Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optimalizace jeho konfigurace

1 Úvod Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optializace jeho konfigurace V této práci je řešena probleatika odhadu a posouzení přesnosti laserového a optického rotačního skeneru dále jen LaORS. Tento 3D skenovací systé je vyvíjen v ráci grantu GA ČR 103/02/0357 - Moderní optoelektronické etody topografie ploch. V současné době se jedná o zařízení určené ke skenování předětů alých rozěrů. Zkušenosti s títo zařízení by ěly sloužit jako podklad k návrhu systéu podobného principu využitelného v geodézii. Odhad přesnosti tohoto systéu je potřebný zejéna pro posouzení ožností jeho využití. Na základě níže uvedených rozborů byl vytvořen pracovní sešit (worksheet - v podstatě se jedná o progra) v software Mathcad který lze snadno přepočítat dosaženou teoretickou přesnost při zěně jakékoliv charakteristiky LaORS. Tento progra lze také využít pro optializaci která je zde částečně řešena také a která je důležitá pro axiální ekonoičnost využití používaného hardwarového zařízení. Výsledky rozborů budou následně konfrontovány s výsledky uskutečněných testovacích ěření. 2 Stručný popis systéu LaORS Zařízení je tvořeno třei základníi hardwarovýi koponenty. Je to digitální kaera laserový odul a točna (viz. obr. 1). obr. 1 - Model systéu LaORS Digitální kaera je uístěna na teodolitu a jsou u ní znáy prvky vnitřní orientace. V současné době je používán odel kaery JVC TK-C1380E s fyzický rozlišení 752x548 1

pixelů. Kaera je uístněna na teodolitu Theo 010B firy Zeiss. Tento teodolit je vybaven nástavce pro přesné uchycení kaery (více v [7]). Laserový odul vytváří laserovou rovinu. Původní laser Tesla TKG 205 (vlnová délka 633n) vytvářel v řezu kruhovou stopu a proto usel být do roviny rozptylován poocí válcové čočky. V současnosti byl nahrazen výkonnější odule DPGL-3005L-45 (výkon 5W vlnová délka 532n) který přío vytváří laserovou rovinu. Točna je charakterizována v ráci požadované přesnosti konstantní úhlovou rychlostí. Při ěření je nutné točnu urovnat tak aby její osa rotace byla přesně svislá a následně určit její polohu. Prostorový bod je definován průsečíke světelné stopy vytvořené lasere na předětu a optické příky. Optická příka je určena ze sníkových souřadnic obrazu stopy z digitální kaery. Jednotlivé řezy jsou vyhodnocovány saostatně a následně jsou přetransforovány do souřadnicové soustavy odelu (rotující soustava). 3 Teoretické základy používané v rozborech 3.1 Zákon hroadění vah Jedná se o jeden ze základních zákonů vyrovnávacího počtu. V toto příspěvku se setkáe s jeho opakovanou aplikací. Zákon je jiný vyjádření zákona hroadění středních chyb na skupině funkcí který je dle [1] definován takto: kde S h.. je tzv. kovarianční atice S H M H 2 T h = (1) H.. atice koeficientů lineární funkce přenosu atice skutečných chyb vstupních veličin na atici skutečných chyb neznáých. Vzniká derivací funkčních vztahů podle jednotlivých vstupních veličin M 2.. atice variancí (na diagonále jsou kvadráty středních chyb vstupních veličin a ostatní členy atice jsou nulové). Ve výpočtech často nastává případ že do funkcí vstupující veličiny jsou již navzáje korelovány. Například jsou již sai výsledke výpočtů nebo vyrovnání. V těchto případech je nutné znát kovarianční atici vstupních veličin. Ta je obecně plná a syetrická. Často se forálně převádí na atici váhových koeficientů Q vztahe: kde Q 1 = S (2) 2 0 0 je vhodně zvolená konstanta tzv. střední chyba jednotková apriorní. V těchto případech luvíe o zákonu hroadění vah. Mateatické vyjádření je podobné jako u (1): Q H Q H T h = (3) V toto vztahu ohou být atice váhových koeficientů Q h a Q nahrazeny beze zěny význau kovariančníi aticei S h a S podle rovnice (2). Střední chyby neznáých poto snadno spočtee ze vztahu: = q = s (4) h1 0 hh 1 1 hh 11 2

kde q hh.. je prvek hlavní diagonály atice Q 1 1 h a s =.. je prvek hlavní diagonály atice S h. 2 hh 1 1 h1 Kovarianční atice je výchozí prvke pro posouzení přesnosti jakéhokoliv výsledku. Protože v následující textu bude zákon hroadění vah několikrát používán zavedee si k zjednodušení zápisu zkratku ZHV. 3.2 Volba charakteristiky přesnosti Pro posouzeni přesnosti laserového rotačního skeneru (LaORS) je předevší nutné zvolit správnou charakteristiku přesnosti. Při psaní této kapitoly se vycházelo z literatury [1]. V této se jen poěrně alá část věnuje rozdělení chyb ve 3D. Z toho důvodu byly další inforace získány také z [4] a některé používané charakteristiky přesnosti byly nově navrženy. k97. V toto rozboru byl použit jednak elipsoid chyb a jednak nově navržená střední chyba 3.2.1 Elipsoid chyb Teoreticky nejsprávnější charakteristikou přesnosti je v prostoru Helertova plocha. Ta je často v praxi pro svou složitost nahrazována elipsoide chyb. Ten je v obecné poloze dán 6 hodnotai. Jsou to velikosti jednotlivých poloos a b c a úhly stočení kole jednotlivých os. V současné době jsou někdy úhly stočení nahrazeny jednotkovýi sěrovýi vektory. Velikosti jednotlivých poloos představují velikosti středních kvadratických chyb v těchto extréních sěrech. Elipsoid chyb není vhodná charakteristika pro optializaci a stručnou prezentaci přesnosti výsledků. Ve výpočtech byl elipsoid chyb používán jednak k posouzení přesnosti a jednak jako podklad pro výpočet chyby k97 (viz. níže). Elipsoid chyb vlastně představuje těleso ve které se vyskytuje náhodná veličina s pravděpodobností 19.9%. Jeho povrch tvoří body stejné sdružené hustoty pravděpodobnosti. Pravděpodobnost lze ve 3D definovat poocí jediného paraetru t: kde t 2 2 t 2 0 2 Φ 3() t = t e dt π (5) t.. norovací paraetr který definuje skutečnou velikost elipsoidu chyb: 2 2 2 x y z + + = t. (6) 2 2 2 x y z Např. v [1] je tato pravděpodobnost tabelována. Stručnější verze tabulky je pro připoenutí uvedena: t 1 2 3 3.5 Φ 3 (t) 0.199 0.739 0.971 0.993 tab. 1 - Pravděpodobnost ve 3D Problée řešení elipsoidu chyb je určení sěru a velikosti jeho hlavních poloos. Výchozí prvke je kovarianční atice příslušného bodu. Ta na hlavní diagonále obsahuje 3

kvadráty středních chyb v jednotlivých souřadnicových osách. Souřadnicové osy nejsou obecně shodné z osai extréních chyb ( x a y b atp.) V literatuře [1] je u probleatiky hledání stočení os elipsoidu chyb navržený obdobný postup jako u elipsy chyb ve 2D. U dvourozěrných chyb je postup hledání stočení hlavní poloosy následný: Náhodné souřadnice bodu převedee do poocné souřadnicové soustavy ležící v těžišti. Souřadnice v soustavě chyb nazvee např. ξ a η. Vyjdee z předpokladu že v soustavě chyb je [ξξ] a [ηη] extréní ([] - sua) a [ξη] rovna nula. Napíšee rovnici transforace z poocné souřadnicové soustavy do soustavy chyb. Jedná se o shodnostní transforaci. Provedee suaci přes všechny body. Tuto suaci derivujee podle rotace ω a položíe rovnu nule. Řešíe rovnici o jedné neznáé (výsledke jsou tři shodné rovnice o jedné neznáé). Dále řešíe velikost středních chyb v extréech z rovnice transforace. Aplikace této etody pro 3D je veli obtížná. Vystupuje v ní atice rotace v prostoru: kde R X'Y'Z' R = R ( κ) R ( ϕ) R ( ω) X'Y'Z' Z' Y' X' cosκ sinκ 0 cosϕ 0 sinϕ 1 0 0 RX'Y'Z' = sinκ cosκ 0 0 1 0 0 cosω sin ω 0 0 1 sinϕ 0 cosϕ0 sinω cosω cosκ cosϕ sinκ cosω+ cosκ sinϕ sinω sinκ sinω+ cosκ sinϕ cosω = sinκ cosϕ cosκ cosω sinκ sinϕ sinω cosκ sinω sinκ sinϕ cos ω + + sinϕ cosϕ sinω cosϕ cosω κ ϕ a ω jsou rotace kole souřadnicových os Z Y a X. Při její řešení je nutno řešit soustavu tří veli složitých nelineárních rovnic o třech neznáých. Toto řešení je ožné pouze některou z nuerických etod a je početně veli náročné. Proto byla k výpočtu elipsoidu chyb použita etoda prezentovaná v literatuře [4]. Tato etoda je založena na podobnosti atic a na tzv. vlastních číslech a vlastních vektorech čtvercové atice. Pokud R je regulární atice a platí vztah (7) Sx = R Λ R 1 (8) kde Sx je kovarianční atice jsou atice Sx a L podobné atice. Pokud je navíc L diagonální jsou její prvky vlastní čísla atice Sx a sloupce atice R jsou vlastní vektory. Mají-li vlastní vektory noru rovnu jedné je atice R ortonorální a zápis podobnosti vyjadřuje geoetricky transforaci ezi dvěa kartézskýi souřadnicovýi systéy. Vlastní čísla reprezentují kvadráty hlavních poloos elipsoidu a vlastní vektory k ni příslušné jednotkové sěrové vektory těchto poloos. Mateaticky hledáe vlastní čísla atice Sx řešení deterinantu: kde λ.. vlastní číslo atice E.. jednotková atice. Sx λ E = 0 (9) Rozepsání tohoto deterinantu získáe polynoickou funkci jejíž kořeny jsou právě hledaná vlastní čísla. 4

Vlastní vektor poto získáe řešení těchto tří rovnic o třech neznáých: kde λ i.. vlastní číslo atice a u i.. příslušný vlastní vektor. ( λ i ) i Sx E u = 0 (10) Několik etod výpočtu vlastních čísel a vektorů atic najdee např. v [5]. Přío tyto etody obsahuje také většina ateatického software (např. v Mathcadu je to funkce eigenvals() a eigenvecs()). Dál se někdy přepočítávají sěrové vektory na rotace kole jednotlivých souřadnicových os vystupující v atici rotace (7). To nebylo pro výpočet potřebné a proto to zde nebude uvedeno. Elipsoid chyb byl ve výpočtech využit zejéna jako podklad pro výpočet chyby k97 (viz. následující kapitola). 3.2.2 Chyba k97 Jak již bylo zíněno v předcházející kapitole není ožno elipsoid chyb použít pro optializaci konfigurace a není ani příliš vhodný pro stručné posouzení přesnosti z důvodu své složité fory (v případě použití sěrových vektorů je to 12 hodnot vyjadřujících přesnost jednoho bodu). Při hledání axiální přesnosti je nutné použít jednoznačné kritériu. V literatuře [4] je uvedeno několik používaných charakteristik přesnosti které vyjadřují přesnost poocí jediné hodnoty např.: deterinant kovarianční atice funkce deterinantu kovarianční atice různé funkce stopy kovarianční atice (např. druhá odocnina součtu prvků atp.). Žádná z těchto charakteristik ale neá jednoznačnou vazbu na konkrétní pravděpodobnost. Proto byl navrhnuta jednodušší a jednoznačná charakteristika přesnosti tzv. střední kulová chyba s 97 procentní intervale spolehlivosti dále značenou k97. Navrhovanou k97 ůžee definovat jako poloěr koule s pravděpodobností výskytu náhodné veličiny 97%. Tato hodnota hladiny spolehlivosti je navržena z důvodu že v prostoru je pravděpodobnost tabelovaná pro 3 násobek paraetru t právě 97 procent (viz. tab. 1). Tato hodnota pravděpodobnosti je také v praxi často používaná. Základní yšlenka této charakteristiky vychází ze zjednodušení užívaných také v rovině pro dvourozěrné chyby. Jedná se zejéna o střední chybu souřadnicovou nebo polohovou. Nevýhodou těchto charakteristik je že jejich použití je oprávněné pouze pro případy stejných velikostí extréních chyb (tedy spíše výjiečné případy). Důvode je že pro ostatní případy neodpovídá pravděpodobnost výskytu náhodných chyb v této kružnici hodnotá tabelovaný pro elipsu a ani funkce pravděpodobnosti není shodná z důvodu rozdílných integračních ezí. Stejné nedostatky jako á nahrazení elipsy chyb střední souřadnicovou chybou v rovině á i obdobná náhrada v prostoru. Proto nelze takto definovanou střední chybu zodpovědně používat. Navržená charakteristika tyto nedostatky odstraňuje. Je zřejé že střední chyby v jednotlivých sěrech extréních chyb jsou rozdílné (např. z rozboru přesnosti) ale přesto je nutné zjednodušit charakteristiku přesnosti na jediné číslo. Je uvažována výchozí elipsoidická plocha pro funkci sdružené hustoty pravděpodobnosti a ta je taky použita pro výpočet pravděpodobnosti pro tuto kouli. Tato pravděpodobnost je ale obecně írně odlišná od pravděpodobnosti pro elipsoid. 5

3.2.2.1 Výpočet chyby k97 Jako první přiblížení je ožné využít obdobu střední souřadnicové chyby v prostoru: kde 2 2 2 a + b + c = (11) 3 I k97 3 a b c jsou velikosti středních kvadratických chyb v extréních sěrech. Respektive její trojnásobek jelikož funkce hustoty pravděpodobnosti není pro kouli stejná jako pro elipsoid a není tedy poto ožno tuto hodnotu poloěru (poloěr koule s 97% pravděpodobností) snadno dopočítat. Navíc je tato funkce rozdílná pro každou kouli z důvodu rozdílné velikosti poloos elipsoidu. Výhodou této aproxiace je že při rovnosti středních chyb v jednotlivých osách je pro tuto kouli přesně stejná pravděpodobnost výskytu náhodných chyb jako pro elipsoid chyb a tedy již tato první aproxiace odpovídá přesně k97. Pravděpodobnost pro kouli lze vypočíst ze sdružené hustoty pravděpodobnosti v prostoru oezené na kulové těleso poocí integračních ezí: 2 2 2 1 x y z I I 2 2 I 2 2 2 k97 ( k97) z ( k97 ) z y 1 2 + + 2 2 2 a b c 8 e 0 0 0 3 I Φ 97 = dxdydz. (12) 8 π abc Tato pravděpodobnost ale většinou neodpovídá přesně požadovaný 97% a proto je nutné ji s požadovanou přesností dopočítat postupnou iterací (97% odpovídá pouze pro případ a=b=c). Maxiální rozdíl dosažené pravděpodobnosti od požadované ůžee volit (např. 0.4%). Další hodnotu chyby k97 ůžee odhadnout např. z rovnice: 0.97 = II I k97 I k97 Φ97 A opět dopočíst odpovídající pravděpodobnost. V Mathcadu byl k touto účelu vytvořen progra: 97:= df97 1 97p 97 while df97 > 0.004 97 97p. (13) 97 f97p 97 0 0 0.97 97p f97p 97 df97 0.97 f97p ( 97) 2 z 2 0 ( 97) 2 y 2 z 2 8 1 e 8 π 3 a b c x 2 y 2 z 2 + + 2 a 2 b 2 c 2 dxdydz 1 obr. 2 - Progra pro výpočet k97 6

3.2.2.2 Využití k97 Pro odhad přesnosti byl tedy použit elipsoid chyb a také odpovídající k97. Pro optializaci byla použita k97. 4 Výpočet prostorových souřadnic objektu Tento výpočet navazuje na článek [6] a [7]. Jedná se o dokončení teorie výpočtu souřadnic bodu zaěřených LaORS. Na základě těchto vztahů a s využití výsledků publikovaných v [6] bude v dalších kapitolách odvozen odhad přesnosti navrhovaného systéu. Z hlediska výpočtu je uvažována znalost koeficientů roviny (A B C a D) a znalost souřadnic vstupní pupily kaery a z ní vypočtených sěrů. Z hlediska dalších výpočtů při rozborech přesnosti je vhodné rozdělit tento výpočet do tří částí a proto bude toto dělení dodrženo i v této kapitole. V závěru každé podkapitoly bude pro přehlednost a další použití v odelech LaORS uveden zkratkovitý sezna vstupních a výstupních veličin. 4.1 Výpočet koeficientů roviny laseru Tento výpočet je včetně rozborů přesnosti a konkrétního příkladu podrobně popsán v [6]. Zde je uveden z důvodu zachování integrity výkladu a jednotnosti v popisu vstupních a výstupních veličin odelu. 4.1.1 Vstupní a výstupní veličiny Vstupní: [α z l] i ABCD - atice ěření na podrobné body X 0 - souřadnice stanoviska. Výstupní: A B C D - koeficienty definující rovinu v prostoru. 4.2 Průsečík roviny laseru se záěrnou příkou Tyto souřadnice se vypočtou jako průsečík optické příky ze vstupní pupily kaery na ěřený bod a roviny řezu (realizované lasere). Projekční centru kaery je definováno jako střed vstupní pupily předětového prostoru. Jedná se o příklad z analytické geoetrie jehož součásti jsou popsány např. v [2] nebo [3]. Řešení bylo provedeno následovně: Je dána rovina řezu koeficienty A B C a D: A x+ B y+ C z+ D= 0. (14) Byl vypočten vektor příky p na každý bod předětu ze vstupní pupily P0 [X P0 Y P0 Z P0 ]: p= (sinz cos α;sinz sin α;cos z) = ( px; py; pz). (15) Dále byla zapsána tato příka v paraetrické tvaru: X = X + px t P0 P0 Y = Y + py t Z = Z + pz t. P0 (16) 7

Vypočte se průsečík X PR této příky s rovinou řezu dosazení rovnice příky do rovnice roviny a výpočte paraetru t v bodě průsečíku tp: A XP0 + BY P0 + C ZP0 + D tp =. (17) A px+ B py+ C pz A konečně následuje výpočet souřadnic průsečíku z rovnic příky v paraetrické tvaru: X = X + px tp PR P0 P0 Y = Y + py tp PR Z = Z + pz tp. PR P0 (18) 4.2.1 Výpočet souřadnic X PO Výpočet je popsán v literatuře [7]. Zde je uveden z důvodu nutnosti jeho použití v rozboru přesnosti. Veškeré zde uvedené výpočty jsou definovány pro pravotočivou (ateatickou) souřadnicovou soustavu. To je důležité vědět zejéna při transforacích. Další předpoklady pro transforace jsou: Úhly rotace jsou uvažovány vždy kladné v ateaticky kladné sěru (proti sěru chodu hodinových ručiček) a jsou definovány od osy soustavy do které je transforováno. Jedná se v podstatě o shodnostní prostorovou transforaci která je při naše značení forulována takto: XP0 kde v t.. je definováno: v = z 100 XP0 ex X0 = Y = R(0 v α ) e + Y (19) P0 t t y 0 Z P0 e z Z 0 t t α t.. sěrník v naše případě pravotočivé soustavy přepočtený sěrník α t =400 α kde α t je naěřený sěrník a t e x e y a e z.. jsou souřadnice vstupní pupily v systéu teodolitu. Matice rotace je v toto případě složená z dvou atic rotací tvaru: cosαt sinαt 0 cosvt 0 sin vt R(0 vt αt)= Rz( αt) Ry( vt) = sin t cos t 0 0 1 0 α α. (20) 0 0 1 sinvt 0 cos v t 4.2.2 Vstupní a výstupní veličiny Vstupní: A B C D - koeficienty roviny X 0 - souřadnice stanoviska α z - vypočtené sěry z X PO získané z digitálních sníků e x e y a e z - souřadnice vstupní pupily X PO v souřadnicové soustavě teodolitu α t v t - natočení teodolitu v okažiku sníkování. Výstupní: X PR - souřadnice průsečíku. 8

4.3 Transforace do soustavy objektu Pro každý sníek je potřeba vypočtené souřadnice v hlavní soustavě převést do rotující soustavy která je vzhlede k objektu pevná. To se provede transforací. Pro souřadnice každého sníku je nutné ít k dispozici buď středový úhel nebo čas rotace a úhlovou rychlost ω. Poto je ožné provést otočení o tento úhel kole osy z. Teoreticky by ohla rotace probíhat i v obecné poloze točny. To však není žádoucí jelikož je nutná přesná znalost stočení podle jednotlivých os a tu není v obecné poloze snadné získat s dostatečnou přesností. Jednoduší je urovnání točny podle libely ve dvou na sebe kolých sěrech. Pro rozbor přesnosti je saozřejě uvažována plná 3D transforace. Transforace je provedena v souladu s [8] aticově tedy: kde X = T + R X PR T = X CR ' PR X CR.. souřadnice centra rotace a podrobně: XCR kde κ.. úhel rotace kole souřadnicové osy Z. Nyní je nutno ještě vyjádřit souřadnice X PR : (21) X CR cosκ sinκ 0 = Y CR R sinκ cosκ 0 = (22) Z CR 0 0 1 ' T X = R ( X X ) PR PR CR R 1 = R 4.3.1 Zaěření a výpočet centra rotace X CR V předchozí kapitole vystupuje centru rotace dále značené jen CR. Jak již název napovídá jedná se o rotační centru točny ale také se jedná o počátek souřadnicové soustavy odelu. Jeho přesná znalost je tedy veli důležitá. Nejprve bylo zvažováno jeho příé zaěření teodolite. Při praktické zkoušce se tato etoda ukázala nevhodná jelikož CR točny je realizováno veli hrubě. Dále ani není jisté že toto zdánlivé CR odpovídá skutečnéu CR. Proto byla navržena etoda zaěření CR poocí několika bodů po obvodu kružnice opsaného tělese na točně. Tato etoda odstraňuje oba předchozí probléy. Vhodnou volbou tělesa (např. převrácený připínáček) byl odstraněn problé hrubého cíle a princip etody zároveň zaručuje zaěření skutečného CR. Další výhodou této etody je ožnost určení CR poocí nadbytečného počtu ěření a tedy kontroly a taky kvalitního odhadu přesnosti. Z důvodu zjednodušení je uvažována přesná vodorovnost točny. Tato podínka sice není splněna úplně ale vzhlede k urovnání točny přesnou trubicovou libelou na cca 00020 gon je splněna dostatečně (rozěr točny cca 100 v průěru dělá při 20 cc zhruba 0003 odchylku v souřadnici Z). T. (23) 9

4.3.1.1 Výpočty Z důvodů výše uvedených je výpočet proveden nezávisle pro souřadnice (X CR a Y CR ) a nezávisle pro souřadnice Z CR. Výpočet všech tří souřadnic CR vychází z 3D souřadnic bodů. Ty je nejprve nutné vypočíst dle vztahů: kde x= X + l sinz cosα 0 y = Y + l sinz sinα (24) 0 z = Z + l cos z X 0 Y 0 Z 0.. jsou souřadnice počátku ěření délek a úhlů l.. ěřená šiká délka z.. ěřený zenitový úhel α.. ěřený sěrník. 4.3.1.1.1 Výpočet souřadnic X CR a Y CR 0 Výpočet souřadnic CR se převádí na určení středu kružnice zaěřené nadbytečný počte bodů. Středová rovnice kružnice v rovině je dána vztahe: ( x X ) + ( y Y ) = r. (25) 2 2 2 CR CR V této rovnici vystupují tři neznáé X CR Y CR a r. K jejich určení je tedy nutné zaěření tří bodů. Z důvodů kontroly a zpřesnění je zaěřeno více bodů a hodnoty neznáých jsou určeny z vyrovnání. Byla zvolena nejobecnější etoda vyrovnání ěření podínkových s neznáýi. Tato etoda je podrobně popsána v [1] a její aplikace je uvedena také v [6]. Rovnice (25) je převedena na tvar podínky: 2 2 2 ( x XCR) ( y YCR ) r 0 + =. (26) Výpočet přibližných hodnot nutných pro vyrovnání lze provést sybolický řešení rovnice (26) pro tři body: X 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 x1 x2 + y1 y2 ( y1 y2) 0 y1 y3 CR = x1 x3 2( x1 x2) 2( y1 y2) y1 y3 Y x x 2 X ( x x ) + y y 2 2 2 2 0 1 2 CR 1 2 1 2 CR = 2( y1 y2) r = ( x X ) + ( y Y ). 0 2 2 1 CR 1 CR x x + y y Nebo nuericky v Mathcadu např. funkce Find(). Další výpočet probíhá již podle etody vyrovnání iteračně dokud desetinásobek absolutní hodnoty přírůstku neznáé není enší než střední chyba příslušné neznáé s platností pro všechny neznáé. 4.3.1.1.2 Výpočet souřadnice Z CR Výpočet je proveden vážený průěre dle [1]. Maticově lze řešení forulovat takto: e = e T Z CR T (27) P Z (28) P e 10

kde e.. jedničkový vektor P.. atice vah Z.. vektor souřadnice z. 4.3.2 Vstupní a výstupní veličiny Vstupní: κ - úhel rotace sytéu objektu (probíhá interval 0;2R)) X PR - souřadnice průsečíku [α z l] i XCR - ěření k určení X CR. Výstupní: X PR - souřadnice bodu na objektu v soustavě objektu. 4.4 Vstupní a výstupní veličiny všech výpočtů Vstupní: X 0 - souřadnice stanoviska [α z l] i ABCD - atice ěření na podrobné body α z - sěry získané ze sníku z bodu X PO e x e y a e x - souřadnice vstupní pupily X PO v t α t - natočení teodolitu v okažiku sníkování [α z l] i XCR - ěření k určení X CR κ - úhel rotace sytéu objektu (probíhá interval 0;2R)). Výstupní: X PR - souřadnice bodu na objektu v soustavě objektu. 5 Rozbor přesnosti LaORS Rozbor byl pro přehlednost rozdělen do tří saostatných částí které odpovídají příslušný podkapitolá v kapitole výpočtů č. 4. První část ziňuje rozbor přesnosti vyrovnání koeficientů roviny laseru (kapitola 4.1) druhá část se věnuje rozboru přesnosti průsečíku této roviny se záěrnou příkou (výpočet podle kapitoly 4.2) a třetí část se věnuje rozboru přesnosti pro transforaci objektu do jeho souřadné soustavy (výpočet podle kapitoly 4.3). V závěru každé podkapitoly jsou přehledně uvedeny všechny vstupující charakteristiky přesnosti. 5.1 Rozbor přesnosti určení koeficientů roviny Jak již bylo zíněno v odstavci 4.1 je tato probleatika podrobně popsána v [6]. Přesto zde budou pro přehlednost uvedeny související charakteristiky přesnosti. 5.1.1 Vstupní a výstupní charakteristiky přesnosti Vstupní: α z l - střední chyby ěření bodů roviny pro vytvoření M 2 er. Výstupní: S ABCD - kovarianční atice vyrovnaných koeficientů laserové roviny. 11

5.2 Rozbor přesnosti určení průsečíku 5.2.1 Sestavení vztahů pro rozbor a přenosové atice 5.2.1.1 Sestavení vztahů V kapitole 4.2 je uveden výpočet souřadnic průsečíku roviny a příky. Pro ožnost rozboru přesnosti je ta také uveden výpočet souřadnic vstupní pupily X P0. Pokud ve vztahu (18) dosadíe za všechny neznáé kroě X P0 vztahy (15) a (17) získáe tyto rovnice: A X + BY + C Z + D XPR = XP0 z A sinz cosα + B sinz sinα + C cos z A X + BY + C Z + D YPR = YP0 z A sinz cosα + B sinz sinα + C cos z A X + BY + C Z + D P0 P0 P0 sin cos α P0 P0 P0 sin sin α Z P0 P0 P0 PR = Z P0 cos z. A sin z cosα + B sin z sinα + C cos z Pokud také vyjádříe výpočet X P0 podle vztahů (19) a (20) získáe rovnice popisující výpočet na základě vstupních veličin e x e y e z v t a α t. Zdálo by se že rozbor přesnosti výpočtu průsečíku lze provádět odděleně stejně jako je proveden odděleně saotný výpočet. Hlubší studie literatury [7] byla odhalena závislost těchto vztahů a tedy nutnost provádět ZHV vcelku (viz. kap. 3.1). V [7] je totiž výsledný sěr zaěřený kaerou definován takto: x T Hz = ϕ+ o+ arctan + dh + odh f y T Z = z+ arctan + dv + odv. 2 f x + T Stručně lze proěnné v těchto vztazích popsat: ϕ.. sěr odečtený na teodolitu o.. orientační posun x T y T.. sníkové souřadnice opravené o redukci na počátek a náklon dh dv.. oprava rozdílného sěru záěrné příky teodolitu a kaery odh odv.. korekční členy opravující vady ze zobrazení f.. konstanta koory. Tyto vztahy přepíšee do forulace používané v toto dokuentu a zjednodušíe do pro nás potřebné fory: α = α + α t z = v + 100 + z. t V těchto vztazích jse z kaery ěřený sěr forálně rozdělili na sěr ěřený teodolite (α t a v t ) který vystupuje také v rovnicích výpočtu X P0 a na jeho korekce (α k a z k ). Tyto vztahy je již ožné dosadit do rovnic (29) společně s přesný vyjádření výpočtu X P0. k k (29) (30) (31) 12

Tí získáe veli rozsáhlé výrazy pro výpočet X PR na které již ůžee aplikovat ZHV. Z důvodu tohoto velkého rozsahu tyto rovnice zde nejsou uvedeny ale podle výše uvedeného textu je ožné je sestavit. Při zavedení rovnic (31) do výpočtu je potřeba ujasnit že tyto vztahy jsou jen forální úpravou pro rozbory přesnosti a k výpočtu průsečíku nejsou používány. Pro potřebu rozboru lze hodnotu α k a z k získat přío z těchto vztahů a jejich střední chyby rozepsání těchto vztahů podle zákona hroadění středních chyb (v [7] je totiž uvedena střední chyba α a z - výsledná přesnost kaerou získaných sěrů bez vyloučení vlivu určení souřadnic stanoviska ale ne α k a z k ). Pokud vyjdee ze vztahů (31) lze αk a zk zapsat: = 2 2 2 αk α αt = 2 2 2 zk z vt Korelace ezi α a z je v [7] zanedbána zřejě pro alou velikost a přílišnou náročnost výpočtu a proto nebude ani zde uvažována. 5.2.1.2 Sestavení přenosové atice Na vztahy vytvořené podle předešlého odstavce (5.2.1.1) je již ožné aplikovat ZHV. Proto je nejdříve nutné sestavit přenosovou atici H P. Ta vzniká derivací těchto vztahů postupně podle jednotlivých vstupních veličin a vyčíslení. V toto případě jsou výchozí vztahy i derivace veli rozsáhlé a proto není ožné jednotlivé derivace obecně vyjadřovat. Při výpočtu v prograu Mathcad tyto derivace také nebyly vyjádřeny ale pouze vyčísleny. Všechny vztahy byly derivovány podle proěnných: A B C D α k z k e x e y e z α t a v t. 5.2.2 Sestavení kovarianční atice Dále je pro ZHV nutné sestavit kovarianční atici vstupních veličin. Tu nazvee například S VP (VP - vstupní průsečíku) a bude složena se středních chyb nebo kovariančních atic jednotlivých vstupních veličin (veličiny podle kapitoly 4.2.2). Je složena diagonálně v toto případě z atic S ABCD (ta je výsledke z předcházejícího vyrovnání) kvadrátů středních chyb korekcí ěření sěrů ze sníků αk a zk kvadrátů středních chyb excentricity vstupní pupily ex ey a ez a kvadrátů středních chyb ěření sěrů teodolite αt a vt. 5.2.3 Aplikace ZHV Aplikací ZHV získáe kovarianční atici průsečíku takto:. (32) SPRUS = HP SVP H T P. (33) 5.2.4 Vstupní a výstupní charakteristiky přesnosti Vstupní: S ABCD αk zk ex ey ez αt vt. Výstupní: S PRUS. 5.3 Rozbor přesnosti rotace V kapitole 4.3 je uveden postup výpočtu transforace (výsledke je X PR ) a centra rotace značeného CR (X CR ). V toto odstavci je také vhodné rozdělit řešení na tyto dvě části 13

protože v toto případě je ůžee řešit saostatně. První je nutné řešit výpočet CR protože kovarianční atice S CR je vstupní hodnotou pro výpočet rozboru chyb transforace. 5.3.1 Aplikace ZHV při výpočtu CR V toto odstavci je řešena zajíavá probleatika skloubení rozborů přesnosti několika různých druhů vyrovnání. V toto případě se jedná o vyrovnání podínkových ěření s neznáýi a příého vyrovnání poocí váženého průěru. Problée je právě korelace vstupních veličin těchto dvou nezávislých výpočtů. Tato korelace sice neovlivní výsledky vyrovnání ale ůže ovlivnit korelační vazbu charakteristik přesnosti. Přesněji řečeno neovlivní velikost variancí ale výskyt a velikost kovariancí. To á pro výslednou elipsu chyb X CR viditelný dopad v poloosách v řádu desítek procent. Proto je nutné tuto korelaci uvažovat. V úvodu odstavce 4.3.1.1 jsou uvedeny vztahy pro výpočet souřadnic které budou v dalších výpočtech vystupovat jako ěření. Aplikací ZHV (viz. 3.1) na tyto vztahy získáe kovarianční atici souřadnic která je vstupní veličinou obou vyrovnání. Pro jednodušší práci jsou rovnice seřazeny tak aby výsledná kovarianční atice souřadnic S ercr obsahovala nejprve variance všech souřadnic x a y a poto až souřadnic z. 5.3.1.1 Aplikace ZHV při výpočtu X CR a Y CR Jak bylo uvedeno v 4.3.1.1.1 jsou souřadnice X CR a Y CR společně s poloěre r řešeny poocí vyrovnání ěření podínkových s neznáýa. Tato probleatika je podrobně řešena v [1] odkud bylo také čerpáno a její aplikace v návaznosti na tuto probleatiku je řešena také v [6]. Podle těchto publikací získáe atici váhových koeficientů vyrovnaných neznáých takto: Q = Q = (B (A Q A) B). (34) T T 1 1 XYCR hh erxycr V naše případě je atici váhových koeficientů vstupujících veličin Q erxycr získána jako subatice z výše definované Q ercr pro výpočet x a y. Také z výsledné atice Q XYCR je nutné vyjout subatici souřadnic X CR a Y CR jelikož střední chyba poloěru r není potřebná. Z hlediska úvah v [6] byla k výpočtu použita 0 (apriorní) z důvodu zaěření relativně alého počtu bodů (pět). 5.3.1.2 Aplikace ZHV při výpočtu Z CR Střední chyba Z CR se vypočte podle vztahu: = Z CR e T 1 P e z (35) kde e.. jedničkový vektor P z.. váhová atice souřadnic z i. P z = S a S z.. souřadnicí z i příslušná subatice kovarianční atice S ercr. -1 z 5.3.1.3 Aplikace ZHV při společné rozboru pro X CR Y CR a Z CR V úvodu odstavce 5.3.1 byla zíněna probleatika zjištění kovariancí ezi nezávisle vyrovnanýi veličinai (X CR a Y CR ) a Z CR. Výše byl uveden postup bez uvážení této korelace. 14

Pro teoreticky správný postup je nutné najít jiné vyjádření výpočtu kovarianční atice výsledků u obou vyrovnání. Je nutné najít vyjádření které bude přesně odpovídat ZHV. Proto usíe odvodit saostatně přenosovou atici H těchto vyrovnání a po nezbytných úpravách je spojit. 5.3.1.3.1 Přenosová atice pro X CR a Y CR U vyrovnání ěření podínkových s neznáýi je v literatuře [1] pro výpočet kovarianční atice uveden vztah (34). Tento je forou v nesouladu se zákone přenášení vah (3). Pokud vyjdee ze vztahu pro výpočet přírůstků hledaných neznáých: kde Q hk.. je Uzávěr u ůžee rozepsat jako: kde dh= Qhk u (36) (B ( A Q A) B) B ( A Q A). T T 1 1 T T 1 T T T T T u= f( l ) = f( l + dl ) = f( l ) + A dl (37) 0 0 l 0.. přibližná hodnota vstupních veličin a dl.. eleentární přírůstek vstupních veličin. Pokud vztah (36) a (37) roznásobíe a vynecháe členy nezávislé na vstupních veličinách získáe lineární vztah který představuje závislost eleentární zěny vstupních veličin na výsledky vyrovnání neboli hledanou přenosovou atici: dh = (B ( A Q A) B) B ( A Q A) A dl T T 1 1 T T 1 T H = (B A Q A) B) B A Q A) A Pro naše značení přepíšee tento vztah takto: T T 1 1 T T 1 T ( (. T T 1 1 T T 1 T XYCR1 erxycr erxycr (38) H = (B ( A Q A) B) B ( A Q A) A. (39) Ještě upravíe H XYCR1 na H XYCR přidání 1/3 nulových sloupců za stávající atici jako derivací podle z i aby tato přenosová atice byla v souladu s kovarianční aticí S ercr. 5.3.1.3.2 Přenosová atice pro Z CR Podle [1] výpočet střední chyby průěru dán vzorce (35). Pokud se ale podíváe na aticovou forulaci výpočtu (vzorec (28)) zjistíe že tento přío přestavuje lineární funkci přenosu eleentárních zěn vstupních veličin na výsledky. Poto tedy: T ( ) 1 H = e P e e P (40) T ZCR1 z z Nyní upravíe H ZCR1 na H ZCR přidání 2/3 nulových sloupců před stávající atici jako derivací podle x i a y i aby tato přenosová atice byla v souladu s kovarianční aticí S ercr. 5.3.1.3.3 Sestavení kovarianční atice Jako kovarianční atice v takto upravené ZHV vystupuje přío atice S ercr. 5.3.1.3.4 Aplikace ZHV Nejprve je nutné složit společnou přenosovou atici H XYZCR z atic H XYCR a H ZCR. To se provede jednoduše sloučení do jediné atice nad sebe sybolicky: 15

H H XYCR XYZCR = H ZCR Poto je již ožné provést výpočet S XYRZ podle ZHV:. (41) SXYRZCR = HXYZCR SerCR H T XYZCR. (42) Nyní je ještě nutné vyjádřit pouze subatici pro X CR Y CR a Z CR protože poloěr r se v dalších výpočtech nepoužívá. Tu nazvee například S CR. 5.3.1.4 Závěr Pro všechny další rozbory přesnosti ve výpočtech s X CR bude použita kovarianční atice S XYZCR vypočtená podle odstavce 5.3.1.3. 5.3.2 Sestavení vztahů pro rozbor a tvorba přenosové atice transforace V odstavci 4.3 je uveden vztah pro výpočet X PR v aticové podobě. V toto vztahu (23) je uvažována rotace pouze kole osy z. Je zde také vysvětleno že v ráci plánované přesnosti urovnání točny není potřeba provádět rotaci kole ostatních souřadnicových os. Jiná situace nastává u rozboru přesnosti. Zde tato přesnost urovnání točny vystupuje právě jako další veličina výpočtu a proto je nezbytné uvažovat plnou atici rotace. V aticové zápisu zůstane výpočetní vztah stejný pouze dojde k nahrazení atice R aticí R Z X Y. Tuto atici rotace ůžee rozepsat: R T X'Y'Z' R = R ( κ) R ( ϕ) R ( ω) X'Y'Z' Z' Y' X' cosκ sinκ 0 cosϕ 0 sinϕ 1 0 0 RX'Y'Z' = sinκ cosκ 0 0 1 0 0 cosω sin ω 0 0 1 sinϕ 0 cosϕ0 sinω cosω cosκ cosϕ sinκ cosϕ sinϕ = sinκ cosω+ cosκ sinϕ sinω cosκ cosω sinκ sinϕ sinω cosϕ sin ω +. sinκ sinω+ cosκ sinϕ cosω cosκ sinω+ sinκ sinϕ cosω cosϕ cosω Tuto atici nyní vyjádříe ve výsledné vztahu a ten roznásobíe: (43) ' T X = R ( X X ). (44) PR X'Y'Z' PR CR K vytvoření atice H R je nutné ještě tyto rovnice derivovat podle jednotlivých vstupních veličin: X PR Y PR Z PR ω φ κ X CR Y CR Z CR. 5.3.3 Sestavení kovarianční atice Kovarianční atice vstupních veličin S VR (vstupní rotace) usí odpovídat složení H R. Proto bude složena diagonálně z následujících charakteristik přesností: S PRUS ω 2 φ 2 κ 2 S CR. 5.3.4 Aplikace ZHV Aplikací ZHV získáe kovarianční atici výsledného bodu objektu takto: SO = HR SVR H T R. (45) 16

5.3.5 Vstupní a výstupní charakteristiky přesnosti Vstupní: S PRUS ω φ κ S CR. Výstupní: S O. 5.4 Vstupní a výstupní charakteristiky přesnosti všech rozborů Vstupní: α z l - střední chyby ěření bodů roviny pro vytvoření M 2 er Výstupní: S O. αk zk - střední chyby korekčních členů u sěrů získaných z kaery ex ey ez - střední chyby excentricity vstupní pupily kaery αt vt - střední chyby odečtení sěru teodolite ω - střední chyba v určení úhlu rotace souřadnicové soustavy objektu φ κ - střední chyba v urovnání točny. souhrnně: α z l αk zk ex ey ez αt vt ω φ κ. 6 Mateatický odel LaORS Výpočetní odel á proti reálnéu ěření výhody i nevýhody. Nevýhodou je například pouze přibližnost reálnéu řešení neožnost kontroly praktické proveditelnosti navrhovaných postupů (ty jsou v praxi při pokusných ěření často odifikovány) nebo neožnost posouzení dosažené přesnosti postupu porovnání aposteriorních a apriorních středních chyb. Výhodou je naopak ožnost provádět odhady přesnosti výsledků bez provedení konkrétních ěření a snadná odifikovatelnost navrhované konfigurace. Níže popsané odely přesnosti ohou tedy být použity pro posouzení přesnosti navrhovaného LaORS v první zaýšlené konfiguraci (dané např. hardwarový vybavení instinktivní zvolení konfigurace atp.) vyhledání optiální konfigurace (s největší přesností výsledků) a zhodnocení kvality rozboru jejich porovnání s provedený ěření. V závěru kapitoly jsou souhrnně uvedeny všechny vstupující veličiny a všechny vstupující charakteristiky přesnosti odelu. Tyto lze v použité prograu libovolně ěnit. Kvalita výsledného odelu je dána jeho podrobností a přehledností. Bohužel tyto dvě charakteristiky jsou protichůdné. Navržený odel byl koncipován spíše jako více podrobný se snahou o účelný popis všech charakteristik které ohou ovlivnit výslednou přesnost. 6.1 Model zaěření laserové roviny Tato část je veli specifická protože se nejedná o jednoduchý výpočet ale o vyrovnání. Touto probléu je věnována část literatury [6] kde je posouzena ožnost využití jednotkové chyby apriorní a aposteriorní. 6.1.1 Výpočet Výpočet probíhá podle [6]. K výpočtu je nutné nejdříve nahradit ěření vstupních veličin jejich výpočte. 17

6.1.1.1 Vstupní veličiny a jejich nahrazení Pro odel jsou důležité zejéna vstupní veličiny. Ty podle 4.1.1 jsou: [α z l] i ABCD - atice ěření na podrobné body X 0 - souřadnice stanoviska. V odelu usíe tato ěření nahradit. V případě X 0 je volba libovolná. V případě ěření na podrobné body nejprve zvolíe vzdálenost na CR s 0CR. Dále zvolíe sěrník z X 0 na X CR α 0CR. Zenitový úhel z 0CR je pro jednoduchost volen 100 gonů. Zvolíe sěrník laserové roviny u které předpokládáe svislost α R. Dále zvolíe počet řádků a vzdálenost bodů v řádku n radek d radek a počet sloupců a vzdálenost bodů ve sloupci n sloupec d sloupec. V odelu jsou podrobné body rozloženy pravidelně kole bodu X CR a současně leží v rovině laseru definované sěrníke. V odelu je nutné dopočíst tyto veličiny X CR a [α z l] i ABCD. X CR se vypočte podle vztahů (24). Pro výpočet [α z l] i ABCD byl vytvořen algoritus který vypočte souřadnice bodů pravidelně rozložené kole bodu X CR a ležící v rovině definované lasere. Z těchto souřadnic jsou poto z rovnic (24) vyjádřeny virtuální ěření takto: d = ( x X ) + ( y Y ) + ( z Z ) 2 2 2 i i 0 i 0 i 0 z Z zi = di α i i 0 arccos y Y = xi X0 i 0 arctan. (46) 6.1.1.2 Vstupní veličiny odelu Vstupní veličiny odelu výpočtu jsou: X 0 s 0CR α 0CR α R n radek d radek n sloupec d sloupec. 6.1.2 Rozbor přesnosti Tento probíhá opět beze zěny tak jak je popsán v [6]. Vstupní charakteristiky přesnosti odpovídají odstavci 5.1.1. 6.2 Model výpočtu průsečíku 6.2.1 Výpočet Výpočet průsečíku odpovídá odstavci 4.2. Vstupní veličiny byly nahrazeny přibližnýi hodnotai z odelu. 6.2.1.1 Vstupní veličiny a jejich nahrazení Původní vstupní veličiny jsou: A B C D - koeficienty roviny X 0 - souřadnice stanoviska α z - vypočtené sěry z X PO e x e y a e z - souřadnice vstupní pupily X PO α t v t - natočení teodolitu v okažiku sníkování. 18

A B C D a X 0 jsou jednoznačně dány z předcházejících výpočtů. Zenitový úhel z je opět volen 100 gonů pro zjednodušení odelu. První přepočet nastává u hodnoty α. Aby zůstala zachovaná geoetrie LaORS je α dopočtena jako o něco enší sěrník než α 0CR takto: V naší situaci volíe odhadovanou velikost poloěru ěřeného objektu roz. Z tohoto rozěru a se znalostí s α 0CR α R lze postupnou aplikací kosinové a sinové věty vypočítat odpovídající zěnu sěrníku α 0CR kterou nazvee delta. α = α 0CR delta. (47) Souřadnice vstupní pupily e x e y a e z jsou dány podle [7]. Natočení teodolitu v okažiku sníkování je voleno následovně: t α t = α 0CR 0CR v = z 100. (48) 6.2.1.2 Vstupní veličiny odelu Nové vstupní veličiny odelu výpočtu jsou: z=100gon roz e x e y a e z. 6.2.2 Rozbor přesnosti Ten probíhá přesně v souladu s odstavce 5.2. 6.3 Model výpočtu transforace 6.3.1 Výpočet Výpočet průsečíku odpovídá odstavci 4.3. Vstupní veličiny byly nahrazeny přibližnýi hodnotai z odelu. 6.3.1.1 Vstupní veličiny a jejich nahrazení Původní vstupní veličiny jsou: κ - úhel rotace sytéu objektu (probíhá interval 0;2R)) X PR - souřadnice průsečíku [α z l] i XCR - ěření k určení X CR. Souřadnice průsečíku jsou dány z předcházejících výpočtů. Úhel rotace κ je ožno libovolně volit. Tato volba neovlivní velikost výsledné charakteristiky přesnosti. Centru rotace X CR je již definováno v předcházejících odstavcích. 6.3.1.2 Vstupní veličiny odelu Nové vstupní veličiny odelu výpočtu jsou: κ = 0 gon. 6.3.2 Rozbor přesnosti Ten probíhá přesně v souladu s odstavce 5.3. 19

Jediný rozdíle je určení kovarianční atice CR. Tato je výsledke vyrovnání a její výpočet by opět vyžadoval složité odelování konfigurace bodů jako v případě zaěření roviny. V toto případě ale není předpoklad pro velkou variabilitu této konfigurace a tedy ani ožnost výrazně ěnit výslednou (přesnost) kovarianční atici. Proto byla tato kovarianční atice vypočtena pouze jednou pro případ pěti bodů na základě ěření a byla použita pro následující odhady přesnosti. 6.4 Sezna vstupních veličin odelu Zde je uveden sezna veličin vstupujících do odelu. U veličin u kterých je rovnou přiřazena určitá pro odel definující hodnota (tuto hodnotu nelze ěnit) je tato hodnota uvedena. Vstupní: X 0 s 0CR α 0CR α R n radek d radek n sloupec d sloupec roz e x e y e z (velikost podle [7]) κ z. Vstupní pevně definované: z 0CR = 100 gon. 6.5 Sezna vstupních charakteristik přesnosti odelu Ten odpovídá seznau v odstavci 5.4. Jediný rozdíle je rovnou převzatá kovarianční atice souřadnic X CR nazvaná S CR která tedy nebude určována z vyrovnání zaěření nadbytečného počtu naodelovaných bodů [α z l] i XCR (viz. 4.3.1) a příslušných rozborů přesnosti ale bude přío převzata z jednoho konkrétního vyrovnání. Vstupní charakteristiky přesnosti odelu tedy jsou: α z l αk zk ex ey ez αt vt ω φ κ S CR. Podrobnější popis jednotlivých charakteristik viz. 5.4. 6.6 Sezna sledovaných výstupních charakteristik přesnosti Základní přínos ateatického odelu LaORS jsou odhady přesnosti výstupních veličin. To jsou v naše případě souřadnice. Pro snazší odhalení jednotlivých vlivů budou uváděny charakteristiky přesnosti koeficientů rovnice roviny A B C a D X PR a X PR. S přihlédnutí k odstavci 3.2 budou použity následující charakteristiky přesnosti. Pro koeficienty rovnice roviny A B C a D bude uvedeno: S ABCD A B C D. Pro X PR : S PRUS XPRUS YPRUS ZPRUS a b c R (atice vlastních vektorů) k97pr. Pro X PR : S O XO YO ZO a b c R k97o. 7 Příklad V této kapitole uvedee výsledky výpočtu odelu a jeho charakteristik přesnosti pro konkrétní příklad. Výpočet byl proveden v software Mathcad 2001i Professional. Zde vytvořený progra uožňuje flexibilní použití. Výpočet byl proveden přesně v souladu s odstavce 4 Výpočet prostorových souřadnic objektu a literaturou [6]. Rozbor přesnosti byl proveden podle odstavce 5 Rozbor přesnosti LaORS a literatury [6]. Vstupní veličiny byly odelovány způsobe uvedený v odstavci 6 Mateatický odel LaORS a odpovídají ta uvedenéu seznau vstupních veličin odelu 6.4. 20

7.1 Vstupní hodnoty odelu Sezna vstupních hodnoto podle 6.4: Vstupní: X 0 s 0CR α 0CR α R n radek d radek n sloupec d sloupec roz e x e y e z (velikost podle [7]) κ z. Vstupní pevně definované: z 0CR = 100 gon. Veličina Hodnota Veličina Hodnota X 0 10.000 d sloupec 0.100 Y 0 10.000 roz 0.100 Z 0 10.000 z 0CR 100.0000 gon s 0CR 2.000 z 100.0000 gon α 0CR 318.0000 gon e x 0.0841 α R 355.5000 gon e y -0.0006 n radek 6 e z 0.0863 d radek 0.250 κ 0.0000 gon n sloupec 5 tab. 2 - Sezna vstupních hodnot odelu 7.2 Hodnoty vstupních charakteristiky přesnosti odelu Sezna vstupních charakteristik odelu odpovídá odstavci 6.5. Jejich přirazení v tabulce: Veličina Hodnota Veličina Hodnota α 0.0030 gon vt 0.0010 gon z 0.0030 gon ω 0.0800 gon l 0.0006 φ 0.0020 gon αk 0.0210 gon κ 0.0020 gon zk 0.0200 gon S CR ex 0.0007 Z vyrovnání pro orientaci je uvedeno: ey 0.0001 XCR 0.00024 ez 0.0001 YCR 0.00027 αt 0.0010 gon ZCR 0.00008 tab. 3 - Sezna hodnot vstupních charakteristik přesnosti 7.3 Hodnoty výstupních charakteristik přesnosti Budou uvedeny hodnoty výstupních charakteristik přesnosti podle odstavce 6.6. 21

7.3.1 Koeficienty rovnice roviny Kovarianční atice S ABCD á tvar: S ABCD 1.901461E-8-1.598345E-8 0.000000-7.376191E-8-1.598345E-8 1.343549E-8 0.000000 6.200337E-8 =. 0.000000 0.000000 1.311383E-7-1.311383E-6-7.376191E-8 6.200337E-8-1.311383E-6 1.340382E-5 Střední chyby jednotlivých koeficientů jsou: 7.3.2 Souřadnice průsečíku X PR Kovarianční atice S PRUS á tvar: S PRUS A B C D = 0.000138 = 0.000116 = 0.000362 = 0.003661. 0.0000006611-0.0000005591-0.0000000000 = -0.0000005591 0.0000004829 0.0000000000. -0.0000000000 0.0000000000 0.0000003437 Střední chyby v jednotlivých souřadnicích extréní chyby (a b c) a k97pr v tabulce: XPRUS 0.00081 a 0.00107 k97 0.00236 YPRUS 0.00069 b 0.00008 ZPRUS 0.00059 c 0.00059 Matice rotace vlastních vektorů R á tvar: R PRUS 0.761 0.649 0.000 = -0.649 0.761-0.000. -0.000 0.000 1.000 7.3.3 Souřadnice výsledného bodu objektu X PR Kovarianční atice S O á tvar: S O 0.0000007267-0.0000005619 0.0000000053 = -0.0000005619 0.0000005624-0.0000000182. 0.0000000053-0.0000000182 0.0000003506 Střední chyby v jednotlivých souřadnicích extréní chyby (a b c) a k97o v tabulce: 22

XPRUS 0.00085 a 0.00028 k97o 0.00245 YPRUS 0.00075 b 0.00059 ZPRUS 0.00059 c 0.00110 Matice rotace vlastních vektorů R á tvar: 7.4 Závěr R O 0.653 0.039 0.756 = 0.756 0.016-0.654. 0.038-0.999 0.018 Ukazuje se že rozhodující prvke ovlivňující výslednou přesnost bodu objektu je průsečík optické příky z kaery a laserové roviny. Následná transforace ovlivnila výslednou přesnost pouze nepatrně. Při určení průsečíku vystupuje ve vztazích optická příka a rovina laseru. Jednoduchý rozbore lze zjistit že střední chyba ve sěru určené optickou příkou je přibližně 10x větší než ve sěru určené laserovou rovinou. Proto je potřeba uvážit použití jiné kaery nebo výrazná zěna prostorové konfigurace. 8 Optializace Optializace je proces hledání nejlepšího řešení probléu za přede určených podínek. V naše případě je nejlepší řešení to které á největší přesnost a tedy nejenší velikost charakteristiky přesnosti k97o výsledného bodu ěřeného objektu. Dané podínky ůžee v naše případě chápat jako dané hardwarové vybavení tedy zejéna použitá kaera teodolit točna atp. Vstupní veličinou optializace jsou právě charakteristiky přesnosti těchto přístrojů. Řešení v naše případě rozuíe určení prostorové konfigurace celého systéu. V toto odstavci nebude řešena celá probleatika optializace která je veli obsáhlá budou pouze načrtnuty ožnosti optializace na jedno konkrétní případě. Více by se ěl optializaci LaORS věnovat některý z dalších příspěvků. Nezbytnou součástí optializace je existence ateatického odelu probléu a vyřešená probleatika přenosu středních chyb což bylo hlavní téate tohoto příspěvku. 8.1 Optializace úhlu protnutí záěrné příky a laserové roviny Jední ze základních ěnitelných prvků prostorové konfigurace je tzv. úhel protnutí u p. Ten je v odelu definován jako rozdíl sěrníku roviny α R a sěrníku spojnice počátku ěření a CR α 0CR. Tedy: u = α α. (49) p R 0CR Úhel protnutí budee odifikovat například zěnou α R tak aby dosáhl požadovaných hodnot v intervalu (5;95) gonů. Ostatní hodnoty vstupních veličin odelu jsou shodné jako u příkladu v odstavci 7. Pro každou hodnotu u p bude proveden výpočet celého odelu a zapsána hodnota k97o. 23

u p [gon] k97pr [] k97o [] 5 0.01561 0.01562 10 0.00788 0.00791 20 0.00406 0.00411 30 0.00282 0.00290 40 0.00225 0.00234 50 0.00195 0.00205 60 0.00179 0.00189 70 0.00170 0.00179 80 0.00165 0.00175 90 0.00163 0.00173 95 0.00163 0.00173 tab. 4 - Optializace úhlu protnutí Uvedenou tabulku pro názornost zobrazíe v grafu: Chyba k97o v závislosti na úhlu protnutí 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8.2 Závěr graf 1 - Chyba k97o v závislosti na úhlu protnutí Je nutné si uvědoit že výše uvedená optializace je svou forou pouze ateatická. Nezohledňuje tedy všechny aspekty zúčastňující se daného probléu ale pouze iniální k97o. V naše případě například není při optializaci brán zřetel na se zvětšující se úhle protnutí zvětšující se íru zakrytí laserové stopy saotný předěte a taky na zhoršující se čitelnost stopy. Proto je nutné nejprve všechny výsledky ateatických optializací konfrontovat s ostatníi aspekty probléu. 24

Na základě výše uvedených výpočtů je pro LaORS navržen úhel protnutí v intervalu (2050) gonů v závislosti na požadované přesnosti výsledků a charakteru ěřeného objektu. 9 Závěr V kapitole 2 je stručně popsán vyvíjený systé LaORS. V další kapitole jsou popsány teoretické základy použité v rozborech. Je navržena a odvozena dále používaná vlastní charakteristika přesnosti prostorového bodu. V kapitole 4 je podrobně popsán celý výpočet prostorových souřadnic bodů na objektu včetně uvedení všech použitých ateatických vztahů. Jedná se o rozsáhlý výpočet do kterého několikrát vstupuje vyrovnání. Výpočet je pro větší přehlednost rozčleněn do tří částí. U každé z nich jsou vypsány všechny vstupní a výstupní veličiny. V následující kapitole je podle uvedených výpočetních vztahů proveden rozbor přesnosti celého systéu. Rozbor přesnosti je také rozčleněn na části podle předchozí kapitoly. V kapitole 6 je představen ateatický odel sytéu LaORS. Tento zjednodušující odel uožňuje popsat konfiguraci systéu s použití enšího počtu paraetrů než vystupuje v systéu ve skutečnosti. Pro tento odel byl vytvořen progra v Mathcadu který uožňuje jeho flexibilní použití. V další kapitole je vytvořený odel využit k výpočtu odhadu přesnosti systéu pro navrženou konfiguraci. U tohoto návrhu byla dosažena apriorní přesnost charakterizovaná chybou k97o velikosti 0.0023 pro předěty rozěru až 0.45 ve vodorovné sěru a 0.30 ve svislé sěru. V poslední kapitole 8 je nejprve představena probleatika optializace konfigurace systéu a poto je s vyžití ateatického odelu vypočten optiální úhel protnutí záěrné příky a laserové roviny. Tento úhel vychází v intervalu (2050) gonů v závislosti na požadované přesnosti výsledků a charakteru ěřeného objektu. Příspěvek vznikl v ráci řešení projektu GA ČR 103/02/0357. 25

Literatura: [1] Böh J. - Radouch V. - Hapacher M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Praha: GKP 1990 416 s. [2] Budinský B. - Charvát J.: Mateatika I. Praha: ČVUT 1994. 218 s. [3] Bronštejn L.N. - Seenďajev K.A.: Príručka ateatiky pre inžinierov a pre studujůcích. Bratislava: Slovenské vydavatelstvo technickej literatúry 1964. [4] Vobořilová P.: Matice přesnosti. WWW: http://slon.fsv.cvut.cz/~pavla/aticepre/aticepre.htl [18.1.2004]. [5] Bubeník F. - Pultar M. - Pultarová I.: Mateatické vzorce a etody. Praha: ČVUT 1997. [6] Koska B. - Štroner M. - Pospíšil J.: Algoritus určování rovnice obecné roviny pro laserové skenování včetně rozborů přesnosti. Stavební obzor. 2004 roč. 13 č. 2 s. 55-60. [7] Štroner M.: Návrh a kalibrace ěřicího systéu tvořeného teodolite a digitální kaerou. Stavební obzor. 2003 roč. 12 č. 2 s. 56-60. [8] Pavelka K.: Fotograetrie 10. 2. vyd. Praha: ČVUT 2002. 191 s. Anotace: V příspěvku je řešena probleatika odhadu přesnosti vyvíjeného laserového a optického rotačního skeneru (LaORS). Tento 3D skenovací systé je vyvíjen v ráci grantu GA ČR 103/02/0357. Nejprve je prezentován výpočetní postup určení souřadnic bodu na předětu. Na tento postup který je složen z několika vyrovnání a dalších výpočtů je aplikován rozbor přesnosti. Dále je vytvořen ateatický odel systéu který situaci zjednodušuje a uožňuje flexibilní aplikaci při zěně paraetrů systéu. Následuje nuerický příklad včetně rozborů přesnosti v toto odelu který prezentuje první odhady přesnosti LaORS. V poslední části je navržena optializace jednoho z hlavních paraetrů systéu. 26