8 11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN Měřicí potřeby: 1) Guova dioda s vysílací trychtýřovou atéou ) apájecí zdroj pro Guovu diodu 3) přijímací atéa 4) polovodičová dioda jako detektor 5) voltmetr 6) příslušeství pro měřeí odrazu, lomu, iterferece atd. Obecá část: Záko odrazu a záko lomu (Sellův) patří k základím zákoům geometrické (paprskové) optiky. Oba lze odvodit z Fermatova pricipu: Světlo se šíří z jedoho bodu prostoru do druhého po takové dráze, aby doba potřebá k jejímu proběhutí byla extrémí buď kratší ebo delší ež u jakékoli sousedí dráhy. Dopadá-li paprsek a rozhraí dvou prostředí, dělí se a paprsek odražeý a paprsek lomeý (prošlý). Mezi úhlem dopadu α a úhlem odrazu α resp. úhlem lomu β platí vztahy: 1 α = α (záko odrazu), (1) siα c = = 1 (záko lomu), () si β 1 c kde i je idex lomu prostředí defiovaý jako poměr rychlosti šířeí světla ve vakuu a rychlosti šířeí v daém prostředí c i. (Často je jedím prostředím vzduch, pro který Obr. 1 Odraz a lom =& 1) pro případ > 1 Některé optické jevy elze vysvětlit v rámci geometrické optiky, která je založea a ezávislosti paprsků. Mezi ejzámější patří ohyb a iterferece. K jejich vysvětleí je potřeba obecější, vlové teorie, kterou zavedl Ch. Huyges v roce 1678. Světlo se šíří ve formě vl, které se ve vakuu pohybují kostatí rychlostí c 0 =& 3 10 8 m.s 1 a které jsou matematicky popsáy reálou fukcí u(r,t) azývaou vlová fukce. Velmi často se pro popis používá harmoická roviá vla. V jedorozměrém případě (apř. šířeí vl podél osy x) ji lze zapsat jako u(x,t) = A cos(πν (t ± x/c) + ϕ), kde A je amplituda vly, ν je frekvece, c je rychlost šířeí vl a ϕ je počátečí fáze. Vlová délka takovéto vly je pak c λ = = ct, kde T je perioda. ν Skládáím dvou či více vl pak může dojít k výše uvedeým jevům, kdy itezita světla eí součtem itezit jedotlivých vl, ale závisí a rozdílu fází jedotlivých vl a vykazuje typické střídáí maxim a miim. Aby byly tyto jevy
pozorovatelé (tj. časově stálé), je třeba aby teto vzájemý fázový posu byl kostatí. Takové vly ozačujeme jako koheretí. Podmíka koherece je jedoduše splěa při skládáí vl, které pocházejí z jedoho zdroje. Uveďme zde dva typické případy, které využívají odrazu vl: 1) Při dopadu vlěí a odrazou plochu vziká vlěí odražeé, které se skládá s vlěím dopadajícím za vziku stojatého vlěí. To je charakterizováo existecí kmite a uzlů, tedy míst, která kmitají s maximálí resp. miimálí amplitudou. Vzdáleost dvou sousedích kmite (či uzlů) je rova poloviě vlové délky. ) Dopadá-li postupé vlěí o vlové délce λ 1 a tekou vrstvu vhodého prostředí o tloušťce d, částečě se odráží a částečě prochází tekou 1'' '' vrstvou (obr. ). Itezita odražeého vlěí je 1 určea optickým dráhovým rozdílem δ paprsků 1 a : 3 d 1' ' Obr. Iterferece a teké vrstvě δ = d 1 si α (3) a poměry idexů lomu jedotlivých prostředí. Dopadá-li a tekou vrstvu bílé světlo, jsou podmíky pro maxima resp. miima splěy pouze pro určité vlové délky (barvy). (Takto vzikají apř. barvy olejových skvr a vodě, barvy a mýdlových bubliách atp.) Všechy až dosud uvedeé jevy jsou obvykle pozorováy při použití viditelého světla. To je ovšem úzký obor elektromagetického vlěí o vlových délkách přibližě od 400 m do 760 m. Přejdeme-li k Rötgeovu (RTG) zářeí, tedy k mohem kratším vlovým délkám (řádově agströmy, 1 Å = 10 10 m ), lze studovat jevy difrakce a krystalech pevých látek. V krystalické mřížce jsou atomy pravidelě rozmístěy v rovoběžých roviách. Soustavu takovýchto rovi charakterizujeme meziroviou vzdáleostí d a azýváme ji osovou atomových rovi. Dopadá-li zářeí o vlové délce λ a krystal, pozorujeme maximum itezity ve směrech, které jsou dáy Braggovou rovicí, d siϑ = λ ( = 1,,3,... celé ). (4) Úhel ϑ se azývá Braggův úhel (jeho dvojásobek difrakčí úhel) a a rozdíl od optiky, kde se úhly měří od ormály roviy rozhraí, udává odklo paprsků od roviy atomů (viz obr. 3). Protože situace je aalogická odrazu a roviém rozhraí, mluví se často (e úplě správě) o reflexi a atomových roviách ebo Braggově reflexi, i když fyzikálě se jedá o difrakčí (ohybový) jev. Jedotlivé zesíleé paprsky se azývají maxima ebo reflexe. Číslo se azývá řád maxima (reflexe). 83
=DC+CE=d si B (hkl) (010) D C d E d1 d d 3 (00) (030) (010) Při proměřováí skutečých krystalových mřížek pomocí RTG zářeí ezáme obvykle čísla, patřící k aměřeým úhlům ϑ. Proto se při dalších výpočtech pokládají rova jedé ( = 1) a představujeme si, že v krystalu jsou přítomy další fiktiví roviy s polovičí, třetiovou, čtvrtiovou, atd. meziroviou vzdáleostí, ež je vzdáleost základí (d 1 a obr. 1). Polohy jedotlivých reflexích rovi se popisují tzv. Millerovými idexy (hkl) (viz další úloha: Debyeova-Scherrerova metoda určeí jemé struktury materiálu, obr. 1 a 3). Položíme-li tedy v Braggově rovici trvale = 1, obdržíme z í při dosazeí maxima druhého řádu polovičí meziroviou vzdáleost, jako kdyby reflexi způsobila rovia (00) amísto roviy (100). Podobě z úhlu aměřeého u maxima třetího řádu vyjde (při = 1) meziroviá vzdáleost d 3 = d 1 /3 odpovídající odrazu a roviě (300). Krystalky ve zkoumaém polykrystalickém materiálu jsou avíc růzě prostorově orietováy a tak odrazy mohou astat a růzých reflexích roviách s růzými meziroviými vzdáleostmi d i. Studium a proměřováí itezity odražeého RTG zářeí je mocým ástrojem strukturí aalýzy krystalických látek. Měřeí Všechy jevy geometrické a vlové optiky popsaé v obecé části budeme studovat pomocí cetimetrových elektromagetických vl. Zameá to pochopitelě, že použité vlové délce musí svými rozměry odpovídat útvary, a kterých k těmto jevům dochází. Teká vrstva v případě iterferece i mřížková kostata v případě difrakce musí mít tedy řádově cetimetrové rozměry. Jako zdroj cetimetrových vl se používá polovodičový oscilátor s Guovou diodou o výstupím výkou asi 50 mw. Teto oscilátor je plyule mechaicky přeladitelý v rozsahu 9,70 10,85 GHz (vlové pásmo 3 cm). Vhodá frekvece je již astavea, proto ladicím šroubem eotáčejte! Napájeí oscilátoru zajišťuje stejosměrý zdroj o apětí 10 V, připojeý přes koektor typu BNC. Oscilátor se 84 Obr. 3 K odvozeí Braggovy rovice
uvede do chodu zaputím zdroje (idikováo LED diodou). Koektory u vysílací atéy erozpojujte. Jako detektor použijeme mikrovlou křemíkovou diodu 33 NQ 5. Jeda dioda je umístěa v trychtýřové přijímací atéě, druhá je připevěa a posuvém stojáku. Přijaté kmity dioda usměrí a jsou idikováy voltmetrem. Měřeí provedeme v ásledujícím pořadí: A. Měřeí vlové délky pomocí stojatého vlěí Plou kovovou desku zasueme do otvorů a pravém okraji základí desky. Táhla, jež spojují tyče esoucí trychtýřové atéy, odpojíme. Tyč vysílací atéy astavíme ke začce 0 a tyč s přijímací atéou odkloíme, aby epřekážela. Odrazem vlěí od kovové desky pod úhlem dopadu 0 (t.j. plocha desky je kolmá ke směru šířeí vlěí) se vytvoří v prostoru mezi deskou a vysílací atéou stojaté vly. Jako idikátor použijeme křemíkovou diodu a posuvém stojáku; její vývody připojíme k voltmetru. Pomalým posouváím stojáku s diodou hledáme polohy miim itezity elektrického pole. Polohy odečítáme a měřítku, které je připevěo a základí desce. Neměříme v těsé blízkosti odrazé desky. Naměřeé polohy zazameáme do tabulky a postupou metodou (vysvětlea v kapitole Měřicí metody a str. 10) vyhodotíme vlovou délku λ včetě chyby. B. Záko odrazu Pro odraz vl použijeme opět kovovou desku, kterou přemístíme do otvorů ve středu úhloměré stupice. Trychtýřovou přijímací atéu připojíme k voltmetru a tyčí vysílací atéy astavíme jede pevý úhel dopadu vlěí α (z itervalu 30 až 50 ). Pak měříme závislost apětí U [mv] z přijímací atéy a úhlu odrazu α v rozmezí 0 70 s krokem maximálě 5. Úhel měříme od kolmice. Naměřeou závislost graficky zpracujeme. C. Záko lomu Pro Sellův záko lomu použijeme trojbokého hraolu. Rovié stěy hraolu, a ichž astává lom, se azývají lámavé stěy a úhel ϕ, který svírají, se azývá lámavý úhel. Na obrázku 4 je řez takovýmto hraolem. Nejprve staovíme velikost lámavého úhlu. Teto úhel je vyzače ryskami a plexisklovém stojáku (vrchol úhlu je v otvoru). Postavíme tedy stojáek bez hraolu tak, aby jedo z rame úhlu směřovalo k rysce 0 úhloměré stupice a odečteme úhel. Pro další měřeí pak usadíme hraol pomocí stojáku do středu úhloměré stupice tak, aby osa lámavého úhlu ϕ hraolu směřovala k rysce 90 a úhloměru. Paprsek, který se láme a obou lámavých stěách, je po výstupu z hraolu odchýle od původího směru o úhel δ. Úhel δ je ejmeší (pak se azývá miimálí deviace δ m ), prochází-li paprsek hraolem souměrě k oběma lámavým stěám ( α = α ). Idex lomu hraolu je pak dá vztahem: 85
ϕ + δ m si = (5) ϕ si Pro určeí miimálí deviace spřáheme obě tyče esoucí atéy dvěma pomocými táhly s posuvým jezdcem a c středí vodicí tyči. Pak za souměrého c 1 rozevíráí obou tyčí hledáme polohu maximálího příjmu sigálu. Pomocí osa úhloměru staovíme deviaci δ m pro vzorec (5). Po staoveí idexu lomu staovíme pomocí vztahu () rychlost c šířeí elektromagetických vl v materiálu, ze kterého je hraol vyrobe. Jako rychlost šířeí elektromagetických vl ve vzduchu vezmeme c 1 3. 10 8 ms 1. D. Iterferece a teké vrstvě Jev proměříme pomocí dvou destiček z plexiskla. Tekou vrstvou bude vzduch mezi oběma destičkami ( 1). Podmíkou maxima odražeého vlěí je potom d 1 si α = k. λ, (k = 1,, 3, ) (6) kde d je vzdáleost destiček, λ je vlová délka a α je úhel dopadu. Jedu destičku umístíme do středu úhloměré stupice a druhou rovoběžě za í do pohyblivého držáku. Použijeme opět trychtýřovou přijímací atéu. Tyče jsou stále spřažey táhly. Úhly dopadu a odrazu astavíme asi a 30 (měřeo od kolmice). Postupým posouváím druhé destičky hledáme takovou její polohu, při íž v odražeém vlěí astává maximum. Nalezeme-li alespoň dvě takové sousedí polohy x 1 < x, pak dvojím použitím vztahu (6) dostaeme: 86 ( x x1) 1 si α = λ, (7) eboť v sousedích polohách se čísla k liší o jedičku. Vztah (7) ám umožňuje vypočíst vlovou délku λ. Měřeí provedeme pokud možo pro ěkolik sousedích poloh. Pokud elze získat alespoň dvě polohy, zmešíme úhel dopadu. Výsledek porováme s měřeím podle bodu A. E. Model krystalové mřížky Model krystalové mřížky je tvoře soustavou rovoběžých drátů (dvojrozměrý model). Dráty jsou zasazey svisle v rozích čtverce o straě a a představují jedu buňku krystalové mřížky o mřížkové kostatě a. Model umístíme do středu úhloměré stupice tak, aby spojice ulových bodů této stupice byla rovoběžá s jedou dvojicí stra čtverce (model v základí poloze). Tyče jsou stále spřažey táhly. Vysílací a přijímací atéu astavíme do polohy asi 1. Při tomto a meších úhlech přijímá atéa vly m Obr. 4 Lom hraolem
přímo z vysílače. Úhly postupě zvětšujeme tak, že pohybujeme velmi pomalu oběma táhly současě a hledáme maxima příjmu po odrazu od drátů a iterferečím zesíleí. Ke každé hodotě přísluší podle Braggovy rovice (4) celé číslo (viz tabulka 1). Pro sousedí polohy se čísla liší o jedotku. Pootočíme-li model o 45, můžeme proměřovat odrazy a reflexích roviách (110), (0) atd. (viz obr. 5). Z Braggovy rovice pro = 1 pak získáme růzé mezirovié vzdáleosti d i. K im určíme příslušé Millerovy idexy (hkl). U ašeho modelu staovíme idexy přímo ze zalosti jeho uspořádáí. V praxi by se použilo systému Hullových- Daveyových křivek, eboť u skutečého krystalu je možých rovi velmi moho. Mřížkovou kostatu u kubické mřížky obdržíme ze vztahu: a = di h + k + l. (8) Tabulka 1 Model v základí poloze, λ = cm ϑ si ϑ d i (pro = 1) (h k l) a [cm] 1 100 00 3 300 Model pootoče o 45 0 ϑ si ϑ d i (pro = 1) (h k l) a [cm] 1 110 0 Obr. 5 Systém rovi (110) kubické mřížky Pracoví úkol 1) Proveďte a vyhodoťte měřeí podle bodů A až E. ) Porovejte vlové délky zjištěé při měřeí A a D a rozhoděte, které měřeí je přesější a proč. 3) Mřížkové kostaty získaé ze vztahu (8) porovejte se skutečou hodotou (změřeou mm měřítkem). 87