5. Kombinatorika a statistika
|
|
- Robert Tobiška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Moderí techologie ve studiu pliové fyziy CZ..07/..00/ Komitori sttisti V prxi se ěžě setáme s potřeou určit, oli způsoy lze ěco provést, přípdě oli e možých způsoů, ěý ev ste. Výpočty zmíěého chrteru se zývá omitori. Komitori, steě o osttí odvětví mtemtiy, e úzce propoe s osttími disciplími. Určitě evíce s teorií prvděpodoosti, terá e pomech z omitoriy ( sttistiy) zložeá. Sttisti posytue dt omitori prostředy. Svými pomy metodmi se upltňue i v dlších odvětvích mtemtiy, zemé v lgeře (v teorii grup), teorii čísel, teorii her, v geometrii, v teorii grfů i v topologii mtemticé lýze. Přestvitelé erůzěších specilizcí potřeuí mohdy řešit úoly, v ichž se zoumí rozmité omice sestveé z písme, číslic iých oetů. Ve šole e tře sestvit rozvrh hodi, vědec-chemi chce prozoumt možá spoeí mezi moleulmi tomy, ligvist uvážit růzé vrity výzmu písme ezámého zy td. V posledích letech se omitori itezívě rozvíí; plye to z toho, že se všeoecě zvýšil záem o prolémy disrétí mtemtiy. Komitoricé metody využíváme při řešeí úloh s doprví témtiou - při sestvováí ízdího řádu, dále při sestvováí luštěí šifer pro řešeí dlších prolémů teorie iformce, vtové optiy. V souvislosti s fyziou si uveďme historicou zímvost. Ay si vědci zistili prioritu svého výsledu y edošlo eho předčsému uveřeěí, formulovli ádro svého oevu v rátém výrou, v ěmž p přestvěli písme. Zšifrový text p rozeslli svým olegům. Npříld dyž Christi Huyges (69 695) oevil Sturův prsteec, sestvil teto grm:, ccccc, eeeee, d, eeeee, g, h, iiiiiii, lll, mm,, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Jestliže se písme Huyges Ch. System Sturium. 659 (The Dier Lirry of the History of Sciece d Techology, Smithsoi Istitutio Lirries, Digitl Editio, 999).
2 áležitě uspořádí, zísáme ásleduící ltisou zprávu: "Aulo cigitur teui, plo, usqum coherete, d eclipticm iclito." V česém přeldu: Olope prstecem teým, plochým, ide ezvěšeým, loěým eliptice. Vyluštěí tové šifry zmelo vyzoušeí velého počtu permutcí uvedeých písme, což y i pro součsou výpočetí techiu ylo velmi otížé. Záldím pricipem omitoriy e prvidlo součiu. KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU Lze-li čiost A provést m způsoy ezávisle í čiost B způsoy, p počet všech možých způsoů, provést A i B se rová m. V resturci sou ídelíču růzé polévy růzá hlví ídl. Koli e všech možých způsoů, si vyrt polévu í hlví ídlo? Polévu lze vyrt třemi způsoy, ezávisle í hlví ídlo čtyřmi způsoy. Podle prvidl součiu lze vyrt celem způsoy určitou polévu í hlví ídlo. čiostí. Komitoricé prvidlo součiu pltí i pro přípd více ež dvou ezávislých () Z oli možostí výsledého vzhledu fotogrfie si můžeme vyrt, máme-li dispozici pro ždý fotogrficý ppír 6 růzých formátů, dv růzé typy povrchů (leslý, mtý) růzé stupě citlivosti? Vyíráme z celem 6 6 růzých vzhledů fotogrfie. () Bezpečostí záme u ufříu e ostruová ze tří otočých oleče. N ždém z ich lze stvit číslice 0,,, 9. Koli růzých ofigurcí má ezpečostí záme? Kždá ofigurce e uspořádá troice (,, c). N ždé z poloh,, c lze stvit ezávisle soě 0 růzých poloh číslicemi 0,,, 9. Celový počet ofigurcí e p K výsledu lze dospět i iou úvhou: Počet ofigurcí musí odpovídt počtu růzých tromístých čísel (t. 000, 00,, 00,, 999), terých e celem 000. Úvhy doposud prováděé lze převést úvhy o uspořádých -ticích. T v předchozím příldu () de o počet uspořádých troic vlstostí fotogrficého ppíru (formát, typ, stupeň), v příldu () počet troic čísel (,, c). P lze omitoricé prvidlo součiu oecě formulovt tto:
3 Počet všech uspořádých -tic, z ichž prví čle lze vyrt růzými způsoy, druhý čle po výěru prvího čleu růzými způsoy td., ž -tý čle po výěru ( ). čleu růzými způsoy, se rová. Koli růzými způsoy se může seřdit 6 lietů do froty u přepážy ve spořitelě? Klieti vytvářeí růzé uspořádé šestice (,,,, 5, 6 ). Čle, t. liet stoícího o prvího, lze vyrt 6 způsoy. Po výěru čleu lze čle vyrt iž pouze 5 způsoy ( liet iž yl vyrá prví místo), čle způsoy td., ž čle 6 ediým způsoem. Celem lze tedy vytvořit růzých frot. Komitoricé úlohy lze roztřídit do supi, mících společý "výpočetí záld" tzv. vricí, permutcí, omicí eich modificí. VARIACE Vrice -té třídy z prvů ( ) e ždá uspořádá -tice růzých prvů vyrých z prvů. Počet všech růzých vricí -té třídy z prvů se zčí V (). [Slovy i: Vrice e -tice vyrá z prvů, přičemž v í záleží pořdí ždý z prvů se v í vysytue evýše edou]. Všechy růzé vrice druhé třídy z prvů,, c, d sou (přehledě): e prví e prví c e prví d e prví c d c d c c cd d d dc Pltí V (). Pro počet V () všech růzých vricí -té třídy z prvů pltí vzorec ( ) ( ) ( ) V. (5.) Teto vzorec se zpisue ovyle ve tvru de! ( )( )! V ( ), (5.) ( )!, přičemž se defiue 0! ;! se čte " ftoriál".
4 Mžer portfoli dospěl závěru, že cie společostí splňuí eho ivestorsé záměry. Z těchto třiácti má určit včetě pořdí, teré stoví eich preferece. Koli způsoy to může provést? Jde o vrice. třídy ze prvů, pltí ( ) Výěr lze provést 76 způsoy.!! 0! V 76.! 0! 0! ( ) Připustí-li se opováí prvů v uspořádé -tici vyré z prvů, p se hovoří o vrici s opováím: Vrice s opováím -té třídy z prvů e ždá uspořádá -tice prvů vyrých z prvů. Počet všech růzých vricí s opováím -té třídy z prvů o se zčí ( ) V. Všechy růzé vrice s opováím druhé třídy z prvů,, c, d sou:,, c, d;,, c, d; c, c, cc, cd; d, d, dc, dd. o Pltí ( ) 6 V. pltí vzorec o Pro počet ( ) V všech růzých vricí s opováím -té třídy z prvů o V ( ). (5.) Koli e všech možých devítimístých telefoích čísel? o 9 9 Jde o vrice s opováím, ( 0) V. Zvláštím přípdem vricí sou permutce (pro ). PERMUTACE Permutce prvů e ždá vrice -té třídy z prvů. Počet všech permutcí z prvů se zčí P(). [Slovy i: Permutce prvů e zápis těchto prvů v určitém pořdí.] Všechy růzé permutce prvů,, c sou: 5
5 c, c, c, c, c, c. Pltí P() 6. Ze vzthu (5.) ihed vyplývá vzorec pro počet permutcí prvů: ( )! P. (5.) Koli lze vytvořit všech slov přesmyčou ve slově BOULE? P(5) 5! 0. Permutce s opováím prvů e ždá vrice s opováím -té třídy, ve teré se < růzých prvů vysytue v počtech,,, (pltí p o ). Počet tových permutcí se zčí P ( ),,. Pltí o! P, ( ),. (5.5)!!! Koli růzých slov lze vytvořit přesmyčou ve slově KOLOKOL? Jde o sedmici, ve teré s K vysytue dvrát, O třirát L dvrát. Užitím (5.5) dosteme o 7! 765 P,,( 7) 0.!!! KOMBINACE Komice se od vricí zásdě liší v tom, že ve vyré -tici ezáleží uspořádáí, i řečeo v -tici ezáleží pořdí prvů. Komicí -té třídy z prvů ( ) e ždý výěr růzých prvů z prvů. Počet všech růzých omicí -té třídy z prvů se zčí C (). [Slovy i: Komice e -tice prvů vyrá z prvů, přičemž v í ezáleží pořdí ždý z prvů se v í vysytue evýše edou.] Všechy růzé omice druhé třídy z prvů,, c, d sou:, c, d, c, d, cd. Pro počet C () všech růzých omicí -té třídy z prvů pltí vzorec: 6
6 7 ( ) ( ) C!!!, (5.6) de se zývá omičí číslo čte se " d ". Pro vyčísleí pltí ( ) ( ) ( ). Npříld: Koli způsoy lze vyrt výroy z 0 výroů? Jde o omice třetí třídy z deseti prvů (ezáleží pořdí), ( ) C. Pltí vzorce,, 0,. (5.7) Komičí čísl mí v mtemtice široé upltěí, příld, při formulci iomicé věty. BINOMICKÁ VĚTA Biomicá vět udává vzorec pro umocěí součtu: Pro liovolá čísl, liovolé přirozeé číslo pltí ( ) 0. (5.8) ( ). 6 0
7 8 Koli e růzých podmoži možiy, terá oshue prvů? Prázdá moži e ediá, podmoži oshuících ede prve e, podmoži oshuících prvy e (de o omice druhé třídy z prvů), podmoži oshuících prvy e,, podmoži oshuících ( ) prvů e, podmoži oshuící všechy prvy dé možiy e ediá. Sečteím dostáváme ( ) ( ) ( ) ,, pro užitím vyádříme užitím
8 STATISTIKA Sttisticé úde, eoli sttisticá dt sou číselé úde o hromdých evech. Jedá se o čísl postihuící přírodí, společesé, či ié evy, sledové e edotlivě, le ve velém počtu přípdů. N eich záldě oevueme určité záoitosti, vysytuící se ž při studiu hromdých evů, zároveň též ýváme spolehlivěších podldů pro svá rozhodutí. Příldem sttisticých údů mohou ýt příld úde o počtu oyvtelstv, o eich přímech výdích; o oemu výroy ve firmě, státě; úde o prodei určitého výrou; výsledy měřeí fyziálích veliči; td. Mtemticá sttisti se zývá předem shromážděými sttisticými údi, eich zprcováím rozorem zísých výsledů. Sttisticým souorem zýváme možiu všech oetů sttisticého pozorováí (oso, předmětů, evů...). Jedotlivé prvy této možiy p zýváme prvy (elemety) sttisticého souoru. Počet všech prvů sttisticého souoru ozčueme zýváme rozsh sttisticého souoru. Dlším důležitým pomem e sttisticý z, e to společá vlstost všech prvů sttisticého souoru, eíž proměost e předmětem sttisticého zoumáí, zčíme x. Jedotlivé úde pro orétí prvy sttisticého souoru p zveme hodoty zu ozčíme x, x,..., x. Mohou ýt vyádřey uďto čísly zy vtittiví (tělesá výš, váh; výše pltu...); eo slovím popisem zy vlittiví (ltertiví: muž že; otevřeo zvřeo; prospěl eprospěl...; eo více možostí: árodost; povoláí; áožeství...). Zoumáme-li tělesou výšu dětí určeé záldí šoly, ude sttisticým souorem moži všech žáů dé šoly; prvem sttisticého souoru edotlivý žá; rozshem sttisticého souoru e počet žáů šoly. Zoumým vtittivím zem e tělesá výš, hodotmi zu p edotlivé měřeé veliosti dětí. I v přípdě zoumáí vtittivích zů, dy e teoreticá možost, že hodoty zů sou vzáem růzá čísl, tomuto evu dochází e zříd. V přípdě velých sttisticých souorů dochází opovému výsytu hodoty zu pro růzé sttisticé prvy. Počet sttisticých prvů, imž přísluší steá hodot zu x, se zývá solutí četost hodoty zu x ; zčíme i. Dále defiueme reltiví četost hodoty zu x o podíl solutí četosti u rozshu souoru, zčíme i r (,,..., ; de ) 9
9 r. (5.9) Pltí... z toho vyplývá, že součet všech reltivích četostí pro hodoty dého zu e rove edé r r r... r (... ). CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉHO SOUBORU Sttisticými chrteristimi zýváme čísl, terá podáví stručou souhrou iformci o dém sttisticém souoru. Při zoumáí edoho zvoleého zu de především o chrteristiy polohy (ritmeticý průměr, modus, mediá) chrteristiy vriility (rozptyl, směrodtá odchyl). A) Chrteristiy polohy Chrteristiy polohy sou čísl, terá chrterizuí "průměrou (středí) hodotu" sledového vtittivího zu ve sttisticém souoru. Aritmeticý průměr x hodot x, x,..., x vtittivího zu x ve sttisticém souoru e dá vzorcem x x x... x x. (5.0) V přípdě, že ve sttisticém souoru rozshu sou osžey prvy se steou hodotou zu, tz. x mí četosti (,,..., ; de ), p pltí x x x... x x. (5.) Modus hodot x, x,..., x zu x e hodot, terá má evětší četost ve sttisticém souoru. Zčíme Mod (x). Mediá hodot x, x,..., x zu x sttisticého souoru, v ěmž sou prvy uspořádáy podle veliosti hodot sledového zu (x x... x ), e prostředí hodot zu. U souorů, eichž rozsh e liché číslo se mediá 0
10 rová hodotě prostředího zu, t. prvu s idexem ()/; u souorů, eichž rozsh e sudé číslo se mediá rová ritmeticému průměru hodot dvou prostředích prvů, t. prvů s idexy /, /. Zčíme Med (x). Pozám: J uvidíme v ásleduících příldech, ritmeticý průměr ám může vrátit i hodotu zu, terá vlstě eí pltá (eí osže ve sttisticém souoru). Aritmeticý průměr e té šptě použitelý v přípdě, dy má část prvů sttisticého souoru zásdě iou hodotu zu ež zyte prvů (hodoty zu sou rozděley výrzě esymetricy). Teto prolém p může řešit užití mediáu či modusu. Z výše řečeého vyplývá odpověď čsto ldeou otázu, proč dvě třetiy lidí edosáhou průměrý plt existue totiž mlá supi lidí, terá má hodě dstdrdí plty, teré zvyšuí ritmeticý průměr celého sttisticého souoru. Pozor té zprcováí dt výsledů měřeí. Výrzě iá hodot v souoru měřeých dt může zčě zreslit správost měřeí! Tul popisue rozděleí četostí úrzů pro edotlivé hodiy ěžé prcoví doy (. ž 8. hodi) v odoí edoho rou u emeové továry. Které hodiy prcoví doy sou eritičtěší z hledis výsytu úrzů? Hodoty zu x Četosti úrzů pro edotlivé hodiy Součet 0 Pro sttisticý z popsý tulou spočítáme x, Med (x) Mod (x). x x 8x x ɺ, Med (x), eoť (x 55 x 56 )/ ( ) /. Mod (x). Je zřemé, že odpovědi, ve terou deí dou dochází prcovím úrzům ečstěi, ám elépe poslouží vyádřeí chrteristiy modus. N záldě tového pozorováí p lze učiit příslušá optřeí pro preveci úrzů.
11 B) Chrteristiy vriility Chrteristiy vriility sou čísl, terá chrterizuí, se hodoty zu prvů souoru liší (sou rozptýley) od zvoleé chrteristiy polohy (ritmeticého průměru, středí hodoty). Vričí rozpětí R defiueme o rozdíl mezi evětší emeší hodotou zu prvů dého souoru R x mx x mi. (5.) -tá odchyl hodoty zu x od ritmeticého průměru x ve sttisticém souoru e defiová o x, pro,,...,. (5.) x Průměrá solutí odchyl e p defiová pomocí vzorce x x. (5.) Rozptyl s x e ritmeticý průměr druhých moci odchyle hodot zu od ritmeticého průměru s x ( x x). (5.5) Směrodtá odchyl s x e druhá odmoci z rozptylu. Výhodou této chrteristiy e, že postihue vriilitu zu v měřicích edotách zu, ztímco rozptyl e vyádře ve druhých mociách těchto edote. s x ( x x). (5.6) Vypočtěme chrteristiy vriility, ychom ilustrovli eich výzm v porováí s chrteristiou polohy. Určíme rozptyl směrodtou odchylu pro tři sttisticé souory o steém rozshu hodot 5, teré mí týž ritmeticý průměr x 0 sledového zu x. ) 0, 0, 0, 0, 0 ) 8, 9, 0,, c) 0, 5, 0, 5, 0
12 sttisticý souor c ritmeticý průměr průměrá solutí odchyl 0, 6 rozptyl 0 50 směrodtá odchyl 0, 7,07 Z předchozího příldu e ptré, že ritmeticý průměr, přestože chrterizue průměrou hodotu sledového zu ve sttisticém souoru (logie výpočtu těžiště ve fyzice), evydřue ic ližšího o hodotách zu, z ichž yl vypočte. Lze říci, že čím větší e vriilit hodot zu, tím méě reprezettiví e ritmeticý průměr, či iá chrteristi polohy. Iformci o rozptýleí hodot zu olem ritmeticého průměru podává průměrá solutí odchyl eo lépe rozptyl, resp. směrodtá odchyl. N závěr této pitoly si vypočítáme příld ze zušeí (fyziálí) lortoře. Při otrolím měřeí hmotosti m 0 plstových výlisů vyroeých v edé sérii yly dosžey ásleduící výsledy (viz tul). Stovte průměrou hmotost m směrodtou odchylu s m pro vyroeou sérii výlisů. Číslo vzoru Hmotost m [g] m [ g] m ( m m) [ g ],8-0, 0,0, 0, 0,09, 0, 0,0,9-0, 0,0 5, 0, 0,0 6,0 0,0 0,00 7,0 0,0 0,00 8, 0, 0,0 9,0 0,0 0,00 0,7-0, 0,09,8,,,9,,0,0,,0,7 m, 0g , 6 0 s 0 ( mm) 0,6 0,65 g 0, g 0 ɺ. m 0
13 Cílové zlosti. Užití omitoricého prvidl součiu při řešeí ěžých omitoricých úloh.. Rozlišeí omitoricých úloh vrice, permutce, omice eich modifice.. Vzorce pro stoveí počtu vricí, permutcí, omicí eich modificí.. Aplice Biomicé věty. 5. Spočítt záldí chrteristiy sttisticého souoru.
6. Kombinatorika. Kombinatorické pravidlo součinu platí i pro případ více než dvou nezávislých činností.
Mgemet rerece sprtu 6. Kmitri 6. Kmitri V prxi se ěžě setáme s ptřeu určit, li způsy lze ěc prvést, přípdě li je mžých způsů, j ějý jev ste. Výpčty zmíěéh chrteru se zývá mitri. Záldím pricipem je prvidl
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
Více8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VíceNejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení
V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
VíceŘešení soustav lineárních rovnic
Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí
VíceKOMBINATORIKA. Způsob řešení b)
/ 7 KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způso řešeí ) Komitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.
Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceNázev školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace
Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Více6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.
Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
VíceZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY
ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY Statitia věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatiticých údaů. Statiticé údae ou apř. údae o přirozeém přírůtu či migraci obyvateltva, obemu výroby průmylových podiů,
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více8. cvičení 4ST201-řešení
cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy
cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceKvantování elektromagnetického pole Šárka Gregorová, 2013
Kvtováí eletrogeticého pole Šár Gregorová, 3 Vycházíe z Mxwellových rovic Ze čtvrté rovice plye existece vetorového poteciálu A () () Doszeí do druhé rovice zistíe, že eletricé pole E se ůže od čsové derivce
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceStatistika Statistická jednotka, statistický soubor a statistické znaky Poznámka. (Rozd lení etností jednoho kvantitativního statistického znaku)
Statistia Tímto pomem většiou ozačueme: a) statisticé údae a eich ěteré fuce, b) statisticou čiost a istituce, teré tuto čiost provozuí, c) statisticou teorii. Statisticé údae eboli statisticá data sou
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VícePosloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost
Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - SPOJITOST A LIMITY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY Níže procvičujeme pouze výpočet it, o spojitosti se ezmiňujeme. To proto, že vyšetřeí spojitosti
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
VícePosloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a
Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické
Více2. Matice a determinanty
Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VícePRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
VíceContent. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1
Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl
7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
VíceRovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )
VíceKOMBINATORIKA. Způsob řešení b)
/ KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
VícePřibližné řešení algebraických rovnic
Přblžné řešení lgebrcých rovnc Algebrcou rovncí stupně n nzýváme rovnc =, tj n n x x x =, de n N, x C, oefcenty P n,,, n R, Budeme prcovt s tzv normovou lgebrcou rovncí ( = ) n n x x x = Řešením (ořenem)
Vícea 1 = 2; a n+1 = a n + 2.
Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
Více8.2.4 Užití aritmetických posloupností
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více