Stvení mecnik 2 (K132SM02) Přednáší: Jn Sýkor Ktedr mecniky K132 místnost D2016 e-mil: jn.sykor.1@fsv.cvut.cz konzultční odiny: Po 12-14
Kldné směry vnitřníc sil: Kldný průřez vnitřní síly jsou kldné ve směru kldnýc poloos jednotlivýc souřdnýc os. Prvidlo prvé ruky pro momenty Kldný průřez M z M y y V y V z N T T V z N V y M y M z z Záporný průřez
Kldné směry vnitřníc sil rámové konstrukce v rovině: Pro rámovou konstrukci v rovině pltí tzv. Klsická znménková konvence M V M N N Spodní vlákn V
Principy výpočtu vnitřníc sil: Princip rovnováy Princip ekvivlence
Princip rovnováy: V podsttě se řeší rekce složené soustvy. Ve vyšetřovném řezu (n or. řez ) se uvžuje fiktivní vnitřní vz vetknutí - vetknutí. c c
Princip rovnováy: Vnitřní rekce = vnitřní síly ve vyšetřovném průřezu Kldný směr rekcí ve směru kldnýc vnitřníc sil n kldném záporném průřezu. M N M V c N V
Princip rovnováy: Vnitřní síly se pk vypočtou z rovnováy jedné neo drué části zkoumné konstrukce (n or. část - neo část -c), které vzniknou fiktivním řezem ve vyšetřovném průřezu. M N M V c N V
Princip ekvivlence: Vnitřní síly = ekvivlentní silová soustv z všecny síly půsoící n části konstrukce oddělené fiktivním řezem. Vnitřní síly získáme jko výsledný účinek všec sil půsoícíc n části konstrukce oddělené fiktivním řezem. M N c V
Princip ekvivlence: M V c N Vnitřní síly získáme redukcí všec sil půsoícíc n části konstrukce oddělené fiktivním řezem k těžišti vyšetřovnéo průřezu. Kldné směry redukce = kldné směry vnitřníc sil v uvžovném průřezu.
Znčení vnitřníc sil rovinné rámové konstrukce : c V, N, M vnitřní síly v průřezu těsně vedle průřezu směrem k průřezu. V, N, M vnitřní síly v průřezu. V c, N c, M c vnitřní síly v průřezu těsně vedle průřezu směrem k průřezu c.
Průřez ez ztížení: c v průřezu, ve kterém nepůsoí žádné ztížení pltí: V = V = V c N = N = N c M = M = M c
Průřez s osmělou silou kolmou ke střednici prutu: F z v průřezu, ve kterém půsoí osmělá síl ve směru normály ke střednici: V není definováno c V V c V c = V F z V = V c + F z
Průřez s osmělou silou rovnoěžnou se střednicí prutu: V průřezu, ve kterém půsoí osmělá síl ve směru tečny ke střednici : N není definováno N N c N c = N F N = N c + F F c
Průřez s osmělým momentem: M c V průřezu, ve kterém půsoí osmělý moment : M není definováno M M c M c = M M M = M c + M
Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly M N V v odec : F F z z N = F V = F z M = 0 f L N = F V = F z f. L M = F z. L 0,5. f. L 2 f M L f Q =f L L L/2 L 2 1 2 f L 2
Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly F F z z REAKCE: f L M B B z M < 0 M = M V < 0 Bz = V N < 0 B = N
F 3 = 77 kn F 4 = 55 kn Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly v odec, F 1 F 2 f z ŘEZ F 3 ŘEZ z y L f y 2,0 m y F 1 = 63 kn 4,0 m z F 2 = 81 kn 6,0 m
F 1 F 2 f z ŘEZ F 3 ŘEZ y z Průřez ZÁPORNÝ PRŮŘEZ L f y z y N = - F 3 V y, = -F 2 V z, = +F 1 M, (T ) = -F 1 /2 -F 2 /2 M y, = - F 3 /2 M z, = - F 3 /2
F 1 F 2 f z ŘEZ F 3 ŘEZ L f y z y Průřez ZÁPORNÝ PRŮŘEZ z y N = - F 3 V y, = -F 2 + f y L V z, = +F 1 f z L M, (T ) = -F 1 /2 -F 2 /2 M y, = - F 3 /2 + F 1 L -1/2 f z L 2 M z, = - F 3 /2 + F 2 L -1/2 f y L 2
Důležitá poznámk: Přecod z průřezu j do průřezu j : V j N j M j f L j j N j N j V j V j f L j M j M j V j L j 1 2 f L 2 j
PRŮŘEZ g PRŮŘEZ g Důležitá poznámk: oecný (prostorový) prut - přecod z průřezu g do průřezu g (neztížený intervl) : N g = N g M z, g T g = T g M y,g V z, g V y, g = V y,g T g V y,g N g L g z V z,g = V z,g y z y M y,g = M y,g + V z,g. L g M z,g = M z,g V y,g. L g
F 1 F 2 f z ŘEZ F 3 ŘEZ M z, L f y z y M y, V y, V z, M, N Průřez ZÁPORNÝ PRŮŘEZ N = N =(- F 3 ) V y, = V y, + f y L =(-F 2 ) + f y L V z, = V y, f z L = (+F 1 ) f z L z y
F 1 F 2 f z ŘEZ F 3 ŘEZ M z, L f y z y M y, V y, V z, M, N Průřez ZÁPORNÝ PRŮŘEZ M, (T ) = M, = (-F 1 /2 -F 2 /2) z y M y, =M y, +V z, L -1/2 f z L 2 =(-F 3 /2)+(+F 1 )L -1/2 f z L 2 M z, =M z, -V y, L -1/2 f y L 2 =(-F 3 /2) (-F 2 )L -1/2 f y L 2
Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly M N V v odec,, c A F F z L / 3 2 L / 3 z L f c C z C Rekce: A = 1/2 f L + 2/3 F z C z = 1/2 f L + 1/3 F z C = +F
A F F z L / 3 2 L / 3 z L f c C z C Bod : (počítáno zlev) N = 0 V = + A M = 0
A F F z L / 3 2 L / 3 z L Bod : (počítáno zlev) N = 0 V = + A f. L/3 M = A. L/3 0,5 f (L/3) 2 = = ( 1/2 f L + 2/3 F z ) L/3 1/2 f (L/3) 2 = = 1/9 f L2 + 2/9 F z L f c C z C N c = -F V c = + A f. L/3 F z = =1/2 f L + 2/3 F z - f L/3 - F z = 1/6 f L 1/3 F z
F F z f A L / 3 2 L / 3 z L Bod c: (počítáno zprv) N c = - C V c = - C z M = 0 c C z C
Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly v průřezu cd F 1 F 4 F 3 M 1 F 2 L 2 L 1 F 5 ŘEZ cd
F 1 F 4 F 3 Průřez cd KLADNÝ PRŮŘEZ M 1 N cd = -F 1 - F 3 F 2 L 2 F 5 V y,cd = +F 2 F 4 V z,cd = +F 5 L 1 ŘEZ cd z y
Průřez cd KLADNÝ PRŮŘEZ F 1 F 4 F 3 M 1 F 2 L 2 F 5 y L 1 ŘEZ cd z M,cd (T cd ) = +F 2 /2 +F 4 (L 2 +/2)-F 5 /2
Průřez cd KLADNÝ PRŮŘEZ F 1 F 4 F 3 M 1 F 2 L 2 F 5 L 1 ŘEZ cd z y M y,cd = + F 1 /2 F 3 (L 2 +/2) -F 5 L 1 -M 1
Průřez cd KLADNÝ PRŮŘEZ F 1 F 4 F 3 M 1 F 2 L 2 F 5 L 1 ŘEZ cd z y M z,cd = - F 1 /2 + F 2 (L 1 +)+F 3 /2-F 4 (L 1 +)
Šikmý prut rovinný rámový nosník: F F z f z g j ve styčníku v místě lomu není definován tečn ke střednici je nutné rozlišit vnitřní síly - v průřezu g - v průřezu j
Šikmý prut rovinný rámový nosník: F F z f z g j M g M g V g N g M j M j N g N j N j V j V g V j
Možnosti výpočtu vnitřníc sil v průřezu j (n šikmém prutu): 1. možnost: Rozkld všec vnějšíc sil, které půsoí n část konstrukce po jedné strně průřezu j do směru normály tečny ke střednici (většinou zytečně zdlouvé prcné). F z F f z g j
Možnosti výpočtu vnitřníc sil v průřezu j (n šikmém prutu): 2. možnost: Výpočet ekvivlentní silové soustvy X j, Z j, S j z všecny vnější síly, které půsoí n část konstrukce po jedné strně průřezu j. Teprve síly X j, Z j se rozloží do směru normály tečny ke střednici.
F z F f z g S j X j j Z j j
Možnosti výpočtu vnitřníc sil v průřezu j (n šikmém prutu): 3. možnost: Výpočet vnitřníc sil v průřezu g (M g, N g, V g ). teprve síly N g, V g se rozloží do směru normály tečny ke střednici v průřezu j. (většinou vodnější řešení než možnost 1)
F z F f z g j j
AD 2. Možnost převedení sil X j, Z j, S j n vnitřní síly M j, N j, V j : z g X j S j Z j z g S j Z j X j Z j. sin N j X j. sin M j V j X j Z j. cos Z j X j. cos
z g X j S j Z j z g M j S j Z j X j Z j. sin N j X j. sin V j X j Z j. cos Z j X j. cos N j = - X j. cos - Z j. sin V j = + X j. sin - Z j. cos M j = - S j
AD 3. Možnost přecod z vodorovné části n šikmou část konstrukce : z g N g M g V g M g N g z g V g j N j M j V j V g N g. cos V g. sin N g V g. cos N g. sin
g M g V g z N g M g N g z g V g N j M j V j V g V g. sin V g. cos N j = + N g. cos + V g. sin V j = - N g. sin + V g. cos M j = + M g N g. cos N g N g. sin
Dlší vrint přecodu z vodorovné části konstrukce n šikmý prut: M j V j N j N g M g V g N j = + N g. cos - V g. sin V j = + N g. sin + V g. cos M j = + M g (vzorce pro uvžovné kldné)
Dlší vrint přecodu z vodorovné části konstrukce n šikmý prut: M g N g V g M j N j N g = + N j. cos + V j. sin V g = - N j. sin + V j. cos V j M g = + M j (vzorce pro uvžovné kldné)
Dlší vrint přecodu z vodorovné části konstrukce n šikmý prut: M j N j M g N g V j V g N g = + N j. cos - V j. sin V g = + N j. sin + V j. cos M g = + M j (vzorce pro uvžovné kldné)
Osmělé síly půsoící n styčník : M j V j N g M g V g F z M F N j N j = + N g. cos - V g. sin F. cos + F z. sin V j = + N g. sin + V g. cos - F. sin - F z. cos M j = + M g - M (vzorce pro uvžovné kldné)
8,660 Příkld: Určete vnitřní síly ve všec důležitýc průřezec v okolí odu c: L ce F 1 =20kN F 1Z =10kN 30 o F 1X =17,321kN c F 2 =40kN A=1,000 kn 5 2 z g 8,660 d 2 3 3 2 2 10 m sin 8,660 10 e 0,8660 g E =17,321 kn E z =49,000 kn cos 5 10 0,5
Počítné vnitřní síly : N c, V c, M c ; N cd, V cd, M cd c c cd M c M c V c M cd V c N c N c c V cd N cd N cd M cd Vcd
8,660 N c, V c, M c počítné principem rovnováy přes levou část nosníku: F 1Z =10kN M c F 1X =17,321kN c N c A=1,000 kn V c N c N c F 1 F 0 1 17,321 kn 2 3 V c V A F c 1z 0 A F 1z 9,000 kn c M c M c A 5 F 1z A 5 F 3 0 1z 3 25,000 knm
8,660 N c, V c, M c počítné principem ekvivlence přes levou část nosníku: F 1Z =10kN F 1X =17,321kN A=1,000 kn N c M c c V c 2 3 N c F 1 17,321 kn V c A F 1z 9,000 kn M c A 5 F 1z 3 25,000 knm
8,660 N c, V c, M c počítné principem rovnováy přes prvou část nosníku: N c M c V c c N c N F 2 =40kN c E E 0 17,321 kn V c c V M M F c c c 2z E F E z 2z E z 0 E 5 E z z 5 E 9,000 kn 8,660 F 8,660 F d e E =17,321 kn 3 2 E z =49,000 kn 2 3 0 2 3 25,000 knm
8,660 N c, V c, M c počítné principem ekvivlence přes prvou část nosníku: M c N c c F 2 =40kN V c d 3 2 e E =17,321 kn E z =49,000 kn N c E 17,321 kn Vc Ez F2 9,000 kn Mc Ez 5 E 8,660 F2 3 25,000 knm
N cd, V cd, M cd počítné principem ekvivlence přecod z průřezu c do průřezu cd: V c N c V c. cos V c. sin N V cd cd N N c c cos V sin V c c N c M c V c c N cd M cd Vcd N c. cos N c. sin sin ( 17,321) 0,5 ( 9,000) 0,8660 16,455 kn cos ( 17,321) 0,8660 ( 9,000) 0,5 10,500 kn M cd M c ( 25,000) 25,000 knm
8,660 N cd, V cd, M cd počítné principem ekvivlence přes prvou část nosníku: M cd N cd F 2 =40kN V cd c Ncd E cos Ez sin F2 sin 16,455 kn d 3 2 Vcd E sin Ez cos F2 cos 10,500 kn Mcd E 8,660 Ez 5,0 F2 3,0 25,000 knm M E sin L E cos L cd ce z e E =17,321 kn E z =49,000 kn F cos L 17,321 0,866 10 49 0,5 10 40 0,5 6 25 knm ce 2 cd
8,660 N cd, V cd, M cd počítné principem ekvivlence přes prvou část nosníku s využitím X cd, Z cd, S cd : Z cd S cd X cd c F 2 =40kN X cd E 17,321 kn Scd E 8,660 Ez 5,0 F2 V cd X cd sin Z cd M cd N cd V cd Zcd Ez F2 9,000 kn N cd X cd cos Z cd 3,0 25,000 knm cos 10,500 kn d e E =17,321 kn 3 2 E z =49,000 kn sin ( 17,321) 0,5 ( 9,0) 0,8660 16,455 kn M cd S cd 25,000 knm
Lomené nosníky rovinné výpočet M,N,V: f g c d j e Lomený nosník: Prutová konstrukce Stticky určitá Střednice lomená čár
Lomené nosníky rovinné výpočet M,N,V: f g c d j e Styčník: Bod zlomení střednice Bod rozvětvení střednice
Lomené nosníky rovinné výpočet M,N,V: f g c d j e Prut: Přímá část mezi styčníky Spojení ve styčníku se předpokládá dokonle tué (tj. vetknutí)
Postup řešení: Určení vnějšíc sil ztížení, vnějšíc rekcí : Vol gloálnío souřdnéo systému g, z g Rozkld ztížení do směrů g, z g Výpočet rekcí v g, z g
Postup řešení: Vol lokálnío souřdnéo systému jednotlivýc prutů, z: Doporučení: z z z z
Doporučená vol: f c d g Xg j e Zg
Postup řešení: Vnitřní síly M, N, V se n jednotlivýc prutec lomenéo nosníku určují jko n prutec: Vodorovnýc Šikmýc Se zkřivenou střednicí
Postup řešení: V kždém styčníku musí ýt splněny podmínky rovnováy vnitřníc sil M, N, V. f c d g j e
Postup řešení: Podmínk rovnováy vnitřníc sil M, N, V ve styčníku : f g c d j e
f g d c V. cos V N M V j M c N c e V. sin N N. sin N. cos V M N V c V sin N cos V N 0 M M V cos N sin N V 0 M c 0 c c
Ztížený styčník: N M V F M c z M F V V c N c M N F V sin N cos V N 0 M F V cos N sin N V 0 z M M M c 0 c c
1 3 2 Př.: N zdné konstrukci určete vnitřní síly M N V ve všec důležitýc průřezec v okolí odu c : A = 21 kn D z = 7 kn g d D = 28 kn 20 kn z g Rekce: A = 21 kn Dz = 7 kn D = 28 kn f = 3 knm -1 16 kn 8 kn c e 4 2 2 Šikmý prut cd: cos = 4/5 =0,8 sin = 3/5 =0,6
1 3 2 A = 21 kn D z = 7 kn d D = 28 kn 20 kn f = 3 knm -1 16 kn 4 c 2 e 2 8 kn M c V c N c 20 kn V c A f 4 21 3 4 9 kn N c M c A 4 20 1 1 2 f 4 2 21 4 20 1 1 3 4 2 2 80 knm
1 3 2 A = 21 kn D z = 7 kn d D = 28 kn 20 kn f = 3 knm -1 16 kn 4 c 2 e 2 8 kn N ce 8 kn V ce 16 kn M ce N ce M ce 16 2 32 knm V ce
1 3 2 A = 21 kn D z = 7 kn d D = 28 kn 20 kn f = 3 knm -1 16 kn 4 c 2 e 2 8 kn M cd N cd N cd D cos D z sin 28 0,8 7 0,6 18,2 kn V cd V cd D sin D z cos 28 0,6 7 0,8 22,4 kn M cd D z 4 D 3 7 4 28 3 112 knm
Kontrol rovnováy vnitřníc sil M, N, V ve styčníku c : N cd M c V c M cd M ce V cd N cd V cd N c N ce V ce N c c N ce V cd sin cos ( 20) ( 8) ( 22,4) 0,6 ( 18,2) 0,8 V c ( 9) ( 16) ( 22,4) 0,8 ( 18,2) 0,6 M V c ce M V ce cd M cos N ( 80) ( 112) ( 32) 0 O.K. cd N cd cd sin 0 0 O.K. O.K.
Tento dokument je určen výrdně jko doplněk k přednáškám z předmětu Stvení mecnik 2 pro studenty Stvení fkulty ČVUT v Prze. Dokument je průěžně doplňován, oprvován ktulizován i přes veškerou snu utor může osovt nepřesnosti cyy. Při příprvě této přednášky yl použit řd mteriálů lskvě poskytnutýc doc. Vítem Šmiluerem, P.D., prof. Ing. Miclem Polákem, CSc., prof. Ing. Petrem Kelem, P.D. doc. Ing. Mtějem Lepšem, P.D. ze Stvení fkulty ČVUT. Osttní zdroje jsou ocitovány v místě použití. Pros. V přípdě, že v tetu ojevíte nějkou cyu neo udete mít námět n jeo vylepšení, ozvěte se prosím n jn.sykor.1@fsv.cvut.cz. Dtum poslední revize: 22.02.2017