Beveridgeův Nelsonův rozklad a jeho aplikace

Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Štěpá Masák Beveridgeův Nelsoův rozklad a jeho aplikace Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Studijí program: Studijí obor: doc. RNDr. Zuzaa Prášková, CSc. Matematika Pravděpodobost, matematická statistika a ekoometrie Praha 205

Rád bych poděkoval své vedoucí, doc. Zuzaě Práškové, za to, že ade mou ezlomila hůl.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů, literatury a dalších odborých zdrojů. Beru a vědomí, že se a moji práci vztahují práva a poviosti vyplývající ze zákoa č. 2/2000 Sb., autorského zákoa v platém zěí, zejméa skutečost, že Uiverzita Karlova v Praze má právo a uzavřeí licečí smlouvy o užití této práce jako školího díla podle 60 odst. autorského zákoa. V...................... de............. Podpis autora

Název práce: Beveridgeův Nelsoův rozklad a jeho aplikace Autor: Štěpá Masák Katedra: Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Zuzaa Prášková, CSc., Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Abstrakt: V předložeé práci se zabýváme Beveridgeovým Nelsoovým rozkladem lieárího procesu a tred a cyklickou složku. Nejprve teto rozklad zobecíme pro vícerozměrý lieárí proces, a poté jej využijeme k důkazu ěkterých limitích vět pro teto proces a jeho speciálí případy, procesy VAR a VARMA. Dále defiujeme pojem koitegrace a představíme oblíbeý model VEC pro koitegrovaé časové řady. Na závěr ukážeme metodu, jak se vypořádat s ekoečými součty objevujícími se při výpočtu Beveridgeova Nelsoova rozkladu a aplikujeme ji a reálá data. Její výsledky pak porováme s aproximací pomocí částečých součtů. Klíčová slova: Beveridgeův Nelsoův rozklad, lieárí proces, limití věty, model VEC Title: Beveridge Nelso decompositio ad its applicatios Author: Štěpá Masák Departmet: Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Supervisor: doc. RNDr. Zuzaa Prášková, CSc., Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Abstract: I this work we deal with the Beveridge Nelso decompositio of a liear process ito a tred ad a cyclical compoet. First, we geeralize the decompositio for multidimesioal liear process ad the we use it to prove some of the limit theorems for the process ad its special cases, processes VAR ad VARMA. Further, we defie the cocept of coitegratio ad itroduce the popular VEC model for coitegrated time series. Fially, we show a method how to deal with ifiite sums appearig i calculatio of the Beveridge Nelso decompositio ad apply it to real data. The we compare the results of this method with approximatios usig partial sums. Keywords: Beveridge Nelso decompositio, liear process, limit theorems, VEC model

Obsah BN rozklad jako důkazový prostředek 4. Lieárí proces............................ 4.2 Procesy VAR a VARMA....................... 9 2 Itegrovaé procesy, koitegrace a model VEC 23 3 BN rozklad v praxi 26 3. Teoretický základ........................... 26 3.2 Praktická aplikace........................... 29 A Růzá používaá tvrzeí 35 Literatura 39

Úvod Jedou ze základích úloh aalýzy časových řad je vyhledáváí dlouhodobých tredů. Existují pro to růzé metody; ěkteré předpokládají determiistický tred, jié vyžadují zalost budoucích dat a jdou tedy aplikovat pouze zpětě. Stephe Beveridge a Charles R. Nelso ve svém čláku [2] z roku 98 přišli s myšlekou využití dlouhodobých předpovědí pro odhad tredu estacioárích časových řad. Uvažují estacioárí řadu {X t } se stacioárími přírůstky Z t = X t X t, které lze psát ve tvaru lieárího procesu Z t = µ + ε t + λ ε t +..., kde λ i jsou kostaty a posloupost {ε i } je bílý šum. Ozačíme-li ˆXt k = EX t+k X t, X t,... předpověd X t+k v čase t, lze sado ukázat, že k k+ ˆX t k = kµ + X t + λ i ε t + λ i ε t +.... Pro velmi dlouhé horizoty k je přibližě ˆX t k kµ + X t + λ i ε t + λ i ε t +.... i= i= Předpověd se tedy asymptoticky přibližuje přímce se směricí µ a iterceptem X t = X t + λ i ε t + λ i ε t +..., i= který iterpretujeme jako tred. Je to totiž hodota, kterou by proces měl, pokud by již v čase t dosáhl své dlouhodobě vyrovaé hladiy. Rozdíl c t = X k t X t = λ i ε t + λ i ε t +... = lim Ẑ t j kµ k i= i=2 pak iterpretujeme jako cyklickou, přechodou složku. Jde o součet všech očekávaých změ kromě přírůstku způsobeého driftem. Beverdige s Nelsoem dále ve svém čláku dokazují, že jimi určeý tred { X t } je áhodá procházka s driftem, zatímco cyklická složka {c t } je stacioárí proces. Mezi předosti tohoto rozkladu patří, že epředpokládá determiistický tred, jeho výpočet evyžaduje zalost budoucích dat a je aplikovatelý a často používaé a poměrě obecé modely ARIMA. Také je možé ho zobecit pro vícerozměré časové řady. V této práci se budeme zabývat právě zobecěím Beveridgeova Nelsoova rozkladu dále je BN rozklad pro vícerozměré áhodé procesy. V prví kapitole této práce se podíváme, jak lze BN rozklad využít k důkazu limitích vět pro 2 i=2 i=2 i=2 j=

vícerozměrý lieárí proces a jeho speciálí případy, procesy VAR a VARMA. Ve druhé kapitole defiujeme pojem koitegrace a představíme oblíbeý model VEC pro koitegrovaé časové řady. Ve třetí kapitole ukážeme metodu, jak se vypořádat s ekoečými součty objevujícími se při výpočtu BN rozkladu a aplikujeme ji a reálá data. Její výsledky pak porováme s aproximací pomocí částečých součtů. V Dodatku A uvádíme ěkterá pomocá tvrzeí. 3

Kapitola BN rozklad jako důkazový prostředek. Lieárí proces V této kapitole se podíváme a BN rozklad trochu jiak, jako a čistě algebraický rozklad samotého lieárího procesu. Te umožňuje dokázat pro lieárí proces celou řadu limitích vět za růzých kombiací růzě silých předpokladů viz [6]; my zde zobecíme pro vícerozměrý lieárí proces ěkolik z ich. Než přistoupíme k defiici samotého lieárího procesu, defiujeme ěkolik maticových orem, které budeme dále potřebovat, a uvedeme ěkolik vlastostí té ejdůležitější z ich. Defiice.. Pro p a matici C = c ij m, i,j= defiujeme l p-ormu stejě jako pro vektory z R m, tj. m p C p = c ij p. i= Podobě defiujeme i maximovou ormu j= C = max c ij. i,j Pozámka. Tyto ormy budeme používat i pro vektory, které budeme považovat za matice typu m. Speciálím případem l p ormy je Frobeiova orma 2. Jelikož budeme v tomto textu uvažovat až a výjimky právě tuto ormu, budeme ji pro jedoduchost ozačovat. Lemma.2 Vlastosti Frobeiovy ormy. Pro matice A R m, B R p a C R p q platí: i A = tra A = traa, ii AB A B submultiplikativita, iii A C = A C, kde ozačuje Kroeckerův souči viz defiici A.5. 4

Důkaz. i Jde pouze o jiý zápis defiice. ii Viz [3], str. 29. iii S využitím bodu i a vlastostí i iii z lemmatu A.7 dostaeme A C 2 = tra C A C = tra C A C = tra A C C = tra A trc C = A 2 C 2. Defiice.3 Lieárí proces. Posloupost {X t } t Z m-rozměrých áhodých vektorů ve tvaru X t = µ + C jε t j, kde i µ je m-rozměrý vektor ii {C j } je posloupost matic typu m m takových, že C j 2 < a iii {ε t } t Z je m-rozměrý bílý šum, tj. posloupost ekorelovaých cetrovaých m-rozměrých áhodých vektorů s kostatí variačí maticí varε t = Eε t ε t = Σ ε t azýváme m-rozměrým lieárím procesem. Pozámka. Řada C jε t j v defiici.3 koverguje v L 2. Pokud ahradíme předpoklady ii a iii předpoklady ii* {C j } je posloupost matic typu m m takových, že C j < a iii* {ε t } t Z je posloupost cetrovaých m-rozměrých áhodých vektorů takových, že existuje kostata K taková, že E ε t < K t, pak řada C jε t j koverguje absolutě skoro jistě. Důkaz. i kovergece v L 2 : Pro i m je var C j ε t j i = E C j ε t j 2 E ε t j 2 C j 2 E ε 0 2 C j 2 Σ ε 2 C j 2 <. Tedy řada C jε t j koverguje v L 2 podle věty A.2. 5

ii kovergece absolutě s.j.: Jelikož jsou l p -ormy ekvivaletí věta A., je také C j < a existuje kostata M taková, že E ε t < M t. Pro i m je E Cj ε t j i E C j ε t j M C j < díky ekvivaleci orem. Tedy řada C jε t j koverguje absolutě s.j. podle věty A.3. U L 2 -kovergetího lieárího procesu můžeme sado spočítat prví dva momety. Jeho středí hodota je EX t = µ + E C j ε t j = µ + C j Eε t j = µ t a jeho autokovariace jsou covx t, X t+h = EX t µx t+h µ h = E C j ε t j C j ε t+h j + = C j Σ ε C j+h Lieárí proces je tedy stacioárí podle ásledující defiice. t. C j+h ε t j Defiice.4. Náhodý proces {X t } t Z azýváme stacioárím, pokud i EX t = µ t Z, ii varx t = Γ 0 t Z a iii covx t, X t+h = Γ h t Z tedy závisí pouze a h. Pozámka. i Stacioarita podle výše uvedeé defiice se často azývá slabá stacioarita či stacioarita do mometů 2. řádu. Jelikož se však v této práci ebudeme zabývat procesy tzv. silě stacioárími, budeme slabě stacioárí procesy azývat prostě stacioárími. ii V defiici stacioarity implicitě předpokládáme existeci koečých druhých mometů EX tx t t. Pozámka. V dalším textu budeme uvažovat pouze cetrovaý lieárí proces s µ = 0. Tím ovšem eztrácíme a obecosti, ebot pro ecetrovaý proces { X t } lze substituovat X t = X t E X t. Pozámka. Ozačíme-li L operátor zpožděí tj. Lε t = ε t a Cz = C jz j, můžeme psát X t = CLε t. Je li C j <, pak polyom Cz koverguje pro z < ve smyslu Cz C jz j C j z j <. 6

Protože při výpočtu BN rozkladu přerováváme ekoečé řady áhodých vektorů, uvádíme ásledující lemma, které ám to umoží. Lemma.5. Pro poslouposti áhodých veliči {X } =, {Y } = platí X + Y = X + = = = Y v L 2, s.j., má-li pravá straa smysl. Důkaz. i V L 2 : = X + Y = l. i. m. N = l. i. m. N N X + Y = = l. i. m. N = X + = N X + = N = N Y = X + l. i. m. N Y. ii Skoro jistě: N X + Y ω = lim X + Y ω N = = N N = lim X ω + Y ω N = lim N = = = N = = = N = Y N X ω + lim Y ω N = Y ω ω. X ω + = Důsledek.6. Pro m N a poslouposti áhodých veliči {X, } =,..., {X m, } = platí m X k, = = k= má-li pravá straa smysl. m k= = X k, v L 2, s.j., Důkaz. Z lemmatu.5 koečou idukcí. Pozámka. Předchozí tvrzeí platí i pro poslouposti áhodých vektorů, stačí jej aplikovat a jedotlivé složky. 7

Lemma.7 BN rozklad. Necht Cz = C jz j, kde C j jsou matice m m. Pak Cz = C z Cz,. kde Cz = Pokud p, pak j p C j p < j= C j z j, C j = k=j+ C k. C j p < a C j <. Důkaz. Rovost. ověříme výpočtem. C z Cz = C j C j z j Dále pro p máme j p C j p < j= = } {{ } C 0 = C 0 + C j+ z j+ = C j z j+ C j C 0 + C j+ C j } {{ } C j+ C j z j. j p C j p p < j= j= k, l j p m k= j= m l= c kl j p < j p c kl j p < = k, l c kl j p < a c kl j < m m m m c kl j p < a k= l= k= l= C j p p < a C j < C j p a C j <, c kl j j+ z <.2a.2b.2c kde v ekvivalecích.2a a.2c využíváme ekvivaleci orem věta A., zatímco implikace.2b plye z [6], str. 972, lemma 2.. 8

Sado můžeme ahlédout, že se opravdu jedá o BN rozklad popsaý v úvodu. Uvažujme proces {X t } s přírůstky ve tvaru lieárího procesu Z t = CLε t a aplikujme vztah. a Z t. Dostaeme rozklad CLε t = Cε t + L CLε t. Na levé straě máme přírůstky procesu {X t }, a pravě straě pak čle L CLε t je přírůstkem procesu { CLε t }, kde CLε t = C j ε t j = C k ε t + C k ε t +... k=j+ k= k=2 je zřejmě cyklická složka dle rozkladu z úvodu. Zbývající čle Cε t je tedy přírůstkem tredu X t. Jelikož jde o bílý šum, tvoří tred X t áhodou procházku. Druhá část lemmatu.7 ám dává postačující podmíku pro to, aby rozklad. měl smysl. Nyí již máme potřebé ástroje pro důkaz limitích vět pro lieárí proces. Začeme dvěma variatami silého zákoa velkých čísel SZVČ. K důkazu ám stačí převést je a jedorozměrý případ, který je již dokázá v čláku [6]. Věta.8 SZVČ. Necht X t = CLε t, t N je m-rozměrý lieárí proces takový, že i j= j2 C j 2 < a ii ε t jsou i.i.d. cetrovaé s koečými druhými momety. Pak t= X t s.j. 0. Důkaz. Dle důsledku.6 lze k-tou složku vektoru X t psát jako X k t = c k j ε t j = m l= c kl j ε l t j = m l= c kl j ε l t j. Z předpokladu i máme j= j 2 c kl j 2 < j= j 2 m h= i= c hi j 2 = j 2 C j 2 < k, l, z předpokladu ii je {e l t} t Z posloupost i.i.d. cetrovaých áhodých veliči s koečými druhými momety l. Podle [6], str. 976, věta 3. tedy platí Xt k = m m c kl j ε l t j = c kl j ε l s.j. t j 0. t= t= l= l= j= t= 9

Věta.9 SZVČ. Necht X t = CLε t, t N je m-rozměrý lieárí proces takový, že i j= j C j < a ii ε t jsou i.i.d. cetrovaé Pak t= X t s.j. 0. Důkaz. Dle důsledku.6 lze k-tou složku vektoru X t psát jako X k t = c k j ε t j = m l= c kl j ε l t j = Z předpokladu i máme díky ekvivaleci orem m l= c kl j ε l t j. j c kl j < j j= j= m h= c hi = j C j K i= j j= j C j < k, l, j= z předpokladu ii je {e l t} t Z posloupost i.i.d. cetrovaých áhodých veliči l. Jelikož je {X t } lieárí proces ve smyslu defiice.3, je E X 0 < a tedy i E X0 l <. Podle [6], str. 976, věta 3.2 tedy platí t= X k t = t= m l= c kl j ε l t j = m l= t= c kl j ε l t j s.j. 0. Pokračujme důkazem cetrálí limití věty CLV. Zde se již emůžeme odvolat a jedorozměrou verzi věty, ovšem důkaz můžeme provést aalogicky, jako její důkaz v čláku [6] věta 3.4. Věta.0 CLV. Necht X t = CLε t, t N je m-rozměrý lieárí proces takový, že i j= j2 C j 2 < a ii ε t jsou i.i.d. cetrovaé s koečými druhými momety. Pak kde Σ ε = Eε 0 ε 0. t= X t Důkaz. Aplikací. dostaeme d N m0, CΣ ε C, X t = Cε t + ε t ε t, kde ε t = CLε t = C j ε t j, C j = C k. k=j+ 0

Tedy t= X t = C t= ε t + ε 0 ε. Podle Lévyho-Lidebergovy CLV platí d ε t N m0, Σ ε, stačí tedy ukázat, že což platí, pokud platí což platí, protože ε 0 ε 0 ε 0 t= P 0 a ε P 0 a ε ε E ε ε <, P 0, P 0, ebot podle lemmatu.7 je C j 2 < a ε = C j ε j je tak prvkem lieárího procesu ve smyslu defiice.3 kovergetího v L 2. Následovat bude silý záko velkých čísel pro rozptyl. Jeho důkaz opět vychází z důkazu jedorozměré verze [6], věta 3.7, tetokrát však již vyžaduje větší úpravy. Nejprve však uved me jedo lemma. Lemma.. Necht s= s 2 C s 2 < a r 0. Pak 2 i C s+r C s <, ii s=j+ C s+r C s r=0 s=0 2 <. Důkaz. i S využitím lemmatu.2 a Cauchyho Schwarzovy erovosti dostaeme 2 2 C s+r C s s 4 Cs+r C s s 4 s=j+ s=j+ s 2 Cs+r 2 C s 2 s 2 s=j+ s 2 Cs 2 s= s=j+ s=j+ s 2 Cs+r 2 s s 2 Cs 2 s 2 Cs+r 2 s= s= s 2 Cs 2 s + r 2 Cs+r 2 s= s= 2 s 2 Cs 2 <. s=

ii Opět s využitím lemmatu.2 a Cauchyho Schwarzovy erovosti dostaeme 2 2 C s+r C s C r C 0 + s 4 Cs+r C s s 4 r=0 s=0 r=0 s= C r 2 + s 2 Cs+r C 2 0 2 + C s 2 s 2 r=0 Použitá erovost C 0 2 + C 0 2 + C 0 2 + s= s 2 Cs 2 C r 2 + s= r=0 s 2 Cs 2 C r 2 + s= s= plye z toho, že fukce s s 2 r=0 r=0 s= r=0 s= s 2 Cs+r 2 C t 2 t= t s= s 2 s 2 Cs 2 C r 2 + 2 t 2 Ct 2 <. t s= s 2 t s= s 2 2t 2 je klesající a tedy t 0 s 2 ds = 2t 2. t= Věta.2 SZVČ pro rozptyl. Necht X t = CLε t, t N je m-rozměrý lieárí proces takový, že i j= j C j 2 <, ii ε t jsou i.i.d. cetrovaé s koečými druhými momety a iii C j+r C j <. Pak r= Důkaz. Můžeme psát kde X t X t = X t X s.j. t Γ def 0 = EX 0 X 0. t= C j ε t j ε t ic i = X at + X bt + X bt, i=0 X at = X bt = C j ε t j ε t jc j, r= C j ε t j ε t j rc j+r. 2

S využitím operátoru vec viz defiici A.6 a lemma A.7 dostaeme vec X at = = = = kde vecc j ε t j ε t jc j C j C j vecε t j ε t j = F 0 L vecε t ε t, vec X bt = vecc j ε t j ε t j rc j+r r= r= C j+r C j vecε t j ε t j r F r L vecε t ε t r, r= F r L = C j+r C j L j. Aplikací BN rozkladu a F r L dostaeme F r L = F r L F r L, kde F r L = F rj L j, F rj = F rs = C s+r C s. s=j+ s=j+ Teto rozklad má smysl podle lemmatu. i. Je tedy vec X at = F 0 vecε t ε t L X at,.3 vec X bt = ε F t ε t L X bt,.4 kde X at = F 0 L vecε t ε t, X bt = F r L vecε t ε t r, ε F t = r= F r ε t r I m. r= Ukážeme, že a s.j. vec X at vec Γ 0.5 t= s.j. vec X bt 0..6 t= 3

Podle.4 platí.6, pokud a X b s.j. 0 a X b0 t= ε F t ε t Podle Kroeckerova lemmatu.8 platí, pokud s.j. 0..7 s.j. 0..8 T = t= t εf t ε t koverguje skoro jistě. Ovšem T je martigal vzhledem k filtraci F = σε, ε,..., ebot [ E[T + F ] = E T + ] + εf ε + F = = E[T F ] + + εf E[ε + F ] = T, a tedy dle věty A.8 koverguje s.j., pokud sup E T 2 <, což platí, protože sup E T 2 = sup E = sup E sup E = = t= t= t= t= t= t εf t ε t t= t 2 ε t ε F t ε F t ε t + 2E t 2 ε F t 2 εt 2 t 2 E ε F t 2 E εt 2 t 2 σ2 F σ 2 ε <, t εf t ε t t= r= t t + r ε t+r ε F t r ε F t ε t 4

kde σ 2 ε = E ε t 2 < a ebot σf 2 = E ε F t 2 2 = E F r ε t r I m r= = E tr F r ε t r I m F r ε t r I m = E tr = r= r= ε t r I m F r F r ε t r I m r= + 2E tr r= s= ε t r s I m F r+s F r ε t r I m E F r ε t r I m 2 r= F r 2 E ε t r 2 I m 2 r= = mσ 2 ε F r 2 <, r= F r 2 = r= C s+r C s r= s=0 dle lemmatu. ii. Dále.7 platí, pokud = 2 E X b 2 <, 2 < což platí, pokud E X b 2 < K < pro ějakou kostatu K, což platí za platosti předpokladu iii podle [5], str. 688, tvrzeí C.9, ebot Evecε t ε t r vecε t ε t r = E vecε t ε t r 2 = K důkazu.5 podle.3 stačí, aby platilo X a ε t ε t t= = E ε t ε t r 2 E ε t 2 E ε t r 2 = σ 4 ε. s.j. 0,.9 s.j. Σ ε.0 5

ebot pak a tedy a také vec X at = F 0 vec t= ε t ε t X a X a0 t= s.j. F 0 vec Σ ε = = C j C j vec Σ ε vecc j Σ ε C j = vec Γ 0 t= t= X at s.j. Γ 0 X t X s.j. t Γ 0 Ovšem.0 plye ze SZVČ pro i.i.d. vektory a stačí tak dokázat.9. Je X a = F 0j vecε j ε j C s 2 ε j 2 + C s 2 ε j 2 s=j+ max 0 t ε t 2 s=j+ C s 2 + j=+ ε j 2 j= s=j+ s=j+ C s 2.. Podle lemmatu A.9 pokud což platí, protože max ε t 2 s.j. 0, 0 t ε 2 s.j. 0, ε 2 = ε j 2 ε j 2 j= a oba čley rozdílu a pravé straě kovergují s.j. ke stejé limitě E ε 0 2 podle SZVČ. Dále s=j+ C s 2 = s= s C s 2 <, takže prví sčítaec v. koverguje k ule s.j. Navíc je tím pádem E ε j 2 j= s=j+ j= C s 2 < takže j= ε j 2 s=j+ C s 2 < s.j. a druhý sčítaec v. koverguje k ule s.j. 6

Posledí větou, které se budeme v této části věovat, je záko iterovaého logaritmu ZIL. Důkaz opět vychází z důkazu jedorozměré verze v čláku [6] věta 3.3. Jelikož je problém dohledat v literatuře ZIL pro i.i.d. áhodé vektory, a který bychom se mohli odvolat, odvodíme zde ejprve vlastí variatu. Věta.3 ZIL pro i.i.d. vektory. Necht {X t } t= je posloupost m-rozměrých cetrovaých i.i.d. vektorů s jedotkovou kovariačí maticí. Pak lim sup X 2 l 2 t = s.j. t= Důkaz. Ozačme A = [ m i= lim sup 2 l 2 t= X i t ] =. Podle ZIL pro i.i.d. veličiy věta A. je zřejmě P A = a pro ω A je dle lemmatu A.0 lim sup X 2 l 2 t ω = max lim sup X i i m 2 l 2 tω =. t= t= Věta.4 ZIL. Necht X t = CLε t, t N je m-rozměrý lieárí proces takový, že i j= j2 C j 2 < a matice C je regulárí a ii ε t jsou i.i.d. s regulárí kovariačí maticí Σ ε a existuje p > 2 takové, že E ε t p <. Pak lim sup 2 l 2 Důkaz. Podle BN rozkladu je Σ 2 ε C X t = s.j. t= X t = Cε t + ε t ε t, kde ε t = CLε t = C j ε t j, C j = C k. k=j+ Tedy 2 l 2 Σ 2 C ε X t = t= 2 l 2 t= + Σ 2 ε ε t + 2 l 2 Σ 2 ε C ε 0 ε. 7

Podle ZIL pro i.i.d. vektory věta.3 platí lim sup Σ 2 2 l 2 ε ε t = s.j., t= stačí tedy dokázat, že Σ 2 2 l 2 ε C ε 0 ε k-tá složka vektoru ε t má tvar ε k t = c k j ε t j = kde ε kl t m l= c kl j ε l t j = = ckl j ε l t j. Podle věty A.4 platí 2 l 2 εkl 0 m l= s.j. 0 a 2 l 2 εkl s.j. 0. c kl j ε l t j = s.j. 0, pokud E kl ε q = E kl ε q 0 <, N pro ějaké q > 2, ebot pak q E 2 l 2 εkl = E kl ε q 0 2 l 2 < q 2 Je = = q 2 E kl ε q = E kl ε q 0 = E c kl j ε l j Necht u N = N ckl j ε l j pro ějaká k a l a 2 < q p. Podle Burkholderovy erovosti věta A.2 existuje kostata c q taková, že N q 2 E u N q kl 2 c q E c j ε l 2 j. Aplikací Mikowského erovosti a pravou strau dostaeme E u N q c q N c kl j 2 q 2 E ε l 0 q c q q. m l= ε kl t, q 2 kl 2 c j E ε l 0 q = d q. Víme, že d q <, ebot kl 2 c j < z předpokladu i a lemmatu.7 a E ε l 0 q < z předpokladu ii. Nyí volme q takové, že 2 < q < p a máme E u N q p q = E un p d p. Jelikož p q >, jsou { u N q : N =, 2,... } stejoměrě itegrovatelé podle [4] str. 29, lemma 5.5. Ovšem u N P ε kl 0 jde o prvek lieárího procesu kovergetího v L 2, a tedy i v P, takže podle [4] str. 35, věta 6.0 E u N q E ε kl 0 q d p <. 8

.2 Procesy VAR a VARMA Lieárí proces je sice užitečým teoretickým východiskem při studiu stacioárích procesů, v praxi ovšem vyvstává problém s ekoečým počtem parametrů C j. Proto se pro modelováí časových řad často používají procesy VAR vektorová autoregrese ebo obecější VARMA, které mají koečý počet parametrů. Jelikož tyto procesy lze za určitých podmíek vyjádřit ve tvaru lieárího procesu, lze a ě ahlížet jako a jeho koečé paramterizace a lze pro ě upravit i limití věty z předchozí části. Začeme procesem VAR, popsaým v [5], str. 3 22. Defiice.5. Posloupost {X t } t Z m-rozměrých áhodých vektorů splňujících rovost p X t = ν + A j X t j + ε t, j= kde ν je m-rozměrý vektor, A,..., A p jsou matice typu m m a {ε t } t Z je posloupost ekorelovaých cetrovaých m-rozměrých áhodých vektorů s kovariačí maticí Eε t ε t = Σ ε t azýváme m-rozměrým procesem VARp VAR řádu p. Ozačme blokovou matici A A 2 A p A p I m 0 0 0 A = 0 I m 0 0....... 0 0 I m 0 Leží-li všecha vlastí čísla matice A uvitř jedotkového kruhu, azýváme takový proces VAR stabilí a můžeme jej psát ve tvaru L 2 -kovergetího lieárího procesu X t = µ + C j ε t j,.2 kde µ = JI mp A ν, J = I m 0 0 je bloková matice typu m mp, ν = ν, 0,..., 0 je mp-rozměrý vektor a C j = JA j J. Z toho plye, že stabilí proces VAR je také stacioárí ovšem opačá implikace eplatí. Ozačíme-li p Az = I m A j z j, můžeme proces VARp zapsat pomocí operátoru zpožděí L jako Necht CL je operátor takový, že j= ALX t = ν + ε t. CLAL = I m. Pak vyásobeím.2 operátorem CL zleva dostáváme X t = CLν + CLε t. 9

Odtud srováím s.2 vidíme, že Ozačíme-li µ = CLν = AL ν = I m p A j ν. j= ρa = max{ λ, λ je vlastím číslem A} spektrálí poloměr matice A, pak podmíka stability říká, že ρa <. Z lemmatu A.3 tak plye, že existuje submultiplikativí orma A taková, že A A < a díky ekvivaleci orem a tedy C j K C j A K J 2 A A j A j 2 C j 2 K 2 J 4 A j= j= j 2 A 2j A <. Nyí již můžeme sado zformulovat záko velkých čísel a cetrálí limití větu pro stabilí proces VAR. Věta.6 SZVČ pro VAR. Necht X t = ν + p A j X t j + ε t, t Z j= je stabilí m-rozměrý proces VARp takový, že ε t jsou i.i.d. s koečými druhými momety. Pak p s.j. X t µ = I m A j ν. t= Důkaz. Podle výše uvedeého je X t µ, t Z lieárí proces splňující předpoklady věty.8, tedy X t µ s.j. 0 a t= t= X t j= s.j. µ. Věta.7 CLV pro VAR. Necht X t = ν + p A j X t j + ε t, t Z j= je stabilí m-rozměrý proces VARp takový, že ε t jsou i.i.d. s koečými druhými momety. Pak d X t µ N m0, Σ, t= kde Σ = A Σ ε A, A = I m p j= A j a Σ ε = Eε 0 ε 0. 20

Důkaz. Podle výše uvedeého je X t µ, t Z lieárí proces splňující předpoklady věty.0 a C = A, tedy d X t µ N m0, A Σ ε A. t= Obdobě můžeme podle [5], str. 423 424 postupovat u procesu VARMA. Defiice.8. Posloupost {X t } t Z m-rozměrých áhodých vektorů splňujících rovost p q X t = ν + A j X t j + ε t + M j ε t j, j= kde ν je m-rozměrý vektor, A,..., A p, M,..., M q jsou matice typu m m a {ε t } t Z je posloupost ekorelovaých cetrovaých m-rozměrých áhodých vektorů s kovariačí maticí Eε t ε t = Σ ε t azýváme m-rozměrým procesem VARMAp, q. Podmíka stability je u procesu VARMA stejá jako u procesu VAR, tedy ρa <, a maticích M j ezávisí. Stabilí proces VARMA můžeme také psát ve tvaru L 2 -kovergetího lieárího procesu X t = µ + C j ε t j, kde C j = D j + q D j i M i, i= j= D j = JA j J a µ a J jsou stejé jako u procesu VAR. Stabilí proces VARMA je tedy také stacioárí. Dále můžeme s využitím operátoru zpožděí psát kde Az = I m Odtud dostáváme tvar ALX t = ν + MLε t, p A j z j a Mz = I m + j= q M j z j. j= X t = AL ν + AL MLε t. Podmíka a koeficiety C j je zde opět splěa, ebot q C j K C j A K D j i A M i A K J 2 A max M i A q+ A j q A, 0 i q j= i=0 kde jsme ozačili M 0 = I m, a tedy j 2 C j 2 K 2 J 4 A max M i 2 Aq + 2 j 2 A 2j q A <. 0 i q Můžeme tedy zformulovat záko velkých čísel a cetrálí limití větu i pro proces VARMA. 2 j=

Věta.9 SZVČ pro VARMA. Necht X t = ν + p A j X t j + ε t + j= q M j ε t j, t Z je stabilí m-rozměrý proces VARMAp, q takový, že ε t jsou i.i.d. s koečými druhými momety. Pak t= X t s.j. µ = I m j= p A j ν. Důkaz. Podle výše uvedeého je X t µ, t Z lieárí proces splňující předpoklady věty.8, tedy X t µ s.j. 0 a t= t= X t j= s.j. µ. Věta.20 CLV pro VARMA. Necht X t = ν + p A j X t j + ε t + j= q M j ε t j, t Z je stabilí m-rozměrý proces VARMAp, q takový, že ε t jsou i.i.d. s koečými druhými momety. Pak t= j= d X t µ N m0, Σ, kde Σ = A MΣ ε M A, A = I m p j= A j, M = I m + q j= M j, µ = A ν a Σ ε = Eε 0 ε 0. Důkaz. Podle výše uvedeého je X t µ, t Z lieárí proces splňující předpoklady věty.0 a C = A M, tedy d X t µ N m0, A MΣ ε M A. t= 22

Kapitola 2 Itegrovaé procesy, koitegrace a model VEC V předchozí kapitole jsme se věovali především stacioárím procesům ve smyslu defiice.4. V praxi se ovšem často setkáváme s řadami, které stacioárí ejsou. Jedou z možých příči estacioarity je přítomost tzv. stochastického tredu, který je možé odstrait diferecováím. Takové řady pak azýváme itegrovaými. Defiice 2.. Jedorozměrý áhodý proces {X t } t Z azýváme itegrovaý řádu d, oz. {X t } Id, pokud d -í diferece d X t ejsou stacioárí a d-té diferece d X t jsou stacioárí. Pozámka. Pro stacioárí řadu {X t } t Z budeme psát {X t } I0. Pokud jde o jedorozměré časové řady, je situace velice jedoduchá. Itegrovaou řadu stačí jedou výjimečě vícekrát zdiferecovat, a a získaou stacioárí řadu použít vhodý stacioárí model. U vícerozměrých řad je situace komplikovaější. Diferecováím ztrácíme iformaci o hladiách jedotlivých složek, a pokud mezi imi existoval ějaký vztah, ztratíme iformaci i o ěm. Řady, ve kterých takové vztahy existují, azýváme koitegrovaé. Defiice 2.2. Složky áhodého procesu {X t } t Z azýváme koitegrovaé řádu d, b, oz. {X t } CId, b, pokud všechy složky jsou Id a existuje eulový vektor β takový, že {β X t } Id b. Zobecěím stacioárího modelu VAR, které umožňuje zachytit vztahy v koitegrovaých časových řadách, je model VEC vector error correctio. Model VEC pro řadu {X t } můžeme psát ve tvaru AL LX t = αβ X t + ε t, 2. tedy jde o model VAR pro diferece LX t, ke kterému je avíc přidá čle αβ X t, kde β je yí K r matice r lieárě ezávislých koitegračích vektorů a α je matice K r. Pozámka. Ozačíme-li BL = AL L αβ L, dostaeme pro řadu {X t } model VAR BLX t = ε t, 23

který ovšem esplňuje podmíku stability. Stupeň polyomu BL je zřejmě o vyšší ež stupeň polyomu AL. Řád modelu VEC pro diferecovaou řadu je tedy o ižší, ež řád příslušého modelu VAR pro řadu ediferecovaou. Model VEC je detailě popsá v [5], kap. 6 8, zde uvedeme pouze miimum potřebé k tomu, abychom jej mohli prakticky aplikovat a reálá data. Před tím, ež je možé začít odhadovat koeficiety modelu, je třeba specifikovat tvar modelu, tj. určit:. řád modelu VAR pro ediferecovaou řadu, 2. řád itegrace jedotlivých složek zkoumaé časové řady a 3. počet koitegračích vztahů. Pro určeí řádu modelu VAR je možé použít statistické testy, v praxi se ale častěji určuje řád modelu miimalizací ěkterého z iformačích kriterií. Iformačí kriteria jsou založea a odhadu rozptylové matice šumu. Kromě toho ovšem obsahují také pealizaci za počet parametrů, kterou se jedotlivá kriteria odlišují. Jejich miimalizací tedy hledáme kompromis mezi miimalizací reziduálího rozptylu a miimalizací počtu parametrů. V další kapitole použijeme čtyři kriteria: Akaikeho AIC, Haaovo Quiovo HQ, Schwarzovo SC a fial predictio error FPE. Vzorce pro jedotlivá kriteria jsou AICp = l ˆΣ ε p + 2pm2 T, HQp = l ˆΣ ε p + 2 l l T T pm 2, SCp = l ˆΣ ε p + l T T pm2, m F P Ep = ˆΣ T + mp + ε p, T mp kde ˆΣ ε p je maximálě věrohodý odhad kovariačí matice Σ ε v modelu řádu p, m je dimeze zkoumaé řady a T je počet pozorováí. V prostředí R spočítáme hodoty iformačích kriterií pomocí fukce VARselect z kihovy vars. K určeí řádu itegrace časové řady slouží ADF test augmeted Dickey Fuller. Testuje hypotézu, že v modelu autoregrese pro diferece řady {X t } X t = ρ X t + γ X t + + γ p X t p+ + ε t je ρ =, což zameá, že je řada itegrovaá. Je-li řada itegrovaá, opakujeme test pro její diferece, dokud edojdeme ke stacioárí řadě. Podle toho, kolikrát jsme museli diferecovat určíme řád itegrace řady. V prostředí R je ADF test implemetová fukcí adf.test z kihovy tseries. Posledím krokem specifikace modelu je určeí počtu koitegračích vztahů. K tomu lze použít iformačí kriteria, ebo růzé statistické testy. My použijeme Johaseův test, založeý a podílu věrohodostí. Počet koitegračích vztahů je rove hodosti hπ matice Π = αβ v modelu 2., testují se proto hypotézy H 0 : hπ = r 0 24

pro hodoty r 0 = 0,,..., dokud hypotézu zamítáme. Jako alterativí hypotéza se obvykle používá bud H : r 0 < hπ m, ebo H : hπ = r 0 +. Testová statistika příslušící prví variatě se azývá trace statistic, druhé variatě maximum eigevalue statistic. V prostředí R je Johaseův test implemetová fukcí ca.jo z kihovy urca. 25

Kapitola 3 BN rozklad v praxi 3. Teoretický základ V této kapitole se vrátíme k původí myšlece BN rozkladu jako rozkladu časové řady a tred a cyklus. Uvažujme yí m-rozměrý proces {X t } t Z, jehož všechy složky jsou I. Ozačme jeho diferece Z t = X t X t a Y t = Z t µ, kde µ = EZ t. Dále ozačme Ŷ tj = EY t+j Y t, Y t,... předpověd Y t+j v čase t. Potom podle BN rozkladu dostáváme tred a cyklickou složku X t = X t + lim k C t = lim k k Ŷ t j j= k Ŷ t j. Při praktickém výpočtu rozkladu tak arážíme a ekoečý součet lim k j= k Ŷ t j. j= Jedou z možostí je samozřejmě aproximovat jej koečým součtem K j= Ŷ tj pro dostatečě veliké K. Neí to ovšem vždy uté. M. A. Ariño a P. Newbold ve svém čláku [] prezetují metodu pro přesý a efektiví výpočet tohoto rozkladu pro model VARMA, kterou zde uvedeme a vyzkoušíme a reálých datech. Předpokládejme ejprve, že složky X t ejsou koitegrovaé a diferece Z t se řídí modelem VARMAp, q kde AL = I m ALY t = MLε t, Y t = Z t µ, p A j L j a ML = I m + j= Věta 3.. V BN rozkladu procesu VARMAp,q je q M j L j. j= C t = lim k k Ŷ t j = j= q p p Ŷ t j + A A i Ŷ t q j +, j= j= i=j 26

kde Ŷ ti = Y t+i pro i 0. Důkaz. Pro h je Ŷ t q + h = EY t+q+h Y t, Y t,... p = E A j Y t+q+h j + ε t+q+h + ebot j= q M j ε t+q+h j Y t, Y t,... j= p = E A j Y t+q+h j Y t, Y t,... = j= p A j Ŷ t q + h j, j= pro l. Idukcí podle h dokážeme, že kde B j h = Eε t+l Y t, Y t,... = Eε t+l = 0 p Ŷ t q + h = B j hŷ tq j, 3. p A i B j h i, 0 j p, h 3.2 i= s počátečími podmíkami B j h = { 0 j + h 0, h 0 I m j + h = 0, h 0. Pro h 0 rovost 3. zřejmě platí, ebot po dosazeí počátečích podmíek zbyde a pravé straě pouze čle s j = h. V idukčím kroku pak předpokládáme p Ŷ t q + h = B j hŷ tq j a dostáváme Ŷ t q + h + = = = p A j Ŷ t q + h + j j= p j= p i=0 B i h + jŷ tq i A j p i=0 p A j B i h + j Ŷ t q i j= } {{ } B i h+ p = B i h + Ŷ tq i. i=0 27

Tím je důkaz rovosti 3. hotov. Můžeme tedy dosadit do vztahu C t = lim k k Ŷ t j = j= q j= Ŷ t j + lim k k Ŷ t q + h. h= Posledí čle je pak lim k k h= Ozačíme-li dostáváme Ŷ t q + h = lim k C t = p k h= p B j hŷ tq j = lim k B j = lim k k B j h, h= k B j hŷ tq j. h= p q Ŷ t j + B j Ŷ t q j. 3.3 j= Zbývá pouze dopočítat B j. Podle 3.2 je k B j h = h= k h= p A i B j h i = i= p i= A i k i h= i B j h. Limitím přechodem pro k s přihlédutím k počátečím podmíkám dostáváme p B j = B j h a odtud = i= p i= A i A i h= i h= B j h + p = A i B j + i= B j = A p i=j+ p i= p A i i=j+ A i Dosazeím do 3.3 získáme dokazovaou rovost. A i. 0 h= i B j h Nyí přepokládejme, že mezi složkami řady X t existuje r < m lieárě ezávislých koitegračích vztahů, tj. existuje r m matice β hodosti r taková, že řada β X t je stacioárí. Ozačme µ c = Eβ X t a Z t = β X t µ c a uvažujme VEC model AL LX t = γ + αβ X t + MLε t, 3.4 kde α je m r matice parametrů, AL a ML jsou defiováy jako u modelu VARMAp, q a γ = Aµ αµ c. Rovici 3.4 můžeme rozepsat jako LX t + AL I m LX t = γ + αβ X t + ε t + ML I m ε t. 28

Vyásobeím β a přeuspořádáím čleů dostaeme β X t I m + β αβ X t + β AL I m LX t = = β γ + β ε t + β ML I m ε t. 3.5 Rovice 3.4 a 3.5 můžeme psát jako ALY t αz t = MLε t I m I m + β αlz t + β AL I m Z t = η t + β ML I m ε t, kde η t = β ε t. tyto dvě rovice ám pak dávají VARMA model A LY t = M Lε t, 3.6 kde Y Y t = t, Z t ε εt t =, η t A AL αl L = β AL I m I m I m + β αl M ML 0 L = β. ML I m I m a Na model 3.6 můžeme použít větu 3. a dostaeme C t = lim k k Ŷ t j = j= q p p Ŷ t j + A A i Ŷ t q j +. 3.7 j= j= i=j Cyklická složka v původím modelu je pak C t = I m X t + C t. 0 m r C t a tred X t = 3.2 Praktická aplikace Metodu z předchozí části yí použijeme pro aalýzu reálého očištěého od iflace obou zemí kurzu amerického dolaru vůči české koruě ispirovaou člákem [3]. Přesý rozklad avíc porováme s přibližými rozklady získaými aproximací lim k k Ŷ t j j= K Ŷ t j 3.8 pro růzé hodoty K. Jako pomocé proměé do ašeho modelu použijeme akciové idexy obou států očištěé od iflace idex PX-GLOB za ČR a idex S&P 500 za USA a rověž idexy průmyslové produkce obou zemí. Před použitím všechy řady zlogaritmujeme. Idexy průmyslové produkce avíc očistíme od ročí sezoosti tím, že od každého pozorováí odečteme průměrou hodotu pro příslušý kaledáří 29 j=

ozačeí ázev zdroj ER směý kurz USD/CZK [7] SP I c akciový idex ČR [6] SP I u akciový idex USA [0] IP I c idex prům. produkce ČR [8] IP I u idex prů. produkce USA [4] CP I c iflace ČR [9] CP I u iflace USA [5] Tabulka 3.: Použitá data. kritérium AIC HQ SC FPE řád p 3 3 3 Tabulka 3.2: Doporučeý řád modelu a základě růzých kriterií. měsíc a přičteme průměr celkový. Použitá data jsou shruta v tabulce 3.. Aalýzu provádíme v prostředí R verze 2.5.. Zdrojový kód je v přiložeém souboru vypocet.r, použitá data pak v souboru data.csv. Jde o měsíčí data za období lede 2000 červe 203. Model specifikujeme podle ávodu podaého v druhé kapitole. Nejprve určíme řád modelu VAR pro ediferecovaou časovou řadu. V tabulce 3.2 jsou uvedeé řády p, pro které je dosažea miimálí hodota jedotlivých iformačích kriterií, která program R abízí. Tři ze čtyř shodě udávají řád p = 3, čemuž odpovídá řád modelu VEC p = 2, který pro áš model použijeme. Dále zjistíme, zda ejsou ěkteré složky řady itegrovaé. K tomu ám poslouží ADF test, jehož p-hodoty jsou shruty v tabulce 3.3. U žádé řady elze zamítout ulovou hypotézu, tedy je považujeme za itegrovaé. U prvích diferecí však již ulovou hypotézu bezpečě zamítáme, podle ADF testu jsou tedy všechy řady I a je a místě otestovat možou přítomost koitegrace. Provedeme proto sérii Johaseových testů ve variatě trace statistic. Výsledky jsou shruty v tabulce 3.4, podle testu skutečě existuje mezi řadami jede koitegračí vztah, model tedy idetifikujeme jako VEC2. K odhadu parametrů modelu v R použijeme fukci cajorls z kihovy urca, která parametry odhade metodou ejmeších čtverců. Pro výpočet rozkladu v odhadutém modelu použijeme vzorec 3.7. Vývoj kurzu USD/CZK spolu s tredem spočteým pomocí BN rozkladu vidíme a obrázku 3.. Pro srováí vyzkoušíme ještě přibližý výpočet tredu podle vzorce 3.8 pro hodoty K =, 5, 0, 20. Srováí s přesým výpočtem vidíme a obrázcích 3.2 3.5. Je patré, že řada Ŷ t j j= koverguje rychle, již pro K = 20 je aproximace v grafu erozezatelá od přesého výsledku. Nicméě vzhledem k existeci přesé a efektiví metody eí důvod spokojit se s aproximací. 30

p-hodota řada ediferecovaé. diferece ER 0,67 < 0,0 SP I c 0,9 < 0,0 SP I u 0,43 < 0,0 IP I c 0,7 < 0,0 IP I u 0,60 < 0,0 Tabulka 3.3: P-hodoty ADF testu. hypotéza test. statistika 0% krit. hod. 5% krit. hod. % krit. hod. r = 0 72,79 66,49 70,60 78,87 r = 38,93 45,23 48,28 55,43 r = 2 2,72 28,7 3,52 37,22 r = 3 6,00 5,66 7,95 23,52 r = 4 0,73 6,50 8,8,65 Tabulka 3.4: Výsledky Johaseova testu. BN rozklad realeho kurzu USD/CZK Presy vypocet realy kurz USD/CZK 5 0 5 20 25 skuteca hodota tred 2000 2002 2004 2006 2008 200 202 datum Obrázek 3.: BN rozklad reálého kurzu USD/CZK - přesý výpočet. 3

BN rozklad realeho kurzu USD/CZK Aproximace pro K= realy kurz USD/CZK 5 0 5 20 25 presy aproximace 2000 2002 2004 2006 2008 200 202 datum Obrázek 3.2: Aproximace pro K =. BN rozklad realeho kurzu USD/CZK Aproximace pro K=5 realy kurz USD/CZK 5 0 5 20 25 presy aproximace 2000 2002 2004 2006 2008 200 202 datum Obrázek 3.3: Aproximace pro K = 5. 32

BN rozklad realeho kurzu USD/CZK Aproximace pro K=0 realy kurz USD/CZK 5 0 5 20 25 presy aproximace 2000 2002 2004 2006 2008 200 202 datum Obrázek 3.4: Aproximace pro K = 0. BN rozklad realeho kurzu USD/CZK Aproximace pro K=20 realy kurz USD/CZK 5 0 5 20 25 presy aproximace 2000 2002 2004 2006 2008 200 202 datum Obrázek 3.5: Aproximace pro K = 20. 33

Závěr Zabývali jsme se Beveridgeovým Nelsoovým rozkladem a jeho zobecěím pro vícerozměré áhodé procesy. V prví kapitole jsme ukázali jeho využití v teorii coby prostředku k důkazu limitích vět pro lieárí proces. Ve druhé kapitole jsme podali stručý ávod ke specifikaci oblíbeého modelu VEC pro koitegrovaé časové řady. Ve třetí kapitole jsme pak vyzkoušeli BN rozklad v praxi k určeí tredu v časové řadě kurzu amerického dolaru vůči české koruě. 34

Dodatek A Růzá používaá tvrzeí Zde uvádíme růzá tvrzeí především z teorie pravděpodobosti a lieárí algebry, která v textu využíváme, ovšem s tématem práce přímo esouvisí. Věta A. Ekvivalece orem. Necht X je reálý či komplexí vektorový prostor koečé dimeze. Pak všechy ormy a X jsou si ekvivaletí, tj. jsou-li a a b dvě ormy a X, pak ex. čísla 0 <, N < taková, že x a x b N x a x X. Důkaz. Viz [3], str. 272, důsledek 5.4.5. Věta A.2 Sčitatelost v L 2. Necht X L 2, N jsou ekorelovaé. Pak = X EX je sčitatelá v L 2, právě když = var X <. Důkaz. Viz [4], str. 68, věta.4. Věta A.3 Sčitatelost s.j.. Necht X 0, N. Pak = X je sčitatelá skoro jistě, právě když = EX <. Důkaz. Posloupost částečých součtů N = X, N N je eklesající, tedy má bodovou limitu X a podle Lebesgueovy věty je EX = E lim N N X = lim E N X = lim N N = a tedy musí být X < s.j. = N EX <, Věta A.4 Postačující podmíka kovergece s.j.. Necht X, N jsou áhodé veličiy takové, že = E X p s.j. < pro ějaké p > 0. Pak X Důkaz. Podle Markovovy erovosti je k Z P X k kp = = a podle Borelova Catelliho lemmatu je pak k Z = E X p < P lim sup[ X ] = 0, k 35 0.

tedy tj. a tedy X s.j. 0. k Z P X l k = 0, P k Z = l= = l= X l < k =, Defiice A.5 Kroeckerův souči. Necht A = a ij m, i,j= a B = bij p,q i,j= jsou matice. Pak bloková matice mp q A B def = je Kroeckerovým součiem matic A a B. a B a B.. a m B a m B Defiice A.6 Operátor vec. Necht A = a,..., a je m matice tvořeá sloupcovými vektory a,..., a. Operátor vec trasformuje matici A a m-rozměrý vektor spojeím těchto sloupců, tedy veca def = a. Lemma A.7 Vlastosti Kroeckerova součiu a operátoru vec. Pro matice vyhovujících rozměrů platí: i A B = A B ii A BC D = AC BD iii tra B = tra trb iv veca + B = veca + vecb v vecabc = C A vecb a. vi vecab = I A vecb = B I veca Důkaz. [5], str. 66 662. Věta A.8. Necht < p <. Pokud {X } N je m-rozměrý martigal a sup N E X p <, pak X koverguje v L p i skoro jistě. Důkaz. Pro k {,..., m} a ějaké K > 0 je sup N E X k p sup N E X p p K sup E X p <. N Podle [] str. 8, důsledek 2.2 tak kovergují jedotlivé složky procesu {X } a tedy koverguje i samotý proces {X }. 36

Lemma A.9. Necht {X } = je posloupost áhodých veliči taková, že Pak také Důkaz. Ozačme jev X s.j. 0. max X s.j. t 0. 0 t A = [ ] X 0 a zvolme ω A libovolé pevé. Jelikož max 0 t X t ω se poprvé abývá v ějakém čase t ω, je 0 max 0 t X tω = X t ωω t ω X t ωω. Posloupost {t ω} = je zřejmě eklesající, tedy existuje T ω def = lim t ω N. Je-li T ω =, je { } t ω X t ωω = podposloupost vybraá z { } X ω a = max 0 t X tω 0. Je-li T ω N, pak pro dostatečě velká je t ω = T ω a Jelikož přičemž P A =, platí max 0 t X tω = X t ωω = X T ωω 0. max 0 t X tω 0 ω A, max X s.j. t 0. 0 t Lemma A.0 Záměa maxima a limes superior. Necht {a } =, {b } = jsou poslouposti reálých čísel. Pak lim sup max{a, b } = max{lim sup a, lim sup b } 37

Důkaz. i lim sup max{a, b } max{lim sup a, lim sup b }: Neí-li posloupost {max{a, b }} = shora omezeá, je a erovost zřejmě platí. Jiak je lim sup max{a, b } = lim sup max{a, b } = lim sup k lim sup a k k = lim sup a k max{a k, b k } Obdobě je lim sup max{a, b } lim sup b k. ii lim sup max{a, b } max{lim sup a, lim sup b }: Je-li číslo h hromadou hodotou poslouposti {max{a, b }}, pak existuje vybraá podposloupost taková, že max{a k, b k } h. Z í lze ovšem vybrat podposloupost tvořeou pouze prvky {a } ebo pouze prvky {b }. Tedy platí, že H{max{a, b }} H{a } H{b }, kde H{x } je možia hromadých hodot poslouposti {x }, a max H{max{a, b }} max{max H{a }, max H{b }} Věta A. ZIL pro i.i.d. veličiy. Necht {X t } t= je posloupost i.i.d. cetrovaých áhodých veliči s rozptylem 0 < σ 2 <. Pak lim sup X 2σ2 l 2 t s.j. Důkaz. Situace s ezávislými veličiami je speciálím případem věty dokazovaé v čláku [2], str. 70. Věta A.2 Burkholderova erovost. Necht S, N je martigal s diferecemi X = S S. Necht < p <. Pak existují kostaty c p a d p závisející pouze a p takové, že c p E k= X 2 k p 2 Důkaz. Viz [], str. 23, věta 2.0. t= E S p d p E k= X 2 k p 2. Lemma A.3. Necht A je čtvercová matice se spektrálím poloměrem ρa = max{ λ, λ je vlastím číslem A} a ε > 0. Pak existuje submultiplikativí maticová orma taková, že Důkaz. Viz [3], str. 297, lemma 5.6.0. A ρa + ε. 38

Literatura [] Ariño M. A. Newbold P.: Computatio of the Beveridge Nelso decompositio for multivariate ecoomic time series, Ecoomic Letters, October 998, Volume 6, Issue, s. 37 42. [2] Beveridge S., Nelso C. R.: A ew approach to decompositio of ecoomic time series ito permaet ad trasitory compoets with particular attetio to measuremet of the busiess cycle, Joural of Moetary Ecoomics, 98, Volume 7, Issue 2, s. 5 74. [3] Beyaert A. Media A. J. Q.: Computatio of the Beveridge Nelso decompositio i the case of coitegrated systems with I0 variables, Ecoomic Letters, September 200, Volume 72, Issue 3, s. 283 289. [4] Board of Goverors of the Federal Reserve System, US IP ot seasoally adjusted [olie], [cit. 203-08-4], Dostupé z: http://www.federalreserve.gov/releases/g7/ipdisk/ip sa.txt [5] Bureau of labor Statistics, Cosumer Price Idex All Urba Cosumers [olie], [cit. 203-08-4], Dostupé z: http://data.bls.gov/cgibi/surveymost?cu [6] Burza ceých papírů Praha, Burza ceých papírů Praha [olie], [cit. 203-08-07], Dostupé z: http://ftp.pse.cz/ifo.bas/cz/px-glob.csv [7] Česká árodí baka, Databáze agregovaých časových řad ARAD [olie], [cit. 203-08-4], Dostupé z: http://www.cb.cz/docs/arady/html/idex.htm [8] Český statistický úřad, Idex průmyslové produkce: bazické idexy 0/2000 06/203 [olie], [cit. 203-08-07], Dostupé z: http://www.czso.cz/csu/csu.sf/i/tab prucr3/$file/prucr08063.xls [9] Český statistický úřad, Iflace 0/97 06/203 [olie], [cit. 203-08-07], Dostupé z: http://www.czso.cz/csu/redakce.sf/i/mira iflace [0] Federal Reserve Bak of St. Louis, S&P 500 Stock Price Idex SP500 [olie], [cit. 203-08-4], Dostupé z: http://research.stlouisfed.org/fred2/series/sp500/dowloaddata [] Hall P. Heyde C. C.: Martigale Limit Theory ad Its Applicatio, New York: Academic Press, 980. 39

[2] Hartma P. Witer A.: O the Law of the Iterated Logarithm, America Joural of Mathematics, Ja. 94, Vol. 63, No., s. 69 76. [3] Hor R. A. Johso C. R.: Matrix aalysis, Cambridge: Cambridge Uiversity Press, 985. [4] Lachout P.: Teorie pravděpodobosti, 2. vyd., Praha: Karolium, 2004. [5] Lütkepohl H.: New Itroductio to Multiple Time Series Aalysis, Berli: Spriger, 2005. [6] Philips P. C. B. Solo V.: Asymptotics for Liear Processes, The Aals of Statistics, Ju. 992, Vol. 20, No. 2, s. 97 00. 40

Sezam zkratek a použité začeí Zkratky ADF test AIC ARIMA BN rozklad CLV FPE HQ SC SZVČ VAR VARMA VEC ZIL augmeted Dickey Fuller test Akaikeho iformačí kriterium autoregressive itegrated movig average Beveridgeův Nelsoův rozklad cetrálí limití věta fial predictio error Haahovo Quiovo iformačí kriterium Schwarzovo iformačí kriterium silý záko velkých čísel vektorová autoregrese autoregressive movig average vector error correctio záko iterovaého logaritmu Použité začeí Pro lepší přehledost používáme zpravidla ásledující kovece a symboly: C velká tučá písmea z počátku abecedy ozačují matice kostat c ij horí idexy ozačují prvek matice C a i-tém řádku v j-tém sloupci c malá tučá písmea ozačují vektory c i pomocí symbolu ozačujeme i-tý řádek matice C C t dolí idex ozačuje t-tý prvek poslouposti {C t } t I m jedotková matice m m X velká písmea z koce abecedy ozačují áhodé veličiy X velká tučá písmea z koce abecedy ozačují áhodé vektory s.j. d P kovergece skoro jistě kovergece v distribuci kovergece v pravděpodobosti l. i. m. kovergece podle kvadratického středu 4

Sezam obrázků 3. BN rozklad reálého kurzu USD/CZK - přesý výpočet...... 3 3.2 Aproximace pro K =......................... 32 3.3 Aproximace pro K = 5......................... 32 3.4 Aproximace pro K = 0........................ 33 3.5 Aproximace pro K = 20........................ 33 42

Sezam tabulek 3. Použitá data.............................. 30 3.2 Doporučeý řád modelu a základě růzých kriterií......... 30 3.3 P-hodoty ADF testu......................... 3 3.4 Výsledky Johaseova testu...................... 3 43