztahy. kk = 1: v tomto případě jsem dosáhl meze bezpečnost vzhledem MSP. kk <1: tady už jsem překročl bezpečnost vzhledem k MSP. 3.8.. Mezní stav vzpěrné stablty Tento stav nastává pouze u prutů namáhaných tlakem. V prncpu jde o to, že během zatěžování se může náhle změnt charakter deformace prutu [7]. Jž dříve jsem poukázal, že př namáhání tlakem dochází k vzájemnému přblžování příčných průřezů a jednou složkou VVÚ je normálová síla. Ovšem př velkém zatížení může dojít k vybočení prutu, tak jak je naznačeno na Obr. 15 a začne převládat ohybový moment a domnantní deformací bude ohyb., - 14 -
Obr. 19 K takovému chování může dojít př překročení krtcké síly kr, kterou lze pro prut dle Obr. 15 popsat vztahem kr EJ, l (3.0) kde E je modul pružnost v tahu, J hlavní centrální kvadratcký moment příčného průřezu, l je délka prutu. Takto popsaný stav však nemusí nastat an po překročení krtcké síly kr. V okamžku jejího překročení může dojít k stablnímu ohybu nebo bude pokračovat stlačování prut, ale tento stav nebude stablní ale lablní, jak je vdět z grafu na Obr. 16 popsující závslost mez průhybem prutu a slou na něj působící. Obr. 0: převzato z [7] Vztah (3.0) byl ovšem odvozen pro případ lneárně pružného materálu bez omezení, kdy nevznkají žádné plastcké deformace. Já však musím uvažovat nejjednodušší model materálu, kterým je houževnatý materál s mezí kluzu K. Za tohoto předpokladu mohu určt mezní napětí kr odpovídající krtcké síle. kr EJ (3.1) kr S S l S Př zavedení velčny nazývající se štíhlost prutu získám následující vztahy (3.) a (3.3). E kr l J s (3.), (3.3) - 15 -
Mezní stav vzpěrné stablty houževnatého materálu může nastat pouze za předpokladu kr < K. Pokud bych dosadl K do vztahu (3.), pak mohu získat vztah pro výpočet tzv. krtcké štíhlost k. k (3.4) Výpočet bezpečnost vzhledem k meznímu stavu vzpěrné stablty lze pak provést pomocí součntele kv. kr k (3.5) v Teď je jasné, že u prutu namáhaného tlakem přchází do úvahy vyšetřování dvou mezních stavů, proto dále uvedu, za jakých podmínek je možné jednotlvé bezpečnost určt. < k: pro tento případ je rozhodující mezní stav pružnost, protože nastane dříve. > k: zde je rozhodující mezní stav vzpěrné stablty. E k - 16 -
4. Výpočtový model V předchozí část jsem s zavedl teoretcké podklady, které budu využívat pro výpočet teoretckého modelu prutové soustavy uvedené na Obr. 1. Tato Obr. 1 soustava se skládá celkem z 11 prutů a zatížení je vyvozeno slou působící ve styčníku A. Velkost síly je rovna 100 a délka l je 50mm. 4.1. Posouzení statcké určtost vnější statcká určtost sex Obr. : úplné uvolnění neznámé parametry ex = {HX, HY, GX, GY} = 4 použtelné podmínky statcké rovnováhy ex = 3 sex ex 4 3 1 (4.1) Protože je soustava 1x statcky neurčtá je třeba provést částečné uvolnění na úroveň vnější statcké určtost. ex - 17 -
Obr. 3 yní musím předepsat deformační podmínku ve vertkálním směru pro styčník G ve znění, že ug = 0. Tuto deformační podmínku využj pro výpočet neznámé síly GY, pomocí níž budu poté schopný dopočítat ostatní síly vznkající ve vazbách. 11 W l u (4.) G 0 GY 1 ES GY Z takto vyjádřené deformační podmínky po dosazení získám GY = 0. vntřní statcká určtost sn počet prutů p = 11 počet styčníků k = 7 s n p k 3 11 14 3 0 (4.3) - 18 -
- 19-4.. Výpočet prutových sl styčník A styčník B styčník C styčník D 0 : 0 : 10 11 11 y x 0 : 0 : 11 7 6 11 y x 0 : 0 : 9 7 9 8 10 y x 0 : 0 : 9 3 9 4 6 y x
0 styčník E styčník G styčník H 0 : 0 : 5 3 5 8 y x 0 : 0 : 1 GY y GX x 0 : 0 : 5 1 5 4 HY y HX x
Z výše uvedených rovnc statcké rovnováhy pro jednotlvé styčníky jsem s vypočítal velkost jednotlvých sl, které jsou uvedeny v následující tabulce. Pokud je síla uvedená jako záporná, pak působí naopak, než je uvedeno na obrázku uvolněných styčníků a příslušný prut je tak namáhán tlakem. x x [] 1 = -GY 0 = 3 300 3 = 100 4 = - -00 5 = - -141,4 6 = - -100 7 = 100 8 = 00 9 = - -141,4 10 = 100 11 = - -141,4 Tab. 1 4.3. Výpočet napětí apětí jsem vypočítal podle vztahu (3.6) uvedeného výše. Pro jeho určení ještě potřebuj příčný průřez, jehož tvar je na Obr. 19. Rozměry jsou D = 8 mm, d = 6 mm. x [MPa] 1 = 0 = 13,64 3 = 4,55 4 = -9,09 5 = -6,43 6 = -4,55 7 = 4,55 Obr. 4 8 = 9,09 9 = -6,43 10 = 4,55 11 = -6,43 4.4. Výpočet posuvu styčníku Tab. Pro určení vertkálního posuvu jsem s vybral styčník B ale pro výpočet podle Castglanovy věty musím v tomto směru zavést doplňkovou sílu D = 0, protože v tomto směru žádná síla nepůsobí a nemohl bych tak posuv vypočítat. Uvolněný styčník B bude tedy vypadat tak, jak je uvedeno na obrázku níže. 1
Obr. 5 Tvar normálových sl v závslost na doplňkové síle D je následující. Tab. 3 Př použtí vztahu (3.18) získám posuv styčníku B: 11 L u B 0,8mm ES 4.5. Výpočet bezpečnost x [] 1 = 0 = D + 3 3 = D + 4 = - D - 5 = - D - 6 = - 7 = D + 8 = D + 9 = - D - 10 = 11 = - 1 (4.4) ejprve s vypočítám štíhlost a krtckou štíhlost prutu K pro pruty délky 50mm a zvlášť pro dagonální pruty délky 353mm. D 1 l J S 0,5 1,3710,10 10 5 100,18 l 0,5 10 J S 1,3710,10 5 141,6 K E K 69500 10 150 10 6 6 67,6 (4.5) Z těchto výpočtů je zřejmé, že 1>K a >K, musím tedy provést kontrolu bezpečnost vzhledem k meznímu stavu vzpěrné stablty kv. ejprve ale musím zjstt velkost krtckých sl kr1, kr.
6 10 EJ 69500 10 1,37 10 kr 1 478, 6 l 0,5 (4.6) 6 10 EJ 6950010 1,3710 (4.7) kr 39, 6 l 0,5 yní mohu určt bezpečnost kv1, kv jako: U dalších prutů namáhaných tahem stačí vybrat nejvíce namáhaný prut a určt bezpečnost vzhledem k MSP kk pouze pro něj. Pokud tento vyhoví, pak je jasné, k kr1 max 4 6 478,6,39 V V ; 00 max ; ; 9 11 1 (4.8) (4.9) k k max ; 3; 7; 8; 10 k K 39,6 141,4 kr (4.10) že ostatní taktéž splní podmínky bezpečnost. Z tohoto je patrné, že soustava má k překročení MSP hodně daleko a tak je lmtujícím faktorem nebezpečí vybočení prutů př jejch zatěžování. 150 13,64 11 1,69 3
5. Reálný model Poslední částí mé práce je realzace fyzckého modelu, který vychází z výpočtové ho modelu z předchozí kaptoly. Jedním z hlavních požadavků byla jednoduchost a zároveň varablta celé soustavy. Já jsem zvoll poměrně jednoduchou soustavu, ale neměl by být problém sestavt lbovolnou, vntřně statckou prutovou soustavu. ejtěžší př navrhování konstrukce bylo vymýšlení podoby styčníků tak, aby byla zajštěna požadovaná varablta. akonec jsem zvoll řešení, které je na obrázku níže. Obr. 6 Samotný styčník, označený na obrázku číslem 1, je tvořen hlníkovým dskem o průměru 70mm. K styčníku jsou pak pomocí upínek přšroubovány pruty. Realzace prutů je vdět na Obr.. Pro všechny tyto součást jsem vytvořl také Obr. 7 výrobní výkresy, které jsou přloženy v přílohách této práce. Pruty mají stejný průřez, jako u výpočtového modelu a jsou vyrobeny z hlníku E AW-6060. a každém konc prutu je pak pomocí lepdla zalepen šroub pro našroubování upínky, která je zajštěna pomocí matce prot povolení. Sestavená prutová soustava je pak na Obr. 3. 4
Obr. 8 5
Zatížení bylo vyvozeno pomocí svorníku na Obr. 4, kde uprostřed je vřazen elektroncký sloměr, který je zároveň lmtující, protože má velm krátké závty a není možné tak vyvodt požadovanou sílu. Posuv styčníku je měřen pomocí analogového úchylkoměru, který je uchycen k rámu pomocí magnetckého stojánku a je tak možné měřt posuv lbovolného styčníku. 6
5.1. Tenzometre Tato technka se využívá pro snímání mechanckého napětí v materálu. ejpoužívanější tenzometry [8] jsou odporové, které lze dále rozdělt na: drátkové folové vrstvové Tyto provedení se lší použtým druhem odporové mřížky, ovšem všechny využívají deformace drátu. Obr. 9: příklad tenzometru frmy HBM-převzato z [10] Př deformac zkoumaného objektu se deformace přenáší na tenzometr, u kterého dochází ke změně elektrckého odporu [8]. Elektrcký odpor je defnován vztahem (5.1) R (5.1) kde je měrný elektrcký odpor (rezstvta), l je délka drátu a S plocha příčného průřezu. Z toho je zřejmé, že př deformac se mění odpor tenzometru, což je způsobeno změnou jeho délky. Pro celkovou změnu odporu R je třeba znát přetvoření = l/l. Změna odporu je pak dána vztahem [8] (5.1) kde k je deformační součntel tenzometru, jnak nazývaný k-faktor. Pro samotné měření byl vybrán z časových důvodů pouze jeden prut a dle Obr. 5 byl nalepen tenzometr. l S R Rk,, Obr. 30 7
6. Závěr V první část práce jsem se věnoval teor prutových soustav. Zde bylo as nejobtížnější najít všechny potřebné nformace a jejch následné zformulování a sepsání do práce. V druhé část je popsán výpočtový model. Jeho sestavování byl několkanásobný terační proces, protože ne všechny výpočty byly správné hned na první pokus. Zejména pak výpočty bezpečností způsobly několkeré předělání všech rozměrů. Poslední část, fyzcký model, byla as nejobtížnější část, ač se to zprvu nezdálo. První problém, samotnou realzac jsem nakonec zvládnul, ale př sestavení modelu se ukázalo, že šrouby držící pruty musí být utažené. Ovšem pak s nejsem jstý, jestl styčník opravdu představuje rotační vazbu. Dalším krtckým místem fyzckého modelu byly pruty, respektve přpevnění závtů pro upínky. Pro přpevnění bylo zvoleno lepdlo, ale př prvním sestavení se pruty rozleply kvůl malému množství lepdla. Pro měření už byla soustava přpravena, ale př zatěžování se opět pruty rozleply, naneštěstí také prut s tenzometrem. Díky tomu jsem ze soustavy nezískal žádné hodnoty pro porovnání s výpočtovým modelem. a soustavě proběhnou další úpravy, aby bylo možné provést měření. Tyto úpravy se ale nesthnout dokončt do odevzdání této práce, čímž se m nepodařlo dosáhnout jednoho z cílů mé práce. 8
7. Použté prameny [1] JAÍČEK, Přemysl; ODRÁČEK, Emanuel; VRBKA, Jan.: Mechanka Těles: Pružnost a Pevnost I. 004. Brno: CERM, 004. 87 s. ISB 80-14-59-X. [] http://cestovan.kr-karlovarsky.cz : mosty a mostky [onlne]. 008 [ct. 011-05-5]. Turstcký portál Karlovarského kraje. Dostupné z WWW: <http://cestovan.krkarlovarsky.cz/cz/pronavstevnky/clovekmentvarkraje/mostyamostky/st ranky/default.aspx>. (MOST) [3] http://www.tootoo.com/ [onlne]. 008. 008 [ct. 011-05-5]. Internatonal trade portal. Dostupné z WWW: <http://mgs.tootoo.com/e5/96/e596f0df4f6913fcd70fcce6e936e.jpg> [4] CUPÁK, Ondřej. http://www.fotoaparat.cz/ [onlne]. 009. 005 [ct. 011-05-5]. Rádce fotografa. Dostupné z WWW: <http://www.fotoaparat.cz/ndex.php?r=5&gal=photo&rp=171769>. [5] KADLČÁK, Jaroslav; KYTÝR, Jří. Statka stavebních konstrukcí. Druhé vydání. Brno: VUTIUM, 001. 349 s. ISB 80-14-1877-X. KUČERA, Václav. Archtektura nženýrských staveb. První vydání. Praha: Grada, 009. 30 s. ISB 978-80-47-504-8. [6] LORIA, Zdeněk; PELLAT, Karel; SUCHÁEK, Mroslav. Techncká mechanka I: Statka [onlne]. Brno : [s.n.], 004 [ct. 011-05-5]. Dostupné z WWW: <http://www.umt.fme.vutbr.cz/cz/studum/studjnmateraly.html>. [7] HORÍKOVÁ, Jana; ŠADERA, Pavel. Pružnost a pevnost [onlne]. První vydání. Brno: CERM, 003 [ct. 011-05-5]. Dostupné z WWW: <http://beta.fme.vutbr.cz/cpp/>. ISB 80-704-68-8. [8] VLK, Mloš, et al. Expermentální mechanka [onlne]. Brno : [s.n.], 003 [ct. 011-05-5]. Dostupné z WWW: <http://www.umt.fme.vutbr.cz/cz/studum/studjn-materaly.html>. [9] http://www.bvv.cz [onlne]. Brno : 011 [ct. 011-05-5]. BVV Veletrhy Brno. Dostupné z WWW: <http://www.bvv.cz/000/akce/brent.nsf/d47bb7af394888c1c1569f000656e14/33d784c83a0fd78056 c01003e109!opendocument>. [10] http://www.drectndustry.com [onlne]. [s.l.] : [s.n.], 011 [ct. 011-05- 5]. Dostupné z WWW: <http://www.drectndustry.com/prod/hbm/structurally-ntegratedstran-gauges-6017-593.html>. 9
8. Seznam příloh 1. styčník. styčník pevný 3. upínka 4. upínka pevná 30