Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31
Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 2/ 31
Ekvivlence utomtů Definice OkonečnýchutomtechA 1,A 2 řekneme,žejsouekvivlentní,jestliže L(A 1 )=L(A 2 ). Existuje nějký vhodný lgoritmus zjišťující, jestli jsou dv utomty ekvivlentní? Můžeme zjistit, jestli k dnému utomtu neexistuje nějký ekvivlentní menší(s menším počtem stvů)? Když o nějkém utomtu víme, že menší ekvivlentní už neexistuje, může existovt jiný stejně velký ekvivlentní utomt? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 3/ 31
Nedosžitelné stvy utomtu 1 2 3 4 5 6, AutomtpřijímájzykL={w, woshujepodslovo} Pro žádnou posloupnost vstupních symolů se utomt nedostne do stvů3,4,neo5 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 4/ 31
Nedosžitelné stvy utomtu 1 2 6, AutomtpřijímájzykL={w, woshujepodslovo} Pro žádnou posloupnost vstupních symolů se utomt nedostne do stvů3,4,neo5 Pokud tyto stvy odstrníme, pořád utomt přijímá stejný jzyk L={w, woshujepodslovo} M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 4/ 31
Nedosžitelné stvy utomtu Definice Stv q deterministického konečného utomtu A je dosžitelný slovem w,pokudsevýpočet Apopřečteníceléhoslovwzstvívestvuq. Definice Stv q deterministického konečného utomtu A je dosžitelný pokud existuje nějké slovo, kterým je stv dosžitelný. V opčném přípdě stv nzýváme nedosžitelný. Do nedosžitelných stvů nevede v grfu utomtu žádná orientovná cest z počátečního stvu Nedosžitelné stvy můžeme z utomtu odstrnit(spolu se všemi přechody vedoucími z nich). Jzyk přijímný utomtem se nezmění. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 5/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5, 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8,,, A 1 1 5 2 2 3 7 3 4 7 4 4 8 5 2 7 6 6 6 7 6 4 8 8 8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 6/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5, 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8,,, A 2 1 2 5 2 5 3 3 4 7 4 4 4 5 6 3 6 7 3 7 7 8 8 8 8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 6/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5, 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8,,, A 2 1 2 5 2 5 3 3 4 7 4 4 4 5 6 3 6 7 3 7 7 8 8 8 8 Jk poznáme, že jsou utomty ekvivlentní, když se liší přechodová funkce? Automtynorázkumůžučísly1 8pojmenovt8!způsoy Chtěli ychom jednoznčně vyrt jedno z možných pojmenování M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 6/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5, 6 7 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 2, 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 2, 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 2, 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 3 4 5 6 7 8,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,,,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 3,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 4 3,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 4 3 5,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 4 6 3 5,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 4 6 3 5 7,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8,, 1 2 4 6 3 5 7 8,, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8 1 2 4 6 3 5 7 8,,, 1 2 3 2 3 4 3 5 4 4 6 7 5 7 4 6 6 6 7 7 8 8 8 8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu 1 2, 3 6 1 2 4 6 3 5 7 8 5 4 7 8,,, 1 2 3 2 3 4 3 5 4 4 6 7 5 7 4 6 6 6 7 7 8 8 8 8 Nyní už je přechodová funkce stejná pro o utomty, stejné jsou i koncové počáteční stv Automty jsou tedy nejen ekvivlentní, le dokonce stejné Říkáme, že utomty jsou v normovném tvru M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 7/ 31
Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 8/ 31
Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 8/ 31
Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. Příkld: Nd ecedou Σ = {1, 2, 3} uvžujeme ěžné uspořádání 1 <2<3.Potompltí ε < L 1 < L 3 < L 31 < L 33 < L 111 < L 321. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 8/ 31
Normovný tvr utomtu Definice Mějme ecedu Σ spolu s úplný ostrým uspořádáním < nd znky ecedy.proslovndecedouσdefinujemeúplnéostréuspořádání < L následovně(provšechnmožnáslovu,v Σ ): Pokud u < v,potomu< L v Pokud u = v ujelexikogrfickymenšínežv,potomu< L v Příkld:NdecedouΣ={,}uvžujemeěžnéuspořádání <. Potompltí ε < L < L < L < L < L < L < L < L. Příkld: Nd ecedou Σ = {1, 2, 3} uvžujeme ěžné uspořádání 1 <2<3.Potompltí ε < L 1 < L 3 < L 31 < L 33 < L 111 < L 321. Příkld: Nd ecedou Σ = {0, 1, 2} uvžujeme ěžné uspořádání 0 <1<2.Potompltí ε < L 1 < L 2 < L 01 < L 03 < L 111 < L 0021. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 8/ 31
Normovný tvr utomtu Definice Mějmedeterministickýkonečnýutomt A=(Q,Σ, δ,q 0,F)ez nedosžitelných stvů uspořádání prvků ecedy Σ(které indukuje uspořádání < L nσ ). Oznčmeprokždýstvi {1,2,...,n}symolemu i nejmenšíslovo podleuspořádání < L tkové,žepronějpltí δ(1,u i )=i. Potomřekneme,že Ajevnormovnémtvru,pokud Q= {1,2,3,...,n}pronějkén 1 1 je počáteční stv Prokždoudvojicistvůi,j {1,2,...,n}tkovou,žei <j,pltí u i < L u j. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 9/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8, Dostvu4sedostnemeslovy,,,tedyu 4 = Dostvu5sedostnemeslovy,tedyu 5 = < L protojsoustvy4,5oznčenyvtomtopořdí M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 10/ 31
Normovný tvr utomtu 1 3 5 7 2, 6 4 8, Dostvu4sedostnemeslovy,,,tedyu 4 = Dostvu5sedostnemeslovy,tedyu 5 = < L protojsoustvy4,5oznčenyvtomtopořdí Pro osttní stvy jsou nejmenší slov následující: u 1 = ε u 5 = u 2 = u 6 = u 3 = u 7 = u 4 = u 8 = M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 10/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 11/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8 Automt přijímá tková slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Existuje utomt s méně stvy, který přijímá stejný jzyk? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 11/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4, Automt přijímá tková slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Existuje utomt s méně stvy, který přijímá stejný jzyk? Existuje nějký lgoritmus, který y nšel ekvivlentní utomt s nejmenším možným počtem stvů? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 11/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8 Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu4,příjmeužjistědné slovo, ť už ude pokrčovt jkkoliv Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu8,příjmetkéužjistě dné slovo Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo4neo8 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4, 5 6 7 8, Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu3,příjmekždéslovo, které ude v pokrčování oshovt lespoň jedno Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu7,příjmekždéslovo, které ude v pokrčování oshovt lespoň jedno Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo3neo7 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4, 5 6 7 8, Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu2,příjmekždéslovo, kteréudevpokrčováníoshovtlespoňjednojednov tomto pořdí Kdyžseutomtpřiěhudostnedostvu6,příjmestejnáslov Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo2neo6 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4,, 5 6 7 8 Vestvu1i5utomtpříjmejkékolivslovo,kteréptřídojzyk tkových slov, z nichž y vypuštěním některých znků zůstlo Jetedyjedno,jestlijdeutomtněkterýmpřechodemdo1neo5, jejedno,vekterémznichzčne M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4,, 5 6 7 8 Stvy5,6,7,8jsouteďužnedosžitelnémůžemejeodstrnit M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4, M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 12/ 31
Minimlizce konečného utomtu Definice Prokždýstvqutomtu A=(Q,Σ, δ,q 0,F)definujemeL(q)=L(A q ), kde A q =(Q,Σ, δ,q,f) Definice Stvyq 1,q 2 utomtu A=(Q,Σ, δ,q 0,F)nzývámejzykově ekvivlentníneozkráceněekvivlentní,jestližel(q 1 )=L(q 2 ). Jsou-lidvstvyq 1,q 2 utomtuekvivlentní,můžemejedenvypustit všechny šipky do něj směřující přesměrovt do druhého. Pokud yl vypouštěný stv počáteční, ude počáteční ten druhý. Dvojice vzájemně ekvivlentních stvů můžeme hledt rychlým (polynomiálním) lgoritmem M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 13/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 14/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 2 5 2 6 3 3 4 7 5 6 1 6 2 7 7 8 3 II 4 8 4 8 8 4 Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. Do tulky si, místo přechodů do konkrétních stvů, vyznčíme skupinu, do které přecházíme. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 2 5 2 6 3 3 4 7 5 6 1 6 2 7 7 8 3 II 4 8 4 8 8 4 I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II Rozdělíme stvy do dvou skupin n přijímjící nepřijímjící. Je jisté, že přijímjící stv nikdy není ekvivlentní s nepřijímjícím. Do tulky si, místo přechodů do konkrétních stvů, vyznčíme skupinu, do které přecházíme. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II Pokud se liší řádky ve stejné skupině, skupinu rozdělíme n menší, kde se lišit neudou Npř.3seod1liší,protožez1přejde-čkemdoskupiny,která následně nepřijímá prázdné slovo, z 3 přejde -čkem do skupiny, která následně přijímá prázdné slovo. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 I I 2 I I 3 II I 5 I I 6 I I 7 II I II 4 II II 8 II II I 1 I I 2 I I 5 I I 6 I I II 3 II I 7 II I III 4 II II 8 II II Pokud se liší řádky ve stejné skupině, skupinu rozdělíme n menší, kde se lišit neudou Npř.3seod1liší,protožez1přejde-čkemdoskupiny,která následně nepřijímá prázdné slovo, z 3 přejde -čkem do skupiny, která následně přijímá prázdné slovo. Musíme znovu vyplnit tulku, protože se změnily skupiny M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 I I 2 I II 5 I I 6 I II II 3 III II 7 III II III 4 III III 8 III III Teďse2seod1liší,protožez1přejde-čkemdojinéskupinynežz 2. Tedy z kždého příjme jiná slov zčínjící -čkem nemohou ýt ekvivlentní. Tkže zse skupinu I rozdělíme M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 I I 2 I II 5 I I 6 I II II 3 III II 7 III II III 4 III III 8 III III I 1 I I 5 I I II 2 I II 6 I II III 3 III II 7 III II IV 4 III III 8 III III Teďse2seod1liší,protožez1přejde-čkemdojinéskupinynežz 2. Tedy z kždého příjme jiná slov zčínjící -čkem nemohou ýt ekvivlentní. Tkže zse skupinu I rozdělíme Musíme znovu vyplnit tulku, protože se změnily skupiny M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 II I 5 II I II 2 II III 6 II III III 3 IV III 7 IV III IV 4 IV IV 8 IV IV Teď už se žádná skupin nerozdělí, tkže lgoritmus končí Stvy, které jsou v jedné skupině, jsou ekvivlentní. Můžeme necht kterýkoliv z nich osttní odstrnit Šipky vedoucí do odstrňovných stvů povedou do toho, který ze skupiny necháme Pokud skupin oshovl počáteční stv, ude ponechný zástupce počáteční M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimlizce konečného utomtu 1 2 5 2 6 3 3 4 7 4 8 4 5 6 1 6 2 7 7 8 3 8 8 4 I 1 II I 5 II I II 2 II III 6 II III III 3 IV III 7 IV III IV 4 IV IV 8 IV IV I II I II II III III IV III IV IV IV Teď už se žádná skupin nerozdělí, tkže lgoritmus končí Stvy, které jsou v jedné skupině, jsou ekvivlentní. Můžeme necht kterýkoliv z nich osttní odstrnit Šipky vedoucí do odstrňovných stvů povedou do toho, který ze skupiny necháme Pokud skupin oshovl počáteční stv, ude ponechný zástupce počáteční M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 15/ 31
Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 16/ 31
Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. Lemm Pro kždý regulární jzyk L existuje právě jeden minimální utomt A v normovném tvru tkový, že L = L(A). M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 16/ 31
Minimální konečný utomt Definice Deterministický konečný utomt nzveme minimálním utomtem, jestliže neexistuje utomt, který y s ním yl ekvivlentní měl y menší počet stvů. Lemm Pro kždý regulární jzyk L existuje právě jeden minimální utomt A v normovném tvru tkový, že L = L(A). Lemm VkždémkonečnémutomtuA={Q,Σ, δ,q 0,F },kterýneníminimální, njdemelespoňjednudvojicistvůq 1,q 2 (q 1 q 2 )tkovou,že L(q 1 ) L(q 2 ). M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 16/ 31
Porovnání konečných utomtů Lemm Existujelgoritmus,kterýprozdnékonečnéutomtyA 1,A 2 rozhodne, zdjsouekvivlentní,tj.zdl(a 1 )=L(A 2 ). Důkz: Je-liA 1 neoa 2 nedeterministický,převedemejejndeterministický AutomtyA 1 A 2 převedemenminimální Minimální utomty převedeme do normovného tvru Pokud jsou vzniklé minimální utomty v normovném tvru stejné, yly původní utomty ekvivlentní. Pokud výsledné utomty nejsou stejné, neyly původní utomty ekvivlentní. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 17/ 31
Neregulární jzyky M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 18/ 31
Neregulární jzyky Ne všechny jzyky jsou regulární. Existují jzyky, pro které neexistuje žádný konečný utomt, který y je rozpoznávl. Příkldy neregulárních jzyků: L 1 = { n n n 0} L 2 = {ww w {,} } L 3 = {ww R w {,} } Poznámk: Existence neregulárních jzyků vyplývá již z fktu, že utomtů prcujících nd nějkou ecedou Σ je jen spočetně mnoho, ztímco jzyků nd ecedou Σ je nespočetně mnoho. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 19/ 31
Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 20/ 31
Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? Odpověď: Stčí ukázt, že jzyk L nemá nějkou vlstnost, kterou má kždý jzyk rozpoznávný nějkým konečným utomtem. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 20/ 31
Neregulární jzyky Jk dokázt o nějkém jzyce L, že není regulární? Jzyk není regulární, jestliže neexistuje(tj. není možné sestrojit) konečný utomt, který y ho rozpoznávl. Jk le dokázt, že něco neexistuje? Odpověď: Stčí ukázt, že jzyk L nemá nějkou vlstnost, kterou má kždý jzyk rozpoznávný nějkým konečným utomtem. Dv zákldní postupy dokzování neregulrity jzyků: využití tzv. pumping lemmtu využití Myhillovy-Nerodovy věty(neudeme se jí dále zývt) M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 20/ 31
Neregulární jzyky Tvrzení Kždý konečný jzyk je regulární. Důkz: Konečný jzyk s n slovy můžeme popst regulárním výrzem w 1 +w 2 +...+w n.jzykjetedyregulární. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 21/ 31
Neregulární jzyky Tvrzení Kždý konečný jzyk je regulární. Důkz: Konečný jzyk s n slovy můžeme popst regulárním výrzem w 1 +w 2 +...+w n.jzykjetedyregulární. Tvrzení Je-li jzyk nekonečný, oshuje pro kždou konstntu k N nějké slovo wtkové,že w >k Důkz: Uvžujeme jen konečnou ecedu. Pro kždou konstntu je tedy jen konečně mnoho slov krtších než tto konstnt. Pokud má ýt jzyk nekonečný, musí ýt i slovo delší, než jkákoliv konstnt. Ve skutečnosti je slov delších než jkákoliv konstnt nekonečně mnoho. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 21/ 31
Pumping Lemm Předpokládejme, že jzyk L je rozpoznáván nějkým konkrétním deterministickým utomtem A, tj. L = L(A). Vezměmenynínějkéliovolnéslovoz L,kdez= 1 2 k. Protože utomt A slovo z přijímá, musí tomuto slovu odpovídt určitý přijímjící výpočet utomtu, tj. posloupnost stvů: q 0,q 1,q 2,...,q k 1,q k délkyk+1,kde q 0 jepočátečnístv δ(q i 1, i )=q i pro i {1,2,...,k} q k jepřijímjícístv M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 22/ 31
Pumping Lemm Předpokládejme,žeAmánstvůže z n. Pkmámeposloupnostdélkyminimálněn+1,vekterésemůže vyskytovt mximálně n různých stvů. Ztohoplyne,žemusíexistovtlespoňjedenstvq,kterýsevtéto posloupnosti vyskytuje lespoň dvkrát. Jde o plikci tzv. holuníkového principu(pigeonhole principle). Holuníkový princip Jestližemámn+1holuůrozmístěnýchdonklecí,pkjsoulespoň v jedné kleci minimálně dv holui. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 23/ 31
Pumping Lemm Řekněme,žeopkujícístvsevyskytujenpozicíchi,j,tj.q i =q j,kde i <j. q 0,,q i,,q j,,q k Poznámk:Zjevněmůžemenjíttkovái,j,žei <j n Slovo z můžeme rozdělit n tři části: 1 i }{{} u i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w δ (q 0,u)=q i δ (q i,v)=q j =q i δ (q j,w)=q k M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 24/ 31
Pumping Lemm Vezměme nyní slov: 1 i }{{} u j+1 k }{{} w 1 i }{{} u i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w 1 i }{{} u i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v i+1 j }{{} v j+1 k }{{} w Jezřejmé,žeApřijmekždéznich,vzhledemktomu,že δ (q 0,u)=q i δ (q i,v)=q j =q i δ (q j,w)=q k,q k F M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 25/ 31
Pumping Lemm Pumping Lemm JestližejzykLjeregulární,pkexistujentkové,žekždéslovoz L tkové,že z n,jemožnérozdělitnpodslovu,v,wtková,že z=uvw, uv n, v 1provšechni 0pltíuv i w L. Formálně zpsáno: Jestliže L je regulární, pk ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 26/ 31
Pumping Lemm Tvrzeníjemožnéorátit.(A Bjetotéž,co B A.) Jestliže ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L, pk L není regulární. Pokud tedy chceme ukázt, že jzyk L není regulární, stčí ukázt, že splňuje výše uvedenou podmínku. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 27/ 31
Pumping Lemm Příkld:UvžujmejzykL={ i i i 0}. Předpokládáme, že L je rozpoznáván nějkým utomtem s n stvy. Zvolmeslovoz= n n. Uvžujme všechny možnosti, jk může ýt z rozděleno n podslov u,v,wsplňujícípodmínky uv n v 1. Zjevněslovuvoshujípouzesymoly.Prokždékonkrétní rozděleníexistujínějkájktková,žej+k n,k 1 u= j v= k w= n (j+k) n Pokudnynízvolímei=0,dostávámeuv i w=uw= n k n.protože n k <n,zjevněpltíuv i w L. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 28/ 31
Pumping Lemm Poznámk: Dokzování pltnosti či nepltnosti formule prvého řádu, kde se střídjí universální existenční kvntifikátory, si můžeme předstvovt jkohrudvouhráčů,hráčeahráčeb,kdesehráčasnžídokázt,že formule pltí, hráč B, že formule nepltí. Hráč A vždy volí hodnotu proměnné vázné existenčním kvntifikátorem nopk hráč B vždy volí hodnotu proměnné vázné universálním kvntifikátorem. Pokud npříkld chceme pltnost formule vyvrátit, stčí nám njít vítěznou strtegii hráče B. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 29/ 31
Pumping Lemm ( n)( ztž.z L, z n)( u,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1) ( i 0):uv i w L Konkrétně pro Pumping Lemm vypdá hr následovně: 1 Azvolín >0. 2 Bzvolíslovoztkové,žez L z n. 3 Azvolíslovu,v,wtková,žez=uvw, uv n, v 1. 4 Bzvolíi 0. 5 Je-liuv i w L,vyhráváhráčA.Je-liuv i w / L,vyhráváhráčB. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 30/ 31
Pumping Lemm Příkld:L={ i i i 0} 1 Azvolín >0. 2 Bzvolíz= n n 3 Azvolíslovu,v,wtž.z=uvw, uv n, v 1 4 Bzvolíi=0 5 VyhrálhráčB,protožeezohledunto,covolilhráčA,vždypltí uv i w L,protoženeprázdnéslovovsencházívčástislovz tvořené pouze symoly, jeho vypuštěním dostneme slovo tvru k n,kdek<n,tedyneptřícídol. M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 31/ 31