Metoda přiřazení pólů v řízení lineárních spojitých SISO systémů

Meto přiřzení pólů v řízení lineárních pojitých SISO ytémů Pole plcement metho in control of liner continuou-time SISO ytem Bc. Zeně Bí Diplomová práce 9

ABSTRAKT Cílem této iplomové práce je pliovt metou přiřzení pólů, terá je loicým vyútěním polynomiálního přítupu, při řízení různých typů reulovných outv pro různé onfiurce ytémů řízení. V teoreticé čáti jou uveeny potupy pro návrh reulátorů v onfiurcích DOF, DOF e věm zpětnovzeními reulátory včetně ovození. Dále jou ze uveeny vyrné tvry chrteriticého polynomu přenou uzvřeného reulčního ovou potupy při výpočtu jeho prmetrů v ouviloti přiřzením jeho pólů. V prticé čáti jou p uveeny uázy řízení pro něteré outvy otížně řiitelné onvenčními metomi (outvy netilní, interční, neminimálně fázové, oprvním zpožěním). V polení čáti je p uázán plice polynomiálního přítupu metoou přiřzení pólů při ptivním řízení nelineárního pojitého SISO ytému (vojice ériově pojených ulových záoníů). Klíčová lov: polynomiální přítup, přiřzení pólů, polynomiální rovnice, onfiurce ytému řízení. ABSTRACT The ojective of thi iplom wor i to pply the pole inment (PA) metho cloely ocite prt of the polynomil pproch in the control of vriou type of controlle procee n for ifferent confiurtion of control ytem. In the theoreticl ection, the controller ein proceure in the DOF, DOF n two-feec-controller (TFC) confiurtion re preente incluive of their erivtion. Moreover, the electe form of the chrcteritic polynomil of cloe-loop incluin it prmeter clcultion re preente in connection with it pole lloction. In the prcticl ection, ome illutrtion of ifficult to control y conventionl metho procee (e.. untle, intertive, non-minimum phe n time ely procee) re exhiite. In the lt ection, n ppliction of the polynomil pproch with the PA metho i emontrte on n exmple of the ptive control of non-liner continuou-time SISO ytem (two phericl liqui tn in erie). Keywor: polynomil pproch, pole inment, polynomil eqution, control ytem confiurtion.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 N tomto mítě ych rá poěovl veoucímu vé iplomové práce pnu prof. In. Petru Dotálovi, CSc. z ry, poněty oorné veení, teré mi poytovl ěhem ooí vzniu této práce. Rá ych té poěovl pnu In. Jiřímu Vojtěšovi, Ph.D. z množtví oorných r, teré mi umožnily relizovt prticou čát tohoto projetu. Nonec ych chtěl poěovt té roinným přílušníům z poporu, terou mi poytli, ále z trpělivot, e terou yli ochotni mě poloucht. Bez jejich připění y tto práce niy nemohl vzninout. Motto: Je lepší rozvítit, yť jen mlou víču, než prolínt temnotu. Konfuciu (?55 př. n. l. -?479 př. n. l.)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 6 Prohlšuji, že eru n věomí, že oevzáním iplomové/lářé práce ouhlím e zveřejněním vé práce pole záon č. /998 S. o vyoých šolách o změně oplnění lších záonů (záon o vyoých šolách), ve znění pozějších právních přepiů, ez ohleu n výlee ohjoy; eru n věomí, že iplomová/lářá práce ue uložen v eletronicé pooě v univerzitním informčním ytému otupná prezenčnímu nhlénutí, že jeen výti iplomové/lářé práce ue uložen v příruční nihovně Fulty pliovné informtiy Univerzity Tomáše Bti ve Zlíně jeen výti ue uložen u veoucího práce; yl/ jem eznámen/ tím, že n moji iplomovou/lářou práci e plně vzthuje záon č. / S. o právu utorém, o právech ouviejících právem utorým o změně něterých záonů (utorý záon) ve znění pozějších právních přepiů, zejm. 35 ot. 3; eru n věomí, že pole 6 ot. utorého záon má UTB ve Zlíně právo n uzvření licenční mlouvy o užití šolního íl v rozhu ot. 4 utorého záon; eru n věomí, že pole 6 ot. 3 utorého záon mohu užít vé ílo iplomovou/lářou práci neo poytnout licenci jejímu využití jen přechozím píemným ouhlem Univerzity Tomáše Bti ve Zlíně, terá je oprávněn v tovém přípě oe mne požovt přiměřený přípěve n úhru nálů, teré yly Univerzitou Tomáše Bti ve Zlíně n vytvoření íl vynloženy (ž o jejich utečné výše); eru n věomí, že pou ylo vyprcování iplomové/lářé práce využito oftwru poytnutého Univerzitou Tomáše Bti ve Zlíně neo jinými ujety pouze e tuijním výzumným účelům (tey pouze neomerčnímu využití), nelze výley iplomové/lářé práce využít e omerčním účelům; eru n věomí, že pou je výtupem iplomové/lářé práce jýoliv oftwrový prout, povžují e z oučát práce rovněž i zrojové óy, popř. ouory, ze terých e projet láá. Neoevzání této oučáti může ýt ůvoem neohájení práce. Prohlšuji, že jem n iplomové práci prcovl mottně použitou literturu jem citovl. V přípě pulice výleů uu uveen jo poluutor. Ve Zlíně.5.9. Popi iplomnt

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 7 OBSAH ÚVOD...9 I TEORETICKÁ ČÁST... ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE ŘÍZENÍ A AUTOMATIZACE.... POJEM SYSTÉMU A JEHO KLASIFIKACE.... ŘÍZENÍ....3 TYPY REGULOVANÝCH SOUSTAV... POLYNOMIÁLNÍ METODY SYNTÉZY...4. OBECNÉ POŽADAVKY NA SYSTÉM ŘÍZENÍ...4. DOF KONFIGURACE SYSTÉMU ŘÍZENÍ...5.3 DOF KONFIGURACE SYSTÉMU ŘÍZENÍ...9.4 KONFIGURACE SE DVĚMA ZPĚTNOVAZEBNÍMI REGULÁTORY (TFC)...3 3 METODA PŘIŘAZENÍ PÓLŮ...7 3. OBECNÉ POŽADAVKY NA CHARAKTERISTICKÝ POLYNOM PŘENOSU URO...7 3. VYBRANÉ TVARY CHARAKTERISTICKÉHO POLYNOMU PŘENOSU URO...7 3.3 APLIKACE TECHNIKY LQ ŘÍZENÍ...9 4 SYSTÉMY OBTÍŽNĚ ŘIDITELNÉ KONVENČNÍMI METODAMI...33 4. SYSTÉMY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM...33 4.. Zneání oprvního zpožění...34 4.. Smithův preitor...35 4..3 Aproximce oprvního zpožění...36 4. NESTABILNÍ SYSTÉMY...36 4.3 SYSTÉMY S NEMINIMÁLNÍ FÁZÍ...37 II PRAKTICKÁ ČÁST...38 5 PRAKTICKÁ UKÁZKA NÁVRHU REGULÁTORŮ POLYNOMIÁLNÍ METODOU...39 5. NÁVRH REGULÁTORU DOF...39 5. NÁVRH REGULÁTORU DOF...43 5.3 OPTIMÁLNÍ ŘÍZENÍ...45 6 UKÁZKY REGULAČNÍCH POCHODŮ...48 6. POUŽITÉ PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ...49 6.. Popi jenotlivých čátí prormu...5

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 8 6. ŘÍZENÍ INTEGRAČNÍCH SOUSTAV...5 6.3 VLIV PŘIŘAZENÍ PÓLŮ NA PRŮBĚH REGULAČNÍHO POCHODU...6 6.4 ŘÍZENÍ PROCESŮ S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM...64 6.5 REGULAČNÍ POCHODY PRO NESTANDARDNÍ VSTUPNÍ SIGNÁLY...7 7 ADAPTIVNÍ METODY PŘI ŘÍZENÍ NELINEÁRNÍCH PROCESŮ...73 7. EXTERNÍ LINEÁRNÍ δ-model ŘÍZENÉHO PROCESU...74 7. DELTA MODEL PROCESU...74 7.3 NELINEÁRNÍ PROCES DVOJICE KULOVÝCH ZÁSOBNÍKŮ...76 7.4 PRŮBĚHY REGULACE PRO MODEL DVOJICE KULOVÝCH ZÁSOBNÍKŮ...8 ZÁVĚR...89 ZÁVĚR V ANGLIČTINĚ...9 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...9 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...93 SEZNAM OBRÁZKŮ...94 SEZNAM PŘÍLOH...96

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 9 ÚVOD První pouy o nhrzení člově trojem v proceu řízení pjí o ooí počátu průmylové revoluce n přelomu 8. 9. toletí, y e ojevily první mechnicé reulátory. Jenlo e přeevším o Wttův otřeivý reulátor (784) ále Polzunovův reulátor výšy hliny (765). V průěhu 9. toletí e prolemti řízení otává o olti zájmu věecé oce tále více e mtemtizuje, to zejmén íy E. J. Routhovi (83-97), A. Hurwitzovi (858-99) A. M. Ljpunovovi (857-98), terý e zloužil o vyprcování oecné teorie tility. Vltní relizce reulátorů vš zůtává zložen výhrně n mechnicých principech. Teprve v první polovině. toletí vš ntává utečný rozvoj utomticého řízení. Ojevují e jen první efetivní metoy pro ntvení reulátorů (H. Nyquit H. W. Boe) té ochází rychlému vývoji v olti eletrotechniy což e projevuje přeevším n ontruci říících, měřících čních členů, teré mohou ýt menší, rychlejší přeevším výrzně polehlivější. Po. větové válce e tento tren mnohonáoně zrychlil říící ytémy e távjí oučátí nejen průmylových poniů, le té trteicých zrní, nvičních ytémů letel omicých ret. Ojevují e zcel nové přítupy jo npříl optimální řízení, principy ptivního preitivního řízení, po.. V nešní oě jme věy proceu, y e interují v půvoně zcel mottné oory informti utomtizce. Díy tomu e ne mohou v prxi upltnit té metoy, teré yly říve pouze přemětem emicých úvh, protože v prxi chyěly protřey, j je relizovt. Reulátor t může ýt relizován pouze jo loritmu uvnitř počítče mohou t ýt prováěny i výpočetně velmi náročné metoy reulce. Jenou z těchto meto je i polynomiální meto yntézy, terá přetvuje moerní princip, j reulovt té outvy, teré jou ěžnými metomi reulovtelné jen otížně neo vůec. Polynomiální meto přímo vee úloze přiřzení pólů přenou URO. Výho těchto potupů e ještě znáoí, pou je propojíme lšími poznty npř. z teorie LQ řízení, ptivního preitivního řízení, t. Cílem této práce je eznámit čtenáře potupy, používnými při návrhu reulátorů, zíných n zálě polynomiálního přítupu metoy přiřzení pólů uázt výley řízení při jejich plicích.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 I. TEORETICKÁ ČÁST

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE ŘÍZENÍ A AUTOMATIZACE. Pojem ytému jeho lifice Jením ze zálních pojmů z teorie řízení je pojem ytém. Sytém přetvuje trtní pojem, jehož úplná efinice je znčně oecná ompliovná. Pro ěžné účely utomtizce vš potčí náleující efinice. Sytém přetvuje množinu: { P, R, U Y} S, () e: P jou prvy ytému, R relce mezi prvy ytému, U vtupní veličiny ytému Y výtupní veličiny ytému []. Relce mezi prvy ytému jou zprvil formulovány pomocí mtemticých rovnic. Z hlei relcí můžeme ytémy lifiovt pole náleujícího rozělení: tticé x ynmicé eterminiticé x tochticé lineární x nelineární t-vrintní (netcionární) x t-invrintní (tcionární) jenorozměrné x vícerozměrné Z hlei teorie řízení rozělujeme vtupní veličiny ytému o tří upin: ční veličiny (lze je věomě ovlivňovt) měřitelné poruchy neměřitelné poruchy Výtupní veličiny ytému můžeme rozělit ooně to n: měřitelné neměřitelné

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9. Řízení Úlohou řízení rozumíme cílevěomé enerování ční veličiny t, y e výtupní veličin chovl pole přeem zného cíle. Tento cíl je ovyle určen veliotí, rep. průěhem žáné (referenční) veličiny. Úlohu řízení můžeme rozělit pole něoli hleie. Mezi ty nejůležitější ptří: Pole toho z je ční veličin funcí pouze žáné veličiny neo té výtupní veličiny. Ko neo co ční veličinu eneruje. V přípě, že je ční veličin enerován ez znloti výtupní veličiny, jená e o přímovzení řízení (ovláání). Pro účely řízení má vš zání význm zpětnovzení řízení neoli reulce. Při reulci je ční veličin enerován jo funce výtupní žáné veličiny. Pole enerátoru ční veličiny můžeme řízení rozělit n v zální typy: ruční řízení - enerátorem čního záhu je člově, yť zprvil pouze nepřímo (npř. ovláání přítou pliny o záoníu protřenictvím ručně ovláného ventilu) utomticé řízení (enerátorem čního záhu je zřízení nzývné reulátor, teré je chopné mottné činnoti ez přímého záhu člově) Je zřejmé, že v nešní oě je pozornot změřen téměř výhrně n utomticé řízení, přeto vš nelze zcel opomenout ni ruční řízení. Je to áno tím, že e ručním řízením etáváme prticy žý en, yť i to čto ni neuvěomujeme. Jo příl ruční reulce velmi oře polouží npříl npouštění onvice voou..3 Typy reulovných outv Po pojmem reulovná outv e rozumí zřízení, n terém prováíme reulci. Aychom mohli reulci prováět, muíme zvolit typ reulátoru vhoného pro nou outvu náleně ntvit prmetry popř. jeho truturu. K tomu muíme znát ynmicé prmetry outvy. Ty jou ány přeevším ontrucí zřízení čto nemuí ýt vhoné pro reulci.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 3 Nejjenoušší způo, j zjitit ynmicé vltnoti outvy, je zít (změřit) její přechoovou chrteritiu. V přípech, y přechoovou chrteritiu nelze zít, můžeme použít frevenční chrteritiu, i yž její zíání je mnohem náročnější je vhoná píše pro eletronicá zřízení. K zíání přechoové chrteritiy reulovné outvy e využívá oová změn ční veličiny tzv. jenotový o. Oezv outvy e leuje z tto zíné přechoové chrteritiy lze určit veličiny chrterizující ynmicé vltnoti reulovné outvy. Znlot chrteriticých veličin reulovné outvy využíváme pro volu reulátoru i pro jeho eřízení. N zálě tility přenou pole průěhu oezvy výtupní veličiny n změnu vtupního inálu můžeme outvy rozělit o náleujících upin pole:. tility jmenovtele ) tilní ) n mezi tility c) netilní. tility čittele ) minimálně fázové ) neminimálně fázové 3. perioicity průěhu výtupního inálu ) perioicé ) perioicé 4. oprvního zpožění ) ez oprvního zpožění ) oprvním zpožěním Jenotlivé vltnoti reulovných outv uou líže popány ve 4. pitole, e ue věnován zvláštní pozornot přeevším těm vltnotem, teré způoují prolémy při zpětnovzením řízení (reulci).

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 4 POLYNOMIÁLNÍ METODY SYNTÉZY. Oecné požvy n ytém řízení Polynomiální metoy yntézy přetvují moerní způo návrhu reulátoru, terý e vým pojetím znčně olišuje o onvenčních meto yntézy (npř. Zieler-Nicholov, Nlinov, Whiteleyho j.). Při použití onvenčních meto zprvil nejprve určíme onrétní typ reulátoru (P, PI, PID) poté pole prviel zvolené metoy vypočítáme jeho prmetry. Vzthy pro výpočet prmetrů jou něy ány telárně, což neumožňuje plici přílušné metoy při počítčovém zprcování npř. při ptivním řízení. Při použití polynomiální metoy yntézy vš určujeme romě vzthů pro výpočet prmetrů reulátoru té jeho truturu. Právě íy tomu jme chopni reltivně nno nvrhnout reulátor i pro řízení ytémů netilních, neminimální fází, oprvním zpožěním, popř. pro vtupní inály (žáná honot poruch) jiné než oové funce (rmp, hrmonicý inál, po.).[3] Potup při plici polynomiální metoy yntézy vychází ze zálních požvů n ytém řízení. Tyto požvy mohou ýt formulovány náleovně: ) Stilit ytému řízení. ) Vnitřní ryzot ytému řízení (přenoy všech jeho prvů muí ýt ryzí, tzn., že meto poytuje pouze fyziálně relizovtelné reulátory). c) Aymptoticé leování referenčního inálu (žáné honoty výtupu) ) Úplná ompenzce poruchy vtupující o ytému řízení. Výchozí myšlenou polynomiálních meto yntézy je řešení tzv. polynomiálních (iofnticých) rovnic. Jejich řešením lze zít reulátor, terý reulční ovo nejen tilizuje, le umožňuje plnění i něterých lších požvů lených n ytém řízení. Poronější informce iofnticým rovnicím jejich využití při řízení lineárních ytémů lze nlézt npř. v [9], [], [3], [4]. N rozíl o tzv. zlomového přítupu, chápeme při polynomiální metoě yntézy přenoy jenotlivých prvů v ytému řízení (reulčním ovou) jo poíly polynomů, rep. rcionální funce.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 V lších čátech práce ue přeno ční veličiny v reulovné outvě vžy uvžován ve tvru: e () () ( ) () ( ) () Y G () () U přetvují polynomy v. Přepolááme, že polynomy () neouělné je plněn pomín ryzoti přenou (): e ( ) e ( ) ( ) jou (3). DOF onfiurce ytému řízení Oznčení této onfiurce vznilo z nlicého one eree of freeom (jeen tupeň volnoti). Konfiurce vychází z licé reulční myčy e zpětnovzením reulátorem. Schém je n Or.. w e u y - Q u v G Or. DOF onfiurce ytému řízení Přenoy v reulčním ovou G vtupně-výtupní lineární moel řízeného proceu Q zpětnovzení reulátor Sinály půoící v reulčním ovou w - žáná honot e reulční ochyl y výtupní inál v poruch půoící n vtupu reulovné outvy u ční záh n výtupu reulátoru u ční záh půoící n vtupu outvy

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 6 Přeno reulátoru uvžujeme ve tvru poílu neouělných polynomů q p: ( ) () ( ) () pomínou ryzoti (fyziální relizovtelnoti reulátoru): U q Q () (4) E p ( ) e p( ) e q (5) Orzy oou vtupních inálů (referenčního inálu poruchy) můžeme rovněž chápt jo poíly polynomů ve tvru: W hw ( ) (), V () f () w ( ) () hv (6) f v Pro orzy řízeného výtupu čního vtupu pltí: Y () G() U () G() [ U () V () ] ( ) () () () U () V () (7) q U () Q() E() V() Q() [ W() Y() ] V() [ W() Y() ] V() (8) p Po úprvách rovnic (7), (8) nyní můžeme pro zální inály v reulčním ovou ovoit náleující vzthy (v zájmu zrácení zápiu ue v něterých lších vztzích u polynomů rument vynechán ue zchován pouze u orzů inálů): Y () [ qw () pv () ] (9) E () [ W () V () ] ( ) () p () q U () [ W () V () ] () e přetvuje chrteriticý polynom uzvřeného reulčního ovou: p q () Prmetry polynomu v oě ohují známé prmetry polynomů, z přenou řízeného ytému proztím neznámé prmetry polynomů q, p z přenou reulátoru. Nyní můžeme efinovt pomínu vnitřní tility uzvřeného reulčního ovou:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 7 Sytém řízení (reulční ovo) je tilní tehy, jetliže polynomy q p v přenou zpětnovzeního reulátoru (4) jou řešeními polynomiální (iofnticé) rovnice: ( ) p( ) ( ) q( ) ( ) e tilním polynomem () n prvé trně. (3) Rovnicí (3) je zjištěn první ze zálních pomíne lených n ytém řízení. Pomín vnitřní ryzoti ytému řízení je plněn nerovnotmi (5). Tyto nerovnoti pozěji využijeme při určení tupňů neznámých polynomů v rovnici (3). Nyní e ueme zývt pomínou ymptoticého leování žáné honoty ompenzcí poruchy. Do orzu reulční ochyly () oíme vzthy (6) otneme: E () p h f w w ( ) () h f v v ( ) () (4) Ay yly plněny požvy ymptoticého leování ompenzce poruchy, je nutné, y trvlá reulční ochyl yl nulová, tj. y pltilo: ( t) lim e t (5) rep. po Lplceově trnformci muí pltit: [ E( ) ] lim (6) Je zřejmé, že pomín (6) ue plněn, jetliže e poří otrnit o f w f v () z orzu (4). Z přepolu, že polynomy f w () ( ), jmenovtele ( ) f v () () jou neouělné, uou f w ( ) f v ( ) otrněny, jetliže polynom p( ) ue oučně ělitelný oěm těmito polynomy. To ue plněno tehy, jetliže ue exitovt polynom f () jo jejich nejmenší polečný náoe pro polynom p () ue pltit: ( ) f ( ) p( ) p ~ (7) Dozením vzthu (7) o rovnice (3) otneme polynomiální rovnici ve tvru: () f ( ) p( ) ( ) q( ) ( ) ~ (8)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 8 Ve vzthu (8) jou tupně polynomů p~ ( ) q ( ), teré proztím neznáme. Pro jejich zíání vycházíme z úvhy o řešitelnoti polynomiálních rovnic metoou neurčitých oeficientů. Stupeň polynomiální rovnice (8) tey i tupeň polynomu () je án vyšším ze tupňů oou členů levé trny této rovnice. Z pomíne ryzoti (5) vžy pltí, že e f~ p > e q. Z toho náleně plyne, že té pltí: ( ) ( ) e ~ ~ (9) ( ) e( fp) e( ) e( f ) e( p) Dále je známo, že žý polynom tupně m má m oeficientů polynomiální rovnice tupně n poytuje pro porovnání oeficientů při tejných mocninách n rovnic (protý člen je u ). To znmená, že polynomy p~ ( ) q ( ) mjí e ( p ) e ( ) oeficientů celový počet neznámých oeficientů v oou polynomech je tey: (8) je: ( p) e( ) ~ q neznámých PN e ~ q () Počet rovnic pro porovnání oeficientů n levé prvé trně polynomiální rovnice PR e ~ p () ( ) e( ) e( f ) e( ) Protože počet neznámých počet rovnic muí ýt tejný, otneme porovnáním () () (tey PRPN): ( ) e( ) e( f ) e q () Při určování tupně polynomu p ~ vycházíme z pomíny fyziální relizovtelnoti reulátoru (4). Dozením (6) o (4) nálenou úprvou t zíáme: e ~ p (3) ( ) e( ) Stupeň prvé trny polynomiální rovnice zíáme ozením (3) o (): ( ) e( ) e( f ) e (4) Pozn.: Pou v rovnicích (3) (4) uvžujeme rovnot, zíáme netritně ryzí reulátor, pou ueme uvžovt nerovnot, zíáme tritně ryzí reulátor.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 9 Pozn.: V uveeném textu yl reulátor ovozen pro poruchovou veličinu, terá e pouze přičítá vypočtenému čnímu záhu reulátoru. Exitují vš lší možnoti, j lze poruchovou veličinu o outvy zvét (lze ji npř. připočítávt výtupu, po.). Poměrně čto uváěnou možnotí je potup, y oovou poruchu necháme půoit n přeno ve tvru: e () () G () ( ) () ( ) () YV c (5) V V c přetvují polynomy v. Přepolááme, že polynomy () neouělné plňují pomínu ryzoti: ( ) e ( ) tto zíný inál připočítáváme výtupu outvy. ( ) c jou e c (6) Uveená meto má vš ten neotte, že ji lze používt pouze pro tilní outvy. Pou totiž reulujeme netilní outvu (tj. polynom () je netilní), zjitíme, že vliv poruchové veličiny nelze eliminovt reulční pocho ue netilní. Důvoem je, že přeno G V () není v uzvřené reulční myčce tuíž jeho výtupní inál trvle nrůtá může teoreticy ohovt ž neonečných honot..3 DOF onfiurce ytému řízení Oznčení této onfiurce vznilo z nlicého two eree of freeom (v tupně volnoti). Při této onfiurci reulátor ohuje vele zpětnovzení čáti Q té přímovzení čát R. Schém je n Or.. w R v Q - u u G y Or. DOF onfiurce ytému řízení

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 Sinály půoící v reulčním ovou: Význm ymolů v reulčním ovou DOF znázorněném n Or. opovíá znčení použitému v pitole.. Přenoy oou čátí reulátoru přepolááme ve tvru poílu neouělných polynomů q, p r, p: q () ( ) Q () p() ( ) () r R (7) p Pomín ryzoti (fyziální relizovtelnoti reulátoru) ze muí ýt plněn nejen pro zpětnovzení čát reulátoru, le i pro přímovzení čát reulátoru, tže pltí: ( ) e p( ) e q (8) ( ) e p( ) e r (9) Orzy oou vtupních inálů (referenčního inálu poruchy) můžeme rovněž chápt jo poíly polynomů ve tvru (6). Pro orzy řízeného výtupu čního vtupu pltí: Y () G() U () G() [ U () V () ] ( ) () () () U () V () (3) r q U () R() W () Q() Y () V () W () Y () V () (3) p p Pro zální inály v reulčním ovou nyní pltí: Y () [ rw () pv () ] (3) E ( ) () () [ ( r) W () pv () ] ( ) () (33) U () [ rw () qv () ] (34) e přetvuje chrteriticý polynom uzvřeného reulčního ovou:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 p q (35) Do orzu reulční ochyly (33) oíme orzy vtupních inálů (6) otneme: E () h ( r) f w w ( ) () h p f v v ( ) () (36) Potčující pomínou ymptoticého leování je, y polynom f w ělil polynom ( r), což ue plněno, jetliže ue pltit: e t přetvuje proztím neznámý polynom. ( r) tf w (37) Potčující pomínou pro úplnou ompenzci poruchy je, y polynom f v ělil polynom p, terý t muí ýt ve tvru: p ~ (38) ( ) f ( ) p( ) v Výlený reulátor je tey án řešením vojice polynomiálních rovnic, teré zíáme ozením (38) o (35) úprvou (37): () f ( ) p( ) ( ) q( ) ( ) ~ v (39) ( ) f ( ) ( ) r( ) ( ) t w (4) Polynom t je nutný pro řešení rovnice (4), o přenou reulátoru vš nevtupuje. Neznámé tupně polynomů v rovnicích (39), (4) ovoíme pooně jo pro DOF onfiurci ytému řízení. Stupeň rovnice (39) (4) je tey roven: (39) je: e ~ ~ (4) ( ) e( f p) e( ) e( f ) e( p) Počet neznámých oeficientů v rovnici (39) je: V V PN e ~ q (4) ( p) e( ) Počet rovnic pro porovnání oeficientů n levé prvé trně polynomiální rovnice PR e ~ V p (43) ( ) e( ) e( f ) e( )

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 Protože muí pltit, že PNPR, můžeme úprvou vzthů (4) (43) určit tupeň polynomu q () : ( ) e( ) e( f ) e q (44) V Z nerovnoti (8), po ození (38) úprvě zíáme e( p ) e( ) vzth můžeme ále uprvit t, že zveeme,,, vzth přepíšeme o tvru: ( p ) e( ) ~. Tento e ~ (45) pltit: Pro tupeň prvé trny (tj. pro tupeň oou polynomiálních rovnic) p ue ( ) e( ) e( f v ) e (46) Při uvžování pomíne ryzoti v rovnici (4) vžy pltí ( r) e( ) e tupeň polynomu () tey muí opovít tupni prvního členu levé trny. Můžeme tey pát: ( ) e( t) e( ) e (47) Neznámé jou všechny oeficienty polynomů t ( ) r ( ) oeficientů v rovnici (4) je tey: f w ( t) e( ). Počet těchto neznámých PN e r (48) Počet rovnic nutných pro jejich výpočet je tey: ( ) e( t) e( ) PR e r (49) Z rovnoti PNPR můžeme tey určit, že tupeň r ( ) je roven: ( ) e( f ) e r (5) w Pro určení číl, teré e vyytuje ve vztzích (45) (46), použijeme pomínu ryzoti (8), o teré oíme (5), (39) (45). Nálenou úprvou zíáme vzth: ( f ) e( f ) e( ) e (5) w v Při návrhu reulátoru muí vžy pltit. Můžeme tey potupovt t, že vypočítáme čílo jo: ( f ) e( f ) e( ) (5) e w v Pro čílo ozovné o vzthů (45) (46) p pltí:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 3 pro (53) pro (54) > Nonec určíme tupeň polynomu t ( ) jo: ( t) e( ) e( f ) e( ) e( f ) e( f ) e (55) w v w Opět viíme, že ovozené vzthy pro výpočet tupňů polynomů v přenoech reulátorů umožňují velmi rychlé určení jeho trutury. Netritní neo tritní ryzot reulátoru závií n rovnoti neo otré nerovnoti v rovnicích (53) (54). Pozn.: Při návrhu reulátoru DOF je tře věnovt znčnou pozornot tilitě reulátoru. Ztímco u onfiurce DOF pltí, že i netilní reulátor může reulční pocho tilizovt, u onfiurce DOF toto možné není netilní reulátor vee vžy netilnímu reulčnímu pochou..4 Konfiurce e věm zpětnovzeními reulátory (TFC) Tto onfiurce ohuje v zpětnovzení reulátory, ve vnitřní myčce reulátor Q ve vnější myčce reulátor R. w e u v u u y R - - v G u v Q Or. 3 Reulční ovo e věm zpětnovzeními reulátory Sinály půoící v reulčním ovou u v ční záh reulátoru R u v ční záh reulátoru Q

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 4 Význm ottních ymolů v reulčním ovou znázorněném n Or. 3 opovíá znčení použitému v pitole.. Přenoové funce oou zpětnovzeních reulátorů uvžujeme ve tvru: e q ~ (), r () () proměnné. q~ Q () ~ (56) p ( ) () ( ) () r R () ~ (57) p p~ přetvují neouělné polynomy vyjářené pomocí omplexní V tomto přípě jou o vtupní inály w v (žáná honot poruch) uvžovány pouze jo oové funce orzy: W V () () w (58) v (59) Pro výtupní inál poruchu lze ovoit (rument je u jenotlivých polynomů pro přehlenot vynechán): e: Y () [ rw () ~ pv () ] (6) E () [ ( p ~ q~ ) W () pv ~ () ] (6) ~ ~ (6) () ( ) p( ) ( ) ( r( ) q( ) ) e () přetvuje chrteriticý polynom ořeny, teré přetvují póly uzvřeného reulčního ovou. Nyní zvolíme polynom t() t, že ue pltit: ( ) r( ) q( ) t ~ (63)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 Polynom t() poté oíme o rovnice (6). Pomín tility ue plněn, pou polynomy p~ () () t uou ány řešením iofnticé rovnice: ( ) p( ) ( ) t( ) ( ) e tilním polynomem () n prvé trně. ~ (64) Pro oové vtupní inály ue ymptoticé leování referenčního inálu otrnění poruchy zručeno, pou uou oě pomíny ~ p q~ ~ p ohovt. q () () Tyto pomíny uou plněny, jetliže polynomy p ~ q ~ uou ve tvru: ~ p p (65) ( ) q ~ q (66) ( ) Přenoové funce reulátorů potom můžeme uvžovt ve tvru : ( ) () q Q () (67) p R () ( ) p() r (68) Stilní polynom p () ve jmenovteli zjišťuje tilitu reulátorů. Ay yl plněn pomín vnitřní ryzoti říícího ytému, muí tupně polynomů r plňovt náleující nerovnoti: Nyní polynom t() přepíšeme o tvru: t e q e p (69) e r e p (7) ( ) r( ) q( ) (7) Pou vezmeme o úvhy řešitelnot (64) pomíny (69) (7), mohou ýt tupně jenotlivých polynomů jenouše určeny jo: e t e r e (7) e q e (73) e p e (74)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 6 Pou oznčíme e e e (75) n, potom polynomy t, r q jou ve tvru: q t r n () i n () i n () i t i r i q i i i i (76) (77) (78) e oeficienty r i, q i t i plňují pomíny: r t (79) r q t pro i,..., n (8) i i i Neznámé oeficienty r i q i mohou ýt zíány pomocí volitelných oeficientů β, t, y pltilo: i r i β t (8) i i q i ( i ) ti β pro i,..., n (8) Koeficienty β i rozělují váhu mezi čitteli přenoových funci Q R. N zálě rozoru Y() lze přepolát, že e zvyšující e honotou oovou změnu. [] β i e zrychluje rece n Pozn. Pou β pro všechn i, eruje e uveené zpojení n DOF onfiurci ytému řízení. i Pou β pro všechn i referenční inál i poruch jou oové funce, i potom říící ytém opovíá DOF onfiurci ytému řízení.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 7 3 METODA PŘIŘAZENÍ PÓLŮ J ylo uveeno v přecházejících pitolách, hlvní pomínou, terou muíme při volě chrteriticého polynomu uzvřeného reulčního ovou () oržet, je jeho tilit. Ovšem vhonou volou pólů tohoto polynomu můžeme ovlivnit té průěh vlitu celého reulčního pochou. Oecně lze onttovt, že vol polynomu () přetvuje nejnáročnější čát polynomiálního návrhu reulátoru. V náleujících pitolách uou uveeny něteré z nejpoužívnějších meto přiřzení pólů. 3. Oecné požvy n chrteriticý polynom přenou URO Polynom () můžeme oecně zpt ve tvru : e ( ) ( ) (83) i i e i α jβ. Polynom () je potom tilní, jetliže reálné ložy jou záporné, tj. i i Re α < pro i,..., e. i jetliže [ ] i Pro volu pólů potom uou pltit náleující oecné pomíny: Jetliže uou všechny póly reálné ( β ), ue výlený pocho perioicý Pou ue mezi póly lepoň jen vojice pólů omplexně ružených, ue výlený pocho mitvý. Rychlot reulčního pochou ovlivňuje veliot reálných lože pólů. Čím uou vzálenější o nuly (v záporném mylu), tím ue reulční pocho rychlejší, ovšem vyššími nároy n ční veličinu. i 3. Vyrné tvry chrteriticého polynomu přenou URO Prvěpooně nejjenoušším přepiem pro určení () je vol vícenáoného reálného pólu ve tvru: e ( ) ( ) α (84)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 8 e: α >. Pou volíme vícenáoné reálné ořeny polynomu (), zjenouší e nám ice výpočet reulátoru, le zíný reulční pocho nemuí mít nejvhonější průěh. Velmi čtým prolémem jou neúměrně velié ční záhy n počátu reulce. Jo poměrně vhoná e jeví vol, y čát pólů přenou uzvřeného reulčního ovou ouvií prmetry přenou řízeného ytému. Prmetry reulátoru t mohou ýt ntvovány pomocí jeiného volitelného prmetru. Nejjenoušší metoou je rozělení () n vojici polynomů pole přepiu: e m() přetvuje: Pro tilní nemitvý reulční pocho e e m ( )( ) ( ) m α (85) ( ) ( ) Pro netilní nemitvý reulční pocho m (86) ( ) n( ) e n () je výleem petrální ftorizce polynomu ( ) n * m (87) * ( ) n( ) ( ) ( ) : (88) Npř.: pro netilní polynom ( ) je potup při petrální ftorizci (88) náleující: 4 ()() ( )( ) ( ) * (89) Po zveení polynomu n ( ) n n pooně zíáme: 4 ()() n ( n n )( n n ) ( n n ) n * n (9) Porovnáním oeficientů při tejných mocninách n prvých trnách (89) (9) p otneme: n (9) n (9) n

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 9 Z uveených vzorců (9) (9) je ptrné, že vžy pltí n > n > polynom n() je t z všech oolnotí tilní. Pozn.: Výše uveené voly polynomu () čto vyhovují té pro mitvé reulční pochoy. Prolémem je vš to, že nelze přeem říci, z ue zvolený potup vyhovovt. Důvoem je, že pou je () mitvý, je mitvý té celý reulční pocho. V mnoh přípech je toto mitání prticy nepotřehnutelné reulční pocho e chová téměř tejně jo perioicý. V lších přípech vš můžeme zít i zcel nevhoný reulční pocho, y výtupní veličin netlumeně mitá. Pou je tey reulční pocho mitvý, je vhoné přenotně používt jiné metoy voly polynomu (). Dlší možnotí je vol polynomu () využitím meto LQ řízení, terá je líže popán v náleující pitole. 3.3 Aplice techniy LQ řízení Z přepolu, že vtupní inál poruch jou oové funce, můžeme pro všechny typy ytémů (tilní i netilní, minimální i neminimální fází ) využít potupu známého z LQ řízení. Polynom () p volíme ve tvru: ( ) m( ) ( ) (93) e () přetvuje tilní polynom ný petrální ftorizcí: * * * [ () ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ (94) e ϕ přetvuje volitelný oeficient. Spetrální ftorizce (94) je známá z teorie LQ řízení (poroněji npř. v [8]), e je použit při minimlizci vrticého funcionálu: () ϕ & () (95) J e t u t t ϕ přetvuje váhový oeficient u vrátu erivce ční veličiny.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 3 Spetrální ftorizce ue proveen pro ytém. řáu přenoem ční Y veličiny () () G. Levá trn rovnice (94) ue ve tvru: U () * * [ () ] ϕ () ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) 6 4 ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ ϕ (96) Polynom () potom muí ýt třetího tupně volíme jej jo: 3 ( ) 3 Prvá trn rovnice (94) ue ve tvru: (97) 3 3 ( 3 )( 3 ) 6 4 ( ) ( ) * ( ) ( ) (98) 3 3 Porovnáním oeficientů n prvých trnách vzthů (97) (98) při tejných mocninách otneme pro oeficienty polynomu ( ) náleující vzthy: ϕ, ϕ ( ), 3 3 ϕ, (99) Pro řešení oeficientů je vhoné použít něterou z numericých meto. V prticé čáti ue uveen potup řešení pomocí Newtonovy metoy. Polynom m () v rovnici (93) p může ýt volen různým způoem. Pro tilní nemitvý ytém může ýt volen jo: pro netilní ytém ( ) ( ) m () ( ) n( ) e n () je výleem petrální ftorizce (88). m () Voly polynomu () () veou pro oové vtupní veličiny e tritně ryzím reulátorům. Pou nám tčí pouze netritně ryzí reulátor, můžeme polynom m ( ) volit npříl pole přepiu:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 3 e e ( ) ( ) m α () Dlší možnotí, j zvolit polynom m ( ), je rozělit netilní polynom ( ) tilní netilní čát: ( ) ( ) ( ) n (3) e () přetvuje tilní čát. Potom, jetliže je plněn pomín e e, můžeme volit polynom m ( ) ve tvru: ( ) ( ) m (4) Pou ychom potřeovli polynom vyššího tupně než je e > e e můžeme z přepolu, že e, rovnici (4) moifiovt n tvr: e e [ ] () () m (5) V přípě, že e > můžeme pomínu (5) uprvit, to z přepolu, že poíl e e e je celé čílo, n tvr m e [ ] e () () e (6) v ottních přípech: () ()( ) m e e e α (7) Vol (7) je mozřejmě použitelná i míto vzthu (6). Do pooných potíží e můžeme ott i při volě ( ) n() vole (6) (7). m. V tovém přípě lze využít moifiovných Do poměrně znčných potíží e můžeme ott při volě polynomu () pro interční outvy. V tovém přípě jme oecně oázáni pouze n volu (84). V přípě, že e jená o tilní outvu interční ložou, je možná té vol (3), protože polynom () lze rozělit n tvr: ( ) ( ) (8)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 3 náleně využít jenu z vole (4) ž (7). Pou e vš jená o netilní outvu interční ložou, je možné polynom () rozept jo: ( ) ( ) ( ) (9) ( ) ( ) () Potom v přípě (9) můžeme opět využít jenu z vole (4) ž (7). V přípě () je využitelná moifice voly (88), y proveeme petrální ftorizci polynomu () : n * * ()() n ( ) () () () Npř.: pro netilní polynom ( ) je potup při petrální ftorizci () náleující: * [ () ] () ( )( ) () Po zveení polynomu n ( ) n pooně zíáme: ()( n ) ( n )( n ) n * n (3) Porovnáním oeficientů při tejných mocninách n prvých trnách () (3) p otneme: n (4) Pou volíme polynom m() pole přepiu (), (), (4) (6), ntvujeme prmetry reulátoru pouze pomocí jeiného váhového prmetru ϕ. Jeho ntvením ovlivňujeme přeevším rychlot reulčního pochou. Pozn.: Ani jeen z výše uveených potupů při volě polynomu () neoáže vyřešit prolém netilitou reulátorů. Tento prolém e projevuje přeevším u netilních outv neminimální fází, y pro oeficienty jmenovtele přenou pltí: < <.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 33 4 SYSTÉMY OBTÍŽNĚ ŘIDITELNÉ KONVENČNÍMI METODAMI 4. Sytémy oprvním zpožěním Doprvní zpožění přetvuje jev, terý e v technicé prxi projevuje u mnoh technoloicých proceů. Sytémy oprvním zpožěním e zprvil otížně reulují nvíc velmi čto mohou mít něteré lší vltnoti, teré činí reulci ěžnými typy reulátorů téměř nemožnou. Může e jent npříl o outvy netilní neo interčními vltnotmi. Typicými příly tových proceů jou npříl pumpy, nárže n plinu, neo něteré typy chemicých retorů. [5], [6] Po pojmem zpožění oecně rozumíme čové pounutí mezi příčinou jejím ůleem. Řízení proceů vee n ytémy e zpožěním, pou přeno informce, enerie neo hmoty mezi funčními čátmi proceu či řízeného ojetu neo mezi ojetem říícím utomtem, potřeuje e vému uutečnění ou, terá e pottně upltňuje v ynmice proceu. Zpožění oecně nižuje příputné honoty prmetrů reulce, ovoluje pouze pomlejší ční záhy v řízení přeevším ohrožuje tilitu řízení zpětnou vzou.[] V technicé prxi e utálil zjenoušující přetv, že vliv všech zpožění v ytému, včetně zpožění ve zpětných vzách, lze zhrnout o jeiného lou oprvního zpožění, terý je ériově pojen moelem outvy. e: Chování tovéhoto ytému potom lze popt pomocí iferenciální rovnice: y n n i j () t y () t u ( t ) i i, i - ontntní oeficienty τ - oprvní zpožění u ( t τ ) - vtupní veličin y () t - výtupní veličin i m j j τ (5) Pro ytém popný rovnicí (5) nvíc pltí m < n. Přeno ytému (5) má tvr:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 34 G () () () e... m τ m τ e n n n... (6) Uzvřený reulční ovo pro ytém oprvním zpožěním potom můžeme znázornit pole Or.4. W() E() r Y() G () e () τ R () p - ( ) () ( ) Or. 4 Reulční ovo e ytémem oprvním zpožěním Přeno řízení pro reulční ovo znázorněný n Or.4, n terý nepůoí žáné poruchové veličiny, potom ue mít tvr: G () Y W ( ) () G τ ( ) R( ) e τ G() R() e W / Y (7) Ze vzthu (7) je ptrné, že e člen oprvního zpožění vyytuje ve jmenovteli přenou tey netivně ovlivňuje vltnoti uzvřeného reulčního ovou. Meto, j e oprvním zpožěním vypořát, exituje něoli. Zjenoušeně i je můžeme rozělit o náleujících teorií: Zneání oprvního zpožění Smithův preitor jeho moifice Aproximce oprvního zpožění 4.. Zneání oprvního zpožění Zneání přetvuje nejjenoušší metou, j vyřešit prolém oprvního zpožění. Jená e vš o metou použitelnou tehy, pou je oprvní zpožění výrzně rtší než čové ontnty (tj. o náěhu o průthu) reulovné outvy.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 35 Určitou povrintu přetvuje přičtení oprvního zpožění oě průthu. Tto meto je vš opět vhoná pouze pro mlá oprvní zpožění, y pltí τ << τ. u 4.. Smithův preitor Reulční ovo pro ompenzci oprvního zpožění, známý jo Smithův preitor, yl nvržen už v 5. letech. toletí. Jená e o zpojení, teré umožňuje říit i ytémy velým oprvním zpožěním pro úpěch reulce je vš nutné, y e moel ve vnitřní myčce hoovl e utečně řízeným ytémem. [] W() E() τ Y() R G( ) e - () moel ~ Y ( ) G( ) e τ - Or. 5 Smithův preitor Ovo ompenzuje oprvní zpožění τ. Reulátor R ( ) tey prouuje ční záh, jo y říil přeno G ( ) ez vlivu oprvního zpožění. Tento ft plyne z vyjáření: ~ Y τ ( ) G( ) U ( ) G( ) U ( ) e G( ) U ( ) e G( ) U ( ) τ (8) Jetliže je přepoláán honý přeno moelu utečně řízené outvy, pro celový přeno řízení pltí: G () Y W ( ) () G ( ) R( ) G() R() e τ W / Y (9) Ze vzthu (9) plyne, že chrteriticá rovnice: ( ) R( ) G ()

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 36 je tejná jo u uzvřeného reulčního ovou e outvou ez oprvního zpožění. V tomto přípě e jená o úplnou ompenzci oprvního zpožění. Smithův preitor má vš té něterá netiv. Jená e přeevším o nutnot celého moelu ve zpětné vzě. V prticém provozu je vš úplná ho moelu reálného proceu prticy nemožná. Největším prolémem je přeevším moelování oprvního zpožění. 4..3 Aproximce oprvního zpožění Pro proximci oprvního zpožění e používjí tři zální metoy: Tilorův rozvoj prvního řáu v čitteli: e () τ τ Tilorův rozvoj prvního řáu ve jmenovteli: e τ τ e τ () Pé proximce prvního řáu e τ e τ e τ τ τ (3) Z uveených proximcí e jo nejvýhonější jeví Pé proximce oprvního zpožění (3), terá ve většině vee nejlepšímu přilížení oriinální outvě to j v čové, t té v frevenční olti. Její lší výhoou je, že nij neovlivňuje reltivní řá outvy. Pé proximci lze použít pro většinu přípů, i yž pro outvy interční netilní vyhovuje pouze pro mlé honoty oprvního zpožění. Poronější informce ytémům oprvním zpožěním npř. v: [], [5], [6], [4]. 4. Netilní ytémy Stilit ynmicého ytému je chopnot vrátit e po vychýlení zpět o půvoního tvu. Toto vychýlení je vžy způoeno nenulovými počátečními pomínmi, z tohoto ůvou pltí, že Ljpunová tilit je vltnotí pouze levé trny iferenciální rovnice (tey jmenovtele přenou).

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 37 Pole tility (pro ilutrci uveen jo příl hmotného ou v rvitčním poli) rozlišujeme ytémy n: tilní ytém e po vychýlení vrátí o půvoní polohy n hrnici tility - ytém e po vychýlení nevrátí o půvoní polohy, le ni neunine netilní - ytém po vychýlení unine Z hlei řízení oznčujeme ytém jo netilní, pou jeen neo více ořenů jmenovtele jeho přenou leží v prvé čáti omplexní poloroviny. Netilní ytémy e v prxi velmi čto vyytují ve pojení něterými lšími netivními vltnotmi, jo je oprvní zpožění, netilit čittele (ytémy neminimálně fázové), interční vltnoti. Tové ytémy jou p licými typy reulátorů prticy neřiitelné i návrh reulátorů pomocí polynomiálních meto může činit znčné potíže. Přeevším e jená o volu vhoného tilního polynomu () té použité trutury nvrhovného polynomiálního reulátoru (DOF, DOF, TFC). Pro něteré typy netilních outv je oonce téměř nemožné nlézt tilní reulátor. To ovšem znmená, že pro reulci těchto outv lze reulátory typu DOF použít pouze omezeními reulátory typu DOF TFC nelze použít vůec. 4.3 Sytémy neminimální fází Sytémy neminimální fází jou ytémy, teré mjí netilní nuly v čitteli. Pou tey n vtup tovéto outvy přiveeme oovou změnu vtupní veličiny, mění e výtupní veličin nejprve opčným měrem, než je výlený měr výtupní veličiny v če t. Sytémy tohoto typu e ěžnými reulátory reulují pouze otížně, vyytují e vš poměrně čto.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 38 II. PRAKTICKÁ ČÁST

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 39 5 PRAKTICKÁ UKÁZKA NÁVRHU REGULÁTORŮ POLYNOMIÁLNÍ METODOU V teoreticé čáti yly ovozeny vzthy pro návrh reulátorů pomocí polynomiální metoy yntézy. V této čáti uou uveeny onrétní potupy ále ue pouázáno n něteré prolémy, teré mohou při návrhu ntt. 5. Návrh reulátoru DOF Syntéz DOF reulátoru pomocí metoy neurčitých oeficientů je poměrně jenouchá, rychlá ve většině přípů poává velmi oré výley. Dá e vš oázt, že exitují přípy, y polynomiální metou použít nemůžeme, protože pro zný přeno reulátor typu DOF neexituje. V náleující čáti ue oecně ovozen reulátor DOF pro outvu ruhého řáu reltivním řáem přenou (jená e tey o outvu, terá má v čitteli přenou polynom. tupně) Přeno outvy ueme uvžovt ve tvru: G () ( ) () ( ) () Y (4) U Žánou honotu poruchovou veličinu volíme pro jenouchot jo oové inály () t w w () t v Orz žáné honoty: v, teré můžeme vyjářit pomocí náleujících orzů v : W Orz poruchové veličiny: V hw ( ) w () > e ( w ) f () w hv ( ) v () > e ( v ) f () v f (5) f (6) Nyní muíme určit nejmenší polečný náoe polynomů tupeň tohoto polynomu: f w f v ále té

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 4 ovou: f ( ) > e ( ) f (7) V lším rou etvíme oecnou polynomiální rovnici uzvřeného reulčního () f ( ) p( ) ( ) q( ) ( ) ~ (8) Pomocí vzorců ovozených v čáti. nyní určíme tupně neznámých polynomů p~ (), q () () : ( ) e( ) e( f ) e q (9) e ~ p (3) ( ) e( ) ( ) e( ) e( f ) 4 e (3) Polynomy p~ (), q () ( ) tey můžeme přepolát ve tvru: ( ) q q q q (3) ~ p ~ ~ p (33) ( ) p 4 3 () 4 3 (34) (8): Polynomy (), (), q ( ), p~ ( ) ( ) oíme o polynomiální rovnice ( ) ( ~ p ~ p ) ( ) ( q q q ) (35) 4 3 4 3 Úprvou rovnice (35) převeením o polečných mocnin zíáme náleující outvu rovnic: 4 3 : : : : : ~ p ~ p ~ p ~ p ~ p ~ p q q q q q q 4 3 (36)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 4 Aychom outvu rovnic (36) mohli vyřešit co nejjenoušším způoem, je vhoné ji převét o mticového tvru: 3 4 ~ ~ q q q p p (37) Mticovou rovnici (37) p můžeme vyjářit ve tvru: D X A (38) náleně pomocí mticových opercí převét n řešitelný tvr: D A X (39) Mticová rovnice (39) je řešitelná, jetliže pltí: ) et( A (4) Oecný výpočet eterminntu mtice A vyžuje množtví poměrně otížných mticových opercí. Pro určení pomíne řešitelnoti vš lze outvu rovnic (36) zjenoušit to z přepolu: 4 ~ p (4) q (4) Pro rovnice (4) (4) vš muí pltit: 4 (43) (44) Po ození rovnic (43) (44) o outvy rovnic (36) zíáme zjenoušenou outvu rovnic:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 4 4 4 3 3 ~ : ~ : ~ : q p q q p q p (45) terou opět můžeme přept o mticového tvru: 4 4 3 ~ q q p (46) oecně vyjářit ve tvru: D X A (47) Mticová rovnice (47) je řešitelná, jetliže pltí: ( ) ) et( et A (48) Pou jou plněny pomíny (43) (44), pltí ovozený vzth (48) jo pomín řešitelnoti i pro mticovou rovnici (37). Pou není rovnice (48) plněn, nelze pro nou outvu nvrhnout reulátor DOF. Splnění rovnice (48) vš rozhouje pouze o tom, z reulátor pro nou outvu exituje. O tom z reulátor ue tilní neo netilní, popř. já ue vlit reulčního pochou, rozhouje přeevším umítění ořenů polynomu (). Pou ychom proveli etilní rozor, zjitili ychom, že pomín (48) není plněn pro outvy, teré mjí ouělné polynomy ( ) ( ). Při vltním ovození vzthů pro reulátory DOF jme ice pomínu neouělnoti přepoláli, vš při prticém návrhu reulátoru pro znou outvu nemůžeme ituci, y pomín neouělnoti neue plněn, úplně vyloučit. Toto neezpečí hrozí přeevším při použití ptivních meto, y e prováí ientifice outvy močinně. Proto je vhoné tovou možnotí počítt pomínu (48) při návrhu reulátoru uvžovt.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 43 5. Návrh reulátoru DOF Přeno outvy ueme opět uvžovt ve tvru: G () ( ) () ( ) () Y (49) U Žánou honotu poruchovou veličinu volíme pro jenouchot jo oové inály () t w (6). w () t v v. Přenoy těchto inálů proto opět uvžujeme ve tvru (5) V lším rou etvíme oecné polynomiální rovnice potřené pro návrh zpětnovzení přímovzení čáti reulátoru: () f ( ) p( ) ( ) q( ) ( ) ~ v (5) ( ) f ( ) ( ) r( ) ( ) t w (5) Pomocí vzorců ovozených v pitole.3 nyní určíme tupně neznámých polynomů p~ (), q (), r () ( ) : ( ) e( ) e( f ) e q (5) v ( ) e( f ) e r (53) w ( f ) e( f ) e( ) e w v > (54) e ~ p (55) ( ) e( ) ( ) e( ) e( f ) 4 e v (56) () t e( ) e( f ) e( f ) 3 e v w (57) Polynomy p~ (), q (), r ( ) ( ) tey můžeme přepolát ve tvru: ( ) q q q q (58) ( ) r r (59) ~ p ~ ~ p (6) ( ) p

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 44 ( ) 3 3 t t t t t (6) () 3 3 4 4 (6) Polynomy (), (), ( ) p~, ( ) q, ( ) r, ( ) f v, ( ) f w () oíme o polynomiálních rovnic (5) (5): ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ q q q p p 3 3 4 4 (63) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 3 r t t t t (64) Úprvou rovnic (63) (64) jejich převeením o polečných mocnin zíáme náleující outvy rovnic: 3 3 4 4 : ~ : ~ ~ : ~ ~ : ~ : q q q p q q p p q p p p (65) 3 3 4 4 : ~ : ~ ~ : ~ ~ : ~ : q q q p q q p p q p p p (66) Soutvy rovnic (65) (66) můžeme převét o mticového tvru: 3 4 ~ ~ q q q p p (67)

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 45 3 4 3 r t t t t (68) Pro výpočet prmetrů reulátoru Q je tře vyřešit mticovou rovnici (67). Při výpočtu prmetrů reulátoru R tčí řešit pouze polení řáe mticové rovnice (68). Pou vš rovnici (68) vyřešíme celou, můžeme polynom t() použít při výpočtu reulční ochyly. Ay yl mticová rovnice (67) řešitelná, muí ýt plněn tejná pomín jo v přípě reulátoru DOF: (69) 5.3 Optimální řízení J ylo uveeno v pitole 3.3, pro zíání polynomu ) ( muíme vyřešit náleující outvu rovnic: (7) ϕ (7) ( ) 3 ϕ (7) ϕ 3 (73) Rovnice (7) (73) můžeme vyřešit přímo, le ychom oázli vyřešit rovnice (7) (7), je vhoné využít něterou z numericých meto. V této čáti ue uveen způo řešení pomocí Newtonovy metoy. NEWTONOVA METODA: Při řešení rovnic pomocí Newtonovy metoy potupujeme pole náleujícího přepiu:

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 46 Mějme outvu rovnic pro terou pltí: ) ( x f r r (74) Potom pro i-tou rovnici pltí: ( ) ( ) ( ) ( ) j j n j j i i i x x x x f x f x f (75) Z přepolu, že pltí (74), můžeme rovnici (75) přept o tvru: ( ) x f i > ( ) ( ) ( ) j n j j i i x x f x f δ (76) e: j j j x x δ Pro outvu rovnic (74) potom můžeme pát: x f x f δ r r r r r ) ( ) ( ' (77) Řešení vetoru x r e p prováí iterčně pltí: [ ] ) ( ) ( ' x f x f x x r r r r r r (78) e: n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f K M L r r ' ) ( ( ) ( ) ( ) n x f x f x f x f M r r ) ( (79) Při výpočtu prmetrů tey uprvíme rovnice (7) (7) n tvr: ϕ (8) ( ) 3 ϕ (8) Určíme mtici ) ( ' x f r r :

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 47 ( ) ) ( 3 3 ' f f f f x f ϕ ϕ r r (8) ále mtici ) ( x f r r : ( ) ( ) ( ) f f x f 3,, ) ( ϕ ϕ r r (83) Potom pro řešení ue pltit: ( ) ( ) 3 3 3 ϕ ϕ ϕ ϕ (84) Mticovou rovnici (84) potom řešíme iterčním proceem. Ay yl rovnice vůec řešitelná, muíme zvolit počáteční honoty. Jo vhoné e jeví npříl počáteční honoty.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 48 6 UKÁZKY REGULAČNÍCH POCHODŮ V této pitole ue uveeno něoli přílů reulčních pochoů jen pro různé typy reulovných outv (interční, netilní, neminimálně-fázové, po.), ále pro různé onfiurce reulčních ovoů (DOF, DOF, TFC) té pro různé voly polynomu (). Vzhleem orovému množtví různých omincí, teré lze použít, omezenému protoru, ue zvláštní pozornot věnován přeevším outvám, teré jou ěžnými způoy pouze otížně reulovtelné (tj. outvy interční, netilní, neminimálně fázové), ále volě polynomu () pomocí meto LQ řízení onfiurci TFC. Vol onfiurce TFC je výhoná přeevším proto, že pomocí voly prmetru β můžeme v jeiném rfu znázornit reulční pocho nejen pro onfiurci TFC, le i pro onfiurce DOF DOF. Při vyhonocování vlity reulce ylo přenotně použito uprvené vrticé ritérium pole přepiu: J n n [ w( i) y( i) ] [ u( j) u( j ) ] u () i j n (85) e: n je počet vzorů reulčního pochou Uveené ritérium (85) neopovíá zcel přeně tnrnímu vrticému ritériu, teré je efinováno jo: [ ( )] [ ] J w( ) y u( ) u( ) (86) e, je zvolený intervl pro určení vlity reulce pltí, že > Kritérium (86) nerepetuje ční záh v če t. To je áno tím, že u mtemticy je v če t rovno. t Bohužel, pro různé voly polynomu () zprvil pltí, že největší rozíl mezi nimi je právě v počátečním čním záhu u ( t ). Pou jej tey neuvžujeme, jou výley honotícího ritéri zrelené neumožňují zcel ojetivně poouit vlitu reulce.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 49 Z tohoto ůvou ylo nvrženo poněu uprvené ritérium (85), e e vychází z úvhy, že ční záh u() t v če t< je roven u( t < ) tey ( t ) u( t ) u. Tto úvh ice není mtemticy zcel v pořáu, umožňuje vš mnohem lépe poouit výhoy voly polynomu () pomocí meto LQ řízení. Pro poouzení vlity reulce ylo použito té ritérium vycházející z olutních honot ve tvru: J n n w( i) y( i) n i j u( j) u( j ) u() (87) e: n je počet vzorů reulčního pochou Důvoem použití olutního ritéri je utečnot, že vrticé ritérium znáouje vliv velých honot j reulční ochyly, t té změn čního záhu vliv mlých honot nop potlčuje. Tím vš může ojít e zrelení výleů. Aolutní ritérium je vš uveeno pouze u čáti výleů, hlvním ůvoem, proč neylo uveeno u všech je jen omezený protor té nh o přehlenot výleů. 6. Použité prormové vyvení Pro účely této práce yl vytvořen vojice prormů v protřeí QUIDE prormového líu Mtl 7. o firmy MthWor, Inc.. Jená e o prormy TFControler.m Controler_DOF_DOF.m. O tyto prormy jou i z hlei ovláání velmi pooné proto ue popán pouze prorm Controler_DOF_DOF.m. O prormy yntéze reulátorů využívjí ntvovou nihovnu polynomil toolox pro řešení polynomiálních iofnticých rovnic. Důvoem je nh o co nejvyšší univerzálnot. Pou ychom potupovli přeně pole potupu uveeného v teoreticé čáti pro žý typ reulátoru rovnice poroně ovozovli, yl y prorm velmi ložitý nepřehlený. Použitím polynomil tooloxu e prormování výrzně zjenoušilo ylo t možno vytvořit prormy, teré umožňují vypočítt reulátory typu DOF, DOF TFC ále té imulovt reulční pochoy pro většinu reulovných outv. řáu.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 Uveený potup má vš té vé nevýhoy. Protože ylo použito prormování v rozhrní GUIDE, nelze zručit omptiilitu jinými verzemi Mtlu, než je verze 7.. Or. 6 Prorm Controler_DOF_DOF.m 6.. Popi jenotlivých čátí prormu Reulovná outv: umožňuje zt outvu. řáu reltivním řáem neo. y yl výpočet možný, muí ýt žý z oeficientů čílo. Nvíc pltí, že oeficient muí ýt různý o nuly. Reulátor ze je uveen výlee řešení v oecném tvru Vol reulátoru: Q ( ) R q p n m n m... q q... p p umožňuje zvolit reulátor typu DOF neo DOF.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 Vol polynomu (): ze je možné zvolit polynom () pole prviel, teré yly líže pecifiovány v pitole 3 pro voly ( ) ( ) n( ) ) ( ) ( ) ( pltí, že pou je požovný tupeň polynomu () vyšší, než je mximální možný tupeň výše uveených vole, potom e použijí náleující prvil: e e e n () ( ) n( )( ) α (88) () n()( ) e e (89) Vol prmetru lf: umožňuje ntvit prmetr α nutný pro většinu vole polynomu (). Vol prmetru F: umožňuje ntvit váhový oeficient ϕ při volě polynomu () pomocí meto LQ řízení. Žáná honot (o): umožňuje ntvit prmetry žáné honoty. Poruch (o): umožňuje ntvit prmetry poruchy ve tvru ou. Poruch (inuový inál): umožňuje ntvit prmetry hrmonicé poruchy, terá je ze přetvován inuovým inálem. Kritérium reulce: uává honotu vrticého olutního ritéri. Význm jenotlivých polože yl popán n zčátu této pitoly. Do reulce: umožňuje ntvit élu trvání imulce reulčního pochou.

UTB ve Zlíně, Fult pliovné informtiy, 9 5 6. Řízení interčních outv Reulovnou outvu interčního typu přepolááme v oecném tvru: G () (9) ( ) Pro uázu řízení interčních outv yly vyrány náleující příly: Stilní interční outv minimální fází G () Netilní interční outv minimální fází G () Stilní interční outv neminimální fází G () Netilní interční outv neminimální fází G () (9) 3 (9) 3 (93) 3 3 (94) Pro řízení všech čtyř typů interčních outv yl použit reulátor TFC. Důvoem je utečnot, že změnou prmetru β v intervlu, jme chopni imulovt reulční pocho j pro onfiurci TFC, t té pro onfiurci DOF ( β ) DOF ( β ). Ay ylo možno ojetivně poouit vliv prmetru β n průěh reulce, yl pro všechny reulovné outvy zvolen tejný polynom (), to ve tvru: ( ) ( )( ) (95) V ruhé érií přílů potom yl polynom () volen ve tvru: () ( ) pro tilní outvy (96) * () ( ) n ( ) pro netilní outvy (97) e n * () yl zíán petrální ftorizcí netilní čáti polynomu ()