Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri 6. Kmitri V prxi se ěžě setáme s ptřeu určit, li způsy lze ěc prvést, přípdě li je mžých způsů, j ějý jev ste. Výpčty zmíěéh chrteru se zývá mitri. Záldím pricipem je prvidl sučiu. KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU Lze-li čist A prvést m způsy ezávisle í čist B způsy, p pčet všech mžých způsů, j prvést A i B se rvá m. Příld: V resturci jsu jídelíču růzé plévy růzá hlví jídl. Kli je všech mžých způsů, j si vyrt plévu í hlví jídl? Řešeí: Plévu lze vyrt třemi způsy, ezávisle í hlví jídl čtyřmi způsy. Pdle prvidl sučiu lze vyrt celem způsy určitu plévu í hlví jídl. Kmitricé prvidl sučiu pltí i pr přípd více ež dvu ezávislých čistí. Příld: () J si může ze své grdery pr dpledí vycházu vyrt z 5 růzých hlee, ze 7 růzých suí ze růzých párů t. Kli růzými způsy se může léci? Řešeí: J se může léci celem 57 růzými způsy. () Bezpečstí záme u ufříu je struvá ze tří tčých leče. N ždém z ich lze stvit číslice,,, 9. Kli růzých figurcí má ezpečstí záme? Řešeí: Kždá figurce je uspřádá trjice (,, c). N ždé z plh,, c lze stvit ezávisle sě růzých plh číslicemi,,, 9. Celvý pčet figurcí je p. K výsledu lze dspět i jiu úvhu: Pčet figurcí musí dpvídt pčtu růzých trjmístých čísel (tj.,,,,, 999), terých je celem. Úvhy dpsud prváděé lze převést úvhy uspřádých -ticích. T v předchzím příldu () jde pčet uspřádých trjic (hle, suě, ty),
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri v příldu () pčet trjic čísel (,, c). P lze mitricé prvidl sučiu ecě frmulvt tt: Pčet všech uspřádých -tic, z ichž prví čle lze vyrt růzými způsy, druhý čle p výěru prvíh čleu růzými způsy td., ž -tý čle p výěru ( ). čleu růzými způsy, se rvá. Příld: Kli růzými způsy se může seřdit 6 lietů d frty u přepážy ve spřitelě? Řešeí: Klieti vytvářejí růzé uspřádé šestice (,,,, 5, 6 ). Čle, tj. liet stjícíh j prvíh, lze vyrt 6 způsy. P výěru čleu lze čle vyrt již puze 5 způsy ( liet již yl vyrá prví míst), čle způsy td., ž čle 6 jediým způsem. Celem lze tedy vytvřit 65 7 růzých frt. Kmitricé úlhy lze rztřídit d supi, mjících splečý "výpčetí záld" tzv. vricí, permutcí, micí jejich mdificí. VARIACE Vrice -té třídy z prvů ( ) je ždá uspřádá -tice růzých prvů vyrých z prvů. Pčet všech růzých vricí -té třídy z prvů se zčí V (). [Slvy ji: Vrice je -tice vyrá z prvů, přičemž v í záleží přdí ždý z prvů se v í vysytuje ejvýše jedu]. Příld: Všechy růzé vrice druhé třídy z prvů,, c, d jsu (přehledě): je prví c d je prví c je prví d je prví c d c c cd d d dc Pltí V (). Pr pčet V () všech růzých vricí -té třídy z prvů pltí vzrec ( ) ( ) ( ) V. (6.)
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri Tet vzrec se zpisuje vyle ve tvru! V ( ), (6.) ( )! de ( )( )!, přičemž se defiuje! ;! se čte " ftriál". Příld: Mžer prtfli dspěl závěru, že cie splečstí splňují jeh ivestrsé záměry. Z těcht třiácti má určit včetě přdí, teré ství jejich preferece. Kli způsy t může prvést? Řešeí: Jde vrice. třídy ze prvů, pltí ( ) Výěr lze prvést 76 způsy.!!! V 76.!!! ( ) Připustí-li se pváí prvů v uspřádé -tici vyré z prvů, p se hvří vrici s pváím: Vrice s pváím -té třídy z prvů je ždá uspřádá -tice prvů vyrých z prvů. Pčet všech růzých vricí s pváím -té třídy z prvů se zčí ( ) V. Příld: Všechy růzé vrice s pváím druhé třídy z prvů,, c, d jsu:,, c, d;,, c, d; c, c, cc, cd; d, d, dc, dd. Pltí ( ) 6 V. Pr pčet ( ) V všech růzých vricí s pváím -té třídy z prvů pltí vzrec ( ) V. (6.) Příld: Kli je všech mžých devítimístých telefích čísel?
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri Řešeí: 9 Jde vrice s pváím, ( ) V. 9 Zvláštím přípdem vricí jsu permutce (pr ). PERMUTACE Permutce prvů je ždá vrice -té třídy z prvů. Pčet všech permutcí z prvů se zčí P(). [Slvy ji: Permutce prvů je zápis těcht prvů v určitém přdí.] Příld: Všechy růzé permutce prvů,, c jsu: c, c, c, c, c, c. Pltí P() 6. Ze vzthu (6.) ihed vyplývá vzrec pr pčet permutcí prvů: P ( )!. (6.) Příld: Kli lze vytvřit všech slv přesmyču ve slvě BOULE? Řešeí: P(5) 5!. Permutce s pváím prvů je ždá vrice s pváím -té třídy, ve teré se < růzých prvů vysytuje v pčtech,,, (pltí p ). Pčet tvých permutcí se zčí P ( ),,. Pltí! P, ( ),. (6.5)!!! Příld: Kli růzých slv lze vytvřit přesmyču ve slvě KOLOKOL? Řešeí: Jde sedmici, ve teré s K vysytuje dvrát, O třirát L dvrát. Užitím (6.5) dsteme 7! 7 65 P ( 7).,,!!!
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri KOMBINACE Kmice se d vricí zásdě liší v tm, že ve vyré -tici ezáleží uspřádáí, ji řeče v -tici ezáleží přdí prvů. Kmicí -té třídy z prvů ( ) je ždý výěr růzých prvů z prvů. Pčet všech růzých micí -té třídy z prvů se zčí C (). [Slvy ji: Kmice je -tice prvů vyrá z prvů, přičemž v í ezáleží přdí ždý z prvů se v í vysytuje ejvýše jedu.] Příld: Všechy růzé mice druhé třídy z prvů,, c, d jsu:, c, d, c, d, cd. Pr pčet C () všech růzých micí -té třídy z prvů pltí vzrec:! C ( )!! ( ), (6.6) de se zývá mičí čísl čte se " d ". Pr vyčísleí pltí ( ) ( ) ( ). Npříld: 7 765. Příld: Kli způsy lze vyrt výry z výrů? Řešeí: 98 C. Jde mice třetí třídy z deseti prvů (ezáleží přdí), ( ) Pltí vzrce 5
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri 6,,,. (6.7) Kmičí čísl mjí v mtemtice širé upltěí, příld, při frmulci imicé věty. BINOMICKÁ VĚTA Bimicá vět udává vzrec pr umcěí sučtu: Pr livlá čísl, livlé přirzeé čísl pltí ( ). (6.8) Příld: ( ). 6 Příld: Kli je růzých pdmži mžiy, terá shuje prvů? Řešeí: Prázdá mži je jediá, pdmži shujících jede prve je, pdmži shujících prvy je (jde mice druhé třídy z prvů), pdmži shujících prvy je,, pdmži shujících ( ) prvů je, pdmži shující všechy prvy dé mžiy je jediá. Sečteím dstáváme ( ) ( ) ( ). pr 6.8 užitím,, 6.7 vyjádříme užitím
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri Cílvé zlsti. Užití mitricéh prvidl sučiu při řešeí ěžých mitricých úlh.. Rzlišeí mitricých úlh vrice, permutce, mice jejich mdifice.. Vzrce pr stveí pčtu vricí, permutcí, micí jejich mdificí. 7
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri VI. Kmitri_CVIČENÍ KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU. Z měst A d měst B vedu čtyři cesty, z měst B d měst C pět cest. Určete pčet cest, teré vedu z měst A d měst C přes měst B.. V hřečíě mjí ílých 8 čerých závdích í stejé výsti. N závd mjí vyrt dvjice, de ude jede čerý jede ílý ůň. Kli způsy mhu výěr prvést?. Máme dispzici rfiátů, žlutých červeých tulipáů. Kli způsy lze udělt ytiču, terá ude shvt rfiát, žlutý červeý tulipá?. Určete pčet všech čtyřciferých přirzeých čísel, v ichž se vysytuje ždá číslice ejvýše jedu. 5. Jsu-li vržey dvě sty, výslede lze vyjádřit uspřádu dvjicí (, ), de je čísl, teré pdl. stce, je čísl, teré pdl.stce. Kli je tvých růzých dvjic? Kli z ich je tvých, že sučty jsu vzájem růzé. VARIACE 6. Ve šle se učí růzým předmětům ždému se učí ejvýše hdiu deě. Kli způsy lze sestvit rzvrh hdi jede de, je-li v ěm 5 růzých předmětů? ( )! ( )!! 7. Uprvte:! ( )! ( )!. 8. Z li růzých prvů lze vytvřit 87 vricí druhé třídy? 9. Zvětšíme-li pčet prvů jede, zvětší se pčet vricí druhé třídy 6. Určete půvdí pčet prvů.. Státí pzávcí zč utmilu je tvře trjicí číslice, písme, číslice dděleu supiu čtyř číslic. Kli lze státích pzávcích zče vytvřit, je-li dispzici písme?. Řešte rvici ( x) xv ( ) V. 8
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri PERMUTACE. J psl dpisy, imž měl ály s dresmi. Nedptřeím mu dpisy updly zem. Kli způsy je mhl d ále vlžit?. Kli deseticiferých čísel s růzými číslicemi lze vytvřit z číslic,,,,, 5, 6, 7, 8, 9?. Kli růzých slv lze vytvřit přesmyču ve slvě JANA? KOMBINACE 5. 8 prcvíů chce vyjádřit espjest řediteli. Ředitel je chte přijmut tříčleu delegci. Kli způsy lze tvu delegci vytvřit? 6. Zvětší-li se pčet prvů, zvětší se pčet micí třetí třídy. Kli je dá prvů? 7. V edě je 8 výrů. jsti výry vdé. Klierým způsem lze vyrt pět výrů t, y tři z ich yly. jsti dv z ich yly vdé? x x 8. Řešte rvici 6 5. x x VŠEHOCHUŤ i. 9. Vypčtěte užitím Bimicé věty ( ) 6. V lvici sedí 5 chlpců, z ichž dv rtři chtějí sedět vedle see. Klirát můžeme chlpce přesdit?. Kli růzých slv lze utvřit přesmyču ve slvě CINCINNATI?. Hejvé mužstv má hráčů útčíů, 5 ráců ráře. Kli růzých sestv y mhl vytvřit tým, má-li sestv útčíy, ráce ráře? Nerzlišujeme rétí psty v útu v rě. 9
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri VÝSLEDKY CVIČENÍ. ;. 8;. 68;. 56; 5. 6 ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. 8;. ;. x ;. ;. 65 9;. ; 5. 56; 6. 7; 7. 76; 8. x 7; 9. 6;. 8;. 5 ;. 5 7.