SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas

OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI 7.1 Základní stereometrické pojmy......................................................... 7.2 Zobrazování prostorových útvarů v rovině............................................ 9. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 13.1 Vzájemná poloha čtyř bodů............................................................13.2 Vzájemná poloha dvou přímek.........................................................14.3 Průnik roviny a tělesa...................................................................16.4 Vzájemná poloha dvou rovin...........................................................26.5 Vzájemná poloha tří rovin..............................................................29.6 Vzájemná poloha přímky a roviny.....................................................31.7 Průnik přímky s hranicí tělesa..........................................................33 VÝSY ÚO 37

SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ, body, a, b přímky a, b přímka, polopřímka úsečka ρ,σ roviny ρ,σ rovina p rovina p (rovina určená bodem a přímkou p) pq rovina pq (rovina určená přímkami pq) S střed úsečky V konvexní úhel V a b přímka a je rovnoběžná s přímkou b a b přímka a není rovnoběžná s přímkou b a b = P průsečík P přímek a, b α β = p průsečnice p rovin α, β vzdálenost bodů, ; délka úsečky p vzdálenost bodu od přímky p α vzdálenost bodu od roviny α ab vzdálenost rovnoběžných přímek a, b αβ vzdálenost rovnoběžných rovin α, β V velikost konvexního úhlu V ab odchylka přímek a, b pα odchylka přímky p a roviny α αβ odchylka rovin α, β V objem tělesa S povrch tělesa SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5

. ZÁY STROTRI.1 Základní stereometrické pojmy Stereometrie, neboli geometrie v prostoru se zabývá řešením prostorových geometrických úloh. by student byl schopen řešit úlohy na dané téma musí se seznámit s některými stereometrickými pojmy a větami. Za základní útvary ve stereometrii považujeme body, přímky a roviny. ále uvedeme jejich vlastnosti a vztahy. URČNÍ PŘÍY dvěma různými body a je určena jediná přímka. URČNÍ ROVINY přímkou a bodem, který neleží na této přímce, třemi body, které neleží na jedné přímce, dvěma různoběžkami, dvěma různými rovnoběžkami. VZÁJNÁ POO PŘÍ a, b rovnoběžné: a, b leží v téže rovině a současně a b = různé, rovnoběžné splývající: a = b různoběžné: a b = R, R průsečík, mimoběžné: a, b neleží v téže rovině a současně a b =. VZÁJNÁ POO VOU ROVIN α, β rovnoběžné: α β = různé, rovnoběžné splývající: α = β, různoběžné: α β = r, r průsečnice. VZÁJNÁ POO TŘÍ ROVIN Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. ZÁY STROTRI 7

vě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. aždé dvě roviny jsou různoběžné a všechny tři průsečnice jsou navzájem rovnoběžné a různé. aždé dvě roviny jsou různoběžné a všechny průsečnice splývají v jedinou přímku. aždé dvě roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice jsou navzájem různoběžné a protínají se v jednom společném bodě. VZÁJNÁ POO PŘÍY a ROVINY ρ rovnoběžné: a ρ = různé, přímka a leží v rovině ρ: a ρ, různoběžné: a ρ = R, R průsečík. NĚTRÉ ŠÍ VSTNOSTI OŮ, PŘÍ ROVIN: odem lze vést právě jednu přímku a rovnoběžnou s přímkou b. eží-li dva různé body přímky a v rovině ρ, pak každý bod přímky a leží v rovině ρ. ají-li dvě různé roviny α a β společný bod, pak mají i společnou přímku a, která prochází bodem. Přímka a je rovnoběžná s rovinou ρ, právě když v rovině ρ existuje přímka rovnoběžná s přímkou a. vě roviny jsou rovnoběžné, právě když jedna z nich obsahuje dvě různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou. aným bodem lze vést jedinou rovinu α rovnoběžnou s danou rovinou ρ. 8 ZÁY STROTRI

.2 Zobrazování prostorových útvarů v rovině Rovinu, do níž geometrické útvary rovnoběžně promítáme, nazýváme průmětnou. Tuto průmětnu ztotožňujeme s nákresnou, tj. s rovinou tabule nebo sešitu. názornému zobrazování prostorových geometrických útvarů a k ilustraci řešení některých stereometrických úloh užíváme volné rovnoběžného promítání. Při zobrazování prostorových geometrických útvarů ve VRP dodržujeme jednoduchá pravidla: 1. ody zobrazujeme jako body. 2. Přímky zobrazujeme jako přímky nebo jako body. 3. Zachováváme incidenci bodů a přímek. 4. Rovnoběžné přímky zobrazujeme jako rovnoběžky nebo jako body. 5. Zachováváme poměr velikostí rovnoběžných úseček. 6. Obrazce ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou zobrazujeme ve skutečné velikosti. Při volném rovnoběžném promítání se jedná o zobrazení, ve kterém jsou bodům prostoru přiřazeny jisté body nákresny. Pro názornost obrazů má praktický význam připojit následující úmluvy, které budeme respektovat: 7. Obrazy přímek kolmých k průmětně (tyto přímky budeme nazývat hloubkové) kreslíme tak, aby svíraly s vodorovnou přímkou zvolený úhel, tzv. úhel zkosení. Většinou volíme úhel o velikosti 45. 8. Obrazy úseček na hloubkových přímkách zkracujeme na polovinu jejich skutečné velikosti. PRO NÁZORNOST ZORZÍ NĚOI ÚTVRŮ TĚS: čtverec krychle a 45 a a 2 a 45 a a 2 ZÁY STROTRI 9

rovnostranný trojúhelník pravidelný šestiúhelník v S 45 v 2 S 45 pravidelný osmiúhelník kružnice (obrazem kružnice je elipsa) S S 45 10 ZÁY STROTRI

V a a 2 v b b b a a a 2 v v a T a a a a v ( ) a v T ZÁY STROTRI 11 pravidelný čtyřstěn (e konstrukci pravidelného čtyřstěnu je nutné určit jeho výšku, a to tak, že sklopíme rovinu, která obsahuje výšku tělesa a hranu, do roviny podstavy.) pravidelný osmistěn pravidelný čtyřboký jehlan

12 ZÁY STROTRI

. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Vzájemná poloha čtyř bodů 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V, zjistěte, zda uvedené body,,x,y leží v jedné rovině. od X je střed hrany V, bod Y je střed hrany V. Řešení: V Y X ody,,x,y leží v jedné rovině, protože hrana je rovnoběžná se střednou XY a rovnoběžné přímky leží v jedné rovině. 2. Je dána krychle : a) zjistěte, zda body,,, X leží v jedné rovině. od X je střed hrany ; b) zjistěte, zda body,,, leží v jedné rovině. ody, jsou středy hran, ; c) zjistěte, zda body,,, X leží v jedné rovině. od je střed hrany, bod je střed hrany a bod X leží na hraně a platí X = 2 X ; d) zjistěte, zda v krychli leží uvedené body,,, S v jedné rovině. od je střed hrany, bod je střed hrany, bod je střed hrany a bod S je střed krychle. 3. Je dán pravidelný osmistěn. Zjistěte, zda uvedené body,,, leží v jedné rovině. od leží na úhlopříčce a platí 3 =. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 13

.2 Vzájemná poloha dvou přímek 4. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S : Řešení: S ody je jednoznačně určena rovina, ale bod S v této rovině zřejmě neleží, tedy přímky a S jsou mimoběžné. 5. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S a S b) P a S, bod P je střed stěny c) P a S S, bod P je střed stěny d) S a e) S S a f) a S g) a S h) a S S 6. V pravidelném čtyřbokém jehlanu V rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S V S V. 14 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

Řešení: V S V S V Přímky a S V S V jsou mimoběžné, protože nemají žádný společný bod a neleží v jedné a téže rovině. 7. V pravidelném čtyřbokém jehlanu V rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S V a S V b) a S V S V c) V a d) V a S S V e) V a S S V 8. V pravidelném osmistěnu rozhodněte o vzájemné poloze přímek a S S. Řešení: R S S Přímky a S S jsou různoběžné, protože body tvoří úhlopříčný řez daného osmistěnu, tím pádem leží v jedné rovině, ve které leží i body S,S, tedy přímky a S S leží v jedné a téže rovině a nejsou rovnoběžné, protože se protínají v bodě R. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 15

9. V pravidelném osmistěnu rozhodněte o vzájemné poloze přímek: a) S a S b) S a S S c) a S.3 Průnik roviny a tělesa Při konstrukci řezů na tělesech se řídíme těmito třemi pravidly: pravidlo č. 1: strany řezu tvoří body, které leží v jedné stěně tělesa, (lze spojit body ležící v téže rovině stěny tělesa), pravidlo č. 2: strany řezu, které leží v rovnoběžných rovinách jsou navzájem rovnoběžné, pravidlo č. 3: jestliže dvě průsečnice tří rovin procházejí jedním bodem, musí jím procházet také třetí průsečnice. Poznámka: V zadání příkladů nebude výslovně uváděno, kde body určující rovinu řezu leží, a tudíž čtenář se bude orientovat podle obrázku. 10. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Rovina řezu je určena body. Protože bod leží na hraně, bod leží na hraně a body určují rovinu, ve které leží horní podstava krychle 16 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

, proto v této rovině musí ležet i přímka, proto spojíme body a úsečka tak určuje jednu stranu řezu. nalogicky totéž provedeme s body a, tedy podle pravidla č. 1 spojíme body, a, čímž je řez sestrojený. 11. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: l Z m Y X I 1. ody leží v téže rovině stěny a podle pravidla č. 1 tvoří stranu řezu. 2. Roviny a jsou rovnoběžné, takže podle pravidla č. 2 vedeme bodem rovnoběžku m s. 3. Průnik přímky m a hrany je bod X. 4. alší body řezu sestrojíme užitím pravidla č. 3. Roviny, a se protínají v jednom bodě I, kterým procházejí všechny průsečnice těchto rovin. a se protínají v přímce a na ní bude ležet bod I, jímž procházejí další dvě průsečnice. Tento bod I určíme jako průsečík přímek a m. Přímka I je průsečnice rovin a. 5. od řezu Y je průsečíkem přímky I s hranou. 6. odem vedeme rovnoběžku l s XY. 7. Průnik přímky l a hrany je bod Z. 8. Řez je určen body ZXY. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 17

12. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Y Z X = I 1. Nemůžeme využít žádné pravidlo. Sestrojíme průsečík přímky s rovinou podstavy, a to tak, že sestrojíme pravoúhlý průmět této přímky do roviny stěny, což je přímka. Průsečík přímky s je bod I, což je průsečík přímky s rovinou podstavy. 2. Sestrojíme přímku I a její průsečík s hranou je další bod řezu X. 3. Spojíme X. 4. odem vedeme rovnoběžku m s přímkou X a její průsečík s hranou je bod řezu Y. 5. Spojíme Y. 6. ále bodem vedeme rovnoběžku l s přímkou X. 7. od Z, který je průsečíkem přímky l a hrany, je bodem řezu a spojíme ho s bodem. 18 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 19 13. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body : a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) l)

20 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x)

POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 21 y) z) aa) ab) ac) ad) ae) af) ag) ah) ai) aj)

P p p P P p 22 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU ak) al) am) 14. Sestrojte řez krychle rovinou určenou bodem P a přímkou p, jestliže přímka p leží v rovině: a) b) c)

15. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu V rovinou : a) b) V V 16. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu V rovinou bodem P a přímkou p, jestliže přímka p leží v rovině. P V p 17. Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu rovinou : a) b) POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 23

c) d) 18. Sestrojte řez pravidelného šestibokého jehlanu V rovinou : a) b) V V 19. Sestrojte řez pravidelného osmistěnu rovinou. Řešení: I m Z k X Y 24 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

1. ody, leží v téže rovině stěny a podle pravidla č. 1 tvoří stranu řezu. 2. Roviny a jsou rovnoběžné, takže podle pravidla č. 2 vedeme bodem rovnoběžku k s. 3. Průnikem přímky k a hrany je bod X. 4. ále už nemůžeme využít žádné pravidlo, musíme tedy sestrojit průsečík přímky s rovinou podstavy. V tomto případě průsečík I sestrojíme jako průsečík přímky s hranou, protože je průsečnice rovin a. 5. Sestrojíme přímku I a její průsečík s hranou je další bod řezu Y. 6. Spojíme Y a XY. 7. Podle pravidla č. 2 bodem vedeme rovnoběžku m s přímkou XY, neboť roviny a jsou rovnoběžné a průsečík přímky m s hranou je bod řezu Z. 8. Spojíme Z. 9. Řez je určen body XYZ. 20. Sestrojte řez pravidelného osmistěnu rovinou : a) b) c) d) POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 25

21. Sestrojte řez pravidelného čtyřstěnu rovinou : a) b) 22. Sestrojte řez krychle a současně řez pravidelného osmistěnu PQRSTU rovinou. T S P R Q U.4 Vzájemná poloha dvou rovin 23. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin a, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin sestrojte jejich průsečnici. 26 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

Řešení: S p Roviny a jsou různé a mají společný bod, tedy průsečnice těchto rovin musí procházet bodem. ále platí pro různoběžné přímky a, které leží v rovině stěny krychle, že leží v rovině a leží v rovině, proto bod S = náleží současně oběma rovinám a je dalším bodem průsečnice p. Protože je S, je přímka p = S hledanou průsečnicí rovin a. 24. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S a S, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. Řešení: S S Ukážeme, že rovina S je rovnoběžná s rovinou S. V rovině S si vybere např. přímky a S a ukážeme, že tyto přímky jsou rovnoběžné s rovinou S. Přímka je rovnoběžná s přímkou S S a přímka S je rovnoběžná s přímkou S, tedy v rovině S existují dvě různoběžné přímky rovnoběžné s rovinou S, a proto jsou roviny S a S rovnoběžné. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 27

25. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dána krychle, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici: a) S, S b), c), S d) S, S S S e), f) S, g), S h), S i), j), S k), S S S l) S S, S m), S S S n) S S, S S o) S, S S p) S, S 26. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán jehlan V, v případě různoběžných rovin určete jejich průsečnici: a) VS, S S V b) V, S V c) V, V d) S V, VS S e) V, S S V, = 3 f), S V S V, V V = 3 g) V, S V, = 3 27. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S a S S S, je-li dán pravidelný osmistěn. 28 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

.5 Vzájemná poloha tří rovin 28. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, S S S, S. Řešení: N S S S S P Q Roviny jsou navzájem různoběžné, ale protínají se v navzájem rovnoběžných přímkách. Průsečnicí rovin a S je přímka, kde = S, = S. Průsečnicí rovin a S S S je přímka N, kde = S S, N = S S. Průsečnicí rovin S S S a S je přímka PQ, kde P = S S S, Q = S S S. Přímky, N, PQ jsou navzájem rovnoběžné. 29. Je dána krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a),, b),, S S S c), S, S S S d),, S S S e), S S S, S S S f), S S S, S S S POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 29

30. Je dána pravidelný čtyřboký jehlan V. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, V, S V S V S V. Řešení: V S V S V S V Roviny a S V S V S V jsou navzájem rovnoběžné, protože S V S V a S V S V, tedy třetí rovina V protíná tyto dvě rovnoběžné roviny v navzájem rovnoběžných přímkách. 31. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a) V, V, S V S V S V b) V, S S S V, S S S V c) V, S S V, S S V 32. Je dán pravidelný osmistěn. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin, S S S, S S S. Řešení: S S S S S S 30 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

Roviny jsou navzájem rovnoběžné, protože S S S S a S S S S. 33. Je dán pravidelný osmistěn. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a),, b) S, S, S S.6 Vzájemná poloha přímky a roviny 34. Je dána krychle. Určete průsečík přímky s rovinou. Řešení: r X Přímkou proložíme vhodnou rovinu, v tomto případě to bude rovina. Sestrojíme průsečnici r těchto rovin. ledaný průsečík přímky a roviny je bod X, který je průsečíkem přímek a r. 35. Je dána krychle, rozhodněte o vzájemné poloze roviny a přímky, v případě různoběžnosti určete průsečík: a), b), c), d), S POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 31

36. V krychli jsou body P, Q, R, S po řadě středy stěn,,,. Určete vzájemnou polohu: a) přímky PQ a roviny b) přímky RS a roviny c) přímky QR a roviny d) přímky PR a roviny 37. Je dána krychle, rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny, v případě různoběžnosti určete průsečík: a) přímky PR a roviny S S S, body P, R jsou po řadě středy stěn, b) přímky a roviny, bod leží na a platí = 2, bod leží na a platí = 2 c) přímky S S a roviny S S d) přímky S a roviny S S S 38. Je dána krychle. Zjistěte, zda leží: a) přímka v rovině, bod leží na a platí = 2 b) přímka v rovině c) přímka v rovině d) přímka PR v rovině, body P, R jsou po řadě středy stěn, 39. Je dána krychle. Zjistěte, zda body, a přímka leží v jedné rovině. 40. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Sestrojte průsečík přímky s rovinou S S V. od leží na V a platí = 3 V, leží na V a platí = 3 V. 32 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

Řešení: V S V R U S 1. Přímkou proložíme vhodnou rovinu, v tomto případě to bude rovina V. 2. Sestrojíme průsečnici proložené roviny V s danou rovinou S S V. Průsečnicí těchto rovin je přímka US V, protože přímky a S leží v rovině podstavy a mají společný právě jeden bod U. dalším bodem průsečnice je bod S V, protože leží na hraně V. 3. Průsečíkem přímky s rovinou S S V je bod R, což je průsečík přímky s průsečnicí US V. 41. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Sestrojte průsečík přímky s rovinou: a) přímky S V s rovinou V, leží na a platí = 3, leží na a platí = 3 b) přímky VS s rovinou S S V c) přímky VS s rovinou S S V d) přímky S V s rovinou, leží na a platí = 3, leží na V a platí = 2 V, leží na V a platí V = 3 e) přímky V s rovinou J, J leží na a platí J = 3 J, leží na V a platí V = 3, leží na V a platí = 3 V f) přímky VS s rovinou S S V S.7 Průnik přímky s hranicí tělesa Průsečík přímky a roviny získáme takto: 1. Přímkou proložíme vhodnou rovinu, která je s danou rovinou různoběžná. 2. Určíme průsečnici těchto rovin. 3. Průsečík dané přímky s průsečnicí je hledaný průsečík přímky s rovinou. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 33

Průnik přímky s hranicí tělesa řešíme podobně jako průsečík přímky s rovinou: 1. Přímkou proložíme libovolnou vhodnou rovinu, která protne těleso a je s danou rovinou různoběžná. U hranolů prokládáme zpravidla rovinu, která je rovnoběžná s bočními hranami hranolu, tzv. směrovou rovinu. U jehlanů prokládáme danou přímkou zase zpravidla rovinu, která obsahuje vrchol tělesa, tzv. vrcholovou rovinu. 2. Sestrojíme řez tělesa touto rovinou. 3. Průsečík dané přímky s řezem je hledaný průsečík přímky s hranicí tělesa. 42. Je dána krychle. Určete průsečíky přímky N s hranicí krychle. od leží na, bod N leží na Řešení: N V U X Y T S Přímkou N proložíme rovinu rovnoběžnou se svislými hranami krychle (tzv. směrovou rovinu) a určíme její řez STUV s krychlí. Přímka N protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici krychle) v bodech XY. 43. Je dána krychle. Určete průsečíky přímky PQ s hranicí krychle. Pro body P, Q platí: a) = S P, = S Q b) P leží na a platí P = 1,5, = S Q c) P leží na a platí P = 1,5, Q leží na a platí Q = 1,5 d) P leží na a platí P = 1,25, Q leží na a platí Q = 1,25 34 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

44. Je dán pravidelný šestiboký hranol. Určete průsečíky přímky N s hranicí hranolu. Pro body, N platí: a) = S, N leží na a platí N = 1,25 b) = S, N leží na a platí N = 1,25 45. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky N s hranicí jehlanu. Pro body, N platí: = S, N = S SV, bod S je střed podstavy. Řešení: V X N Y U S T Přímkou N proložíme rovinu, která prochází vrcholem jehlanu ( tzv. vrcholovou rovinu) a určíme její řez UTV s jehlanem. Přímka N protíná hranici tohoto řezu (tj. hranici jehlanu) v bodech XY. 46. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky PQ s hranicí jehlanu. Pro body P, Q platí: a) P = S V, = S Q b) P leží na V a platí VP = 1,5 V, Q = S V c) P = S V, Q leží na a platí Q = 1,5 47. Je dán pravidelný osmistěn. Určete průsečíky přímky N s hranicí osmistěnu. Pro body, N platí: leží na a platí = 1,5, N leží na a platí N = 1,25. POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 35

36 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU

X X S S P P S S S S S S S S S VÝSY ÚO 37 VÝSY ÚO 2. a) neleží b) leží c) neleží d) leží 3. leží 5. a) mimoběžky b) různoběžky c) rovnoběžky d) mimoběžky e) rovnoběžky f) mimoběžky g) různoběžky

h) různoběžky 7. a) různoběžky b) rovnoběžky V V S S V S V S V S V S c) mimoběžky d) mimoběžky e) rovnoběžky V V V S V S V S S 9. a) rovnoběžky b) různoběžky c) mimoběžky S S S S S S 13. a) b) c) 38 VÝSY ÚO

VÝSY ÚO 39 d) e) f ) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

40 VÝSY ÚO p) q) r) s) t) u) v) w) x)

VÝSY ÚO 41 y) z) aa) ab) ac) ad) ae) af) ag) ah) ai) aj)

ak) al) am) 14. a) b) c) 15. a) b) 16. 42 VÝSY ÚO

17. a) b) c) d) 18. a) b) VÝSY ÚO 43

20. a) b) c) d) 21. a) b) 22. 44 VÝSY ÚO

25. a) různoběžné: b)rovnoběžné c) různoběžné d) splývají e) různoběžné f) různoběžné g) různoběžné h) různoběžné i) různoběžné VÝSY ÚO 45

j) různoběžné k) různoběžné l) různoběžné m) rovnoběžné n) různoběžné o) různoběžné p) různoběžné 46 VÝSY ÚO

26. a) rovnoběžné b) různoběžné c) různoběžné d) různoběžné e) různoběžné f) různoběžné g) různoběžné 27. různoběžné 29. a) společný právě b) protínají se jeden bod v jedné přímce VÝSY ÚO 47

c) protínají se ve třech navzájem d) protínají se ve třech navzájem rovnoběžných přímkách rovnoběžných přímkách e) roviny S S S a S S S f) roviny S S S a S S S jsou navzájem rovnoběžné, tedy jsou navzájem rovnoběžné, tedy třetí rovina je protíná ve dvou třetí rovina je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách navzájem rovnoběžných přímkách 31. a) společný právě b) navzájem c) protínají se jeden bod rovnoběžné v jedné přímce 48 VÝSY ÚO

32. a) společný právě jeden bod, b) roviny S a S a to střed jsou navzájem rovnoběžné, tedy třetí rovina je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách 35. a) různoběžné b) rovnoběžné c) d) S 36. a) rovnoběžné b) rovnoběžné VÝSY ÚO 49

c) různoběžné d) rovnoběžné 37. a) různoběžné b) různoběžné c) rovnoběžné d) různoběžné 38. a) leží b) neleží c) neleží d) leží 39. neleží 50 VÝSY ÚO

41. a) b) c) d) e) f) rovnoběžné 43. a) b) c) d) VÝSY ÚO 51

44. a) b) 46. a) b) c) 47. 52 VÝSY ÚO