DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ ENERGIE Obsa Energie... 1 Kinetická energie... 1 Potenciální energie... Konzervativní síla... Konzervativníu silovéu oli odovídá dru otenciální energie... Definice otenciální energie... Záorné znaénko v integrálu a derivacíc... 3 Jednorozěrný říad... 3 Výočty otenciální energie v silové oli, znáe-li ůsobící sílu... 3 Gravitační otenciální energie nízko nad ovrce Zeě... 3 Gravitační otenciální energie vysoko nad Zeí (satelit)... 4 Elastická otenciální energie tělesa na ružině... 4 Výočty sil v silové oli, znáe-li otenciální energii... 5 Zákon zacování energie... 5 Zákon zacování ecanické energie... 5 Příklad... 5 Výsledek... 6 Energie je sconost vykonat ráci. Abyco oli vykonat ráci, usíe ít energii. Je to odobné jako když usíe ít eníze, abyco někoo zalatili za to, že ro nás racoval. Celková ecanická energie objektu je součet jeo kinetické a otenciální energie. Jednotkou energie v soustavě SI je joule (J) 1J 1 kg. 1 joule.s. V oblasti atoové fyziky a elektroniky se ro energii oužívá vedlejší jednotka elektronvolt (ev) Kinetická energie -19 1eV 1elektronvolt 1,6.1 J. Kinetická energie je energie oybová. Vyjadřuje skutečnost, že oybující se těleso je sconé konat ráci jako důsledek svéo oybu, nař. náraze na okolní objekt. Kinetická energie otnéo bodu, těles zanedbatelnýc rozěrů nebo těles oybujícíc se bez rotace (takový oyb se nazývá translační nebo osuvný) je definována vztae Pavel Scauer 7-1 (6) - energie
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ 1 Ek v. (1) Pokud těleso rotuje, je třeba zvážit i rotační foru kinetické energie (více kaitola o oybec těles). V říadě rotujícíc těles, které zároveň vykonávají i translační oyb je ryclost v ve vztau ryclost těžiště tělesa. Tí získáe translační kinetickou energii tělesa. Výočet odle rovnice (1) latí ouze v klasické fyzice, kde ryclost těles je noe enší než ryclost světla. Potenciální energie Potenciální energie á svoji odstatu v oloze nebo konfiguraci. Ne každý objekt je však scoen vykonat ráci v důsledku své oloy. Aby tou tak bylo, usí se nacázet v oli A Po všec cestác ezi body A - B vykonáe stejnou ráci obr. 1 Práce vykonaná o různýc cestác je v oli konzervativníc sil stejná konzervativníc sil. Konzervativní síla Konzervativní síla je síla jejíž ráce je nezávislá na cestě. Tato ráce závisí ouze na očátku a konci cesty, tedy na bodec A, B na obr. 1. Jinýi slovy, ráce vykonaná ezi body A, B je o všec ožnýc cestác stejná. Důsledek je ten, že ráci ůžee konat z bodu A do bodu B o jedné dráze a zět do bodu B o jiné dráze, aniž byco ztratili nebo navýšili energii objektu, na který ůsobí konzervativní síla. Práce konzervativní síly o uzavřené dráze je vždy nulová. Konzervativníu silovéu oli odovídá dru otenciální energie Konzervativní silová ole jsou ta, která na objekty ůsobí ouze konzervativníi silai. Jsou to nař. gravitační ole, elektrické ole, agnetické ole, aj. V gravitační oli ak ovoříe o gravitační otenciální energii, v elektrické oli o elektrické otenciální energie, v agnetické oli o agnetické otenciální energie. Objekt ůže ít rovněž elastickou otenciální energii jako následek silovéo ůsobení najaté ružiny nebo jiné lastické deforace. Pak je otřebný konzervativní silový ole oblast, ve které na těleso ůsobí síla ružiny. Definice otenciální energie Potenciální energie je rovna ráci, kterou usíe vykonat abyco řeístili objekt z oloy r, kde E, do oloy r, ve které ccee otenciální energii určit. Poloa r referenčnío bodu je libovolná, tj. zvolíe si ji odle otřeby, odobně jako volíe olou očátku vztažnéo souřadnéo systéu. Většinou tuto olou volíe tak, aby výočty byly co nejsnazší. Potenciální energii tedy definujee následující integrále r E ( r) F( r). dr. () r B Je ožný i oačný výočet, sílu ůsobící na objekt zjistíe jako gradient otenciální energie, Pavel Scauer 7 - (6) - energie
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ kde F( r) grad E, (3) E E E grad E (,, ). (4) y z Poslední vzta říká, že síla ůsobícío sílovéo ole íří vždy ve sěru největšío sádu otenciální energie a á snau otenciální energii snížit. Záorné znaénko v integrálu a derivacíc Síla F v definici otenciální energie () je síla ůsobícío silovéo ole. Je to nař. gravitační síla, síla ružiny, aj. Potenciální energie E se oto rovná ráci, kterou usíe vykonat roti síle silovéo ole, ccee-li řeístit objekt z referenčnío bodu (kde E =) do oloy r, ve které otenciální energii definujee. Síla, kterou usíe ůsobit, abyco objekt v silové oli řeístili, usí být stejná jako síla ůsobícío ole, ale oačnéo sěru. To je důvod záornéo znaénka v integrálu () a derivacíc (3). Jednorozěrný říad Dynaické úloy se často řeší jednorozěrně (ouze v jediné sěru). Integrální vyjádření definice otenciální energie ak řejde na tvar E ( ) F( ) d (5) a výočet síly silovéo ole se ro jednorozěrný říad zjednoduší na tvar de F( ). (6) d Výočty otenciální energie v silové oli, znáe-li ůsobící sílu Často znáe sílu silovéo ole a otřebujee určit otenciální energii. Jestliže je tato síla znáa a je konzervativní, oto získáe otenciální energii integrací, jak naznačují rovnice () a (5). Uvedee několik konkrétníc říkladů. Gravitační otenciální energie nízko nad ovrce Zeě obr. K odvození otenciální energie nad ovrce Zeě y Předokládeje, že znáe gravitační sílu nízko nad ovrce Zeě F g (nízko se rozuí R, kde R oloěr Zeě). Záorné znaénko je uvedeno roto, že síla ůsobí svisle dolů, tedy roti sěru souřadné osy y. Dále si zvolíe nulovou otenciální energii E na ovrcu Zeě, kde y. Poto otenciální energii získáe integrací síly F g Pavel Scauer 7-3 (6) - energie
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ E ( ) F( y dy g dy g dy g. (7) ) Gravitační otenciální energie vysoko nad Zeí (satelit) Z obr. 3 K odvození otenciální energie satelitu který latí ro libovolné vzdálenosti těles, y Ve drué říkladě ředokládeje, že těleso, jeož otenciální energii ccee určit, se nacází vysoko nad Zei, naříklad v kosu. Gravitační sílu nyní neůžee sát s konstantní gravitační zryclení g, roto ji naíšee ve tvaru Newtonova gravitačnío zákona, Z F. (8) ( R ) Záorné znaénko je uvedeno oět roto, že síla ůsobí sěre k Zei, tedy roti sěru souřadné osy y. V toto říkladě bude jednodušší, když si zvolíe E nekonečně daleko od Zeě, kde y. Poto ůže být gravitační otenciální energie získána integrací E ( y) Z F( y) dy Z ( R y) 1 Z dy. ( R y) R dy (9) Elastická otenciální energie tělesa na ružině V třetí říkladu ředokládeje, že je znáa síla, kterou ůsobí ružina na těleso. Tato direktivní síla á tvar F( ) k a je konzervativní. Elastickou otenciální energii oět získáe integrací E 1 ( ) F ( ) d k d k d k. (1) 1.1 7 E/J.81 7 Gravitační otencální energie E=g E/J -1.51 1 Gravitační otencální energie.61 7.41 7.1 7 <<R E=g =1 kg -3.1 1-4.51 1-6.1 1 E= Z W R+ =1 kg 4 6 8 / 1 obr. 5 Gravitační otenciální energie v blízkosti ovrcu Zeě -7.51 1.41 8.81 8 / 1.1 8 obr. 5 Gravitační otenciální energie vysoko nad Zeí (satelit) Pavel Scauer 7-4 (6) - energie
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Výočty sil v silové oli, znáe-li otenciální energii Pokud znáe funkci otenciální energie, lze určit sílu ůsobícío silovéo ole. Naříklad, okud víe, že otenciální energie tělesa na ružině je E = nenajatá ružina E > najatá ružina E Elastická otencální energie 1 ůsobící sílu vyočtee jako E( ) k, (11) de 1 F( ).. k k. (1) d Tato síla se v ecanice kitů nazývá direktivní síla (řídící síla). Podobně, víe-li, že otenciální energie tělesa blízké okolí Zeě je E = k obr. 6 Elastická otenciální energie tělesa na ružině E ( ) g, (13) ůsobící sílu vyočtee jako de d( g ) F( ) g, (14) d d což je znáá gravitační síla. Zákon zacování energie Energie ůže eistovat v noa forác. V toto dokuentu jsou osány jen fory ecanické energie. Kroě ecanické energie eistují ještě jiné fory, nař. elektrická energie, agnetická energie, teelná energie, vnitřní energie látek, aj. Každá z nic ůže ít více dalšíc fore. Celková energie je součet energií všec fore. Zákon zacování energie zní: Celková energie izolované soustavy zůstává konstantní ři všec dějíc, které v ní robíají. Izolovaná soustava je soustava, která neodléá účinků okolníc objektů. Zákon zacování ecanické energie Jestliže těleso nebo otný systé neodléají účinků okolí, ak součet kinetické a otenciální energie částic, z nicž se skládá, zůstává stálý. To znaená, že v soustavě se ůže ěnit jeden dru energie v druý. Těleso tedy naříklad nesí ztrácet svoji ecanickou energie řeěnou na teelnou energii vznikající tření ři jeo oybu. Posledně jenovaný zákon lze osat rovnicí Příklad E Ek E konst. (15) Autoobil jede ryclostí 6 k/od. Jaká síla je otřebná k zastavení auta na vzdálenosti Pavel Scauer 7-5 (6) - energie
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ 3 c? Jaká síla ůsobí na řidiče? Jak tou bude bez a jak s bezečnostníi ásy? Hotnost autoobilu je = 1 kg. Náraz bude zastaven o deforaci karosérie 3 c. Výsledek Průěrná síla ůsobící na řidiče bude F = 1,44 MN (eganewton). Řešení viz obrázek. Najdete sai řešení jak to bude se silou ůsobící na řidiče? 6 k/od auto =1 kg deforace o nárazu 3 c E k = v ráce vyžadovaná Fd= v k zastavení auta Pavel Scauer 7-6 (6) - energie