MODELOVÁNÍ A ŘÍZENÍ MOBILNÍCH KOLOVÝCH ROBOTŮ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF CONTROL AND INSTRUMENTATION MODELOVÁNÍ A ŘÍZENÍ MOBILNÍCH KOLOVÝCH ROBOTŮ MODELLING AND CONTROL OF WHEELED MOBILE ROBOTS DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. DAVID JONSZTA prof. Ing. FRANTIŠEK ŠOLC, CSc. BRNO 8

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta lktrotchniky a komunikačních tchnologií Ústa automatiac a měřicí tchniky Diplomoá prác magistrský naaující studijní obor Kybrntika, automatiac a měřní Studnt: Jonsta Daid Bc. ID: 8863 Ročník: Akadmický rok: 7/8 NÁZEV TÉMATU: Modloání a říní mobilních koloých robotů POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: Sstat modly mobilních robotů s růnými druhy koloých podoků. Proďt simulační pokusy a rifikaci spránosti naržných modlů. Poronjt kinmatické a dynamické modly fotbaloých robotů. Pro ybrané modly narhnět působ jjich říní. DOPORUČENÁ LITERATURA: Šolc F.,Hrabc J.,Grpl R.:"Modlling of Fast Diffrntially Drin Mobil Robot". 3rd Int. Wintr Workshop NETSS 6, MARQ, Ostraa 6 Sigwart R., Nourbakhsh I.R.:Introduction to Autonomous Mobil Robots, MIT Prss 4 Solc F., Smbra J.:Kintic Modl of a Skid Strd Robot, to appar at WSEAS WSEAS Confrnc in Cambridg, UK, Fbruary -5, 8 Trmín adání: 3..7 Trmín oddání: 6.5.8 Vdoucí prác: prof. Ing. Františk Šolc, CSc. prof. Ing. Pal Jura, CSc. přdsda oboroé rady UPOZORNĚNÍ: Autor diplomoé prác nsmí při ytářní diplomoé prác porušit autorská prá třtích osob, jména nsmí asahoat ndoolným působm do ciích autorských prá osobnostních a musí si být plně ědom násldků porušní ustanoní a násldujících autorského ákona č. / Sb., čtně možných trstněpráních důsldků yplýajících ustanoní 5 trstního ákona č. 4/96 Sb.

Abstrakt: Prác s abýá modloáním a říním mobilních koloých robotů. Cílm prác j torba modlů podoků koloých robotů. Dalším cílm j nárh říní, ktré aručí žádaný pohyb robota. Matmatické modly robotů a říní j ralioáno prostřdí Matlab a Simulink. Prní část prác s abýá matmatickými modly podoků s difrnciálním říním, s Ackrmanoým říním a smykm říným podokm. V druhé části prác j popsán nárh říní b pětné aby a s pětnou abou. Zpětnoabní říní j rodělno na říní od bodu k bodu, říní po drá a říní po trajktorii. Třtí část prác popisuj nastaní a oládání aplikac dmonstrující pohyb robota. Matmatické modly jsou práci oěřny a ýsldky říní jsou prntoány grafch. Klíčoá sloa: robotika, mobilní robot, říní, modloání, dynamický modl, kinmatický modl

Brno Unirsity of Tchnology Faculty of Elctrical Enginring and Communication Dpartmnt of Control, Masurmnt and Instrumntation Modlling and control of whld mobil robots Thsis Spcialisation of study: Studnt: Suprisor: Cybrntics, Control and Masurmnt Bc. Daid Jonsta prof. Ing. Františk Šolc, CSc. Abstract : Th thsis dals with modlling and control of whld mobil robots. Th objcti of this thsis is modlling of whld mobil robots. Th scond objcti is a proposal of control stratgy, which guarants accomplishmnt of spcifid motion of th mobil robot. A mathmatical modl of robots and a control stratgy ar ralid in Matlab and in its toolbox Simulink. Th first part of thsis dals with th mathmatical modls of difrntially drin mobil robot, robot with Ackrman string and a skid strd robot. In th scond part thr ar proposd algorithms of opn-loop and fdback control. Fdback control is diidd into point-to-point control, path following and trajctory tracking. Th third part dscribs options and control of application, which srs to dmonstration of motion of mobil robots. Th mathmatical modls wr rifid and outcoms of control simulations ar prsntd in graphs. Ky words: robotics, mobil robot, control, modlling, dynamic modl, kinmatic modl

B i b l i o g r a f i c k á c i t a c JONSZTA, D. Modloání a říní mobilních koloých robotů. Brno: Vysoké uční tchnické Brně,, 8. 74 s. Vdoucí diplomoé prác prof. Ing. Františk Šolc, CSc.

P r o h l á š n í Prohlašuji, ž sou diplomoou práci na téma modloání a říní mobilních koloých robotů jsm ypracoal samostatně pod dním doucího diplomoé prác a s použitím odborné litratury a dalších informačních drojů, ktré jsou šchny citoány práci a udny snamu litratury na konci prác. Jako autor udné diplomoé prác dál prohlašuji, ž souislosti s ytořním této diplomoé prác jsm nporušil autorská práa třtích osob, jména jsm nasáhl ndoolným působm do ciích autorských prá osobnostních a jsm si plně ědom násldků porušní ustanoní a násldujících autorského ákona č. / Sb., čtně možných trstněpráních důsldků yplýajících ustanoní 5 trstního ákona č. 4/96 Sb. V Brně dn : Podpis: P o d ě k o á n í Děkuji tímto prof. Ing. Františku Šolcoi, Csc. a cnné připomínky a rady při ypracoání diplomoé prác. V Brně dn : Podpis

5 OBSAH. ÚVOD...9. MATEMATICKÉ MODELY PODVOZKŮ.... Podok s difrnciálním říním..... Kinmatický modl...... Vrifikac modlu...3.. Dynamické modly...4... Dynamický modl č....4... Vrifikac č....5... Vrifikac č....7... Dynamický modl č....8... Vrifikac č....... Vrifikac č....4..3 Sronání kinmatického modlu a dynamických modlů podoku s difrnciálním říním...5. Smykm říný podok...8.. Vrifikac modlu...3.3 Podok s Ackrmanoým říním...33.3. Kinmatický modl podoku s pohonm adních kol...34.3.. Vrifikac modlu...35.3. Kinmatický modl podoku s pohonm přdních kol...36.3.. Vrifikac modlu...36 3. ŘÍZENÍ...38 3. Říní b pětné aby...38 3.. Výpočt fdforwardu pro obcnou trajktorii roině x, y...39 3.. Robot s difrnciálním říním...4 3..3 Robot s Ackrmanoým říním...4 3. Říní s pětnou abou...43 3.. Říní od bodu k bodu...44 3... Raktiní říní...44

6 3... Robot s difrnciálním říním...46 3... Naádění na statický cíl...46 3... Naádění na pohybující s cíl...49 3... Robot s Ackrmanoým říním...5 3... Naádění na statický cíl...5 3... Naádění na pohybující s cíl...53 3...3 Smykm říný robot...55 3... Říní polárních souřadnicích...56 3.. Říní po drá...59 3... Raktiní říní...59 3... Podok s difrnciálním říním...6 3... Podok s Ackrmanoým říním...6 3..3 Říní po trajktorii...6 3..3. Zpětnoabní říní s fdforwardm...6 4. ANIMACE POHYBU MOBILNÍHO ROBOTA...68 4. Užiatlská příručka aplikac MobilníRobot...68 4.. Vstupní data...68 4.. Spuštění aplikac...68 4..3 Nastaní animac...68 4..3. Krok...69 4..3. Násobk rychlosti...69 4..3.3 Stopy...69 4..4 Oládání aplikac...69 4..4. Tlačítko Start...69 4..4. Tlačítko Stop...7 4..4.3 Tlačítko Kuror...7 4..4.4 Tlačítko Náhld...7 4..4.5 Tlačítko Zařít...7 5. ZÁVĚR...7

7 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr..: Schéma podoku s difrnciálním říním... Obr..: Schéma kinmatického modlu podoku s difrnciálním říním... Obr..3: Poic robota x a y kartéském souřadném prostoru... 4 Obr..4: Schéma dynamického modlu č.... 5 Obr..5: Záislost dopřdné rychlosti robota na čas... 6 Obr..6: Síly uádějící robota do pohybu... 7 Obr..7: Orintac robota čas... 8 Obr..8: Záislost třcí síly na rychlosti mi podložkou a stykoou plochou kola 9 Obr..9: Zrychlní a brždění... Obr..: Schéma dynamického modlu č.... Obr..: Vdálnost robota od bodu ICR... 3 Obr..: Dopřdná rychlost robota... 3 Obr..3: Orintac robota... 5 Obr..4: A) kinmatický modl, B) dynam. modl č., C) dynam. modl č.... 7 Obr..5: Gomtri smykm říného podoku... 8 Obr..6: Schéma modlu smykm říného podoku... 3 Obr..7: Tažné síly působící na robota... 3 Obr..8: Dopřdná rychlost robota... 3 Obr..9: Gomtri Ackrmanoa podoku... 33 Obr..: Kinmatický modl podoku s pohonm adních kol... 34 Obr..: Poic robota x, y kartéském souřadném prostoru... 35 Obr..: Kinmatický modl podoku s pohonm přdních kol... 36 Obr..3: Poic robota x, y kartéském souřadném prostoru... 37 Obr. 3.: Vli startoní poic robota na jho trajktorii... 39 Obr. 3.: Poic robota snímané časoých okamžicích po,8 s... 4 Obr. 3.3: Poic robota snímané časoých okamžicích po,8 s... 43 Obr. 3.4: Raktiní říní... 44 Obr. 3.5: Posloupnosti poloh robota snímané časoých okamžicích po,5 s... 46 Obr. 3.6: Vdálnost robota od cíl... 47

8 Obr. 3.7: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po, s... 48 Obr. 3.8: Vdálnost robota od cíl... 48 Obr. 3.9: Trajktori robota a cíl... 5 Obr. 3.: Poic robota a cíl souřadnici x... 5 Obr. 3.: Poic robota a cíl souřadnici y... 5 Obr. 3.: Vdálnost robota od cíl... 5 Obr. 3.3: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,3 s... 53 Obr. 3.4: Trajktori robota a cíl... 54 Obr. 3.5: Vdálnost robota od cíl... 55 Obr. 3.6: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,4 s... 56 Obr. 3.7: Startoní a cíloá poic... 57 Obr. 3.8: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,4 s... 59 Obr. 3.9: Romístění čidl na robotoi s difrnciálním říním... 6 Obr. 3.: Žádaná a skutčná trajktori... 6 Obr. 3.: Romístění čidl na robotoi s Ackrmanoým říním... 6 Obr. 3.: Žádaná a skutčná trajktori... 6 Obr. 3.3: Odchylky od trajktori... 63 Obr. 3.4: Žádaná a skutčná trajktori robota... 66 Obr. 3.5: Odchylky skutčné poic robota od žádané poic... 67 Obr. 4.: Nastaní animac... 69

9. ÚVOD Prác s abýá matmatickými modly mobilních koloých podoků robotů a možnostmi jjich říní. Cílm prác j ytořit matmatické modly ybraných druhů podoků, ktré budou schopny dostatčně ěrně popsat choání podoků na odoroné ploš. Vlká poornost j ěnoána podoku s difrnciálním říním, nboť jho použití mobilní robotic j časté a j použit také robotickém fotbal, kd j žádán rychlý pohyb robotů. Pro tnto typ podoku j ytořn kinmatický a da typy dynamických modlů. Dalším cílm prác j probrat možné působy říní mobilních koloých robotů a jdnotlié mtody oěřit na ytořných modlch podoků. Mtody říní jsou rodělny na říní b pětné aby a s pětnou abou. Zpětnoabní říní j dělno na říní od bodu k bodu, říní po drá a říní po trajktorii. Aby bylo možné dmonstroat pohyb a kalitu říní robota, abýá s prác také animací pohybu robota.

. MATEMATICKÉ MODELY PODVOZKŮ Mobilní robotika j odětí ědy o robotch, ktří s mohou olně pohyboat prostřdí, pro ktré jsou určni. Podl prostřdí, ktrém s pohybují, l mobilní roboty dělit na odní (plooucí, pododní), dušné (létající) a pomní (koloé, kráčjící, plaié, skákaé, pásoé), smírné. Vlká poornost s ěnuj robotům pomním, jlikož jjich aplikac j široká. Využití nalnou jadrném průmyslu, draotnictí, stabnictí, ojnstí, při policjních úlohách, áchranných akcích, likidaci požárů či práci nbpčném prostřdí. V praxi s njčastěji použíají roboty s koloými podoky. Pro nárh říní robota j hodné mít k dispoici matmatický modl a říní njdří simuloat a proěřit. Modly l rodělit na kinmatické a dynamické. Kinmatické modly jsou hodné k simulaci pomalu pohybujících s robotů, u ktrých ndocháí k prokluu či smyku mi koly a podložkou. Nrspktují síly ktré na robota působí a doolují proto proádět něktré pohyby, ktré njsou fyikálně ralioatlné. Výhodou těchto modlů j jjich jdnoduchost. Dynamické modly již počítají s silami, ktré na robota působí. Jsou hodné k simulaci pohybu robota, ktrý prudc rychluj či mění směr. Jsou složitější a ýpočtně náročnější nž kinmatické modly, popisují šak pohyb robota ěrněji. V násldujících podkapitolách jsou popsány matmatické modly ybraných druhů podoků použíaných robotic. Přdpokládá s, ž s robot pohybuj po odoroné podložc a kola jsou nustál kontaktu s podložkou.. PODVOZEK S DIFERENCIÁLNÍM ŘÍZENÍM Jdná s patrně o njjdnodušší a njpoužíanější typ podoku mobilní robotic. Jho ýhodou j například dobrá manéroatlnost a možnost použití odomtri. Nýhodou j pak nschopnost přkonáat ětší přkážky. Tato kapitola s abýá kinmatickým i dynamickými modly podoku s difrnciálním říním. Schéma podoku j na Obr... Poic podoku kartéském souřadném prostoru j tažna na bod COG.

y y r ICR P S F F xr P ω b COG S F F x Obr..: Schéma podoku s difrnciálním říním Konstanty, s ktrými j při simulacích počítáno, a ktré charaktriují podok jsou: b =,65 m rochod kol r =,5 m poloměr kol M =,5 kg hmotnost podoku J = 5-4 kg m momnt stračnosti podoku J w =,75-5 kg m momnt stračnosti kola T max =,375 Nm maximální točiý momnt motoru F max =,5 N maximální tažná síla jdnoho kola C = 3 strmost áislosti třcí síly na rychlosti µ =,6 koficint třní W =,45 N graitační síla působící na jdno kolčko Tyto hodnoty konstant jsou spolčné pro šchny simulac pohybu podoku s difrnciálním říním, jjichž ýsldky jsou práci použity.

.. Kinmatický modl Kinmatický modl j njjdnodušší. Přdpokládá s, ž s podok běhm pohybu nsmýká a kola nprokluují. Síly uádějící robota do pohybu a stračné síly kinmatický modl roněž npopisuj. Těžiště robota COG (cntr of graity) s každém čas otáčí kolm střdu otáční ICR (instantanous cntr of rotation), ktrý lží na přímc dané spolčnou osou obou kol. Schéma kinmatického modlu difrnciálního podoku j na Obr... Z schématu j patrné, ž staoými ličinami jsou poloha x a y kartéském souřadném prostoru a orintac clého podoku hldm k os x. Řídícími ličinami jsou dopřdná rychlost podoku a rychlost otáční podoku ω. ω cos x& x sin y& y Obr..: Schéma kinmatického modlu podoku s difrnciálním říním Staoé ronic systému jsou násldující: x& = cos y& = sin & = ω (.) Vtah mi dopřdnou rychlostí a otáčiou rychlostí ω podoku a obodoými rychlostmi kol a popisuj násldující tah maticoé formě..5.5 = = A (.) ω b b

3 Protož j matic A rgulární, l roněž nalosti a ω ypočítat obodoé rychlosti kol a. Vtahy pro ýpočt obodoých rychlostí kol jsou tdy b = + ω (.3) b = ω Vtah mi obodoou a úhloou rychlostí kola j = rω = rω (.4) kd r j poloměr kola.... Vrifikac modlu Oěřní spránosti modlu bylo prodno na kruhoé drá o poloměru R = m a použití fdforwardu. Přdpokladm j, ž s robot bud pohyboat konstantní rychlostí = m s - a projd dráhu pou jdnou. Bud-li s robot pohyboat olnou konstantní rychlostí = m s -, pak l jdnoduchým ýpočtm jistit, ž a čas t = 6,8 s, uraí clou dráhu danou tahm s = πr = 6,8 m. Aby robot dorail čas t do místa odkud yjl, j jště nutno dopočítat spráně fdforward úhloé rychlosti otáční ω. Hodnota úhloé rychlosti musí být ω = rad s -, nboť práě a 6,8 s dojd k otoční robota o π radiánů. Poloha robota kartéském souřadném prostoru, říného konstantními hodnotami řídících ličin = m s - a ω = rad s - j na násldujícím obráku Obr..3. Z průběhu poic kartéském souřadném prostoru j patrné, ž s robot pohybuj po kruhoé drá o poloměru R = m a clou kruhoou dráhu uraí a t = 6,8 s.

4 x, y [m].8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 poic os x poic os y -.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 t [s] Obr..3: Poic robota x a y kartéském souřadném prostoru.. Dynamické modly Dynamické modly podoků jsou složitější, nž modly kinmatické, jlikož počítají s silami, ktré na podok běhm pohybu působí. V dalších podkapitolách budou popisoány typy dynamických modlů podoku s difrnciálním říním. Modl č. počítá s stračnými silami působícími na tělo robota, modl č. počítá naíc s silami třcími, ktré působí mi koly a podložkou.... Dynamický modl č. Tnto modl br úahu síly potřbné k pohybu robota a stračné síly. Třcí síly jsou andbány, npřdpokládá s tdy smýkání a prokluoání kol. Těžiště robota COG s tdy, stjně jako u kinmatického modlu, každém čas otáčí kolm střdu otáční ICR. Dopřdnou rychlost podoku l ypočítat podl. Nwtonoa ákona, ktrý ní M& = F (.5)

5 Rychlost otáční pak l ypočítat analogi. Nwtonoa ákona úhloých ličinách Jω& = M (.6) Pohyb robota s difrnciálním říním tdy popisují ronic M& = F + F b Jω& = F F b (.7) kd j dopřdná rychlost robota a ω j rychlost otáční podoku kolm COG. F a F jsou síly yinuté motory. Jjich hodnota j dána násldujícím ákonm F = K( ω ω ) i F = F i max iž i sign( ω ω ) iž i pro pro K( ω ω ) < F iž K( ω ω ) F iž i i max max (.8) Simulační schéma dynamického modlu č. j na násldujícím obráku. ω ž F ω& ω x& x ω ž (.8) (.7) (.) & F y& & y ω (.4) (.3) ω Obr..4: Schéma dynamického modlu č.... Vrifikac č. Oěřní modlu j prodno na přímočarém pohybu robota. Robot stojí na místě a pomocí fdforwardu j požadoáno, aby jl konstantní dopřdnou rychlostí

6 = m s -. Maximální síly F a F yinuté motory jsou omny na hodnotu F = F =,5 N. Robot ačn rychloat a jlikož má jt po přímé drá, jsou síly F a F stjně liké. Na robota o hmotnosti M =,5 kg působí clkoá síla F = 3 N a jho rychlní má tdy hodnotu a = 6 m s -. Požadoané dopřdné rychlosti = m s - tdy robot musí podl ýpočtů dosáhnout asi a t =,33 s a síly F a F s ačnou ustaloat na nuloých hodnotách. Z Obr..5 j patrné, ž robot dosáhn rychlosti po čas, ktrý odpoídá přdm ypočítané hodnotě, tdy t =,33 s. Roněž j idět, ž rychlní robota j konstantní a jho hodnota roněž odpoídá ypočítané hodnotě. Na Obr..6 jsou obrany síly F a F. [ms - ].8.6.4..8.6.4....3.4.5.6 t [s] Obr..5: Záislost dopřdné rychlosti robota na čas

7.5.5 F F F, F [N].75.5.5...3.4.5.6 t [s] Obr..6: Síly uádějící robota do pohybu... Vrifikac č. Začnou-li na stojící podok s orintací = radiánů působit konstantní síly opačného směru F = N, F = - N, pak s podok ačn otáčt s rychlním, ktrý j dán tahm ω& = b F F J b = 3 rads - V čas t = s, tdy bud mít robot otáčiou rychlost ω = 3 rad s - a od počátku s otočil o = 65 radiánů. Orintac robota čas j ykrslna na Obr..7.

8 7 6 5 φ [rad] 4 3...3.4.5.6.7.8.9 t [s] Obr..7: Orintac robota čas... Dynamický modl č. Tnto modl počítá s silami uádějící robota do pohybu, s stračnými silami a s třcími silami. Robot s tdy můž smýkat a kola prokluoat. Střd otáční ICR tdy můž být běhm pohybu robota kdkoli kartéském souřadném prostoru. Podl. Nwtonoa ákona mají ronic popisující pohyb osách x a y násldující tar Mx && = My && = i= i= i= i= F cos F sin + b J && = F F i i b i= i= i= i= S sin S cos i i (.9) Ronic popisující ronoáhu momntů na os kol jsou J & ω = T rf w J & ω = T w rf (.) Hodnota točiých momntů T, T j dána násldujícím ákonm

9 T T i i = K( ω ω ) = T max iž i sign( ω iž ω ) i pro pro K( ω K( ω iž iž ω ) i ω ) i < T T max max (.) Z nalosti třcích sil F, F, S a S a úhlu natoční podoku l přímo ypočítat rychlní podoku osách x a y. Po intgraci ískám rychlost a další intgrací poici robota kartéském souřadném prostoru. Třcí síly jsou počítány jdnodušné funkc, kdy j třcí síla přímo úměrná ájmné rychlosti mi podložkou a plochou kola dotýkající s podložky, dokud ndosáhn třcí síla maximální hodnoty. Poté j i pro růstající rychlost konstantní. Funkc j obrana na násldujícím obráku. F F max -ε F = C pro < ε ε F = µ W pro ε - F max Obr..8: Záislost třcí síly na rychlosti mi podložkou a stykoou plochou kola Strmost průběhu j dána konstantou C. K ýpočtu třcích sil j nutno nát dopřdnou rychlost kola F a boční rychlost kola S. Rychlosti F a S jsou na sb kolmé. Tyto rychlosti popisují ronic

F F S b = x& cos + y& sin + & b = x& cos + y& sin & S = = x& sin + y& cos (.) Rychlost mi stykoou plochou kola a podložkou j dána složním boční rychlosti S a rychlosti P. Rychlost P j dána rodílm obodoé rychlosti kola a rychlosti kola F. P = P S ( ) + ( ) = rω F (.3) Třcí síla P, ktrá na kolo působí P = C P = µ W pro pro µ W < C µ W C (.4) Třcí sílu P l roložit na sílu F a sílu S, ktrá udržuj robota na drá při jídě do oblouku. Tyto síly yjadřují násldující tahy F = P P S = P S (.5) Zda robot rychluj nbo brdí, j áislé na směru působní síly F. Situaci popisuj násldující obrák Obr..9. Pokud robot atáčí, působí i síla S, ktrá j ronoběžná s osou kola a tdy kolmá na sílu F.

Robot rychluj Robot brdí rω > F rω < F rω F rω F F F Obr..9: Zrychlní a brždění Maximální hodnota třcí síly P pro jdno kolo j ypočtna podl tahu P = µ W graitační síly W, působící na kolo a třcího koficintu µ mi kolm a podložkou. Simulační schéma dynamického modlu č. j na násldujícím obráku. ω iž (.) F i S i T i (.9) (.) & x& & y& & & ω& i x& y& & ω i (.) F i S i (.3) (.4) (.5) x y Obr..: Schéma dynamického modlu č.... Vrifikac č. Robot j dn nuloé počátční rychlosti po kruhoé drá o poloměru R =, m rychlným pohybm s dopřdným rychlním a =,5 m. Z nalosti hmotnosti robota a koficintu třní mi podložkou a kolčky l ypočítat, po jaké

době přkročí hodnota odstřdié síly maximální hodnotu třcí síly, ktrá robota udržuj na kruhoé drá a robot dráhu opustí. Maximální třcí síla, ktrou mohou přnést kola j P = µ W =.94 N Tato síla j složná síly F, pohánějící podok přd a na ni kolmé síly S. Má-li robot rychloat s rychlním a =,5 m s -, pak síla pohánějící robota přd j konstantní. Jjí hodnota j dána tahm F = ma =,5 N Maximální dostřdiá síla, nbo-li třcí síla udržující robota na kruhoé drá j tdy S max = P F =,93 N Jakmil hodnota odstřdié síly, daná tahm F o = mω R, přsáhn hodnotu Smax, dojd k smyku podoku a jho ychýlní kruhoé dráhy. K této situaci tdy dojd platí-li ω MR > S ω > max S max MR K smyku podoku tdy dojd, jakmil otáčiá rychlost podoku dosáhn hodnoty ω = 5,4 rad s -. Hodnota dopřdné rychlosti, po jjímž dosažní s robot dostan do smyku j dána tahm pro ýpočt obodoé rychlosti - = ω R =,8 ms Této rychlosti robot rychlující s rychlním a =,5 m s - dosáhn t =,6 s. Na Obr.. j graf náorňující dálnost robota od střdu kruhoé dráhy, tdy od bodu ICR. Z grafu j patrné, ž době odpoídající ypočítané hodnotě t =

3,6 s s dálnost odchyluj od žádané konstantní dálnosti R =, m a robot s již npohybuj po kruhoé drá..35.3.5 R [m]..5..5.5.5.5 3 3.5 t [s] Obr..: Vdálnost robota od žádaného bodu ICR.8.6.4 [ms - ]..8.6.4..5.5.75.5.5.75.5.5.75 3 3.5 3.5 t [s] Obr..: Dopřdná rychlost robota

4... Vrifikac č. Praé kolo robota s točí konstantní rychlostí ω = 46 rad s - a lé rychlostí ω = 34 rad s -. Při kontaktu kol s podložkou j yinuta třcí síla, ktrá pohání robota přd. Maximální třcí síla přnsná lým i praým kolm j P µ = P = W =,47 N Na počátku přnášjí kola maximální třcí sílu, ktrá působí, ž s robot ačn pohyboat přd. Síla S j nuloá. Platí P = P = F = F. Robot s pohybuj roně, dokud platí rω i F µ W i =, C Robot tdy musí jt roně až do stau, kdy ačn platit F µ W rω <, kd ω j úhloá rychlost lého kola. C V tomto okamžiku již lé kolo přnáší mnší sílu, nž praé kolo a tělo robota s ačn otáčt. Tnto sta nastan čas, kdy ačn platit µ W + rω M C t >, kd F max = Pmax + P max F max Robot s ačn otáčt čas t =,44 s. Výpočty potruj graf na Obr..3, kd j obrana orintac robota kartéském souřadném systému. Robot startuj poic o souřadnicích [; ] a orintací = rad. Z grafu j patrné, ž do doby t =,44 s jd robot s nuloou orintací a od této doby ačn atáčt.

5 φ [dg] 9 8 7 6 5 4 3 -..4.6.8...4.6.8. t [s] Obr..3: Orintac robota..3 Sronání kinmatického modlu a dynamických modlů podoku s difrnciálním říním Kinmatický modl popsaný kapitol.. j hodný k simulaci pomalých pohybů, u ktrých s nmohou ýraně projit stračné a třcí síly. Dynamický modl č. popsaný kapitol... l použít, pokud s robot nsmýká a kola nprokluují, al potřbujm ohldnit síly uádějící robota do pohybu a stračné síly. Dynamický modl č. popsaný kapitol... popisuj pohyb robota njěrněji, nboť ohldňuj třcí síly mi koly a podložkou a stračné síly. J tdy hodný k simulaci rychlých pohybu robota, kd třcí a stračné síly nl andbat. Obr..4 popisuj choání kinmatického a dynamických modlů běhm pohybu. Žádaná trajktori j pro šchny tři modly stjná, na obráku ynačna črnou přrušoanou křikou. Dopřdné rychlní j také šch třch případch stjné, a =,5 m s -.

6 Na Obr..4 A) j obrana trajktori kinmatického modlu, ktré j patrné, ž modl přsně slduj žádanou trajktorii, což ošm nní fyikálně možné. Na Obr..4 B) j obrana trajktori dynamického modlu č.. Modl již žádanou trajktorii nní schopn sldoat, nboť s projily stračné síly působící na tělo robota. Z Obr..4 C) j patrné, ž dynamický modl č. j od žádané trajktori odkloněn njíc, nboť s projil li stračnosti robota, momnt stračnosti kol a odstřdiá síla, ktrá působí smyk robota.

7 A.45 T =,3 s B.45 T =,3 s.4.4.35.35.3.3 žádaná trajktori.5.5 y [m]. y [m]..5..5. odklon od trajktori důsldku stračných sil.5.5 start start -.5 -.5 -.5 -. -.5.5..5 x [m] -.5 -. -.5.5..5 x [m] C.45.4.35.3 žádaná trajktori.5 y [m]..5. odklon od trajktori důsldku stračných sil.5 -.5 start -.5 -. -.5.5..5 x [m] Obr..4: A) kinmatický modl, B) dynam. modl č., C) dynam. modl č.

8. SMYKEM ŘÍZENÝ PODVOZEK Jdná s o podok s koly s jdním stupněm olnosti, uspořádaných tak, ž j podok principiálně podobný pásoému podoku. Jho ýhodou j schopnost pracoat těžkém trénu. Nýhodou pak, ž atáční j ralioáno smykm podoku, což j nrgticky náročné a ndooluj použití odomtri k lokaliaci robota. Smykm říný podok nmůž být popsán jdnoduchým kinmatickým modlm, nboť i při pomalém pohybu kola podoku prokluují a podok s smýká. y P y r x r S 4 P 4 F 4 S F 4 COG F F P F F, ω GC P 3 S b S 3 3 F F 3 pa a x Obr..5: Gomtri smykm říného podoku Poic podoku kartéském souřadném prostoru j tažna na bod COG. Bod GC onačuj gomtrické cntrum. Konstanty, s ktrými j při simulacích počítáno, a ktré charaktriují podok jsou: a =,5 m roor kol b =,4 m rochod kol p =,54 poměr dálnosti COG a os přdních kol ůči a

9 r =,5 m poloměr kol M = 59 kg hmotnost podoku J = kg m momnt stračnosti podoku C = 5 3 strmost áislosti třcí síly na rychlosti µ =,6 koficint třní W = 44,7 N tíha působící na jdno kolo Ronic popisující pohyb jsou Mx && = My && = i= 4 i= i= 4 i= F F sin + J && = ( F + F i i cos + F i= 4 i= i= 4 i= 3 S S i i sin cos b F4 ) + ( S + S ) pa ( S 3 + S )( p) a 4 (.6) K ýpočtu třcích sil F, S j nutno nát dopřdnou rychlost kola F a boční rychlost kola S. Rychlosti F a S jsou na sb kolmé. Tyto rychlosti popisují ronic F F S S 3 = = = = F 4 F 3 S S 4 b = x& cos + y& sin + & b = x& cos + y& sin & (.7) = x& sin + y& cos + pa & = x& sin + y& cos ( p) a & Rychlost mi stykoou plochou kola a podložkou j dána složním boční rychlosti S a rychlosti P. Rychlost P j dána rodílm obodoé rychlosti kola a rychlosti kola F. P = P S ( ) + ( ) = rω F (.8) Třcí síla P, ktrá na kolo působí, j ypočtna stjné áislosti, ktrou popisuj Obr..8 kapitol...

3 P = C P = µ W pro pro µ W < C µ W C (.9) Třcí sílu P l roložit na sílu F a sílu S, ktrá udržuj robota na drá při jídě do oblouku. Třcí síly F, S popisují tahy F = P P S = P S (.) obráku. Schéma dynamického modlu smykm říného podoku j na násldujícím F i S i (.6) & x& & y& & & x& y& & (.7) F i S i (.8) (.9) (.) ω iž x y Obr..6: Schéma modlu smykm říného podoku.. Vrifikac modlu Oěřní modlu j prodno na přímočarém pohybu robota. Robot stojí na místě a pomocí fdforwardu j požadoáno, aby jl konstantní dopřdnou rychlostí

3 = m s -. Maximální síly F, F, F 3, F 4 uádějící robota do pohybu, jsou dány třcí silou mi kolm a podložkou F = F F F µ W = 3 = 4 = = 88,7 N Na robota o hmotnosti M = 59 kg tdy působí clkoá síla F = 353,8 N a jho rychlní má tdy hodnotu a = 5,98 m s -. Požadoané dopřdné rychlosti = m s - tdy robot musí podl ýpočtů dosáhnout asi a t =,7 s a síly F, F, F 3, F 4 s ačnou ustaloat na nuloých hodnotách. Průběh sil j obran na Obr..7, průběh dopřdné rychlosti na Obr..8. 9 8 7 6 F F F 3 F 4 F [N] 5 4 3.5..5..5.3.35.4.45.5 t [s] Obr..7: Tažné síly působící na robota

3.8 [ms - ].6.4..5..5..5.3.35.4.45.5 t [s] Obr..8: Dopřdná rychlost robota

33.3 PODVOZEK S ACKERMANOVÝM ŘÍZENÍM Jdná s o typ podoku, jž j použíán u běžných automobilů. Jho ýhodou j použití trénu, nýhodou slabší manéroatlnost. Gomtri podoku j obrana na Obr..9. y p přdní kola θ l θ θp R p ICR R θ l adní kola b B x Obr..9: Gomtri Ackrmanoa podoku Konstanty, s ktrými j při simulacích počítáno, a ktré charaktriují podok jsou: l =,3 m roor kol b =,5 m rochod kol Při torbě modlu s podok jdnoduší tak, ž přdní a adní kola jsou nahrana jdním. Rodílná natoční přdních kol při atáční l pak dopočítat podl tahů

34 θ = tan l p θ = tan R R l,5b l +,5b (.) Z Obr..9 j roněž patrné, ž pokud podok atáčí, tak jdnodušné přdní kolo s pohybuj po kružnici o ětším poloměru, nž jdnodušné adní kolo. J proto rodílné, da má podok náhon na adní či přdní kola, a kinmatické modly s proto také liší. Poic podoku kartéském souřadném prostoru j tažna obou případch na bod B os jdnodušného adního kola. Roněž rychlosti lého a praého přdního kola a lého a praého adního kola jsou při atáční rodílné. Nbud-li mít podok pro každé kolo láštní pohon, j nutno podoky tohoto typu osadit difrnciálm, ktrý tyto rodíly rychlostch řší..3. Kinmatický modl podoku s pohonm adních kol Vstupm soustay j rychlost jdnodušného adního kola a úhl natoční jdnodušného přdního kola θ. Výstupm j poloha podoku x, y kartéském souřadném prostoru a jho orintac hldm k os x. θ tanθ l & cos sin x& y& x y Obr..: Kinmatický modl podoku s pohonm adních kol

35 Staoé ronic systému: x& = y& = & = cos sin tanθ l (.).3.. Vrifikac modlu K rifikaci byl použit fdforward aručující pohyb robota po kruhoé drá. Přdpokladm j konstantní natoční jdnodušného přdního kola o úhl θ =,54 radiánů, nboli 3 a konstantní rychlost jdnodušného adního kola =, m s -. Z gomtri podoku l ypočítat, ž dobř sstaný modl, tažný na bod B (i Obr..9), pojd po kruhoé drá o poloměru R l = =,5 m tanθ Clkoá dráha tdy bud dlouhá s = 3,7 m. Vhldm k dopřdné rychlosti robota =, m s - projd robot kruhoou dráhu a t = 6,34 s. Poic robota kartéském souřadném prostoru j na násldujícím obráku. x, y [m].5.4.3.. -. -. -.3 -.4 -.5 poic os x poic os y 4 6 8 4 6 t [s] Obr..: Poic robota x, y kartéském souřadném prostoru

36.3. Kinmatický modl podoku s pohonm přdních kol Vstupm soustay j rychlost jdnodušného přdního kola p a jho úhl natoční θ. Výstupm j poloha podoku x, y kartéském souřadném prostoru a jho orintac hldm k os x. p θ p sinθ l & p cos cosθ x& x sin cosθ p y& y Obr..: Kinmatický modl podoku s pohonm přdních kol Staoé ronic systému: x& = y& = p & = p p cos cosθ sin cosθ sinθ l (.3).3.. Vrifikac modlu K rifikaci byl použit fdforward aručující pohyb robota po kruhoé drá. Přdpokladm j konstantní natoční jdnodušného přdního kola o úhl θ =,54 radiánů, nboli 3 a konstantní rychlost jdnodušného adního kola p =, m s -. Z gomtri podoku l ypočítat, ž jdnodušné přdní kolo pojd po kruhoé drá o poloměru R p l = =,6 m sinθ

37 Clkoá dráha tdy bud dlouhá s = 3,77 m. Vhldm k dopřdné rychlosti robota p =, m s - projd robot kruhoou dráhu a t = 8,85 s. Poic robota kartéském souřadném prostoru j na násldujícím obráku. x, y [m].5.4.3.. -. -. -.3 -.4 poic os x poic os y -.5 4 6 8 4 6 8 t [s] Obr..3: Poic robota x, y kartéském souřadném prostoru

38 3. ŘÍZENÍ Říní mobilních robotů spočíá říní akčních ličin takoým působm, aby robot ykonal žádaný pohyb. Říní l rodělit na: b pětné aby s pětnou abou 3. ŘÍZENÍ BEZ ZPĚTNÉ VAZBY Robot říný b pětné aby musí mít ypočítané žádané průběhy akčních ličin, ktré robota podou po žádané trajktorii. Těmto dopřdu námým průběhům akčních ličin s říká fdforward. Spráně ypočtný fdforward aručuj, ž robot pojd po žádané trajktorii. To šak platí pou případě, ž na robota npůsobí porucha a startuj polohy a orintací, pro ktrou byl fdforward ypočtn. Vli startoní poic robota a jho orintac na ykonanou trajktorii j patrný Obr. 3.. Na obráku jsou ykrslny dě posloupnosti poic robota s Ackrmanoým říním. V obou případch j robot řín idntickými průběhy akčních ličin, liší s pou startoní poic a orintac robota.

39 4.5 4 3.5 3.5 y [m].5.5 -.5 START START - - x [m] Obr. 3.: Vli startoní poic robota na jho trajktorii 3.. Výpočt fdforwardu pro obcnou trajktorii roině x, y J-li trajktori spojitá hladká funkční áislost souřadnic y na x kartéského souřadného prostoru, l pro každý bod této trajktori ypočítat střd a poloměr oskulační kružnic. Z aktuální rychlosti a poloměru oskulační kružnic R, na jjímž obodu s robot nacháí, l ypočítat podl tahu ω = úhloou rychlost otáční R robota. Pro poloměr oskulační kružnic hladké křiky platí 3 dx dy + du du ρ ( u) = (3.) dx d y dy d x du du du du

4 kd paramtrm u můž být například odlhlost s, čili délka dráhy od počátku. J-li šak požadoaná dráha yjádřna jako áislost y(x), můž být ýpočt áislosti ρ(s) obtížný. V takoém případě j ýhodnější hldat áislost ρ(x). Postup j popsán níž. J-li áislost y na x přsně náma, můžm analyticky ypočítat odlhlost křiky od počátku, což j délka dráhy, ktrou robot urail podl tahu u dx dy d s( u) = + + dξ dξ dξ dξ u (3.) Dosaním souřadnic x a paramtr u ronici (3.), dostanm áislost odlhlosti s = s(x). Z nalosti rychlostního profilu robota l ískat áislost odlhlosti na čas, tdy s = s(t). J-li pak áislost s(x) ískaná ronic (3.) inrtibilní, což namná, ž k funkci s = s(x) můžm najít funkci inrní x = s - (s), pak l dostat analytické yjádřní áislosti x na odlhlosti s, čili x = x(s(t)). Dosaní x a obcný paramtr u do ronic (3.), pak dostanm tah áislosti poloměru oskulačních kružnic na x. ρ ( x) = dx dy + dx( s( t)) dx( s( t)) dx d y dy d x dx( s( t)) dx( s( t)) dx( s( t)) dx( s( t)) 3 (3.3) paramtricky 3.. Robot s difrnciálním říním Robot s difrnciálním říním j dn po trajktorii žádanou roině x, y x = x 3 ( 4 y x) = ( x) 3 x < ; 4 > (3.4)

4 kd paramtrm křiky j sama souřadnic x. J požadoáno, aby rychlost robota na ačátku a na konci dráhy byla nuloá. Postupm popsaným kapitol 3.. l yjádřit áislost paramtru x na drá s(t), ktrou robot urail. Tato áislost yjádřná analyticky j 3 ( x s) = (6s + ) 4 4 Záislost oskulačních kružnic na paramtru x j ρ ( x ) = x( + 4x) 3 Nuloá rychlost na ačátku a na konci dráhy j ajištěna tak, ž do poloiny dráhy robot rychluj s rychlním a =, m s - a od poloiny dráhy pomaluj s rychlním a = -, m s -. Na Obr. 3. jsou ykrslny poic robota po,8 skundách. K simulaci byl použit dynamický modl č..

4 t = 5,8 s 8 y [m] 6 4 t = s -4-4 6 8 x [m] Obr. 3.: Poic robota snímané časoých okamžicích po,8 s 3..3 Robot s Ackrmanoým říním Robot s Ackrmanoým říním j dn po trajktorii, ktrá j paramtricky yjádřna ronici (3.4) kapitol 3... Roněž postup yjádřní áislosti oskulačních kružnic na paramtru x j tdy totožný. Opět j požadoána nuloá rychlost na ačátku a konci dráhy. Poic robota ykrslné po,8 skundách jsou na Obr. 3.3. Robot do poloiny dráhy rychluj s rychlním a =, m s - a od poloiny dráhy pomaluj s rychlním a = -, m s -.

43 t = 5,8 s 8 y [m] 6 4 t = s -4-4 6 8 x [m] Obr. 3.3: Poic robota snímané časoých okamžicích po,8 s 3. ŘÍZENÍ SE ZPĚTNOU VAZBOU Aby bylo možné narhnout njlép yhoující říní robota, j hodné rodělit říní podl požadoaného pohybu robota násldoně říní od bodu k bodu: Robot startující adané poic musí dosáhnout požadoaného cíl. říní po drá: Robot startující adané poic musí sldoat žádanou dráhu. Poic robota na drá nní určna časm. říní po trajktorii: Robot startující adané poic musí sldoat žádanou dráhu. Poic robota na drá j určna časm.

44 Pro ýběr mtody říní j tdy podstatné, jaké nároky jsou kladny na průběh pohybu robota. 3.. Říní od bodu k bodu Robot musí být schopn adané poic a orintac kartéském souřadném prostoru, dosáhnout cíl. Trajktori, ktrou robot při jídě a cílm ykonal, nní podstatná. Cíloá poic robota j dána souřadnicmi x a y, pak k říní postačuj jdnoduché raktiní říní. Případně můž být požadoána i cíloá orintac robota, pak j hodné například říní s pětnou abou od poic a orintac robota. 3... Raktiní říní Raktiní říní j hodné k řšní problmatiky naádění robota bod po bodu. L šak použít i k naádění na pohybliý cíl. Robot má dfinoané orné pol, praxi ralioané čidlm. Zorné pol má rosah γ, jak j patrné násldujícího Obr. 3.4. CÍL d γ γ Obr. 3.4: Raktiní říní Podl poic cíl a poic a orintac robota l ypočítat hodnotu úhloé odchylky. Na ákladě této odchylky a šířky orného pol j yhodnocno, da cíl j

45 orném poli či mimo něj. Vhodnými funkčními áislostmi rychlosti a úhloé rychlosti robota ω na odchylc, pak l dfinoat choání robota při jídě a cílm. Říní pro podok s difrnciálním říním pak můž ypadat například takto: Cíl j orném poli, γ : = a cos ω = bsin (3.5) Cíl nní orném poli, > γ : = c ω = d sign (3.6) Raktiní říní pro podok s Ackrmanoým říním můž ypadat například tak, ž ronicích (3.5) a (3.6) bud místo ω ystupoat úhl natoční jdnodušného přdního kola θ. Nní-li cíl orném poli robota, j dopřdná rychlost robota rona konstantě c. Rychlost měny orintac robota nbo natoční přdního kola u Ackrmanoa podoku, j dána konstantou d. Směr orintac pak naménkm odchylky. Jakmil j cíl orném poli, robot s dáá do pohybu s dopřdnou rychlostí áislou na konstantě a a odchylc. J-li nuloé, j rychlost maximální, tdy = a. Zároň docháí k nustálé kontrol hodnoty odchylky od cíl a korkci měnou orintac robota. Rychlost měny orintac robota j áislá konstantě b a odchylc. J-li robot yban podokm s difrnciálním říním, můž být konstanta c = m s -. Dopřdná rychlost robota j tdy nuloá a docháí pou k měně orintac robota, dokud nní cíl orném poli robota. J-li požadoáno, aby robot blížící s k cíli ačal pomaloat a násldně cíli astail, nbo aby udržoal konstantní dálnost od pohybujícího s cíl, musí být náma dálnost robota od cíl d. Odchylku skutčné dálnosti d od žádané dálnosti d l použít jako stup P rgulátoru, j-li robot naáděn na statický cíl

46 nbo jako stup do PI rgulátoru, j-li robot naáděn na pohybující s cíl. Paramtr a ronici (3.5) nyní nbud konstanta, al hodnota ystupující rgulátoru. 3... Robot s difrnciálním říním V násldujících kapitolách j popsáno raktiní říní aplikoané na difrnciální podok. Simulační pokusy byly proáděny s dynamickým modlm č., ktrý j popsaný kapitol... 3... Naádění na statický cíl Robot naáděný na cíl raktiním říním b měřní dálnosti od cíl, cílm projd a poté s opět snaží nasměroat na cíl a dojt k němu. Situac j patrná Obr. 3.5 kd jsou ykrslny poic robota kartéském souřadném prostoru po časoých okamžicích,5 s. Robot startuj poic A [3; ] a orintací = rad. Robot j naáděn na poici CÍL [; ]. Konstanty říní mají hodnoty a = m s -, b = 5 rad s -, c = m s -, d =,8 rad s -. Vdálnost robota od cíl j ykrslna na Obr. 3.6. Z průběhu dálnosti robota od cíl j patrné, ž robot cílm projl a poté s opět ačal daloat. Po měně orintac s robot ačal opět přibližoat k cíli..5 y [m] CIL [; ] START [3; ] -.5 - - -.5.5.5.5 3 3.5 x [m] Obr. 3.5: Posloupnosti poloh robota snímané časoých okamžicích po,5 s

47 3.5 3.5 d [m].5.5 3 4 5 6 7 t [s] Obr. 3.6: Vdálnost robota od cíl Plynulé pomalní a astaní robota cíli, ktrý startoal růných poic j obrano na Obr. 3.7. Na obráku jsou ykrslny poic robota snímané po časoých okamžicích, s. Robot startuj růných bodů A, B, C, D, E, F, G, H s orintací = radiánů ůči os x a j naáděn do bodu CÍL [; ]. Z poic robota po konstantních časoých okamžicích j patrné pomalní robota blížícího s k cíli. Konstanty říní jsou stjné jako přdchoím případě, pou místo konstanty a j k říní plynulého dojdu k cíli použit P rgulátor s sílním K R =, jhož ýstupm j žádaná dopřdná rychlost. 3.8. Průběh dálnosti robota od cíl, startujícího poic A, j obran na Obr.

48 3 C [; 3] D [-,;,] B [,;,] y [m] E [-3; ] CIL [; ] A [3; ] - - F [-,; -,] H [,; -,] -3 G [; -3] -3 - - 3 x [m] Obr. 3.7: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po, s 3.5 d [m].5.5 3 4 5 6 7 t [s] Obr. 3.8: Vdálnost robota od cíl

49 3... Naádění na pohybující s cíl V případě, ž s cíl npohybuj příliš rychl a příliš rychl natáčí, l raktiní říní použít roněž k naádění na pohybující s cíl. Říní bylo oěřno naáděním dynamického modlu č. na cíl pohybující s konstantní dopřdnou rychlostí =,5 m s - po kruhoé drá o poloměru r = m. Cíl startuj poic [; -] a robot poic [-,5; -]. Konstanty říní mají hodnoty b = 5 rad s -, c = m s -, d =,8 rad s -. Žádaná dálnost robota od cíl j d ž = m. Aby byla odchylka skutčné dálnosti od požadoané dálnosti nuloá, j k říní dopřdné rychlosti robota použit PI rgulátor. Maximální dopřdná rychlost j omna na = m s -. PI rgulátor formě F ri = r má hodnoty r =, a p R + r i =,. Trajktori robota a cíl od t = s do t = s j patrná Obr. 3.9.

5 robot robot po, s cil.5 y [m] -.5 START - CIL [; -] - START - ROBOT [-,5; -] - -.5.5 x [m] Obr. 3.9: Trajktori robota a cíl Průběhy poic robota a cíl čas jsou obrany na Obr. 3. a Obr. 3...5 cil robot.5 x [m] -.5 - -.5 5 5 5 t [s] Obr. 3.: Poic robota a cíl souřadnici x

5.5 cil robot.5 y [m] -.5 - -.5 5 5 5 t [s] Obr. 3.: Poic robota a cíl souřadnici y Na Obr. 3. obran průběh dálnosti robota od cíl..8.6 d [m].4. 5 5 5 t [s] Obr. 3.: Vdálnost robota od cíl

5 3... Robot s Ackrmanoým říním Raktiní říní l aplikoat také na podok s Ackrmanoým říním. Simulační pokusy byly proáděny s kinmatickým modlm s pohonm adních kol, ktrý j popsaný kapitol.3.. 3... Naádění na statický cíl Na Obr. 3.3 jsou obrany poic robota snímané po,3 s. Robot startuj růných bodů A, B, C, D, E, F, G, H s orintací = radiánů a j ždy naáděn do bodu CÍL [; ]. Konstanty říní mají hodnoty b = rad, c =,5 m s - π, d = rad. 4 K říní plynulého dojdu k cíli j použit P rgulátor s sílním K R =,, jhož ýstupm j žádaná dopřdná rychlost robota. Maximální dopřdná rychlost robota j omna na =,5 m s -.

53 3 C [; 3] D [-,;,] B [,;,] y [m] E [-3; ] CIL [; ] A [3; ] - - F [-,; -,] H [,; -,] -3 G [; -3] -3 - - 3 x [m] Obr. 3.3: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,3 s 3... Naádění na pohybující s cíl Říní bylo oěřno naáděním kinmatického modlu na cíl pohybující s konstantní dopřdnou rychlostí = m s - po kruhoé drá o poloměru r = m. Cíl startuj poic [; -] a robot poic [-,5; -]. Konstanty říní mají hodnoty b = rad, c =,5 m s - π, d = rad. Aby byla odchylka skutčné dálnosti od 4 požadoané dálnosti nuloá, j k říní dopřdné rychlosti robota použit PI

54 rgulátor. Maximální dopřdná rychlost robota j omna na =,5 m s -. PI rgulátor formě F ri = r má hodnoty r =, a r i =, 35. p R + Trajktori robota a cíl j na Obr. 3.4. Robot dožn cíl asi a dobu t = 4 s, jak j patrno násldujícího průběhu dálnosti robota od cíl na Obr. 3.5. robot robot po, s cil.5 y [m] -.5 - - -.5.5 x [m] Obr. 3.4: Trajktori robota a cíl

55.6.5.4 d [m].3.. 4 6 8 4 t [s] Obr. 3.5: Vdálnost robota od cíl 3...3 Smykm říný robot Smykm říný podok nl popsat kinmatickým modlm a tudíž nl jdnoduš yjádřit áislost rychlosti kol na žádané dopřdné rychlosti a otáčié rychlosti ω. Choání podoku j šak podobné jako choání podoku s difrnciálním říním a l na něj tudíž aplikoat stjný ákon raktiního říní. Konstanty říní mají hodnoty b = 5 rad s -, c = m s -, d =,8 rad s -. K ýpočtu žádaných rychlostí kol jsou použity ronic (.3) popsané kapitol... Na Obr. 3.6 jsou poic robota naáděného do statického bodu CÍL [; ]. Robot startuj růných bodů s orintací = radiánů. Z obráku j patrné, ž říní ždy dod robota do cíl. K říní plynulého dojdu k cíli j použit P rgulátor s sílním K R =,5, jhož ýstupm j žádaná dopřdná rychlost robota. Maximální dopřdná rychlost robota j omna na =,5 m s -.

56 6 C [; 6] D [-4,4; 4,4] B [4,4; 4,4] 4 y [m] E [-6; ] CIL [; ] A [6; ] - -4 F [-4,4; -4,4] H [4,4; -4,4] -6 G [; -6] -6-4 - 4 6 x [m] Obr. 3.6: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,4 s 3... Říní polárních souřadnicích Toto říní l použít, j-li kromě cíloé poic dfinoána i cíloá orintac robota. Problmatika j patrná Obr. 3.7.

57 y y C x cíloá poic β γ y y R ρ α x R x C startoní poic x x Obr. 3.7: Startoní a cíloá poic Osa x R souřadného systému robota sírá s ktorm x úhl α. Vktor x spojuj střd souřadného systému robota s střdm souřadného systému cíloé poic. Odchylky robota od cíloé póy l yjádřit polárních souřadnicích násldoně ρ = x + y α = + arctan ( x, y) β = α + γ (3.7) Kinmatický modl podoku s difrnciálním říním yjádřný noých polárních souřadnicích j pak maticoě popsán takto & ρ cosα & α = ρ sinα (3.8) & ω β ρ sinα Řídící ličiny a ω musí aručit ustální odchylk ρ, α, β na nuloé hodnoty. Zákon říní splňující tuto podmínku j popsán ronicmi

58 = k ρ ρ ω = k α + k β α β (3.9) Po dosaní ronic (3.9) do ronic (3.8) ískám pětnoabní systém apsaný maticoě & ρ k ρ ρ cosα & α = k ρ sinα kαα k & β k ρ sinα β β (3.) Říní bylo oěřno naáděním robota s difrnciálním říním na bod CÍL π [; ], přičmž končná orintac robota má být γ = radiánů. Startoní poic robota jsou body A, B, C, D, jak j patrné Obr. 3.8. Startoní orintac robota j ždy = radiánů. Hodnoty proporcionálních rgulátorů jsou: k ρ =,6, k α = 8, k β = -,5.

59 3 B [; 3] y [m] C [-3; ] CIL [; ] A [3; ] - - -3 D [; -3] -3 - - 3 x [m] Obr. 3.8: Posloupnosti poic robota snímané časoých okamžicích po,4 s 3.. Říní po drá Robot startující adané poic musí sldoat žádanou dráhu. Poic robota na drá nní určna časm. Říní tdy musí pou ajistit, aby robot dráhu nopustil. 3... Raktiní říní Říní robota j ralioáno pomocí čidl, ktré dtkují dráhu. V praktické raliaci můž dráhu určoat například odící páska, ktrou dtkují optická čidla. Romístění čidl oliňuj přsnost dní po drá.

6 3... Podok s difrnciálním říním Říní bylo tstoáno pomocí kinmatického modlu podoku. Kinmatický modl j pro tnto působ říní dostačující, nboť s npřdpokládá rychlý pohyb robota. Romístění čidl na podoku j patrné Obr. 3.9. c b COG d čidlo Obr. 3.9: Romístění čidl na robotoi s difrnciálním říním Říní j oěřno na drá, ktrou obrauj črná křika na Obr. 3.. J počítáno s nkončně malou šířkou dráhy, po ktré j robot dn. J požadoáno, aby s robot po drá pohyboal konstantní rychlostí =,3 m s -. Čidla jsou umístěna tak, ž d =,4 m. Aby byl patrný li dálnosti čidl c na pohyb robota, jsou k říní použity hodnoty dálnosti c. Vdálnosti čidl c =,65 m odpoídá modrá křika, dálnosti čidl c =,4 m odpoídá lná křika na Obr. 3.. J patrné, ž mnší dálnost mi čidly přsňuj dní po drá, můž šak ést k horšímu rolišní, na jakou stranu robot dráhy ybočuj.

6.6.4 c =,65 m c =,4 m adana draha. y [m] -. -.4..4.6.8..4.6.8 x [m] Obr. 3.: Žádaná a skutčná trajktori 3... Podok s Ackrmanoým říním 3.. Romístění čidl na podoku s Ackrmanoým říním j patrné Obr. c čidlo d Obr. 3.: Romístění čidl na robotoi s Ackrmanoým říním Robot s má pohyboat po žádané drá, na Obr. 3. obrana črnou křikou, konstantní rychlostí =,3 m. Opět j počítáno s nkončně malou šířkou dráhy. Čidla jsou umístěna tak, ž d =,35 m. Říní j pak oěřno na dou dálnostch čidl c. Výsldné dráhy robota jsou obrany na Obr. 3.. Z ýsldků j patrné, ž příliš malá dálnost mi čidly d k horšní přsnosti

6 dní na drá. Poloha podoku kartéském souřadném prostoru j dána bodm B, i Obr..9, proto j startoní poic robota bodu [; -,35]..8.6.4 c =,6 m c =,8 m adana draha. y [m] -. -.4 -.6 -.8.5.5.5 3 x [m] Obr. 3.: Žádaná a skutčná trajktori 3..3 Říní po trajktorii Na pohyb robota jsou kladny njětší požadaky, nboť robot musí sldoat žádanou dráhu a poic robota na drá j určna časm. Pohyb j tdy časoě dtrministický. 3..3. Zpětnoabní říní s fdforwardm Tato kapitola s abýá říním difrnciálního podoku po trajktorii. Základním přdpokladm j nalost gomtri požadoané trajktori a rychlostní profil robota. V takoém případě jsou námy i žádané časoé průběhy souřadnic x (t), y (t) a orintac robota (t). Z těchto průběhů l ronic kinmatického modlu (.) ypočítat žádané průběhy řídících ličin (t) a ω (t), nboli fdforward řídících ličin. Žádaná poloha a orintac j tdy dána staoými ronicmi

63 x& y& = = & = ω cos sin (3.) Pokud robot startuj jiné poic, nž pro ktrou byl ypočítán fdforward nbo pokud na robota působí porucha, robot přstan požadoanou trajktorii sldoat. J proto nutné k říní doplnit pětnou abu, ktrá bud schopna odchylky korigoat. Dfinic odchylk j patrná Obr. 3.3. y y žádaná poic žádaná trajktori x y [x, y ] x [x, y] skutčná poic x Obr. 3.3: Odchylky od trajktori Odchlylky a jsou yjádřny přpočtm žádaných souřadnic x, y do skutčného souřadného systému robota, jak popisuj ronic cos sin x x = sin cos y y (3.) Odchylka 3 j dána rodílm žádané orintac robota a skutčné orintac. Odchylky, a 3 tdy popisují ronic

64 = + = + = y y x x y y x x 3 )cos ( )sin ( )sin ( )cos ( (3.3) Po driaci ronic (3.3) podl času dostanm & & & & & & & & & & & & & & & & & = + = + + = y y y y x x x x y y y y x x x x 3 sin ) ( )cos ( cos ) ( )sin ( cos ) ( )sin ( sin ) ( )cos ( (3.4) Dosaním ronic (.) a (3.) do ronic (3.4) dostáám ronic popisující dynamiku odchylk áislosti na žádaných a skutčných hodnotách akčních ličin. Ronic dynamiky odchylk tdy jsou ω ω ω ω = = + + = + = + + = y y x x y y x x 3 3 3 sin sin ) ( cos sin cos sin cos ) ( sin cos sin cos cos cos ) ( sin sin sin sin ) ( cos cos cos & & & & & & & (3.5) Ronic (3.5) přdstaují staoé ronic dynamického systému, kd, a 3 jsou staoé ličiny a,, ω a ω jsou stupy systému. Skutčné hodnoty akčních ličin l yjádřit jako u u + = + = ω ω (3.6) kd u, u jsou odchylky od žádaných hodnot akčních ličin. Dosadím-li ronic (3.6) do ronic (3.5) dostanm 3 3 3 ) ( sin ) ( ) ( cos u u u u = + = + + + = & & & ω ω (3.7) Tyto ronic přdstaují nlinární systém s stupními ličinami u a u. Za přdpokladu, ž odchylky,, 3 od žádané trajktori jsou malé, pak jsou malé

65 i akční ličiny u, u. Ronic (3.7) tdy l linarioat kolm ronoážných hodnot = = 3 = u = u =. Systém po linariaci j tdy popsán ronicmi 3 3 u u = + = = & & & ω ω (3.8) V maticoé formě = 3 3 u u ω ω & & & (3.9) Obcně l systém (3.9) yjádřit pomocí staoých matic ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t u B A = & (3.) Zadním pětné aby od ktoru staů dostanm noý staoý popis taru [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t t t t t K B A K B A = = & (3.) Vhodným nastaním matic K(t) j tdy možné nastait lastní čísla noé matic pětných ab ) ( ) ( ) ( t t t K B A, ktrá aručí nuloé hodnoty odchylk,, 3 ustálném stau. Vhldm k časoě proměnným hodnotám žádaných stupů (t) a ω (t) j systém časoě ariantní a roněž hldaná matic K(t) j časoě ariantní. Říní bylo oěřno na dynamickém modlu č. podoku s difrnciálním říním. Žádaná trajktori robota j kružnic o poloměru R =,5 m. Startoní poic robota j [; ] a orintac = rad. J požadoána konstantní dopřdná rychlost robota = m s -. Vypočítané hodnoty fdforwardu akčních ličin, ktré aručí a idálních podmínk pohyb po žádané trajktorii, jsou konstanty = m s - a ω = rad s -. Vlastní čísla matic BK A jsou nastana na hodnoty λ = [, -, -4]. Matic K j tomto případě konstantní a má hodnoty

66 4,3 K =,458,57,89,9,777 Žádaná trajktori a skutčná trajktori dynamického modlu č., čtně poic robota po konstantním časoém okamžiku,5 s j na Obr. 3.4. Z obráku j patrné, ž s říní yroná s nspránou startoní poicí robota, nž pro ktrou byl fdforward ypočítán. Roněž porucha působná stračností robota při rojíždění j liminoána. skutcna trajktori adana trajktori poic po,5 s.8.6 y [m].4. t = s t = 3,5 s -.4 -...4.6 x [m] Obr. 3.4: Žádaná a skutčná trajktori robota

67.4.35.3 [m] [m] 3 [rad] odchylky [m], [rad].5..5..5 -.5.5.5.5 3 3.5 t [s] Obr. 3.5: Odchylky skutčné poic robota od žádané poic

68 4. ANIMACE POHYBU MOBILNÍHO ROBOTA K animaci a dmonstraci pohybu mobilního robota slouží aplikac MobilníRobot ytořná prostřdí Matlab. Dmonstrac j prodna formou animac pohybu robota kartéském souřadném prostoru. Dál jsou ykrslny souřadnic osách x a y čas, orintac robota čas a áislost souřadnic robota y na x. 4. UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA APLIKACE MOBILNÍROBOT 4.. Vstupní data Vstupní data pro aplikaci MobilníRobot jsou ískáána simulací prostřdí Matlab Simulink. V prostřdí Simulink j potřba nastait konstantní časoý krok simulac, aby byl pohyb animoán také po konstantních časoých okamžicích. Zapsáním ýstupů modlu podoku x [m], y [m], [dg] spráných jdnotkách, do souboru data.mat, ktrý musí být stjném adrsáři jako aplikac MobilníRobot, j ytořn potřbný soubor stupních dat pro aplikaci. Soubor data.mat tdy obsahuj matici dat, kd prní řádk toří hodnoty času t, druhý hodnoty souřadnic x, třtí hodnoty souřadnic y a čtrtý hodnoty orintac robota stupních. 4.. Spuštění aplikac Aplikac sstáá souboru MobilníRobot.m, ktrý j nutno spustit prostřdí Matlab jako funkci b paramtrů adáním příkau mobilnirobot na příkaoé řádc. Po spuštění s otř úodní okno aplikac. 4..3 Nastaní animac Užiatl má možnost nastait 3 paramtry animac. Tyto paramtry jsou krok, násobk rychlosti a stopy.

69 Obr. 4.: Nastaní animac 4..3. Krok Hodnota krok udáá časoý intral mi ykrslním jdnotliých stop, ynačující poic, ktrých s robot nachál. Hodnota s udáá skundách. Pro spránou funkci j nutno hodně nastait hodnotu časoého kroku simulac, ktré jsou ískáána data. 4..3. Násobk rychlosti Hodnota násobk rychlosti oliňuj rychlost běhu animac. Hodnota ětší nž animaci rychlí, hodnota mnší nž animaci pomalí. Implicitně j nastana hodnota, doba běhu animac pak odpoídá době jídy robota. Rychlost běhu animac šak můž být oliněna poměrně ysokými nároky na hardwar počítač. 4..3.3 Stopy Po atrhnutí políčka stopy jsou okně animac pohybu robota ykrsloány jdnotlié stopy poic robota, ktrých s robot nachál. Počt ykrslných stop j dán hodnotou časoého intralu mi stopami, i kapitola 4..3.. 4..4 Oládání aplikac K oládání aplikac slouží 5 tlačítk jjichž funkc j popsána níž. 4..4. Tlačítko Start Tlačítko slouží k spuštění animac.