FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 00
Funkce Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Funkce Obsah Funkce a jejich vlastnosti... 7 Pojem funkce, graf... 7 Vlastnosti funkcí... 0 Funkce a jejich vlastnosti... Varianta A... Funkce a jejich vlastnosti... Varianta B... Funkce a jejich vlastnosti... 6 Varianta C... 6 Lineární funkce... 0 Definice, graf, vlastnosti... 0 Definice, graf, vlastnosti... Varianta A... Definice, graf, vlastnosti... Varianta B... Definice, graf, vlastnosti... 6 Varianta C... 6 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou.... 8 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou.... 9 Varianta A... 9 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou.... Varianta B... Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou.... Varianta C... Kvadratická funkce... 8 Definice, graf, vlastnosti... 8
Funkce Definice, graf, vlastnosti... 9 Varianta A... 9 Definice, graf, vlastnosti... Varianta B... Definice, graf, vlastnosti... Varianta C... Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou.... 8 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou.... 9 Varianta A... 9 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou.... Varianta B... Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou.... Varianta C... Lineární lomené funkce... 7 Lineární lomené funkce... 8 Varianta A... 8 Lineární lomené funkce... 6 Varianta B... 6 Lineární lomené funkce... 6 Varianta C... 6 Mocninné funkce... 69 Mocninné funkce s přirozeným eponentem... 69 Mocninné funkce s celým záporným eponentem... 70
Funkce Mocninné funkce... 7 Varianta A... 7 Mocninné funkce... 7 Varianta B... 7 Mocninné funkce... 78 Varianta C... 78 Mocniny a odmocniny... 8 N-tá mocnina... 8 N-tá odmocnina... 8 Mocniny s racionálním eponentem... 87 Mocniny s iracionálním eponentem... 88 Mocniny a odmocniny... 89 Varianta A... 89 Mocniny a odmocniny... 9 Varianta B... 9 Mocniny a odmocniny... 9 Varianta C... 9 Eponenciální funkce... 9 Eponenciální funkce... 96 Varianta A... 96 Eponenciální funkce... 99 Varianta B... 99 Eponenciální funkce... 0 Varianta C... 0 Logaritmická funkce... 0 Logaritmus... 06 Přirozená eponenciální funkce a logaritmus... 07
6 Funkce Logaritmická funkce a logaritmus... 08 Varianta A... 08 Logaritmická funkce a logaritmus... Varianta B... Logaritmická funkce a logaritmus... Varianta C... Logaritmické a eponenciální rovnice... 6 Logaritmické a eponenciální rovnice... 7 Varianta A... 7 Logaritmické a eponenciální rovnice... 8 Varianta B... 8 Logaritmické a eponenciální rovnice... 0 Varianta C... 0
Funkce 7 Funkce a jejich vlastnosti Pojem funkce, graf Definice: Funkce na množině je předpis (přiřazení), který každému číslu z množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina se nazývá definiční obor funkce. Již z dřívějška znáte pojem zobrazení: Zobrazení množiny do množiny je předpis, který každému prvku jednoznačně přiřadí nějaký prvek. Označení funkcí-,, Zápis- : Např.: : nebo funkční hodnota funkce v čísle nebo hodnota funkce v čísle nezávislá proměnná závislá proměnná Definiční obor funkce je množina všech hodnot ozn. nebo. Obor hodnot funkce je množina všech, ke kterým eistuje aspoň jedno z definičního oboru funkce tak, že. Obor hodnot značíme nebo. Graf funkce: Graf funkce ve zvolené soustavě souřadnic v rovině je množina všech bodů,, kde patří do definičního oboru funkce. Způsoby zadání funkce: K zadání funkce je třeba stanovit (zvolit):.) Definiční obor funkce.) Funkční předpis, tj. pravidlo (formulované slovně nebo častěji pomocí matematických symbolů), podle kterého je ke každému číslu přiřazena jednoznačně funkční hodnota.
8 Funkce Podle formy funkčního předpisu rozlišujeme tyto základní způsoby zadání funkce : a) Analytické zadání- funkční předpis je dán vzorcem, tj. rovnicí tvaru, kde je výraz s proměnnou, např., apod., anebo několika takovými rovnicemi platnými pro různé části definičního oboru funkce. Tento způsob zadání bývá nejčastější. b) Grafické zadání- funkční předpis je dán grafem funkce. c) Zadání výčtem (tabelární zadání)- funkční předpis je určen výčtem (zpravidla tabulkou) všech uspořádaných dvojic, hodnot argumentu a příslušných funkčních hodnot. Takový způsob zadání funkce lze ovšem použít jen pro funkce, jejichž definičním oborem je konečná množina. Výčtem funkčních hodnot lze zadat funkci, jejímž oborem funkčních hodnot je konečná množina. Maimální definiční obor funkce: Je-li funkce dána rovnicí, pak maimálním definičním oborem se rozumí množina takových všech reálných čísel, pro něž má výraz smysl. Např., \ Rovnost funkcí: O dvou funkcích, říkáme, že jsou si rovny (píšeme ), právě když mají týž definiční obor a v každém bodě tohoto definičního oboru je.
Funkce 9 Složená funkce: Protože funkce jsou zobrazení, můžeme je skládat. Pro dvojici skládaných funkcí, musí být ovšem splněny tyto předpoklady: Nechť funkce : má definiční obor, jemuž přísluší obor funkčních hodnot, a nechť funkce : má definiční obor takový, že platí. Z této podmínky plyne, že pro každé je. Pak lze vytvořit funkci : s definičním oborem, jejíž funkční předpis je pro každé ; tuto funkci nazýváme funkcí složenou z funkcí, (v uvedeném pořadí) a značíme ji. Funkci se říká vnější složka (funkce) a funkci vnitřní složka (funkce) složené funkce. Příklad složené funkce: Funkci : s definičním oborem ; lze pokládat za funkci složenou z vnitřní funkce : s definičním oborem ;, jemuž přísluší obor funkčních hodnot 0,, a z vnější funkce : s definičním oborem 0;.
0 Funkce Vlastnosti funkcí a) Definice: Funkce se nazývá rostoucí, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Funkce se nazývá klesající, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Je dána funkce, je interval (může být omezený či neomezený, uzavřený, polozavřený či otevřený), který je částí jejího definičního oboru( ). Funkce se nazývá rostoucí v intervalu, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Funkce se nazývá klesající v intervalu, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Funkce se nazývá prostá, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Je-li funkce rostoucí, pak je prostá. Je-li funkce klesající, pak je prostá. b) Funkce se nazývá sudá, právě když zároveň platí:.) Pro každé je také.) Pro každé je také. Graf sudé funkce je souměrný podle osy. Funkce se nazývá lichá, právě když zároveň platí:.) Pro každé je také.) Pro každé je také. Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic.
Funkce c) Funkce se nazývá zdola omezená, právě když eistuje číslo takové, že pro všechna je. Funkce se nazývá shora omezená, právě když eistuje číslo takové, že pro všechna je. Funkce se nazývá omezená, právě když je zdola omezená a zároveň shora omezená. d) Říkáme, že funkce má v bodě maimum, právě když pro všechna je. Říkáme, že funkce má v bodě minimum, právě když pro všechna je. e) Inverzní funkce k prosté funkci je funkce, pro kterou platí:.).) Každému je přiřazeno právě to, pro které je. Grafy funkcí a sestrojené v téže soustavě souřadnic se stejnou délkovou jednotkou na obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky. f) Funkce se nazývá periodická funkce, právě když eistuje takové číslo 0, že pro každé platí následující podmínky: a) Je-li, pak b). Číslo se nazývá perioda funkce. Pokud v množině čísel, která jsou periodami funkce, eistuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce.
Funkce Funkce a jejich vlastnosti Varianta A Příklad: Zapište funkce na množině, které každému přiřazují a) jeho trojnásobek, b) jeho absolutní hodnotu zmenšenou o dvě, c) součet dvojnásobku jeho třetí mocniny a poloviny jeho druhé mocniny. Řešení: a) b) c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište funkce, které vyjadřují závislost a) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce jeho odvěsny, b) obsahu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce jeho přepony. ) Zapište funkce, které vyjadřují závislost: a) obvodu kruhu na jeho poloměru, b) obsahu kruhu na jeho poloměru. ) Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je, délka jeho boční hrany je 0,. Zapište funkce udávající závislost a) součtu délek všech hran kvádru na, b) délky tělesové úhlopříčky na. ) Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je, délka jeho boční hrany je 0,. Zapište funkce udávající závislost a) povrchu kvádru na, b) objemu kvádru na..) a),0, b), 0 ) a) ; 0,, b) ; 0,.) a) 0; 0,, b),; 0,,.) a) ; 0,, b) 0, ;0,
Funkce Funkce a jejich vlastnosti Varianta B Příklad: Je dána funkce :. a) Zapište její definiční obor pomocí sjednocení intervalů. b) Vypočítejte,. c) Zjistěte, zda, ;. Řešení: a),, b), c),, 0,, 8, 8,, 7,, 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce Příklady k procvičení: ) Je dána funkce :. a) zapište definiční obor funkce b) zjistěte, zda ; ) Je dána funkce :. a) zapište její definiční obor b) zjistěte, zda 0 ) Zapište definiční obory těchto funkcí pomocí intervalů a jejich sjednocení: a) : b) : ) Zapište definiční obory těchto funkcí pomocí intervalů a jejich sjednocení: a) : b) :.) a), b) ; [Řešíme rovnici.]. [Řešíme rovnici.].) a), b) 0.) a), 0 0,, b) ;,,;,.) a) 0,, b),,
6 Funkce Funkce a jejich vlastnosti Varianta C Příklad: Sestrojte graf funkce : a určete její vlastnosti. Řešení: f ( ) 0 0, Graf funkce je souměrný dle osy. Funkce je sudá. V intervalu, 0 je klesající. V intervalu 0, je rostoucí. Je omezená zdola, 0. Minimum je v bodě 0, jeho hodnota je 0. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce 7 Příklady k procvičení: ) Sestrojte graf funkce : a určete její vlastnosti. ) Sestrojte graf funkce : a určete její vlastnosti. ) Sestrojte graf funkce : a určete její vlastnosti. ) Sestrojte graf funkce : a určete její vlastnosti..) f ( ).) 0 0 f ( )
8 Funkce.) f ( ) 0.) f ( ) 0
Funkce 9 Vlastnosti funkcí: Př. ), 0,, není sudá, není lichá,.v intervalu, 0 je klesající, v intervalu 0, je rostoucí, je omezená zdola( 0, minimum je v bodě 0, jeho hodnota je 0. Př. ),,0, je sudá,.v intervalu, 0 je rostoucí, v intervalu 0, je klesající, je omezená shora( 0, maimum je v bodě 0, jeho hodnota je 0. Př. ),,, je sudá,.v intervalu, 0 je rostoucí, v intervalu 0, je klesající, je omezená shora(, maimum je v bodě 0, jeho hodnota je. Př. ), 0,, není sudá, není lichá,.v intervalu, je klesající, v intervalu, je rostoucí, je omezená zdola( 0, minimum je v bodě, jeho hodnota je 0.
0 Funkce Lineární funkce Definice, graf, vlastnosti Lineární funkce je každá funkce na množině R (tj. funkce o definičním oboru R), která je dána ve tvaru (), kde a, b jsou reálná čísla. Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je a=0, tj. funkce, které nazýváme konstantní funkce. Pro lineární funkce dané vzorcem (), v němž je 0, užíváme také název přímá úměrnost. Grafem každé lineární funkce v soustavě souřadnic Oy je přímka různoběžná s osou y. Jdeli speciálně o konstantní funkci, je jejím grafem přímka rovnoběžná s osou ; graf funkce přímá úměrnost prochází počátkem soustavy souřadnic. Platí také obráceně: Každá přímka různoběžná s osou y je grafem některé lineární funkce. K sestrojení grafu lineární funkce stačí tedy znát dva jeho různé body; k sestrojení grafu konstantní funkce dokonce pouze bod jediný. Věta: Každá lineární funkce je a) je rostoucí pro 0 b) je klesající pro 0 c) není prostá, je-li 0.
Funkce Vlastnosti funkce 0 0 f ( ) :=. f ():= + f ():= +... f ( ) f ( ) f ( ) 0. 0. 0. 0 0 0 Oborem hodnot je {b}. Oborem hodnot je R. Oborem hodnot je R. Není prostá, a tedy není Je rostoucí. Je klesající. ani rostoucí, ani klesající. Je omezená. Není ani shora, ani Není ani shora, ani zdola zdola omezená. omezená. V každém R má maimum Nemá v žádném bodě Nemá v žádném bodě ani a minimum. ani maimum,ani minimum. maimum, ani minimum.
Funkce Definice, graf, vlastnosti Varianta A Příklad: Vypočítejte hodnoty funkce : v bodech 0,,, 8. Řešení: 0 0 8 8 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: ) Je dáno,0, 0,. Napište rovnici funkce f, aby body A, B náležely grafu funkce f. ) Uveďte tři body, které patří do grafu funkce: a), b), ) Je dána funkce :,,. Které z bodů 0,,,,,, 6,8, patří do grafu této funkce? ) Pro lineární funci g platí:,, 7. Vyjádřete ji předpisem. Výsledek řešení: : ) a) 0;, ;, ;, b) 0;, ;, ;,9 0; ; :,,
Funkce Definice, graf, vlastnosti Varianta B Příklad: Zakreslete graf funkce :.Určete její obor hodnot, je-li D(f)= (-,6) Řešení: a)určíme dva libovolné body grafu A, B b)určíme obor hodnot: pro je., pro 6 je.6 H(f)= (-,) A[0,], B[,] f ( ) 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: ) Načrtněte grafy funkcí a pak zapište jejich obory hodnot: a),,0 b) 7, 0,6 c),, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic Oy grafy funkcí 0,7, pro 0; ;,;,;. ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic Oy grafy funkcí, pro 0; ; ;,;. ) Načrtněte grafy funkcí a pak zapište jejich obory hodnot a) 0,,, b),,
Funkce Výsledek řešení: a.) 6; 6 f ():= + 6. f ( ) 0 6 8 0. 6 b.) ; c 0, g ():= 7+. g ( ). 0 6 h ():= h ( ) 0 6 8 0
Funkce.) g ( ) := 0.7. h ( ) := 0.7 k ( ) := 0.7 +. m ( ) := 0.7 + f ( ) g ( ) h ( ) k ( ) m ( ) 0.) f( ) := + g( ) := h( ) := + k ( ) := + m ( ) :=. + f( ) g( ) h( ) k( ) m( ) 0.) a) klesající, H(f)=, 6 b) rostoucí, H(f)= 9,9
6 Funkce Definice, graf, vlastnosti Varianta C Příklad: Sestrojte graf lineární funkce a zjistěte pak z něho, pro která platí: a) 0, b) 0, c) 0, d), e) 6, f) 6 Řešení: Sestrojíme graf lineární funkce : Z grafu je vidět, že a) funkční hodnota 0 nastává pro b) nerovnost splňuje část grafu nad osou, tedy, c) nerovnost splňuje část grafu pod osou, tedy, d) funkční hodnota pro 0,, řešením nerovnice je tedy interval 0,; e) funkční hodnota 6 pro, řešením nerovnice je tedy interval, f) funkční hodnota 6 pro pro ; viz graf f( ) 6. 0. 0 0....
Funkce 7 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: ) Řešte graficky i početně.tyto soustavy rovnic s neznámými,yr: a) c) b) d) 9 6 8 ) Sestrojte graf funkce m:,. Z grafu pak určete všechna, pro která platí: a) 0 b) 0 c) ) Sestrojte graf funkce :,. Z grafu pak určete všechna R, pro která platí: a) 0 b) 0 c) 0 d) e) f) ) Řešte graficky i početně soustavy rovnic s neznámými,yr: a) c) b) d) Výsledek řešení:.) ; ; ; ; ;, 9.), ;, ; 0,.),,, 0,, 0,;,.)0; ; 0 ;
8 Funkce Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo a, pro které platí: je-li a 0, je a =a je-li a<0, je a =-a Každému reálnému číslu je podle definice přiřazena jednoznačně jeho absolutní hodnota. Získáváme tak funkci na množině R danou předpisem, hovoříme o funkci absolutní hodnota. Věta: Pro každá dvě reálná čísla a, b platí: Geometrický význam absolutní hodnoty reálného Absolutní hodnota libovolného reálného čísla udává vzdálenost obrazu tohoto reálného čísla na číselné ose od jejího počátku. Poznámka: Při řešení jednoduchých rovnic s absolutní hodnotou ve tvaru si stačí uvědomit, že hledáme reálná čísla, jejichž vzdálenost od čísla a je rovna číslu b.
Funkce 9 Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta A Příklad: Sestrojte graf funkce Řešení: Pro každé 0 je, pro každé 0 je. K sestrojení grafu funkce můžeme tedy využít grafy funkcí a. Graf funkce y= se skládá z grafů těchto dvou funkcí:, 0,,,0. f ( ). f ( ). f ( ) 0. 0. 0 0.. 0.. 0. 0 0 Oborem hodnot funkce je interval uzavřený 0,+ ). Je klesající v intervalu (-,0, je rostoucí v intervalu 0,+ ). Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maimum. Poznámka: Úlohu je možné řešit také pomocí tzv. nulového bodu. Ten získáme tak, že výraz v absolutní hodnotě položíme roven nule, v našem příkladě je nulovým bodem 0. Pak rozdělíme definiční obor na disjunktní intervaly (-,0), 0,+ ), odstraníme absolutní hodnotu v jednotlivých intervalech a postupujeme stejně jako je uvedeno v předcházejícím.. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
0 Funkce Příklady: ) Vypočítejte: a) b) 69 96 d) 7 7 ) S využitím grafu funkce řešte v R tyto rovnice a nerovnice: a) b) c) ) Řešte graficky rovnice s absolutní hodnotou: a) b) ) Řešte nerovnice s absolutní hodnotou: a) b) c) d) (návod: výraz upravte na Výsledek řešení: ) a) 8, b) 0, c) 0 d) ) a), b),, c), ) f ():= g ():= f ():= g ():= f ( ) g ( ) f ( ) g ( ). = 0 = -, = 0. 0 6 =, ) a),, b), c),, d),
Funkce Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta B Příklad: Sestrojte graf funkce: f:, g:, h: Řešení: Nulové body jednotlivých funkcí jsou:, -, Tyto body rovněž určují posun grafu funkce po ose. Číslo.v předpisu funkce h určuje posun grafu téhož grafu po ose y. H(f)= 0; + ) H(g)= 0; + ) f ():= g ():= + f ( ) g ( ) 0 h ():= + h ( ) 6 0 H(h)=,+ )
Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: ) Vyjádřete pomocí intervalů definiční obory těchto funkcí: a) y= c) y= b) y = + ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) : b) : ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) : b) : c): y = ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) c) 0,
Funkce Výsledek řešení:.) a) R c) R b) 0,.) f( ) := g( ) := f( ) g( ) 0 6.) f ():= + g ():= f ( ) g ( ) 0 h () := h ( ) 0 8 6 0 6 8 0 D(f)=R-0
Funkce.) f ():= g ():= h ( ) := 0. f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce Absolutní hodnota. Lineární funkce s absolutní hodnotou. Varianta C Příklad: Sestrojte graf funkce : Řešení: Budeme se snažit (stejně jako při sestrojování grafu funkce z předchozího příkladu) vyjádřit funkci f pomocí funkcí, v nichž se nevyskytují absolutní hodnoty: a) je-li 0, tj., pak b) je-li 0, tj., pak c) je-li 0, tj., pak d) je-li 0, tj., pak Nerovnosti z předchozích čtyř řádků nám umožňují rozložit množinu R na tři navzájem disjunktní intervaly: (-,-),,),,+ ) (Všimněte si, že pro čísla -, nabývá vždy jeden z výrazů, nulové hodnoty.) Nyní vyjádříme v každém z uvedených intervalů výraz tak, aby se v něm nevyskytovaly absolutní hodnoty:. Pro,,.. Pro,,,. Pro,,,. Řešení lze zapsat přehledněji do tabulky: (-,-),),+ ) - -(-) -(-) - + -(+) + + - + + -+ -
6 Funkce Získané výsledky nám umožňují vyslovit následující závěr. Graf funkce f se skládá z grafů funkcí f, g, h, jež lze vyjádřit takto: :,, :,, :,, Graf funkce f je na obrázku: f ( ) 8 7 6 0 H(f)=, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady: ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte graf funkce. ) Načrtněte graf následující funkce; z grafu pak popište, ve kterých intervalech je funkce rostoucí, resp. klesající:.
Funkce 7 Výsledek řešení:.).) f ():= + f ():= + + f ( ) 6 0 f ( ) 0 9 8 7 6 0 6 7 8 9.).) f ():= + + f ( ) 8 7 6 0 f ():= + + 0 9 8 7 6 0. 0 0..... Klesající: ; Rostoucí:,; Konstantní: ;,
8 Funkce Kvadratická funkce Definice, graf, vlastnosti Kvadratická funkce je každá funkce na množině (tj. o definičním oboru ) daná ve tvaru, kde \0,,. Funkce 0 0 0 f ( ) 0 6 7 8 f ( ) 0 6 7 8 Oborem hodnot je,. Je rostoucí v,. Je klesající v,. Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě má minimum. Oborem hodnot je,. Je rostoucí v,. Je klesající v,. Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě má maimum.
Funkce 9 Definice, graf, vlastnosti Varianta A Do jednoho obrázku zakreslete grafy funkcí : pro a,,,,,. Řešení:,,,,, f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0 k ( ) l ( ) Závěr: 0 => funkce má minimum 0 => funkce má maimum
0 Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad: ) Zapište funkci, která vyjadřuje závislost obsahu kruhu na jeho poloměru. ) Určete předpisem kvadratickou funkci, pro kterou platí: 0 0,, 6. ) Je dána kvadratická funkce : 6. Zjistěte, zda eistuje aspoň jedno, pro které platí: a) b) ) Které z bodů 0,,, 0,, patří do grafu kvadratické funkce?.), 0, ;.) :, řešíme soustavu rovnic 0=a.0 +b.0+c, =a.(-) +b.(-)+c, 6=a. +b.+c;.) a) NE, b) ANO- řešíme kvadratické rovnice 6, 6. ), 0
Funkce Definice, graf, vlastnosti Varianta B Sestrojte do jednoho obrázku grafy funkcí: a) : ; 0,; 0; ; b) : ; ; ; 0; ; Řešení: ad a) - - - 0 f(): y=(+) 8,, 0, -0, 0,, 8, g(): y= (+) 9 0 9 h(): y= 6 6 j(): y= (-) 7 7 9 8 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0
Funkce ad b) - - - 0 f(): y=(+) 0 9 6 g(): y= (+) 0 9 6 h(): y= 9 0 9 j(): y= (-) 6 9 0 k(): y=(-) 6 9 0 0 9 8 7 f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) k ( ) 6 0 Závěr: a) graf funkce : získáme tak, že graf funkce : posuneme o c jednotek ve směru osy y b) graf funkce : získáme tak, že graf funkce : posuneme o k jednotek ve směru osy.
Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad: ) Na obrázku je graf funkce :. Sestrojte pomocí něho graf funkce :. h ( ) 0 ) Sestrojte graf funkce :, a to opět využitím grafu funkce :. ) Sestrojte graf funkce : pomocí grafu funkce :. ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,,,
Funkce.).) h ( ) 0 h ( ) 6 0.).) h ( ) 6 0 f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0
Funkce Definice, graf, vlastnosti Varianta C Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí: a) : b) 8 ad a) f ():= g ():= f ( ) g ( ) 0 ad b) Určíme vrchol (vytkneme a doplníme na čtverec) 8 Vrchol je v bodě V[,-]. Průsečíky s osou jsou body ;0, ;0; s osou y bod [0,]. f ( ) 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
6 Funkce ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b) 68 ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) c) d) ) Načrtněte grafy funkcí: a) 89 b).).) f( ) 0 9 8 7 6 0 f ( ) 0 f ( ) 0 9 8 7 6 0 9 8 7 6 0 0
.).) f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0 9 8 7 6 0 f ( ) g ( ) 7 6 0 6 7 8
8 Funkce Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Při řešení kvadratických rovnic a nerovnic využíváme často graf kvadratické funkce. Stačí najít průsečíky grafu s osou (rozkladem, doplněním na čtverec nebo užitím vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice) a na základě zadání rozhodnout o řešení viz řešený příklad varianty A. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou sestrojujeme obdobně jako grafy lineárních funkcí s absolutní hodnotou. Tzn. pomocí nulových bodů nebo užitím definice absolutní hodnoty. Graf funkce : získáme tak, že sestrojíme graf funkce a všechny jeho části, které leží pod osou (jsou záporné), zobrazíme v osové souměrnosti podle osy.
Funkce 9 Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta A Užitím grafu funkce : 6 řešte a) 60 b) 60 c) 60 d) 60 e) 60 Řešení: : 6,, 0 6 0,, f ( ) 8 7 6 0 a), b), c),, d), e),,
0 Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad: ) Z grafu funkce 9 zjistěte všechna, pro která platí: 90 b) 90 c) 90 d) 90 ) S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou : a) 60 b) 0 ) S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou : a) 0 b) 690 ) Řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou : a) 70, 70 b) 00, 00.) a) =, =- b),, c) (-,) d),..) a),, b) žádné řešení..) a) 0,; b)..) a),,;,
Funkce Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta B Sestrojte grafy funkcí: a) : b) : Řešení: ad a ),0.0 0,.0 8 7 6 ) 0
Funkce ad b),,..0 0,,,, 6 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce Příklad: ) Sestrojte graf funkce : ) Sestrojte garf funkce : ) Načrtněte do téže soustavy souřadnic Oy graf funkce, ) Načrtněte graf funkce :.).) f () 0 g ( ).).) f ( ) g ( ) 0 6 h ( ) 0 8 7 6 6 06
Funkce Užití grafů kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic. Grafy kvadratických funkcí s absolutní hodnotou. Varianta C Sestrojte graf funkcí: a) b) Řešení: ad a) V[.], =0 => y= y=0 =>, ;,; 0, 7 6 f ( ) 0 6
Funkce ad b) ;, nulové body 0,,0 0,,,,, 0, 0, 6,, ;,, 0, 0, 6 á řší. 7 6 g ( ) 0 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
6 Funkce Příklad: ) Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí: a) : 6 b) : 6 ) Načrtněte graf funkce. ) Načrtněte graf funkce. ) Načrtněte v soustavě souřadnic Oy graf funkce,,..).) f ( ) g ( ) 0 9 8 7 6 h ( ) 0 6 0 6.).) j ( ) 8 7. 6.8 6..6..8..6 0 f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce 7 Lineární lomené funkce Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině R\{0} daná ve tvaru, kde je reálné číslo různé od nuly. Kolikrát se zvětší velikost jedné strany parcely s danou výměrou, tolikrát se zmenší velikost strany s ní sousední. Říkáme, že velikost jedné strany parcely je nepřímo úměrná velikosti strany s ní sousední. Lineární lomená funkce je každá funkce na množině R\{ }, vyjádřená ve tvaru, kde,,, jsou reálná čísla, 0 a 0. Pro je 0 a výraz nemá význam. Speciálním případem lineární lomené funkce( 0) je funkce, což je nepřímá úměrnost. Při sestrojování grafu lineární lomené funkce převedeme rovnici na rovnici tím způsobem, že čitatele dané rovnice vydělíme jmenovatelem.
8 Funkce Lineární lomené funkce Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku zakreslete grafy funkcí: a) : : Řešení: a), b) : : : f ( ) g ( ) 0 \0, \0
Funkce 9 b) f ( ) g ( ) h ( ) 0 \0, \0 Průsečíky s osami: funkce protíná osu y v bodě [0,], funkce protíná osy v bodě [0,0]. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf funkce, a popište vlastnosti této funkce. ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a), b),
60 Funkce ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a), b), ) Je dána funkce :, 0,;. Rozhodněte, zda eistuje, pro které platí: a) 0 b) 0 c) 7 d) 0,6 Výsledek řešení:.) Je klesající v intervalech, 0 a 0, ; je lichá ; není shora omezená ani zdola omezená; nemá maimum ani minimum v žádném bodě. f ( ) 0.) a) b) f ( ) 0 g ( ) 0
.) a) b) f ( ) 0 g ( ) 0.) a) NE; pro žádné 0,; není 0 b) ne c) ne, řešíme rovnici 7 s neznámou 0,; d) ano,
6 Funkce Lineární lomené funkce Varianta B Příklad: Sestrojte graf funkce definované na množině R\{} Řešení: Nejdříve upravíme výraz tak, abychom mohli užít poznatky o grafu nepřímé úměrnosti. Vydělíme dvojčlen dvojčlenem ; : Je tedy, zbytek, a funkci můžeme proto vyjádřit ve tvaru :. Nyní postupně sestrojíme graf funkce : definované na R\{0} a graf funkce : definované na R\{}. Graf funkce získáme z grafu funkce pomocí posunutí o dvě jednotky ve směru kladné poloosy. Graf funkce dostaneme z grafu funkce posunutím o jednu jednotku ve směru kladné poloosy. 6 g( ) g( ) g ( ) 7 6 0 6 7 6
Funkce 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf této funkce:. ) Načrtněte graf této funkce:. ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,,, ) Načrtněte graf této funkce:..).) f ( ) f ( ) 0 0
6 Funkce.),,, f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0.) f ( ) 0
Funkce 6 Lineární lomené funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,, Řešení: a) f () := f ( ) 0 6 7 8 9 0
66 Funkce b) g () := g ( ) 0 9 8 7 6 0 6 7 8 9 0 c) h () := h ( ) 0 9 8 7 6 0 6 7 8 9 0
Funkce 67 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf této funkce:. ) Načrtněte graf této funkce:. ) Načrtněte graf funkce. ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:,,.) 7 6 f ( ) 0
68 Funkce.) 7 6 f ( ) 0.) 7 6 f ( ) 0.),, 6 f ( ) g ( ) h ( ) 6 0 6 6
Funkce 69 Mocninné funkce Mocninné funkce s přirozeným eponentem Mocninná funkce s přirozeným eponentem je funkce :,,. Speciálně je-li, je to lineární funkce :, pro základní kvadratická funkce :, pro základní kubická funkce : atd. Grafem této mocninné funkce je pro přímka (osa prvního a třetího kvadrantu) a pro parabola - tého stupně. Vlastnosti mocninných funkcí :, liché sudé,,,, 7 6 f () f () g () h () 0 g () h () 0, Je lichá. Není ani shora omezená, ani zdola omezená. Je rostoucí. Nemá ani minimum, ani maimum., 0, Je sudá. Je zdola omezená, není shora omezená. Je rostoucí v 0,, je klesající v, 0. Má ostré minimum v bodě 0, nemá maimum.
70 Funkce Mocninné funkce s celým záporným eponentem Mocninná funkce se záporným celým eponentem je funkce :,, \0. Grafem této mocninné funkce je hyperbola stupně. Pozn.: Lze definovat též mocninnou funkci s nulovým eponentem: :, \0! Jedná se však o konstantní funkci. Vlastnosti funkce, liché sudé 6 f ( ) 0 f ( ) 0 Oborem hodnot je \0. Oborem hodnot je. Je rostoucí v (, 0), Je klesající v (, 0), v (0, ). Není ani zdola omezená, ani shora omezená. Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maimum. Je lichá. Je klesající v (0, ). Je zdola omezená, není shora omezená. Nemá v žádném bodě ani minimum, ani maimum. Je sudá.
Funkce 7 Mocninné funkce Varianta A Příklad: Sestrojte grafy mocninných funkcí pro,,,,,6. Řešení: -, - -0, 0 0,, -, - -0, 0 0,,, 0, 0 0,, -, - -0, 0 0,,,6 0,06 0 0,06,6 -,60 - -0,0 0 0,0,60,776 0,06 0 0,06,776 f () g () h () i () j () k () 0 Čím je n větší, tím: a) V intervalu 0, je funkce pozvolnější b) V intervalu, je funkce strmější
7 Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Porovnejte podle velikosti následující čísla(využijte přitom grafy funkcí, kde ): a), b) 0,7, 0,7 c) 0,7, 0,7 d), ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b) ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b) ) Řešte tyto rovnice a nerovnice s neznámou : a) b)
Funkce 7.) f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0, 0,7 0,7, 0,7 0,7,.), f ( ) g ( ) 0
7 Funkce.), f ( ) g ( ) 0.) a) 0,, b), 0
Funkce 7 Mocninné funkce Varianta B Příklad: Načrtněte grafy funkcí,,, Řešení: - - - -/ -/ / / -/ -/ - - - / / /6 ¼ 6 6 ¼ /6 -/6 -/8 - -8-6 6 8 /8 /6 /6 /6 6 6 6 6 /6 /6 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) j ( ) 0 6 7
76 Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Porovnejte podle velikosti tato čísla (využijte při tom grafy funkcí pro ): a) 0,, 0, b),8,,9 ) Porovnejte podle velikosti tato čísla(využijte při tom grafy funkcí pro ): a),,, b),8,,9 ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b) ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) b).).) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 0 0 0, 0,,,8,9,,,,8,9
Funkce 77.), f ( ) g ( ) 0 9 8 7 6 0.), f ( ) g ( ) 0 7.. 0 7...7.. 0...7. 7. 0. 7. 0
78 Funkce Mocninné funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,, Řešení:,, 00 90 80 70 60 0 0 0 f ( ) g ( ) h ( ) 0 0 0 9 8 7 6 0 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00
Funkce 79 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí:,, ) Načrtněte grafy těchto funkcí:,, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:,.) 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) 0 6 7
80 Funkce.) 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) 0.), f ( ) g ( ) 0
Funkce 8.), f ( ) g ( ) 0 9 8 7 6 0 9 8 7 6 0 Rozkreslení řešeného příkladu varianty C f ():= ( ) f ( ) 0 6 7
8 Funkce 6 g ( ) 6 0 6 6 h ():= ( ) h ( ) 6 0 6
Funkce 8 Mocniny a odmocniny N-tá mocnina Pro všechna a pro všechna definujeme á základ odmocniny (mocněnec) eponent (mocnitel). Pro všechna reálná čísla, a pro všechna přirozená čísla, je a) b) c) d) Pro \0 definujeme. Pro definujeme. Pro všechna reálná čísla, různá od nuly a pro všechna celá čísla, platí: a) b) c) d)
8 Funkce N-tá odmocnina Pro každé je tá odmocnina z nezáporného čísla a takové nezáporné číslo, pro něž platí. Budeme zapisovat. Číslo se nazývá odmocnitel (eponent odmocniny), číslo odmocněnec (základ odmocniny). Funkce je inverzní k funkci, 0,. Funkce je inverzní k funkci, 0,.,, f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce 8,, f ( ) g ( ) h ( ) 0 Pro všechna přirozená čísla, a pro všechna nezáporná reálná čísla,, je Např.. Pro každé nezáporné reálné číslo, každé kladné reálné číslo a každé přirozené číslo platí: Podíl tých odmocnin čísel, je roven té odmocnině jejich podílu. Např.,. Pro každé celé číslo, každé kladné reálné číslo a každé přirozené číslo platí: Např..
86 Funkce Je-li přirozené číslo, pak tato věta platí i pro 0, tj. pro všechna nezáporná čísla. Je-li speciálně,, pak pro každé nezáporné číslo dostáváme. Např. 8, 8, 8,. Pro všechna přirozená čísla, a pro každé nezáporné reálné číslo platí: Např. 8 8 8. Pro všechna přirozená čísla,, a pro každé nezáporné reálné číslo platí: Např..
Funkce 87 Mocniny s racionálním eponentem Pro každé kladné reálné číslo, pro každé celé číslo a pro každé přirozené číslo je. Číslo budeme nazývat základ mocniny čili mocněnec, číslo se nazývá eponent čili mocnitel. Pro všechna kladná reálná čísla, a pro všechna racionální čísla, je a) b) c) d).
88 Funkce Mocniny s iracionálním eponentem V matematice lze také zavádět čísla typu,, obecně, kde a zároveň. Pro všechna kladná reálná čísla, a pro všechna reálná čísla, platí: a) b) c) d).
Funkce 89 Mocniny a odmocniny Varianta A Příklad: Vyjádřete ve tvaru jediné odmocniny a) b) 0, c) d) e) Řešení: a) b) 0, 0, 6 8 c) 0 d) e) 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
90 Funkce Příklady k procvičení: ) Vypočítejte: a) b) c) 9 d) 6 e) f) ) Určete, pro která jsou definovány dané odmocniny, a pak je upravte: a) b) c) d) ) Rozhodněte, pro která,, mají následující výrazy smysl, a potom je zjednodušte: a) b) c) ) Vyjádřete dané výrazy v co nejjednodušším tvaru pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: a) b) : c).) a) 6, b) 8, c), d), e), f),.) Ve všech případech 0; a) d), b), c),.) a),,, b), 6, c),,.) a), b), c)
Funkce 9 Mocniny a odmocniny Varianta B Příklad: Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: a) b) d) 7 e) c) f) 7 Řešení: g) h) a) 0,,,, b) 0,,, c),,,, d) 7; 7,, 7, e) 0,,,,, f) 7 0,, g) 0,,, 7 7,, h) 0 0,,0,,, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
9 Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište definiční obory následujících funkcí pomocí intervalů: a) b) c) ) Zapište definiční obory následujících funkcí pomocí intervalů: a) b) c) ) Rozhodněte, pro která je definována: a) b) c) d) ) Zjednodušte dané výrazy: a) 6 6 6 b).) a),, b) ;,, c),.) a) 0,, b),,, c),.) a), b) 0,, c), d) 0,.) a), b) 8
Funkce 9 Mocniny a odmocniny Varianta C Příklad: a) Zjednodušte výraz ;,, jsou kladná reálná čísla b) Částečně odmocněte, předpokládejte; že je kladné číslo c) Vyjádřete součin je kladné číslo ve tvaru jediné odmocniny; předpokládejte, že d) Pomocí jediné odmocniny vyjádřete ;, jsou kladná čísla Řešení: a) b) c) d) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
9 Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište ve tvaru mocniny s racionálním eponentem: ) Vypočtěte: a),6 :,,,,,,, b) c) 8 ) Uvedené výrazy vyjádřete pomocí jediné odmocniny;, jsou kladná čísla: a) b) c) d) ) Udejte, pro která, jsou definovány dále uvedené výrazy s odmocninami, a pak je vyjádřete v co nejjednodušším tvaru: a) b) c) d) 8 ) Upravte výrazy s odmocninami tak, aby ve jmenovateli nebyla odmocnina: a) b) c) d) e) f).),,,,,.,.) a), b), c) 0,.) a). b), c), d).) a) 0,, b) 0, 0, 9, c) 0, 0, 9, d) 0,.) a), b), c), d) 6, e) 6, f)
Funkce 9 Eponenciální funkce Definice: Eponenciální funkce o základu je funkce na množině vyjádřená ve tvaru, kde je kladné číslo různé od. Vlastnosti: Funkce ; \ 0.. f ( ). f ( ). 0. 0. 0 Definiční obor je R. Obor hodnot je 0,. Je rostoucí, a tedy je prostá. Je zdola omezená, není shora omezená. Nemá v žádném bodě ani maimum, ani minimum. Funkční hodnota v bodě 0 je rovna. 0 Definiční obor je R. Obor hodnot je 0,. Je klesající, a tedy je prostá. Je zdola omezená, není shora omezená. Nemá v žádném bodě ani maimum, ani minimum. Funkční hodnota v bodě 0 je rovna. Pro posunování grafů eponenciálních funkcí platí stejná pravidla jako pro předešlé typy funkcí: :, : Graf funkce získáme posunutím grafu funkce o jednotek doprava a jednotek nahoru.
96 Funkce Eponenciální funkce Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: :, :, : 0 :, :, : 0 Řešení:,, 0 0 9 8 7 f ( ) g ( ) h ( ) 6 0
Funkce 97,, 0 0 9 8 7 i ( ) j ( ) k ( ) 6 0 0 9 8 f ( ) g ( ) h ( ) i ( ) j ( ) k ( ) 7 6 0 Můžeme využít toho, že pro každé platí. Grafy funkcí a jsou souměrně sdruženy podle osy.
98 Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Na základě vlastností eponenciální funkce určete, které z následujících mocnin jsou větší než jedna, rovny jedné, menší než jedna:, ;,8, ; 0,, ) Rozhodněte, zda jsou pravdivé výroky: a),, b),, ) Rozhodněte, který ze vztahů 0, platí, je-li: a) b) ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí, a dále graf funkce,..) ;, ;,8, ; 0,, ) a) ano, b) ne.) a), b) 0.) Pro všechna 0,,,, 0 9 8 f ( ) g ( ) h ( ) 7 6 0
Funkce 99 Eponenciální funkce Varianta B Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,, Řešení:,, 0 9 8 7 f ( ) g ( ) h ( ) 6 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
00 Funkce Příklady k procvičení: ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,, 0,, 0, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:,, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: 0,, 0,, 0,.) 0,, 0,, 0, f ( ) g ( ) h ( ) 0.),, f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce 0.),, 0 9 8 7 f ( ) g ( ) h ( ) 6 0.) 0,, 0,, 0, f ( ) g ( ) h ( ) 0
0 Funkce Eponenciální funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: Řešení:,,,,,,,,,,,,,, f ( ) g ( ) h ( ) i ( ) 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce 0 Příklady k procvičení: ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,7, 0,7 ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: 0,7, 0,7 ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:, ) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,,.) 0,7, 0,7 f ( ) g ( ) 0.) 0,7, 0,7 f ( ) g ( ) 0
0 Funkce.), f ( ) g ( ) 0.),, f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce 0 Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce o základu je funkce, která je inverzní k eponenciální funkci ; je libovolné kladné číslo různé od jedné. Uvažujme eponenciální funkci :. Pro hodnotu funce, která je přiřazena číslu, se volí speciální označení: log. Čteme logaritmus o základu nebo logaritmus o základu čísla. V souladu s tímto označením budeme logaritmickou funkci o základu zapisovat ve tvaru log. Definičním oborem logaritmické funkce je množina 0, ; to plyne z toho, že obor hodnot funkce : je 0,. Vlastnosti: Funkce log ; \ 0 f ( ) 0 0... f ( ) 0 0... Definiční obor je 0,. Obor hodnot je. Je rostoucí, a tedy je prostá. Není ani shora omezená, ani zdola omezená. Nemá v žádném bodě ani maimum, ani minimum. Funkční hodnota v bodě je rovna 0. Definiční obor je 0,. Obor hodnot je. Je klesající, a tedy je prostá. Není ani shora omezená, ani zdola omezená. Nemá v žádném bodě ani maimum, ani minimum. Funkční hodnota v bodě je rovna 0.
06 Funkce Logaritmus Definice: Logaritmus čísla o základu je takové číslo, pro které platí. log, právě když. Věty o logaritmech: Pro každé 0, a pro všechna kladná reálná čísla, je log log log. Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů. Pro každé 0,, pro všechna kladná reálná čísla, je log log log. Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele (v tomto pořadí). Pro každé 0,, pro všechna a pro všechna je log log. Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny. Logaritmy o základu 0 obvykle označujeme jako dekadické logaritmy. V zápisu log většinou 0 vynecháváme, píšeme jen log (např. místo log 0, pouze log 0, apod.) a čteme logaritmus.
Funkce 07 Přirozená eponenciální funkce a logaritmus Eponenciální funkce o základu, tj. funkce, se nazývá přirozená eponenciální funkce. Tato funkce má značný význam v teoretické matematice, pomocí ní se popisuje řada jevů a procesů ve fyzice, chemii, biologii atd. Označme čí přičemž jeho hodnota je přibližně,78888. Na obrázku níže je sestrojen graf funkce a graf funkce k ní inverzní, tj. graf funkce log. f ( ) g ( ) 0 Místo log je zvykem psát ln ; hovoříme o přirozeném logaritmu čísla a o přirozené logaritmické funkci ln. Pro všechna kladná reálná čísla, různá od jedné a pro každé kladné reálné číslo je log log log
08 Funkce Logaritmická funkce a logaritmus Varianta A Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: :, : log :, : log Řešení:, log f ( ) g ( ) 0
Funkce 09, log f ( ) g ( ) 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
0 Funkce Příklady k procvičení: ) Rozhodněte, které z dále uvedených výroků jsou pravdivé: a) log log 8 b) log, 7log, 8 c) log 0 log 0 d) log, 7log, 6 [Využijte poznatky o vlastnostech logaritmických funkcí] ) Najděte všechna, pro něž platí: a) log log b) log, log, c) log log ) Zjistěte definiční obory následujících funkcí: a) log b) log, ) Načrtněte grafy funkcí: a) log b) log Zapište jejich definiční obory a obory hodnot..) a) ano, b) ne, c) ano, d) ano ) a), b), c).) a),, b), 0.) a),, b) 0, f ( ) g ( ) 0 6 7 8 9 0
Funkce Logaritmická funkce a logaritmus Varianta B Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:,, Řešení:,, 0 9 8 7 f ( ) g ( ) h ( ) 6 0 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce Příklady k procvičení: ) Vypočítejte: a) log 000 b) log 0 c) log 0 d) log 0,0 ) Vypočítejte: a) log, b) log, 0, c) log, 8 d) log, ) Vypočítejte: a) log b) log c) log d) log ) Vypočítejte: a) log log 0 log b) log 0,00 log 9log.) a) ; 000 0, b), c) 0, d) -; 0,0 0.) a) -;, b), c) -, d) -0,.) a) 0, b) -0,;,,, c) -, d),.) a) 0, b) -
Funkce Logaritmická funkce a logaritmus Varianta C Příklad: Do jednoho obrázku načrtněte grafy těchto funkcí: : log, :log, : log Řešení: log, log, log 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) 0 6 7 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: log,, log,, log, ) Načrtněte grafy funkcí: log, log Zapište definiční obory a obory hodnot jednotlivých funkcí. Popište vlastnosti funkcí. ) Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: log, log ) Zapište pomocí intervalů definiční obory funkcí: log, log.) log,, log,, log, 7 6 f ( ) g ( ) h ( ) 0
Funkce.) log, log f ( ) g ( ) 0 : 0,, 0, ; je klesající v intervalu 0,, rostoucí v intervalu,, je zdola omezená, není shora omezená, má minimum v bodě, nemá maimum v žádném bodě :, 0 0,,; je klesající v intervalu, 0, rostoucí v intervalu 0,, není shora omezená ani zdola omezená, nemá v žádném bodě maimum ani minimum, je sudá.) a),, b) ;,.) a),,, b),, ; [Musí být log 0, a tedy.]
6 Funkce Logaritmické a eponenciální rovnice Definice: Logaritmickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou. Nejjednodušším případem logaritmické rovnice je rovnice log,0,,, () jež má (podle definice logaritmu) řešení. Složitější logaritmickou rovnici obvykle řešíme tak, že ji upravíme na rovnici tvaru log log, 0,, () Kde výrazy, vyjadřují funkční hodnoty dvou daných funkcí, proměnné, z nichž jedna může být speciálně konstanta. Protože logaritmická funkce je prostá (rostoucí pro, klesající pro 0), z logaritmické rovnice () plyne rovnice. () Rovnice (), () jsou však ekvivalentní jenom při splnění podmínek: 0 a 0. Pokud je nestanovíme předem, musí být nutnou součástí řešení zkouška. Řešení složitějších logaritmických rovnic též často usnadňuje vhodná substituce, např. ylog 0,, kterou se převede logaritmická rovnice na algebraickou rovnici.
Funkce 7 Logaritmické a eponenciální rovnice Varianta A Příklad: Řešte rovnici log 0,log log s neznámou. Řešení: log 0,log log log 0, log log 0,log log log log log Odtud je už vidět, že žádné nemůže být kořenem řešené rovnice. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) log log b) log 7 log ) Řešte rovnice s neznámou : a) log log b) log log 6 ) Řešte rovnice s neznámou : a) log log log b) log log ) Řešte rovnice s neznámou : a) b) log log log 0.) a) 6, b) ) a) 0, b).) a), b).) a), b)
8 Funkce Logaritmické a eponenciální rovnice Varianta B Příklad: Řešte rovnici s neznámou. Řešení: Upravujeme nejprve levou stranu dané rovnice: Dále dostaneme: 9 8 0, Od výrazů, které tvoří jednotlivé strany poslední rovnice, přejdeme k jejich logaritmům o základu 0; říkáme, že rovnici logaritmujeme: Podle věty o logaritmu mocniny dostaneme a odtud Pomocí kalkulátoru můžeme zjistit, že log log 0, log log 0, log 0, log,6. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C
Funkce 9 Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) b) ) Řešte rovnice s neznámou : a) 00 b) ) Řešte rovnice s neznámou : a) b) 0 ) Řešte rovnice s neznámou : a) 8 0, b).) a),78, b),7.) a) t,; 0,, b) 0,.) a) ; log log, b) ; 7 log.) a), b)
0 Funkce Logaritmické a eponenciální rovnice Varianta C Příklad: Řešte rovnici 00 s neznámou. Řešení: Nejprve budeme danou rovnici logaritmovat, užijeme při tom dekadické logaritmy: log log00 Podle vět o logaritmech a na základě definice logaritmu dále dostaneme: Užijeme substituci a budeme řešit kvadratickou rovnici s neznámou : log log log 00 log log log0 log () 0 () 9, Rovnice () má dva různé kořeny: a), b). Dosadíme za do () po řadě čísla a a budeme řešit odpovídající logaritmické rovnice s neznámou : a) log, 00 b) log, 0, Provedeme zkoušku dosazením: a) 00 00 00 0 00 00 00 0 00 00 b) 0, 0,, 0, 0 0, 00 0, 0 0, 0, Kořeny rovnice 00 jsou čísla 00 a 0,.
Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) log log 00 b) log [Užijte metodu substituce] ) Řešte rovnice s neznámou : a) 00 b) [Rovnice logaritmujte] ) Řešte rovnice s neznámou : a) 000 b) 8 ) Řešte soustavy rovnic s neznámými, : a) log log b) log log log log 6.) a),, b).) a) 0,0; 0. b).) a) 0, 0, b) 0,;.) a) 0, 0, b),,, [log log log, 6]