ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH Povzoní studní mateál - -
Křvky v toozměném postou Úvod E - toozměný eukldovský posto s pevně zvolenou katézskou soustavou P e e V - eho zaměření D Nechť J R Zobazení X : J E (esp x : J V funkce edné poměnné e se nazývá bodová (vektoová Pozn Lmta bodové esp vektoové funkce v čísle t exstue pávě když exstuí lmty eích složek: lm x a ( Pak platí lm X ( t A esp lm x( t a kde A ( a a a a tt tt tt a a a ( a Bodová nebo vektoová funkce e spotá v čísle t estlže e v t defnována a má zde lmtu ovnou funkční hodnotě v čísle t Devace dx ( t X ( t h X ( t Xɺ + ( t lm h h ( xɺ ( t xɺ ( t xɺ ( t analogcky po vektoovou funkc: dx( t xɺ ( t x( t lm h + h x( t h ( xɺ ( t xɺ ( t xɺ ( t V obou případech e devací vekto! 4 d d Xɺ + u ɺ d( uv uɺ v + u v ɺ uɺ v w + u vɺ w + u v w ɺ ( X + u d ( f u ( u v w ( ( ( d u v ( fɺ u + f u ɺ uɺ v + u v ɺ D Řekneme že eálná bodová nebo vektoová funkce e třídy C n ( n N estlže e na dané množně spotá se svým devacem až do řádu n - -
D Množnu k E nazýváme egulání křvkou e-l učena aspoň ednou bodovou (esp vektoovou funkcí R( t esp vektoovou funkcí ( t defnovanou na otevřeném ntevalu J s těmto vlastnostm: R( t esp ( t e postá a třídy aspoň t J : Rɺ ( t esp ( t C Pozn V dalším budeme upřednostňovat vektoové popsy křvek Vekto (t - názvy: adus vekto polohový vekto původní vekto Tansfomace paametu D4 Funkce t t( u kteá zobazue otevřený nteval I na otevřený nteval J se nazývá n přípustná funkce estlže e třídy C a u I : du Nechť k: ( t t J e egulání křvka t t(u přípustná funkce t : I J Pak e buď > nebo < t( u e vzáemně ednoznačné zobazení I na J du du učue tutéž křvku k Od vyádření x (u k vyádření (t předeme substtucí což e zřemě také přípustná funkce Vektoová funkce x( u ( t( u u I Pozn Dá se ukázat že k lbovolným dvěma popsům (t a x (u téže egulání křvky lze nalézt přípustnou tansfomac t t(u esp u u(t V dfeencální geomet obvykle ozlšueme ůzné popsy téže křvky en ozlšením paametu píšeme: (t (u místo spávněšího (t x (u Řekneme že dvě paametzace sou souhlasné (nesouhlasné estlže příslušná tansfomace paametu e ostoucí (klesaící přípustná funkce Relace souhlasnost e ekvvalence a ozkládá množnu všech paametzací křvky k do dvou tříd Každou z nch nazveme oentací křvky k Oentac na křvce zvolíme zadáním eí lbovolné paametzace hovoříme pak o oentované křvce Do obázku vyznačueme smě špkou tak aby to odpovídalo ostoucím hodnotám paametu (př fyzkální ntepetac směu pohybu Tečna křvky k: ( t t J e egulání křvka smě tečného vektou ɺ (t (neoentovaný nezávsí na volbě d d paametu Je-l totž t t(u přípustná tansfomace pak ɺ (u a ɺ (t sou du du lneáně závslé nenulové Rovnce y ( t + α ɺ( t učue ednoznačně tečnu v bodě t (nezávsle na paametckém vyádření křvky - -
Pozn ɺ ( t ( t lm h O + h ( t h Lacky řečeno: Tečna křvky e přímka kteá spoue eí dva nekonečně blízké body (ob (t (t + h 4 Oskulační ovna k: ( t t J Z devací d ɺ du du du e egulání křvka t t(u přípustná funkce d d t a ɺ + ɺ du du d vdíme že vektoy a du d sou lneáně závslé pávě tehdy když sou lneáně závslé vektoy ɺ a ɺ du tedy smysl následuící defnce ɺ (pomyslete Má D5 Bod R ( t křvky k: (t se nazývá nflexní (nenflexní estlže sou vektoy ɺ ( t a ɺ ɺ ( t lneáně závslé (nezávslé Po nenflexní bod R t se nazývá ovna učená tímto bodem a vektoy ɺ t a ɺ ɺ t oskulační ( ( ovna křvky v bodě R t V případě nflexního bodu R ( t e oskulační ovnou každá ovna obsahuící tečnu křvky v daném bodě Pozn Oskulační ovna e ta kteá se v daném bodě ke křvce nevíce přmyká (ovna položená třem nekonečně blízkým body ( O ( Rovnce oskulační ovny v bodě t : Vekto ɺ ( t ɺ ( t e kolmý na τ a vekto x ( t kde x značí polohový vekto bodu oskulační ovny τ e ovnoběžný s τ Stučně: X τ x ( ( ɺ ɺɺ b bnomála µ ektfkační ovna nomálová ovna ν τ oskulační ovna X τ : ɺ ɺɺ t tečna (t hlavní nomála n - 4 -
Další pomy zavádíme pomocí obázku Komentář k obázku: V bodě ( t e: bnomála b - kolmce na oskulační ovnu τ hlavní nomála n e kolmce na tečnu t v ovně τ nomálová ovna ν e dána přímkam n b a ektfkační ovna µ dána přímkam b t Každá přímka kolmá na t v bodě ( t se nazývá nomála Všechny nomály tvoří ovnu ν Pozn Oskulační ovna ovnné křvky e ta ve kteé křvka leží 5 Oblouk křvky D6 Nechť k: ( t t J t s( t ɺ ɺ t e egulání křvka a se nazývá oblouk křvky (též přozený paamet Geometcký význam: Délka křvky mez body t a (t se ovná s (t Pozn Gaf vhodné funkce f (x x ( f ( x s + dx x Tansfomace e přípustná neboť ( t J pevně zvolené číslo Funkce y s lze představt ako křvku s vyádřením ( x ( x f ( x ds ( ɺ ( ɺ ( ɺ Platí: x x x + + > ds ds ɺ ɺ Invezní funkce: t t(s má tedy devac t ( s ds ds ds ɺ ɺ Devace podle oblouku s značíme čákou a podle ného paametu tečkou Pak V Zavedeme-l na křvce dva oblouky s a s* pak s* s + K ε ± a K e eálné číslo d V Nechť k: ( s s J e egulání křvka Pak s e oblouk pávě tehdy když po ds všechna s J ε kde { } V V nenflexním bodě egulání křvky učené vektoovou funkcí ( s platí ( s ( s kde s e oblouk 5 Pvní křvost křvky D7 Číslo k ( s ( s nazýváme pvní křvost (flexe křvky k v čísle s vekto (s nazveme vektoem pvní křvost a ednotkové vektoy t ( s ( s ( s n( s a b( s t ( s n( s nesou ( s - 5 -
po řadě názvy vekto tečny vekto hlavní nomály a vekto bnomály křvky k v bodě s Uspořádaná toce ( t n b se nazývá Fenetův tohan Poznámky Z defnce plyne t k n ( Oentace vektou t závsí na paametzac ale toce ( t n b oentovány souhlasně Rozlšu tečný vekto a vekto tečny! a e e ( e sou vždy V4 Bod křvky e eím nflexním bodem pávě tehdy když k Je-l k pak V5 (Lagangeova dentta Po každé dva vektoy u v platí ( u u ( v v ( u v u v V6 Nechť k: (s e egulání křvka a t α( h (s a t ( s + h platí k( s lm h h s J oblouk Označíme-l α (h odchylku vektoů ( k ɺ ɺɺ ( ɺ ɺ k ɺ ɺ xɺ yɺ zɺ ( k ɺɺ x ɺɺ y ɺɺ z yɺ zɺ zɺ xɺ xɺ yɺ + + ɺɺ y ɺɺ z ɺɺ z ɺɺ x ɺɺ x ɺɺ y ( ɺ ɺ Rovnné křvky: ( x( t y( t ( x y ɺ ɺ ɺ ( ɺɺ x ɺy ( k ɺ ɺ ( xɺ ɺɺ y ɺɺ x yɺ ( xɺ + yɺ Je-l křvka explctně vyádřena funkcí y f (x můžeme položt t x pak x( t x y( t f ( x z ( t Po pvní křvost dostaneme: ( ( f k ( + f - 6 -
6 Fenetovy vzoce V7 (Věta o otonomálním epéu Nechť vektoy m ( m ( a m ( tvoří otonomální epé na otevřeném ntevalu J a platí mɺ a m Pak e matce koefcentů má tedy tva a a a a a a t t t a antsymetcká V8 (Fenetovy vzoce Po vektoy t n b kteé učuí v každém bodě křvky k eí Fenetův tohan platí: t k n n k t + k b ( b k n kde eálné funkce k a k sou po řadě pvní a duhá křvost křvky k Pozn Pvní ze vztahů e ( duhé dva plynou z V6 označíme-l a k Duhou křvost sme tímto defnoval ako eden z koefcentů vztahu ( Jeí význam ozřemí následuící věty V9 Nechť k: (s e egulání křvka a s J oblouk Označme α (h esp β (h odchylku vektoů t (s a t ( s + h esp b (s a b ( s + h Pak platí α( h β ( h k( s lm esp k( s lm h h h h V Nechť křvka k neobsahue nflexní body Pak má v každém svém bodě duhou křvost ovnu nule pávě tehdy když e ovnná Výpočet duhé křvost: k b k n b ( k ( ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ k ɺ ɺ Přozené ovnce křvky: k k( s a k k( s Křvka e (až na umístění plně učena svým křvostm - 7 -
7 Styk dvou křvek oskulační kužnce Nechť se křvky učené vektoovým funkcem ( s a ( s potínaí v bodě X učeném hodnotam s a s ech přozených paametů To znamená že platí ( s ( s Povedeme Tayloův ozvo po obě vektoové funkce: s s ( ( ( ( (!!! s s s ( ( ( ( (!!! S s + s s + s + s + s + + Rn+ s + s s + s + s + s + + Rn+ Rozdílem obou vztahů dostaneme s s s ( s + s ( s + s ( ( s ( s + ( ( s ( s + ( ( s ( s +!!! Jestlže se s blíží k nule závsí vzdálenost bodů s polohovým vektoy ( s + s ( s + s na ozdílu devací Poto má smysl zavést následuící defnc D8 Nechť se dvě křvky ( s a ( s potínaí v bodě X učeném hodnotam s a s ech přozených paametů tedy ( s ( s Říkáme že křvky maí v bodě X styk alespoň n tého řádu (též možno říc alespoň n + bodový styk pávě když platí d ds d ( s ( s po n ds Platí-l navíc d ds d ( ( ds n+ n+ s n s + n+ maí styk pávě n tého řádu ( n + bodový Oskulační kužnce křvky ( t v eím bodě ( t e kužnce kteou dostaneme ako lmtní polohu kužnce opsané toúhelníku s vcholy v koncových bodech základního umístění vektoů ( t ( t ( t pokud se t a t blíží k hodnotě t Oskulační kužnce se též nazývá kužnce křvost a má s danou křvkou styk duhého řádu (tříbodový styk Jeí polomě ρ nazýváme polomě křvost křvky v bodě t a střed oskulační kužnce e střed křvost křvky v bodě t Nechť e křvka vyádřena pomocí oblouku tedy ( s Pak má oskulační kužnce tyto vlastnost: Kužnce leží v oskulační ovně bodu s pochází bodem ( s má s křvkou společnou tečnu v bodě ( s 4 má s křvkou společnou hlavní nomálu v bodě ( s 5 eí střed S leží na hlavní nomále ( s ( s tečna p p ( s n k - 8 -
6 eí polomě má velkost k( s 7 Po polohový vekto středu oskulační kužnce platí (vz obázek p ( s + n k ( 8 Obalová křvka evoluta evolventa Obalovou křvkou (obálkou ednopaametcké soustavy křvek se nazývá taková křvka k kteá se dotýká každé křvky z dané soustavy křvek a záoveň e každý eí bod bodem dotyku s někteou křvkou soustavy Křvka h kteá potíná kolmo všechny tečny dané křvky k se nazývá evolventou křvky k Obalová křvka nomál křvky k se nazývá evoluta křvky k Každá křvka má ednou evolutu a záoveň í přísluší nekonečně mnoho evolvent Evoluta l křvky k se defnue ako množna všech eích středů křvost Je záoveň obalovou křvkou nomál křvky k Křvka k e tzv evolventou křvky l Evolventa křvky k se defnue ako křvka h kteá potíná kolmo všechny tečny dané křvky k Každá křvka má ednou evolutu a záoveň í přísluší nekonečně mnoho evolvent Dá se ukázat že evolventa vznká ako taektoe bodu tečny př eím odvalování po dané křvce Rovnce evoluty ovnné křvky ( x( t y( t ɺ ɺ ɺ má odvodíme ze vztahu ( Vekto ( x( t y( t smě tečny poto má vekto nomály tva n yɺ xɺ xɺ + yɺ xɺ + yɺ navíc ɺ ɺɺ D k ( ɺ ɺ ( xɺ + yɺ x y kde D ɺ ɺ ɺɺ x ɺɺ y Po dosazení do ( dostaneme po souřadnce X ( t a Y ( t evoluty l ovnce yɺ X x t xɺ + yɺ Y y t + xɺ + yɺ D xɺ D ( ( ( ( - 9 -
Úlohy: Dokažte že evolutou elpsy x acos t y bsn t e tzv zobecněná asteoda o ovnc 4 ( ax + ( by e kde e a b e excentcta elpsy Dokažte že evolutou paaboly y px e semkubcká paabola 7 py 8( x p Dokažte že evolventou kužnce x + y e křvka s vyádřením x (cost + t sn t y (sn t t cos t - -
GEOMETRIE PLOCH Základní pomy Defnce a věty uvádíme pouze po vektoové funkce Pomyslete s ech analoge po bodové funkce Defnce Vektoová funkce ( u u M R R do vektoového postou V poměnných u u M e zobazení množny Je tedy u u ( x u u x u u x u u poměnných ( ( ( ( kde u u a x ( u u sou eálné funkce Defnce Nechť exstuí lmty lm x ( u u a { } u u u u pak lmtou funkce ( u u ( x ( u u x( u u x( u u vekto a a a ( a v bodě ( u ozumíme u Defnce Pacální devace funkce značíme a defnueme následovně: u ( u + h u ( u u lm h h ( ( x u x u x u + u h u u u u u h u u x x x lm h u u x u u x u u x u u Defnce 4 Souvslá a otevřená podmnožna Ω množny ω R x R se nazývá oblast Přtom Ω e souvslá pávě když každé dva eí body lze spot lomenou čaou kteá celá leží v Ω Ω e otevřená množna pávě když ke každému eímu bodu X exstue δ okolí kteé e podmnožnou množny Ω Poznámka Množnu ω R x R s představueme ako atmetcky poatou ovnu poto zde eí pvky (uspořádané dvoce eálných čísel nazýváme body δ okolí bodu X e množna všech bodů ovny ω kteé maí od bodu X vzdálenost menší než δ Delta okolí X d - -
Defnce 5 Množna bodů X O + z postou E kteé sou učeny vektoovou funkcí ( u u se nazývá egulání plocha pávě když současně platí: a e defnována na oblast Ω a má zde spoté pacální devace neméně do řádu (e třídy alespoň C b Vektoy u a u sou lneáně nezávslé po všechna ( u u Ω c Každým dvěma ůzným bodům z Ω přísluší dva ůzné body plochy (t e postá funkce Tansfomace paametů na ploše Tutéž plochu lze popsat pomocí ůzných vektoových funkcí Defnce 6 Nechť Z e zobazení oblast Ω na oblast Ω dané funkcem u u ( u u a u u ( u u kde ( u u Ω a ( u u Ω Zobazení Z se nazývá přípustné zobazení pávě když současně platí: a Zobazení Z e posté b Funkce u u sou třídy aspoň C u u c u u Po všechny body ( u u Ω e akobán u u ůzný od nuly u u Věta Z : Ω Ω Je- l Z přípustné zobazení oblast Ω na oblast Ω pak exstue nvezní zobazení Věta Nechť ( u u defnována na oblast Ω učue egulání plochu P a Z e přípustné zobazení oblast Ω na oblast Ω dané funkcem u u ( u u u u ( u u kde ( u u Ω a ( u u Ω Pak vektoová funkce ( u u ( u ( u u u ( u u učue tutéž plochu P Věta Jestlže sou ( u u ( u u Ω a a ( u u ( u u Ω pak exstue přípustné zobazení Z: ( u u ( u ( u u u ( u u u ( u u u ( u u ( u u oblast Ω na oblast Ω takové že ( dvě ůzná vyádření téže plochy P kde - -
Souřadncové křvky Defnce 7 Nechť ( u u pevně zvolený bod Křvka daná ovncí ( ( u c u e e egulání plocha defnovaná na oblast Ω a ( ( u u c se nazývá u křvka v bodě C C ( c c Ω e u křvka v bodě C a křvka daná ovncí Poznámka Každým bodem C oblast Ω pochází pávě edna u křvka a pávě edna křvka Tyto křvky vytvářeí soustavu křvočaých souřadnc na ploše Tečny k nm v bodě C nesplývaí ak plyne z defnce 5 Paametcká křvka nemusí být nutně egulání 4 Příklady někteých ploch c c c ( O u křvka u křvka u ( a cos u a sn u u - válcová plocha ( u u ( a cosu cos u a snu cos u a sn u - kulová plocha (Podobně vz přednáška 5 Křvky na ploše Ve vyádření plochy ( u u defnované na oblast Ω zvolíme funkce u u ( t a e otevřený nteval tak aby ( ( ( u u ( t kde t J ( u ( t u ( t ( t e křvka v E kteá leží na dané ploše u t u t Ω po všechna t J Pak Příklad ( a cos u a sn u u ( u u R R (vz přednáška 6 Tečné a nomálové vlastnost plochy Tečný vekto ke křvce ( u ( t u ( t ( t e du ɺ + du du du Přtom Skaláy a kteým násobíme vektoy a představuí u souřadnce tečného vektou ɺ křvky ve vntřní geomet plochy Nazývaí se kontavaantní souřadnce vektou - -
Věta 4 Tečny ke všem křvkám plochy v eím daném bodě učené tímto bodem a vektoy ( u u ( u u v bodě dotyku T Jeí paametcké vyádření e x α + β α β R Rovnce tečné ovny ve vektoovém tvau: ( x T : ( u u leží v edné ovně Tato ovna se nazývá tečná ovna plochy (Výaz na levé staně ovnce e smíšený součn uvedených tří vektoů Bod X e bodem tečné ovny pávě když e v příslušném detemnantu e pvní řádek lneání kombnací duhých dvou a Nomála plochy má směový vekto n ( Příklad Rotační paabolod e učen funkcí ( ( ovnu a nomálu v bodě T : ( (Řešení vz přednáška u u u + u u R Učete eho tečnou 7 Pvní základní foma plochy ( ( Plocha: u u kde u u Ω + + d du du du du u u ϕ d d d du du g du du g du + g du du + g du ( ( E F G ( Gaussovo značení koefcentů základní fomy plochy: g E g g F g G Výpočet koefcentů: g - 4 -
Aplkace základní fomy ( a Délka oblouku křvky ( t u ( t u ( t t t s ϕ gdu t du t t t ( ( na ploše e b Obsah plochy g g Dskmnant základní fomy e detemnant g gg g g g cosα Platí: g det ( cos α cosα Element plochy: ds d d du du du du g du du Obsah plochy: S ds gdu du Ω Ω c Skalání součn vektoů v tečném bodě plochy V daném bodě plochy uvažume tečnou ovnu a v ní vektoy: a a + a a b b + b b a b sou souřadnce vektoů a b vzhledem k báz ( Skalání součn vektoů: a b a b g a b d Odchylka dvou křvek plochy e odchylka ech tečen: a b ga b cosα a b g a a g b b kl k l m n mn Defnce 8 Jestlže se paametcké křvky v každém bodě plochy potínaí kolmo řekneme že tvoří otogonální síť Věta 5 Paametcké křvky tvoří na ploše otogonální síť pávě tehdy když v každém bodě plochy e g - 5 -
8 Duhá základní foma plochy V následuících úvahách budeme na ploše σ ( u u ( u u kde s e oblouk : kde Ω volt křvku l : y y s u s u s ( ( ( ( ( Defnce 9 Jednotkový vekto m se nazývá vekto nomály v daném bodě Pochází-l navíc tímto bodem křvka s vektoovým vyádřením ( pak číslo kn y m nazýváme nomálová křvost křvky v daném bodě Poznámka Číslo k n představue velkost kolmého půmětu vektou y do nomály ϕ Věta 6 Platí k n kde skalá ϕ m du du h du du nazýváme duhá základní ϕ foma plochy a eho koefcenty h m sou tzv koefcenty duhé základní fomy plochy Věta 7 (důsledek věty 6 Nomálová křvost všech křvek plochy kteé maí v daném bodě plochy společnou tečnu e v tomto bodě stená Na směu tečny v daném bodě však závsí Věta 8 Platí h m m kde m u Defnce Smě v němž e nomálová křvost v daném bodě plochy nulová se nazývá asymptotcký smě Bod plochy ve kteém e každý smě asymptotcký nazýváme planání bod plochy Poznámka Planání body představuí analog nflexních bodů křvek Věta 9 Plocha má všechny své body planání pávě tehdy když e to ovna nebo eí část Defnce Číslo Rn se nazývá polomě nomálové křvost a bod Sn X + Rn m e střed kn nomálové křvost plochy v daném bodě Věta Všechny křvky na dané ploše kteé pocházeí eím bodem X a maí v něm společnou tečnu a společnou oskulační ovnu ůznou od tečné ovny plochy maí v bodě X stenou křvost Mez těmto křvkam e pávě edna ovnná (e půnkem plochy a zmíněné oskulační ovny - 6 -
Věta (Meusne 776 Nechť t e tečna k egulání ploše v eím bodě X a smě tečny t není asymptotcký Množnou středů všech oskulačních kužnc těch křvek plochy kteé maí společnou tečnu t e kužnce l o půměu Sn X ež leží v ovně kolmé na tečnu t Důkaz Na obázku e řez plochy σ ovnou π kteá de bodem X a e kolmá na zvolenou tečnu t S n e střed nomálové křvost plochy v bodě X přímka SX e půnk ovny π a oskulační ovny křvky y( s ( u ( s u ( s eíž tečnou e t Bod S X e střed křvost křvky y Zřemě S l pávě když ( S X ( S S Vypočítáme tedy skalání součn ( S X ( Sn S Platí: ( S X ( Sn S ( S X ( ( Sn X ( S X ρn ( Rnm ρn kde ρ e polomě křvost křvky y y y Za eí vekto nomály dosadíme n ρ y a dostaneme y k S X S S ρ R y m ρ n n ρ R ρ Rn ( ( n n n n Tím e důkaz poveden Dupnova ndkatx ϕ h du du Z defnce nomálové křvost plyne Př označení t R ϕ ds ds n vztah přepsat na tva Rnh t t Položme eště q t R n Obdžíme ovnc du můžeme předchozí ds h q q ± ( kteá představue ovnc středově souměné kuželosečky nebo dvoce středově souměných kuželoseček v souřadncích q Středová souměnost plyne z toho že se vztah nemění záměnou ( q q ( q q Křvka daná vztahem ( se nazývá Dupnova ndkatx Jeí význam spočívá v tom že popsue velkost nomálové křvost plochy v bodě X v závslost na směu tečny x Abychom vyšetřl asymptotcké směy zavedeme homogenní souřadnce pomocí vztahů q x Rovnce ( bude mít po úpavě tva h x + h x x + h x ± x ( Poznameneme že sme zde na chvíl opustl tenzoovou symbolku a tak honí ndexy ve vztahu ( představuí mocnny Po nevlastní bod kuželosečky e x a eho zbývaící souřadnce tedy - 7 -
splňuí vztah h x + h x x + h x Na tuto podmínku se můžeme dívat ako na ovnc s neznámou x paametem x a dskmnantem D 4 h kde h h h h Nechť e h > Pak e dskmnant D záponý a kuželosečka nemá nevlastní body Je to elpsa nebo kužnce Vzdálenost od počátku soustavy souřadnc e úměná číslu R n Bod X v tomto případě nazýváme elptcký bod Je-l Dupnova kvadatx kužncí užíváme po bod X název kuhový bod Bod X e kuhový pávě když h c g kde c e konstanta Vztah ( má totž v takovém případě tva gq q a představue kužnc se středem v počátku a poloměem c R (Uvědomte s že levou stanu vztahu lze ntepetovat ako duhou skalání mocnnu c polohového vektou bodu křvky Po h popsue ovnce ( středově souměnou kuželosečku s edním asymptotckým směem Je to dvoce přímek středově souměných podle počátku V asymptotckém směu e nomálová křvost nulová ve směu na ně kolmém e mnmální Bod X s touto vlastností se nazývá paabolcký bod Je-l h < e dskmnant D kladný a Dupnova kvadatx má dva asymptotcké směy kteé odpovídaí nulové nomálové křvost Kvadatx e dvocí hypebol se společným asymptotam a hlavním směy V hlavních směech má nomálová křvost lokální mnma Bod X se nazývá hypebolcký bod - 8 -