Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní matice 3 Maticové rovnice Pierre Simon de Laplace
Permutace Definice (permutace Necht jsou dána čísla 1, 2, 3,..., n. Každá uspořádaná n-tice utvořená z těchto prvků se nazývá permutace. Počet všech různých permutací skupiny n prvků je n!. Příklad (permutace Permutace tří prvků 1, 2, 3 jsou trojice (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2, (3, 2, 1. Jejich počet je 3! 3 2 1 6. Definice (inverze Necht (k 1, k 2,..., k n je nějaká permutace čísel 1, 2, 3,..., n. Říkáme, že dvojice (k i, k j, kde i < j, tvoří v této permutaci inverzi, je-li k i > k j. Příklad (počet inverzí 1 V permutaci (2, 4, 1, 3 čísel 1, 2, 3, 4 tvoří každá z dvojic (2, 1, (4, 1, (4, 3 inverzi. Permutace má 3 inverze. 2 Permutace (4, 2, 1, 3 čísel 1, 2, 3, 4 má celkem 4 inverze: (4, 2, (4, 1, (4, 3, (2, 1.
Determinant Definice (determinant Necht A je čtvercová matice řádu n. Determinantem matice A nazýváme reálné číslo det A ( 1 p a 1k1 a 2k2... a nkn, kde sčítáme přes všechny permutace (k 1, k 2,..., k n sloupcových indexů. Číslo p udává počet inverzí příslušné permutace. Značíme a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A A....... a n1 a n2 a nn Poznámka (determinant Determinant matice je definován pouze pro čtvercovou matici. Determinant matice je součet součinů prvků matice vybraných tak, že z každého řádku a z každého sloupce je vybrán právě jeden prvek. Prvky příslušného součinu jsou uspořádány tak, aby na prvním místě byl prvek z 1. řádku, na druhém místě z 2. řádku atd. Součiny jsou opatřeny znaménkem podle permutace sloupcových indexů. Poznámka (hlavní a vedlejší diagonála Prvky a 11, a 22,, a nn tvoří hlavní diagonálu, prvky a n1, a n 1,2,, a 1n tvoří vedlejší diagonálu.
Křížové a Sarrusovo pravidlo Výpočet determinantů matic řádu 1, 2 1 Determinant matice řádu 1: det A a 11 a 11 2 Determinant matice řádu 2 (křížové pravidlo: det A a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 Determinant se rovná součinu prvků hlavní diagonály minus součin prvků vedlejší diagonály. schéma pro zapamatování: a 11 a 12 a 11a 22 a 12a 21 a 21 a22 + Výpočet determinantů matic řádu 3 3 Determinant matice řádu 3 (Sarrusovo pravidlo: det A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 schéma pro zapamatování: a 11 a 22 a 33 +a 13 a 21 a 32 +a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 31 a 22 a32 a 23 a 33 + a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 + a 21 a 22 a 23 + První dva řádky opíšeme pod determinant, setrojíme součiny podle naznačených spojnic a opatříme je uvedenými znaménky.
Příklad (křížové a Sarrusovo pravidlo 1 křížové pravidlo: 2 1 3 1 2 1 ( 1 3 2 + 3 5 2 Sarrusovo pravidlo: 2 3 1 1 2 1 0 3 4 2 3 1 1 2 1 ( 2 2 4 + 1 3 ( 1 + 0 3 ( 1 ( 1 2 0 ( 1 3 ( 2 4 3 1 16 3 + 0 0 6 12 19 18 37 Poznámka (výpočet determinantů matic řádu n 4 Pro výpočet determinantů matic čtvrtého a vyšších řádů neexistuje žádné obdobné pravidlo k Sarrusovu a křížovému pravidlu. Vlastnosti determinantu Věta (determinant transponované matice Pro libovolnou čtvercovou matici platí det A det A T. Poznámka (determinant transponované matice Transponováním matice se hodnota determinantu nezmění, můžeme v něm tedy zaměnit řádky za sloupce a naopak. Všechny vlastnosti determinantu, vyslovené pro řádky, platí také pro sloupce. Příklad (determinant transponované matice 2 1 3 0 2 3 1 0 3, 5 1 0 1 4 3 2 0 1 5 1 2 1 4 0 0 3 1 15
Vlastnosti neměnící a měnící hodnotu determinantu Věta (vlastnosti determinantu neměnící jeho hodnotu 1 Hodnota determinantu matice se nezmění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci násobek jiného řádku (sloupce. Věta (vlastnosti determinantu měnící jeho hodnotu 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva řádky (sloupce, determinant změní znaménko. 3 Vynásobíme-li jeden řádek (sloupec nenulovým číslem k, zvětší se hodnota determinantu k-krát. Poznámka (vlastnosti determinantu Uvedené vlastnosti se používají při úpravách determinantů vyšších řádů, kdy pomocí nich vytvoříme v některém řádku, resp. sloupci co nejvíce nul. Příklad (vlastnosti determinantu 1 2 3 4 3 1 1 4 3 3 4 přičtení 1. řádku k 2. řádku 2 3 4 1 2 1 3 2 4 1 2 3 7, 4 3 1 1 0 7 1 1 7 přičtení 4-násobku 2. řádku k 1. řádku, 2 3 4 1 3 2 1 4 14 ( 14 14 ( 14 záměna řádků 1 4 8 4 3 2, 2 1 3 2 záměna sloupců 1 3 2 3 3 6 7 1 4 ( 28 7 1 3 ( 21 vynásobení 1. řádku číslem 4 vynásobení 2. sloupce číslem 3
Poznámka (vytýkání před determinant Z vlastnosti 3 plyne, že jsou-li prvky některého řádku (sloupce násobkem nějakého čísla, můžeme toto číslo vytknout před determinant. Příklad 30 15 10 3 2 6 24 10 8 3 5 2 2 300 3 2 3 1 1 2 3 4 5 2 10 15 10 1 2 6 8 10 8 3 5 2 3 2 1 2 6 8 10 8 3 5 2 2 3 2 1 2 6 4 5 4 60[8 + 36 + 5 (8 + 30 + 6] 60[49 44] 60 5 Nulovost determinantu Věta (nulovost determinantu Determinant matice se rovná nule, je-li jeden z jeho řádků (sloupců lineární kombinací ostatních řádků (sloupců. Determinant je roven nule, jsou-li jeho řádky nebo sloupce lineárně závislé. Poznámka (nulovost determinantu Determinant je nulový zejména, jestliže některý jeho řádek (sloupec je nulový, některý řádek (sloupec je násobkem jiného řádku (sloupce, dva řádky (sloupce jsou stejné.
Příklad (nulovost determinantu 2 3 1 1 0 2 3 0 6 1 6 0 0 2 1 1 3 1 1 0 2 2 0, protože 3. řádek je (-3-násobkem 2. řádku 0, protože 2. řádek je nulový 0, protože 2. a 3. sloupec jsou stejné Věta (výpočet determinantu - součin prvků na hlavní diagonále Determinant matice, která má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu prvků na její hlavní diagonále. Příklad (výpočet determinantu - součin prvků na hlavní diagonále 1 2 3 4 1 0 3 4 1 2 0 4 1 2 3 4 + + + 1. řádek jsme postupně přičetli k 2., 3. a 4. řádku 1 2 3 4 0 2 6 8 0 0 3 8 1 2 3 8 48 0 0 0 8
Výpočet determinantů matic vyšších řádů Výpočet determinantů matic čtvrtého a vyšších řádů převádíme na výpočet determinantů nižších řádů pomocí Laplaceova rozvoje. Definice (subdeterminant, algebraický doplněk Necht A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v determinantu matice A i-tý řádek a j-tý sloupec, dostaneme determinant M ij matice řádu n 1, který nazýváme subdeterminant (minor příslušný prvku a ij. Algebraickým doplňkem A ij prvku a ij v determinantu matice A nazýváme číslo A ij ( 1 i+j M ij. Indexy i, j u subdeterminantu M ij vyjadřují, že jsme v determinantu vynechali i-tý řádek a j-tý sloupec. Příklad (subdeterminant, algebraický doplněk Mějme dán determinant det A 2 3 2 1 1 1 0 5 4 subdeterminant a algebraický doplněk prvku a 32 jsou 2 3 2 A 1 1 1 M 32 2 2 0 5 4 1 1 2 + 2 4, A 32 ( 1 3+2 2 2 1 1 ( 1 4 4 subdeterminant a algebraický doplněk prvku a 21 jsou 2 3 2 A -1 1 1 M 21 3 2 0 5 4 5 4 12 10 2, A 21 ( 1 2+1 3 2 5 4 ( 1 2 2.
Laplaceův rozvoj Věta (Laplaceův rozvoj Pro každý determinant matice A řádu n 2 platí det A a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in pro i 1, 2,..., n, (Laplaceův rozvoj determinantu podle i-tého řádku, det A a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj pro j 1, 2,..., n, (Laplaceův rozvoj determinantu podle j-tého sloupce kde A ij je algebraický doplněk prvku a ij. Poznámka (Laplaceův rozvoj Determinant se rovná součtu všech součinů prvků libovolného řádku (sloupce a jejich algebraických doplňků. Tyto vzorce se používají pro výpočet determinantů matic řádu 4 a vyššího. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklad (Laplaceův rozvoj 1 1 2 2 1 0 1 1 1 3 2 0 1 0 5 3 1 ( 1 1+2 +3 ( 1 3+2 1 1 1 1 2 0 1 5 3 1 2 2 1 1 1 1 5 3 + 0 ( 12+2 + 0 ( 14+2 1 2 2 1 2 0 1 5 3 1 2 2 1 1 1 1 2 0 ( 1[6 + 0 5 ( 2 + 0 + 3] 3[3 2 + 10 (2 5 + 6] ( 1[1 1] 3[11 3] 24 Provedli jsme rozvoj podle 2. sloupce, protože obsahoval nejvíce nul. Vzniklé determinanty třetího řádu jsme vypočetli pomocí Sarrusova pravidla. Počítali jsme pouze ty, které nebyly násobeny nulovým prvkem.
Výpočet determinantů matic řádu n 4 Výpočet determinantů matic n-tého řádu, kde n 4, převádíme pomocí Laplaceova rozvoje na výpočet determinantů řádu (n 1. Předtím je však výhodné původní determinant upravit pomocí vlastností determinantu č. 1 a č. 3 tak, aby v některém řádku nebo sloupci byly všechny prvky kromě jednoho rovny nule. Podle tohoto řádku nebo sloupce (s jedním nenulovým prvkem pak determinant rozvineme. Obdržíme tak pouze jediný determinant řádu (n 1, který opět obdobným způsobem upravíme a rozvineme. Takto postupujeme, až dostaneme determinant 3. řádu, který již vyčísĺıme Sarrusovým pravidlem. Příklad (Výpočet determinantů matice řádu 4 2 1 1 2 + 0 0 2 4 3 3 2 1 + 2-1 3 2 3 0 7 7 3 2-1 3 2 3 1 2 1 + 5 0 5 1 0 2 4 ( 1 ( 1 2+3 3 7 7 (+1[0 70 60 ( 140 + 0 6] 16 5 5 1
Příklad (Výpočet determinantů matic řádu n 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 + 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 + 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 + 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 ( 1 1+1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1-1 0 0 1 1 1 1 1 + 0 1 1 2 0 1 1 ( 1 ( 1 3+1 1 0 1 ( 1[0 1 1 (0 + 0 + 2] ( 1( 4 4 1 1 2 Inverzní matice Definice (regulární a singulární matice Čtvercová matice A řádu n se nazývá regulární, jestliže determinant této matice je různý od nuly. V opačném případě mluvíme o singulární matici. Poznámka (regulární a singulární matice Je-li matice A regulární, potom h(a n, řádky (sloupce matice A jsou lineárně nezávislé. Je-li matice A singulární, potom h(a < n, řádky (sloupce matice A jsou lineárně závislé.
Definice (inverzní matice Necht A je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A 1 stejného řádu taková, že platí A A 1 A 1 A I, nazýváme matici A 1 inverzní maticí k matici A. Věta (inverzní matice K regulární matici A existuje právě jedna inverzní matice A 1. Inverzní matici lze nalézt pouze k regulární matici, tedy ke čtvercové matici, jejíž řádky jsou lineárně nezávislé. Inverzní matice je určena jednoznačně. Výpočet inverzní matice Poznámka (výpočet inverzní matice 1 Transformace rozšířené matice (A I na tvar (I A 1 pomocí ekvivalentních řádkových úprav. 2 Pomocí adjungované matice. Postup výpočtu převodem na jednotkovou matici 1 Matici A rozšíříme vpravo o jednotkovou matici stejného řádu: (A I. 2 Pomocí ekvivalentních řádkových úprav převedeme matici A na diagonální a pak na jednotkovou matici I. Všechny úpravy provádíme s celými řádky matice (A I. 3 Jestliže jsme matici A převedli na jednotkovou matici I, pak matici I jsme převedli na A 1 : (A I (I A 1 4 Pokud matici A na jednotkovou matici nelze převést (během výpočtu dostaneme v levé části celý řádek nulový, inverzní matice A 1 neexistuje a matice A je singulární.
Příklad (výpočet inverzní matice př. 1 Najděte inverzní matici k matici A ( 2 7 1 4 ( 2 7 1 4 1 0 ( 0 1 1 4 2 7 0 1 2 1 0 + ( 1 0 0 1 4 7 ( 1 0 1 2 ( 1 4 7 0 1 1 2 A 1 ( 4 7 1 2 ( 1 4 0-1 0 1 + 1 2 4 Příklad (výpočet inverzní matice př. 2 K matici A 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 3 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 2 určete inverzní matici. 1 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 + 0-1 3 1 1 0 + 1 1 0 0 1 + 0 1 6 2 0 1 + 0 1 0 3 + 1 1 0 + 3 0 0 1 4 1 0 1 0 0 2 1 1/3 ( 1 1 1 1 1 0 0 3 1 1 1 1/3 1/3 4/3 1/3 0 2 1 A 1 1 1 4 1 0 6 3 3 1/3 1/3 1/3 1 1 1
Příklad (výpočet inverzní matice př. 3 K matici B 1 2 3 2 1 1 3 1 2 1 2 3 0 5 5 0 0 0 1 2 3 2 1 1 3 1 2 určete inverzní matici. 1 0 0 2 3 1 2 3 0 1 0 + 0-5 5 0 0 1 + 0 7 7 1 0 0 2 1 0 h(b 2 1 7 5 Matice B je singulární, proto inverzní matice B 1 neexistuje. 1 0 0 2 1 0 3 0 1 5 7 + Adjungovaná matice Definice (adjungovaná matice Necht A je čtvercová matice řádu n. Maticí adjungovanou k matici A nazveme matici, jejíž prvky se rovnají algebraickým doplňkům prvků matice A T. Matici adjungovanou značíme adj A. Algebraické doplňky jsou k prvkům transponované matice A T. Poznámka (adjungovaná matice Adjungovaná matice má tvar A T 11 A T 12 A T 1n A T 21 A T 22 A T 2n adj A...... A T n1 A T n2 A T nn kde A T ij je algebraický doplněk k prvku a ij matice A T.
Příklad (adjungovaná matice Určete adjungovanou matici k matici A A T 2 1 3 1 0 1 1 2 2 A T 11 ( 1 2 0 1 2 2 A T 12 ( 1 3 1 1 1 2 A T 13 ( 1 4 1 0 1 2 A T 31 ( 1 4 1 3 0 1 A T 32 ( 1 5 2 3 1 1 A T 33 ( 1 6 2 1 1 0 1 0 2 2 1 1 3 1 2. 2 AT 21 ( 1 3 1 3 2 2 4 3 AT 22 ( 1 4 2 3 1 2 1 2 AT 23 ( 1 5 2 1 1 2 3 1 5 adj A 2 3 2 4 1 3 1 5 1 1 Poznámka (Výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice Inverzní matici k regulární matici můžeme určit pomocí adjungované matice na základě vztahu A 1 1 det A adj A Pro matice řádu n > 3 je tento postup zdlouhavý, protože je potřeba spočítat n determinantů řádu (n 1. Proto je výhodnější počítat inverzní matici k těmto maticím transformací matice jednotkové.
Příklad (Výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice př. 1 ( 2 5 K matici A určete inverzní matici. 3 6 det A 2 5 3 6 12 15 3 0, AT ( 2 3 5 6 A T 11 ( 1 1+1 ( 6 6, A T 21 ( 1 2+1 3 3, A T 12 ( 1 1+2 5 5 A T 22 ( 1 2+2 ( 2 2 Adjungovaná a inverzní matice k matici A : ( 6 5 adj A 3 2 A 1 1 ( 6 5 2 3 3 2 1 5 3 2 3 Příklad (Výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice př. 2 Určete inverzní matici k matici A det A 0 2 1 1 2 1 2 1 1 A T 11 ( 1 2 2 1 1 1 A T 12 ( 1 3 2 1 1 1 A T 13 ( 1 4 2 2 1 1 A T 31 ( 1 4 1 2 2 1 A T 32 ( 1 5 0 2 2 1 A T 33 ( 1 6 0 1 2 2 0 2 1 1 2 1 2 1 1. 0 1 2 5 0 AT 2 2 1 1 1 1 1 AT 21 ( 1 3 1 2 1 1 1 3 AT 22 ( 1 4 0 2 1 1 2 4 AT 23 ( 1 5 0 1 1 1 1 3 A 1 1 1 3 4 1 2 1 5 4 3 4 2 2 1 1 3 4 1 2 1 5 3 4 2
Maticové rovnice Poznámka Rovnice, ve kterých je neznámou matice, se nazývají maticové rovnice. A + O A, O + A A A I A, I A A násobení matic není komutativní (platí i při vytýkání matic místo dělení matic používáme násobení inverzní maticí A A 1 I, A 1 A I Poznámka Necht A je regulární matice. Potom A X B X A 1 B (násobení zleva inverzní maticí X A B X B A 1 (násobení zprava inverzní maticí Příklad (maticové rovnice př. 1 Řešte maticovou rovnici X (A T + B 2(X + I B C, je-li ( ( ( 0 2 2 3 2 8 A, B, C. 3 1 2 0 2 1 X A T + X B 2X B + 2I B C X A T X B 2B C X (A T B 2B C X (A T B (A T B 1 (2B C (A T B 1 ( (A T 2 6 B 0 1 ( 2 14 2B C 2 1 X (2B C (A T B 1, (A T B 1 1 ( 1 6 2 0 2, X 1 ( 2 16 2 2 14 ( 1 8 1 7
Příklad (maticové rovnice př. 2 Řešte maticovou rovnici 2A + A X X A T + 2X, je-li ( 4 2 A. 5 3 ( 1 2 A 3I 5 0 ( A T 4 9 2A 12 3 2A + A X X A T + 2X A X 3X A T 2A (A 3I X A T 2A (A 3I 1 (A 3I X (A 3I 1 (A T 2A, (A 3I 1 1 10, X 1 10 X (A 3I 1 (A T 2A ( 0 2 5 1 ( 24 6 8 48 1 5 ( 12 3 4 24 Příklad (maticové rovnice př. 3 Řešte maticovou rovnici AXB C, kde ( ( ( 3 5 4 3 2 4 A, B, C 2 4 5 4 2 6 AXB C A 1 AXB A 1 C XB A 1 C XBB 1 A 1 CB 1 X A 1 CB 1 A 1 1 ( ( 4 5, B 1 4 3 2 2 3 5 4 X 1 ( ( ( 4 5 2 4 4 3 1 ( ( 2 14 4 3 2 2 3 2 6 5 4 2 2 10 5 4 ( 39 31 29 23