Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky při katedře matematiky
Úvod Obsah zavedení kvaternionů a aritmetické operace s nimi podobnost kvaternionů reprezentace kvaternionů pomocí matic typu C 2,2 kvaternionové matice a jejich spektra formulace algoritmu příklad dodatek: hermitovské kvaternionové matice
Úvod Kde se lze setkat s kvaterniony? kvantová fyzika - kvaternionická Schrődingerova rovnice teorie náhodných matic - matice třídy GSE geometrie a počítačová grafika - popis rotací ve 3D
Základní vlastnosti kvaternionů Zavedení kvaternionů kvaternionem rozumíme hyperkomplexní číslo tvaru q = r + xi + yj + zk, kde r, x, y, z R platí i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1, ij = k a ji = k kvaterniony jsou rozšíření množiny C množina kvaternionů se značí H a množina kvaternionových matic typu m n pak H m,n historická poznámka: kvaterniony byly objevy roku 1843 Williamem Hamiltonem
Základní vlastnosti kvaternionů Aritmetické operace nad kvaterniony (1) součet kvaternionů p a q: p + q = (r p + r q ) + (x p + x q )i + (y p + y q )j + (z p + z q )k rozdíl kvaternionů p a q: p q = (r p r q ) + (x p x q )i + (y p y q )j + (z p z q )k násobení reálným číslem α: αq = αr q + αx q i + αy q j + αz q k operace sčítání a násobení reálným číslem jsou komutativní a asociativní
Základní vlastnosti kvaternionů Aritmetické operace nad kvaterniony (2) ke každému kvaternionu q zavádíme kvaternion s ním konjugovaný q = r xi yj zk norma kvaternionu je definována vztahem q = r 2 + x 2 + y 2 + z 2 násobení kvaternionů (Grassmanovo) p a q je zavedeno předpisem pq = (r p r q x p x q y p y q z p z q ) + + (r p x q + x p r q + y p z q z p y q )i + + (r p y q x p z q + y p r q + z p x q )j + + (r p z q + x p y q y p x q + z p r q )k.
Základní vlastnosti kvaternionů Aritmetické operace nad kvaterniony (3) násobení kvaternionů není komutativní dělení kvaternionů p a q 0 je dáno předpisem p q = pq 1 = p q q 2 množina kvaternionů tvoří následující algebraické struktury: společně s operací sčítání a násobení nekomutativní těleso společně se zavedenými operacemi reálnou asociativní algebru společně s operacemi sčítání a násobení reálným číslem vektorový prostor nad R
Podobnost kvaternionů Podobnost kvaternionů díky nekomutativnímu násobení lze zavést podobnost kvaternionů kvaternion p je podobný kvaternionu q pokud existuje kvaternion α 0 tak, že p = α 1 qα podobnost kvaternionů je relací ekvivalence každý kvaternion q je podobný komplexnímu číslu tvaru q α = r + i x 2 + y 2 + z 2 toto číslo se nazývá hlavní hodnota v dané tříde ekvivalence leží pouze dvě komplexní čísla, a to q α a (q α )
Reprezentace kvaternionů Komplexní reprezentace kvaternionů a kvaternionových matic každý kvaternion q je možné reprezentovat maticí z prostoru C 2,2 tvaru ( ) q f r + xi y + zi =. y + zi r xi komplexní reprezentaci kvaternionové matice A určíme tak, že aplikujeme komplexní reprezentaci po prvcích získanou reprezentaci matice označíme A f evidentně platí A H m,n A f C 2m,2n komplexní reprezentace kvaternionů a kvaternionových matic je lineární a multiplikativní
Spektra kvaternionových matic Spektrum kvaternionových matic - definice násobení kvaternionů nekomutuje, tudíž je nutné zavést pravé a levé spektrum λ je pravým vlastním číslem matice A H n,n x H n,1, x 0 : Ax = xλ analogicky se zavádí levé vlastní číslo o levém spektru je znám pouze fakt, že obsahuje alespoň jedno vlastní číslo pravé spektrum se svými vlastnostmi podobá spektru matice z prostoru C n,n
Spektra kvaternionových matic Věty o pravých spektrech λ µ, pak λ je pravým vlastním číslem matice A právě tehdy, když µ je jejím vlastním číslem λ je pravým vlastním číslem kvaternionické matice A právě tehdy, když jeho hlavní hodnota je vlastním číslem A f důsledky: pokud je λ vlastním číslem, pak každý prvek třídy ekvivalence, do které λ patří, je také vlastním číslem stačí najít vlastní čísla komplexní reprezentace dané matice, spektrum kvaternionové matice je pak sjednocení tříd ekvivalence, do které tato vlastní čísla patří
Spektra kvaternionových matic Algoritmus 1. určíme komplexní reprezentaci kvaternionové matice A 2. najdeme vlastní čísla komplexní reprezentace A f a uložíme ta, která mají kladnou imaginární část 3. pravé spektrum kvaternionové matice tvoří sjednocení tříd ekvivalence generovaných nalezenými vlastními čísly matice A f s nezápornou imaginární částí, tj. σ r (A) = R[λ] λ σ(a f ),I(λ) 0 Algoritmus nelze užít pro hledání levého spektra!
Spektra kvaternionových matic Příklad určeme vlastní čísla následující matice: ( ) i 1 + j A =, 1 + j k komplexní reprezentace má tvar: A f = i 0 1 1 0 i 1 1 1 1 0 i 1 1 i 0 spektrum komplexní reprezentace: σ(a f ) = { 3i, 3i} spektrum matice A: σ r (A) = R[ 3i]
Spektra kvaternionových matic DODATEK: Hermitovské kvaternionové matice a jejich vlastnosti kvaternionová matice A H n,n, pro kterou a ij = aji i, j ˆn se nazývá hermitovská matice A H n,n je hermitovská právě tehdy, když A f je hermitovská v komplexním smyslu pravé spektrum hermitovské kvaternionové matice je konečná podmnožina množiny R
Závěr DĚKUJI ZA POZORNOST!