V = gap E zdz. ( 4.1A.1 ) f (z, ξ)dξ = g(z),

Transkript

1 4.1 Drátový dipól Zákldní teorie V této kpitole se seznámíme s výpočtem prmetrů drátového dipólu pomocí momentové metody. Veškeré informce se snžíme co nejsrozumitelněji vysvětlit ve vrstvě A. Vrstvu B v tomto přípdě využíváme k uvedení nglické verze této kpitoly. Činíme tk proto ychom čtenáře seznámili s nglickou terminologií využívnou v olsti ntén numerických metod. Všechny důležité technické prmetry ntén jkými jsou npř. zisk vstupní impednce neo směrová chrkteristik mohou ýt reltivně sndno vypočteny pokud známe rozložení proudu n nténním vodiči. Výpočet rozložení proudu je všk ohužel dosti komplikovný protože při jeho určování je tře řešit integrální rovnice. K řešení integrálních rovnic existují dv zákldní přístupy iterční momentový. Iterční metody vycházejí z hrué proximce proudového rozložení (uvžujeme npř. sinusové rozložení proudu n drátovém dipólu) která je iterčně zpřesňován. Oproti tomu momentové metody převádějí řešení integrální rovnice n řešení soustvy rovnic lineárních s nimiž si ez prolémů pordí npř. Mtl. V této kpitole nší učenice se udeme zývt pouze momentovou nlýzou drátových ntén. Ve všech přípdech udeme předpokládt že ntén je tvořen kruhovým válcem o poloměru že je dlouhá 2h. Osu nténního vodiče umístíme do osy z (or. 4.1A.1) válcového souřdného systému (r ρ z). Dále předpokládáme že se ntén nchází ve vkuu (µ = µ 0 ε = ε 0 σ = 0) že veškeré možné ztráty jsou nulové. Or. 4.1A.1 Drátový dipól Uprostřed nténního vodiče (z = 0) udeme uvžovt krátkou štěrinku. Tuto štěrinku připojíme k hypotetickému hrmonickému zdroji který vytváří rotčně souměrné udicí pole (or. 4.1A.2). pětí ve štěrince pk můžeme popst vzthem V = gp dz. ( 4.1A.1 ) Dále předpokládáme že toto npětí je rovno jednomu voltu. Ve vzthu (4.1A.1) znčí z-ovou složku intenzity udícího elektrického pole ve štěrině tedy i n (válcovém) povrchu této krátké části ntény (or. 4.1A.2). Mimo štěrinu je nulové protože předpokládáme dokonlou elektrickou vodivost vodiče ntény. I. Momentová metod Uvžujme oecnou integrální rovnici ve tvru Or. 4.1A.2 Budicí elektrické pole ve vstupní štěrině f (zdξ = g(z) ( 4.1A.2 ) kde f je neznámá funkce (v nšem přípdě rozložení proudu n nténě) <> znčí nlyzovnou olst g je známá funkce popisující půsoení zdrojů. Momentové řešení rovnice (4.1A.2) potom můžeme rozepst do následujících tří kroků: 1. eznámou funkci f proximujeme pomocí lineární komince známých ázových funkcí f n neznámých koeficientů c n f f = cn f n. n = 1 ( 4.1A.3 ) 2. Formální proximci (formální proto že neznáme koeficienty c n ) hledné funkce f ~ dosdíme zpět do řešené rovnice změníme pořdí sčítání integrování cn f n = 1 n (zdξ = g(z) + R(z). ( 4.1A.4 ) V uvedeném vzthu znčí R(z) tzv. reziduum které vyjdřuje skutečnost že proximce řešení f ~ není identická se zcel přesným řešením rovnice. Vzth (4.1A.4) je jednou rovnicí pro neznámých koeficientů c n. 3. Co možná nejpřesnější proximci řešení získáme tehdy když reziduum R ude minimální. Reziduum tudíž minimlizujeme tzv. metodou vážených reziduí: součin vhodné váhové funkce w rezidu R integrovný přes nlyzovnou olst < > musí ýt nulový [5]. Pokud pro váhování postupně použijeme různých váhových funkcí získáme soustvu lineárních rovnic pro neznámých koeficientů c n

2 w m(z)r(z)dz = 0 m = ( 4.1A.5 ) cn w m(z) f n =1 n (zdξdz = w m(z)g(z)dz. ( 4.1A.5 ) Jk váhové funkce tk funkce ázové musejí ýt lineárně nezávislé n intervlu <>. II. Bázové funkce Bázové funkce mohou gloální neo lokální povhu. Gloální ázové funkce jsou definovány přes celou nlyzovnou olst <>. př. soustv funkcí f n (z) = cos πnz h ( 4.1A.6 ) je lineárně nezávislá n <> koeficienty c n f (z) f (z) = cn f n = cn cos πnz n = 1 n = 1 h ( 4.1A.7 ) zde mjí význm Fourierových koeficientů proudového rozložení. Aproximci zloženou n gloálních ázových funkcích nzýváme jednoázovou proximcí. Lokální ázové funkce jsou definovány přes celou nlyzovnou olst tké všk pouze n určité podolsti nývjí nenulové funkční hodnoty (or. 4.1A.3). Pokud jsou ázové funkce normovány (tzn. pokud se jejich funkční hodnot mění od nuly do jedničky) pk koeficienty c n mjí význm uzlových hodnot (vzorků) hledné funkce f (or. 4.1A.3). Aproximci zloženou n lokálních ázových funkcích nzýváme víceázovou proximcí. Or. 4.1A.3 Víceázová proximce ) po částech konstntní ) po částech lineární III. Váhové funkce Mezi nejčstěji používné přístupy k minimlizci rezidu ptří kolokční metod metod Glerkinov. Kolokční metod využívá k váhování Dircovy impulsy umístěné do odů v nichž počítáme hodnoty neznámého proudového rozložení w m( z) = δ(z z m). ( 4.1A.8 ) Kolokční metod vykzuje velmi nízké výpočetní nároky jelikož díky filtrční vlstnosti Dircových impulsů je jedn integrce eliminován cn f n = 1 n (z m dξ = g(z m). ( 4.1A.9 ) druhou strnu je minimlizce rezidu vztžen pouze k odům z m do nichž yly umístěny váhovcí impulsy. Glerkinov metod využívá k váhování funkce které jsou identické s funkcemi ázovými w m( z) = f m (z). ( 4.1A.10 ) Glerkinov metod vykzuje ve srovnání s metodou kolokční vyšší výpočetní nároky protože v jejím přípdě k eliminci jednoho integrování nedochází. druhou strnu jsou všk do procesu minimlizce rezidu zhrnuty všechny ody nlyzovné olsti z <>. IV. Drátové ntény Uvžujme drátovou nténu z or. 4.1A.1. Potom můžeme vyzřovné elektromgnetické pole popst pomocí vektorového potenciálu A

3 (popisuje půsoení proudů n nténě) sklárního potenciálu φ [2] 2 Az(z) z 2 + k 2 A z( z) = µ 0 J z( z) ( 4.1A.11 ) 2 φ(z) z 2 + k 2 φ(z) = ρ(z) ε. ( 4.1A.11 ) 0 Zde J z znčí z-ovou složku proudové hustoty [A.m -2 ] vnucenou nténě zdrojem ρ je ojemová hustot náoje [C.m -3 ] n nténním vodiči A z znčí z-ovou složku vektorového potenciálu φ je sklární potenciál k=2π/λ znčí vlnové číslo λ vlnovou délku. Elektrony které přitékjí do ntény jko proud se hromdí n nténním vodiči jko náoj. V druhé polovině periody se směr proudu otočí náoje z konců nténního vodiče odtékjí zpět do zdroje. Jelikož náoje proudy n nténě spolu souvisejí musíme vzájemně je svázt. Činíme tk podmínkou kontinuity [2] Jz(z) z + jωρ(z) = 0. ( 4.1A.12 ) Pokud je poloměr nténního vodiče mnohem menší než vlnová délk << λ potom můžeme předpokládt že proudy náoje jsou soustředěny n ose vodiče. Tento předpokld je smozřejmě nesprávný (v důsledku povrchového jevu jsou náoje proudy soustředěny n povrchu vodiče) všk metod i přes tento nesprávný předpokld dává překvpivě dosttečně přesné výsledky [5]. Řešíme-li (s uvážením uvedeného chyného předpokldu) soustvu (4.1A.11) dostáváme [2] A z( z) = µ I z( ξ) exp [ jkr(z] dξ ( 4.1A.12 ) 2h R(z φ(z) = 1 exp[ jkr(z] ε σ(ξ) dξ. ( 4.1A.12c ) 2h R(z Zde I z (ξ) znčí proud [A] tekoucí v ose nténního vodiče σ(ξ) je délková hustot náoje [C.m -1 ] n ose nténního vodiče R(zξ) je vzdálenost mezi pozicí ξ zdroje pole I z (ξ) σ(ξ) dále z je místo v němž počítáme potenciály A(z) φ(z). Známe-li potenciály A(z) φ(z) můžeme vypočíst intenzitu vyzřovného elektrického pole [2] Es z ( z) = jωa z( z) φ(z). ( 4.1A.12d ) z Elektrická intenzit musí splňovt okrjovou podmínku n povrchu dokonle elektricky vodivého nténního vodiče S i i + Ez s = 0 n S. ( 4.1A.12e ) znčí z-ovou složku (tj. složku tečnou k povrchu nténního vodiče) vektoru elektrické intenzity dopdjící vlny. Dopdjící vln je vytvořen zdroji mimo vlstní nténu. Když nlyzujeme nténu jko vysílcí je i intenzit vytvořená npájecím zdrojem v udicí štěrině ( v or. 4.1A.2). Když nlyzujeme nténu jko přijímcí je i intenzit přijímného vlnění (po celé délce vodiče). Chceme-li určit rozložení proudu n nténě musíme vyřešit soustvu (4.1A.12). Aychom se mohli postrt o splnění okrjové podmínky (4.1A.12e) musíme počítt elektrickou intenzitu ( tudíž i potenciály A φ) n povrchu nténního vodiče. Proto můžeme vzdálenost mezi zdroji pole (n ose) místy pozorování (n povrchu vodiče) vyjádřit jko R(z = 2 + (z ξ) 2. ( 4.1A.13 ) V dlších odstvcích udeme předpokládt po částech konstntní ázové funkce Dircovy funkce váhové. S využitím těchto funkcí udeme hledt řešení soustvy (4.1A.12). V prvém kroku musíme nlyzovnou nténu diskretizovt. Tto diskretizce je nznčen n or. 4.1A.4. Dolní hrnice segmentů je oznčen indexem - horní hrnice indexem +. Dolní hrnice prvního segmentu horní hrnice posledního segmentu jsou posunuty o polovinu segmentu z konec nténního vodiče y ylo možno modelovt uzel proudu I(-h)=I(h)=0 n koncích ntény. Délk všech segmentů je stejná = 2α. Dosdíme-li po částech konstntní proximci do (4.1A.12c) dostáváme A z( z) µ exp[ jkr(z] dξ n = 1 R(z ( 4.1A.14 ) Or. 4.1A.4 Po částech konsttní proximce

4 φ(z) 1 exp[ jkr(z] ε σn dξ. n =1 R(z ( 4.1A.14c ) Ve výše uvedených vztzích jsou I n σ n uzlové hodnoty proudu náojové hustoty. Jelikož první derivce po částech konstntní proximce je nulová n konstntní části funkce neexistuje n hrnicích derivce v (4.1A.12) (4.1A.12d) jsou nhrzeny konečnými diferencemi. Uvážíme-li že I n = I z (-h+n) můžeme rovnici kontinuity přepst do tvru vzth pro výpočet intenzity elektrického pole přechází n Iz( h+(n+1)) Iz( h+n) + jωσ( h + (n + 05)) 0 ( 4.1A.15 ) Es z ( h + n) jωa z( h + n) φ[] φ[]. ( 4.1A.15d ) Vzthy (4.1A.15) (4.1A.15d) odpovídjí skutečnosti že Dircovy impulsy jsou při váhování umístěny do středu segmentu u vektorového potenciálu A z( h + m) µ exp[ jkr( h + m] dξ n =1 R( h + m ( 4.1A.15 ) do krjů segmentů u potenciálu sklárního h+(n+1) φ[ h + (m + 05)] 1 ε exp{ jkr[ h + (m + 05) ξ]} σn + dξ. ( 4.1A.15c ) n =1 R[ h + (m + 05) ξ] h+n Ve vzthu (4.1A.15c) σ n+ = σ [-h+(n+0.5)]. Vzth (4.1A.15) může ýt přepsán do kompktnějšího tvru σ n + 1 jω I n+1 I n ( 4.1A.16 ) µ A z(m) exp[ jkr(m] dξ n =1 R(m n φ(m + ) 1 ε exp[ jkr(m + ] σn + n = 1 R(m + dξ n + ( 4.1A.16 ) ( 4.1A.16c ) Při odvození (4.1A.16d) yl uvážen okrjová podmínk (4.1A.12e). Ei z( m) jωa z( m) φ(m + ) φ(m ). ( 4.1A.16d ) yní se podroněji podívejme n rovnici kontinuity (4.1A.16). Tto podmínk vyjdřuje skutečnost že jednotlivé segmenty ntény mohou ýt nhrzeny elementárními elektrickými dipóly (or. 4.1A.5). Uvážíme-li tento fkt můžeme vyjádřit příspěvek n-tého segmentu (elementárního dipólu) k hodnotě sklárního potenciálu n prvé hrnici m-tého segmentu díky (4.1A.16c) jko φ(m + ) = 1 jωε I n n + exp( jkr) dξ I n R n exp( jkr) R Doszením (4.1A.17) (4.1A.16) do (4.1A.16d) vynásoením oou strn rovnice délkou segmentu dostáváme Pro prvky Z mn impednční mtice Z pltí: 1 dξ. ( 4.1A.17 ) i = Z I. ( 4.1A.18 )

5 Z mn = jωµ exp[ jkr(m] dξ + R(m n + 1 exp[ jkr(m + ] jωε R(m + dξ exp[ jkr(m + ] 1 R(m + dξ ξ) n + n 1 exp[ jkr(m ] jωε R(m dξ exp[ jkr(m ] 1 R(m dξ ξ) n + n ( 4.1A.19 ) Z mn popisuje příspěvek proudu náoje n segmentu n k npětí indukovnému n segmentu m. Jelikož složk elektrické intenzity tečná k nténnímu vodiči je nulová n všech segmentech vyjm npájecí štěriny prvky sloupcového vektoru npětí (levá strn rovnice 4.1A.18) jsou nulové vyjm přípdu npájecí štěriny (n štěrince jsme předpokládli npětí 1 V). Z rovnice (4.1A.18) tedy můžeme vyjádřit sloupcový vektor uzlových hodnot rozložení proudu n nténě I. Poměr vstupního npětí vstupního proudu je potom roven vstupní impednci ntény. Jko příkld si uveďme výsledek nlýzy symetrického dipólu s délkou rmene h = λ s poloměrem nténního vodiče = λ. Rozložení proudu n nténě získné pomocí popsné metody je nkresleno n or. 4.1A.6. Or. 4.1A.5 Antén jko souor elementárních elektrických dipólů Ve vrstvě C uvádíme uživtelský popis progrmu s jehož pomocí je možno dosáhnout uvedeného výsledku. Ve vrstvě D pk čtenář nlezne informce o tom jk je možno progrm efektivně sestvit v Mtlu. Or. 4.1A.6 Rozložení proudu n symetrickém dipólu. Po částech konstntní proximce Dircovo vážení. Délk dipólu 2λ průměr λ 64 segmentů.