SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí v síťové analýze proekty (výstavba budov, slnc; výzkumné úkoly; plánování zavádění nformačního systému do podnku). Matematcký základ síťové analýzy e teore grafů. Základní pomy síťové analýzy Graf: Je dána konečná množna prvků Sednocením množn { u, u,..., u } { u, u } u,...,, u u n a množna některých dvoc u n nazýváme grafem G. u,. Uzly grafu: prvky u, =,,, n a zobrazueme e kroužky, pro zednodušení u, u označueme,. (Čísla, se vepsuí do kroužků.) Hrany grafu: dvoce u, u a zobrazueme e přímým nebo různě lomeným čaram, pro zednodušení u, u označueme (, ). Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Orentovaný graf e tvořen orentovaným hranam, kterým e přřazen určtý směr. Hranově (uzlově) ohodnocený graf e graf, ehož každé hraně (uzlu) e přřazeno alespoň edno číslo (mapa trasy dálkového podchodu, každé sponc mez ednotlvým stanovšt e přřazena eí délka). Cesta e posloupnost hran v orentovaném grafu, ve kterém každá hrana vychází z uzlu, v němž končí předcházeící. Pokud cesta začíná a končí ve steném uzlu, potom se edná o cyklus. Acyklcký graf neobsahue žádný cyklus. Souvslý graf e takový graf, pro který platí, že pro všechny dvoce eho uzlů exstue alespoň edna cesta, která e spoue. Multgraf e graf, ve kterém mez některou dvocí uzlů exstue více souhlasně orentovaných hran. Síť e konečný souvslý, orentovaný, acyklcký, hranově nebo uzlově ohodnocený graf, v němž exstue eden počáteční uzel (nevstupue do ně žádná hrana) a eden uzel koncový (žádná hrana z ně nevystupue). Příkladem sítě e telefonní síť, rozvod plynu, kanalzace, atd. Síťový dagram e síťový graf, ehož hrany sou ohodnoceny časovým úda.
Délka cesty v síťovém dagramu představue součet časových údaů přřazených hranám, které tvoří uvažovanou cestu. Grafcké modely proektů Proekty lze znázornt síťovým dagramem. Hrany představuí ednotlvé čnnost a uzly představuí začátky a konce ednotlvých čnností. Podmínky pro modelování a řízení proektu síťovým dagramem: ) pro každou čnnost e známá doba trvání ) pro každou čnnost e defnována čnnost předcházeící a čnnost následuící ) pokud e přhlíženo k ným krtérím optmalty, každá čnnost musí být ohodnocena příslušným ukazatel ) cíl proektu e splněn, pokud sou ve správném časovém sledu provedeny všechny čnnost Síťový graf musí být zakreslen co nepřehledně. Délka hran nemusí odpovídat době trvání na rozdíl od harmonogramu. Př sestavování grafu lze začít od počátečního uzlu (zvláště u známých proektů) nebo od konečného uzlu (především u doposud nerealzovaných proektů) nebo lze kombnovat oba způsoby. Uzly sou číslovány přrozeným čísly, počáteční uzel má nžší číslo než koncový. Hrany maí buď kladné ohodnocení (u skutečných čnností) nebo nulové ohodnocení (u fktvních čnností). Fktvní čnnost slouží k vyádření návaznost skutečných čnností nebo k zamezení vznku multgrafu. Příklad : V závodě se má provést rekonstrukce výrobní lnky, spoená s výměnou výrobního zařízení, stavebním úpravam, generální opravou elektronstalace a zlepšením pracovního prostředí. Proekt byl rozložen na dílčí čnnost, které sou spolu s předpokládanou dobou ech trvání (v týdnech) uvedeny v tabulce. Řešení: Čnnost Pops čnnost Doba trvání a Demontáž starého zařízení b Oprava střechy výrobní haly c Oprava podlahy d Vntřní stavební úpravy e Generální oprava elektronstalace f Montáž nového výrobního zařízení g Montáž klmatzačního zařízení h Zkušební provoz Dokončení vntřních stavebních úprav Rozborem souvslostí mez dílčím čnnostm bylo zštěno, že demontáž starého zařízení a oprava střechy mohou probíhat nezávsle vedle sebe. Vntřní stavební úpravy lze provádět po skončení opravy střechy a podlahy, přčemž opravu podlahy lze provést až po demontáž. Generální oprava elektronstalace může být provedena po dokončení vntřních stavebních úprav. Montáž nového výrobního a klmatzačního zařízení lze provádět současně, ale musí být skončena generální oprava elektronstalace. Zkušební provoz může být zaháen po skončení montáže výrobního zařízení a dokončovací úpravy mohou probíhat nezávsle na zkušebním provozu, akmle byla provedena montáž klmatzačního zařízení.
Čnnost a b c d e f g h Předchozí čnnost - - a b,c d e e f g a b c d e f h g 7 U tohoto příkladu není fktvní čnnost nutná, avšak eím zavedením se doba trvání proektu nak neovlvní. Časová analýza determnstckých proektů V determnstckých proektech e doba trvání každé čnnost ednoznačně určena. Cílem časové analýzy proektů e stanovení krtcké cesty, eíž délka určue dobu trvání celého proektu. Čnnost, které tvoří krtckou cestu, sou čnnost krtcké (na ech průběhu závsí termín dokončení proektu) V síťovém dagramu z našeho příkladu exstuí mez počátečním uzlem a koncovým uzlem 9 celkem čtyř cesty. Cesta Délka (týdny) 7 7 Z tabulky vyplývá, že rekonstrukc lze nedříve sthnout za týdnů, přčemž pro dodržení této doby sou rozhoduící průběhy čnností a, c, d, e, f, h. Krtcká cesta e vyznačena tlustou červenou čarou a eí součástí e fktvní čnnost. Pro rozsáhlé proekty není tento postup vhodný. Nerozšířeněší metodou pro stanovení krtcké cesty u determnstckých proektů e metoda CPM. Metoda CPM Symboly používané př metodě CPM: t doba trvání čnnost (, ) ( ) t nedříve možný začátek čnnost (, )
t = t + t nedříve možný konec čnnost (, ) () t nepozdě přípustný konec čnnost (, ) t ( t nepozdě přípustný začátek čnností (, ) ) = t () nedříve možný čas uzlu ; nedříve možný začátek čnností vystupuících z tohoto uzlu () nepozdě přípustný čas uzlu ; nepozdě přípustný konec čnností vstupuících do tohoto uzlu () R = časová rezerva uzlu Krtckou cestu metodou CPM lze provést v síťovém grafu, pomocí ncdenční matce nebo v lneárním dagramu. Výpočet v síťovém grafu Pro usnadnění výpočtu s ednotlvé uzly grafcky upravíme a zavedeme symbolku následuícím způsobem. t t t Síťový dagram proektu rekonstrukce výrobní lnky. 9 7 7 9 7 Výpočet krtcké cesty pomocí ncdenční matce ermíny potřebné pro stanovení krtcké cesty metodou CPM lze výhodně počítat v tabulce, eíž hlavní obsah tvoří prvky ncdenční matce. Prvky ncdenční matce představuí dobu trvání ednotlvých čnností, přčemž doba trvání (, ) e umístěna v průsečíku -tého řádku a
-tého sloupce. Nad tabulku a před tabulku se nadepíší čísla všech uzlů, před tabulku eště přpoíme sloupec nadepsaný (nedříve možný čas uzlu ). Pod tabulku přdáme eště dva () () řádky nadepsané a pro. = \ 7 () () 7 Postup př metodě CPM ) stanovení termínů Postupueme směrem od počátku proektu k eho konc, přčemž nedříve možný počátek proektu volíme rovný nule ( = ). V prvním řádku tabulky, kde =, sčítáme neprve s délkou trvání čnnost (,) a výsledek zapíšeme do průsečíku prvního řádku a druhého sloupce (do pravého horního rohu tohoto políčka). Získáme tak nedříve možný konec čnnost (,). Konkrétně + =, nedříve možný konec čnnost (,) e týdnů. Steně postupueme pro čnnost (,). Z uzlu už né čnnost nevychází. t Nyní musíme určt nedříve možný čas uzlu ( ). Podíváme se do sloupečku pod uzel. V našem příkladu e v tomto sloupc edné vyplněné políčko s nedříve možným koncem, toto číslo v pravém horním rohu dáme do rámečku a zapíšeme do tabulky, že =. Pokud by ve sloupečku bylo více vyplněných políček, vybrala by se čnnost s pozděším nedříve možným koncem a tento nedříve možný konec by se označl rámečkem(vz sloupeček pod uzlem ). akto se pokračue až do vypočítání nedříve možného času posledního uzlu (v našem příkladu ). ) stanovení termínů () Postupueme od konce proektu k eho začátku. Pokud není dána doba trvání celého proektu, eho nepozdě přípustný konec ztotožníme s eho nedříve možným koncem () ( ) ( ) ( = ; = ).Ve sloupečku pod uzlem sou dvě vyplněná pole, v obou počítáme rozdíl ( ) a doby trvání čnnost.ím získáme nepozdě přípustné začátky () () ( ) konkrétní čnnost. Např. pro čnnost (7,) e nepozdě přípustný začátek = 7 t () ( t7 ; - = 7). Číslo zapíšeme vždy do levého dolního rohu příslušného políčka (v případě čnnost (7,) do průsečíku 7. řádku a. sloupce).nyní e třeba určt nepozdě () přípustný čas uzlu 7 ( 7 ). V řádku pro uzel 7 se podíváme na vyplněná pole. Pokud e zde enom edno vyplněné pole, číslo představuící nepozdě přípustný začátek (zde 7) dáme opět do rámečku a hodnotu napíšeme do předposledního řádku tabulky pod t 7
sloupec 7. Je-l v příslušném řádku více vyplněných políček, vybíráme políčko s nžší hodnotou nepozdě přípustného začátku, tu označíme rámečkem a zapíšeme do příslušného políčka (vz řádek náležící k uzlu ). ímto způsobem se pokračue až do () vypočítání () ) stanovení rozdílů pro = (časová rezerva příslušného uzlu) Pro každý uzel spočítáme eho časovou rezervu. Uzly, u kterých e tato rezerva nulová, leží na krtcké cestě. (V našem příkladu kromě uzlu 7 všechny.) Krtcká cesta se pozná z tabulky podle zarámovaných čísel. Políčka (čnnost), kde sou zarámovaná čísla v pravém horním rohu v levém dolním rohu, leží na krtcké cestě. \ 7 9 9 7 7 () 7 () Výpočet krtcké cesty v lneárním dagramu (cnnost) (7,) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (doba trvan) Časové rezervy čnností Pomocí termínů rezervy. ( ) ( ) ( ) ( ),,,, t můžeme pro každou čnnost (, ) určt čtyř časové
CR = () ( ) t Celková časová rezerva Celková časová rezerva určue počet časových ednotek, o který e možné dobu trvání čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, anž se tím ovlvní termín ukončení celého proektu. K čerpání CR může doít tehdy, když všechny předchozí čnnost byly ukončeny v nedříve možném konc a všechny následuící čnnost budou zaháeny v nepozdě přípustném začátku. Po vyčerpání celkové rezervy se z nekrtcké čnnost stane krtcká čnnost. Příklad : vz tabulka pro výpočet krtcké cesty. Rezervu určueme např. pro čnnost (,). () ( ) CR = t CR = = ( ) ( ) ( ) () R R t CR Volná časová rezerva vznká tehdy, když do uzlu vstupue eště kromě čnnost (, ) eště další čnnost s pozděším nedříve možným koncem (vz. přednáška čnnost (,) a čnnost VR = ( ) ( ) t (,)). Volná časová rezerva udává počet časových ednotek, o který lze dobu trvání čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, anž se tím ovlvní nedříve možné začátky následuících čnností. K čerpání volných časových rezerv může doít, pokud všechny předchozí čnnost byly ukončeny v nedříve možných koncích. Pokud vyčerpáme tuto časovou rezervu u čnnost, eíž koncový uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost čnnost krtcká. ( ) ( ) VR = t = = ( ) ( ) ( ) () t VR
t NR ZR Závslá časová rezerva vznká tehdy, pokud z uzlu vystupuí kromě čnnost (, ) eště ZR = () () né čnnost, a to s dřívěším nepozdě přípustným začátky. t ZR = = Závslá časová rezerva udává počet časových ednotek, o který můžeme dobu trvání dané čnnost prodloužt nebo eí začátek oddált oprot nepozdě přípustnému konc bezprostředně předcházeící čnnost, anž by se změnly nepozdě přípustné začátky následuících čnností. Pokud vyčerpáme závslou rezervu u čnnost, eíž počáteční uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost krtcká čnnost. ( ) () ( ) () t ZR Nezávslá časová rezerva pokud uzel e počátečním uzlem více čnností a uzel e ( ) ( ) koncový uzel více čnností, přčemž termíny byly vypočítány nezávsle na čnnost (, ) NR = max(; ( ) ( ) t ), NR = max(; ) = Nezávslá rezerva udává počet časových ednotek, o který můžeme trvání dané čnnost prodloužt nebo eí nedříve možný začátek oddált, když všechny předchozí čnnost byly zakončeny v nepozdě přípustných koncích a všechny následuící čnnost budou zaháeny v nedříve možných začátcích. Vyčerpáme-l NR u čnnost, eíž počáteční koncový uzel leží na krtcké cestě, stane se z této čnnost čnnost krtcká.. ( ) () ( ) () t NR Grafcké znázornění všech časových rezerv. R R t CR VR
Časová analýza stochastckých proektů Doba trvání ednotlvých čnností není určena ednoznačně. Pro řešení stochastckých proektů e nerozšířeněší metoda PER. PER Je to modfkace metody CPM, kdy ednoznačně určené termíny sou nahrazeny středním hodnotam náhodných velčn. Pro každou čnnost se předpokládá znalost tří odhadů doby eího trvání, a to : )optmstcký odhad a představue nekratší dobu, za kterou e možno danou čnnost provést za nelepších podmínek )pesmstcký odhad b představue nedelší dobu trvání čnnost za nenepříznvěších podmínek )nepravděpodobněší odhad m představue dobu trvání čnnost za normálních podmínek Pokud zvolíme v ntervalu a, b dskrétní doby trvání dané čnnost a zkoumáme-l pravděpodobnost, s akou těchto hodnot nabývá, získáme určté rozdělení pravděpodobnost. Z teoretckých rozdělení toto rozdělení nelépe vysthue tzv. β rozdělení (ednovrcholové, spoté, má konečné rozpětí a může být lbovolně asymetrcké). Jestlže předpokládáme, že doba trvání čnností ve stochastckých proektech má β rozdělení a že sou dány tř odhadnuté doby trvání, střední hodnota a rozptyl doby trvání čnnost (,) se vypočte podle následuících vzorců: a + m + b t = σ ( t ) b = a Výpočet provedeme na příkladu. V tabulce sou uvedeny tř odhady doby trvání každé čnnost. a b c d e f h g 7
Čnnost Pops čnnost Doba trvání a Demontáž starého zařízení,, b Oprava střechy výrobní haly,, 7 c Oprava podlahy,, d Vntřní stavební úpravy,, e Generální oprava elektronstalace 7,, f Montáž nového výrobního zařízení,, g Montáž klmatzačního zařízení,, h Zkušební provoz,, Dokončení vntřních stavebních úprav,, (, ) a m b t σ a(,) 7,,9 b(,) 7,, c(,),, d(,),, e(,) 7,7, f(,),, g(,7),, h(,),7, (7,),, Pomocí střední hodnoty trvání všech čnností stanovíme př metodě PER krtckou cestu podobně ako u metody CPM. Lze to provést v tabulce obsahuící ncdenční matc daného síťového dagramu. Každý časový úda e zde zdvoen. První úda vyadřue střední hodnotu a druhý úda rozptyl. Část tabulky s výpočtem krtcké cesty př metodě PER e na následuícím obrázku. σ ( ) 7,,9,,,,7,,9,, 9,,7 / 7 7, 7,,9 7,,9,,,,,,,,,7,,,,,,,
,, 7,, () 7,,,,, 7,, (),,7,,,,, σ ( ) () - 7,7 () σ ( ) + ( ),,,,,,,, σ Krtckou cestu lze u ednodušších proektů určt procházením síťového dagramu všem způsoby. V našem případě exstuí čtyř způsoby. Přesné časové údae ednotlvých nahrazueme středním hodnotam. Pro každou možnou cestu určíme dobu trvání celého proektu, a to součtem středních hodnot ednotlvých čnností ležících na dané cestě. Kromě středních hodnot sčítáme příslušné rozptyly. Náš proekt má střední hodnotu doby trvání, týdnů a rozptyl,. Pravděpodobnostní výpočty Pravděpodobnostní výpočty provádíme za předpokladu, že zkoumané termíny sou nezávslé náhodné velčny s normálním rozdělením. ento předpoklad e splněn zpravdla u proektů s velkým počtem čnností. Zdůvodntelný e zeména u doby trvání celého proektu. Podle centrální lmtní věty platí, že rozdělení náhodné velčny, která e součtem velkého počtu nezávslých shodně rozdělených náhodných velčn t, se blíží normálnímu rozdělení N ( ;σ ( )). Výpočet pravděpodobnost dodržení plánovaného termínu ato pravděpodobnost se určí pomocí hodnot dstrbuční funkce Φ x normovaného normálního rozdělení N(;). Neprve se musí náhodná velčna normovanou proměnnou ( ) n ( ) transformovat na U ( ) ) n n = ( ). σ ( ) n ( Potom ( ) pl n P n pl = Φ σ ( n ) Pokud e plánovaný konec dřívěší než střední hodnota doby trvání proektu ( < ), Φ( x) () ( ) pl n argument funkce ve vzorc () e záporný. Hodnotu dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení počítáme podle vztahu Φ( u ) = Φ( u), u >. Pravděpodobnost dodržení tohoto termínu bude menší než %. Pokud e plánovaný konec shodný se střední hodnotou doby trvání proektu ( = ), pravděpodobnost dodržení termínu bude %. ( ) pl n Pokud e plánovaný konec pozděší než střední hodnota doby trvání proektu ( > ), pravděpodobnost dodržení termínu e větší než %. ( ) pl n
Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. S akou pravděpodobností bude proekt ukončen nepozdě v čase týdnů? ( ), ( ) P 9 = Φ = Φ(,9 ) =, 9, V tabulce dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení k příslušnému argumentu nademe pravděpodobnost. Proekt bude ukončen nepozdě ve týdnu s pravděpodobností,9%. Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. S akou pravděpodobností bude proekt ukončen nepozdě v čase 9 týdnů? ( ) 9, ( 9) P 9 = Φ (,7 ) = Φ = Φ(,7) =,7 =,, Proekt bude ukončen nepozdě ve 9 týdnu s pravděpodobností,%. Určení doby trvání proektu př zvolené míře rzka uto dobu lze stanovt rovněž s využtím tabulek funkce Φ ( x). Je-l velkost rzka r v procentech, v tabulce dstrbuční funkce normovaného normálního rozdělení nademe argument t, pro který funkce Φ() t nabývá hodnoty,r. Odpovídaící dobu trvání proektu zstíme ze vztahu : t =, σ ( ) ze kterého vyádříme dobu trvání proektu : = + tσ ( ). () Příklad : Střední hodnota doby trvání proektu e, týdnů s rozptylem,. Určete dobu realzace proektu, která bude dodržena s rzkem %. tprocentnímu rzku odpovídá tprocentní pravděpodobnost. Pro tuto pravděpodobnost zstíme argument dstrbuční funkce t =,. Po dosazení do vzorce () zstíme požadovanou dobu =, +,, =,. S t procentní pravděpodobností můžeme očekávat, že proekt skončí dříve než v čase, týdne. Smulace Smulace e proces, během něhož počítač napodobue reálné stuace. Neznámý parametr se nevypočte žádným vzorc, nýbrž napodobováním běhu reálného systému na počítač. Smulace se věnue systémům pravděpodobnostním a dynamckým, neboť právě ty sou pro analytcké řešení složté. S modelem se provádí experment, nastavuí se různé parametry modelu a zšťue se eho chování. V smulačním modelu de o statstcký experment. Výsledek matematckého modelu e přesný, výsledkem smulačního modelu e odhad. Bez výpočetní technky by nebylo možné rozsáhlé výpočty realzovat.
Časově - nákladová analýza proektu Metoda CPM a PER přhlíží pouze k časovým vztahům v proektech, přčemž optmální časový rozvrh čnností nemusí být vždy hospodárný. Základním krtérem efektvnost proektu sou zpravdla náklady spoené s eho realzací a ty úzce souvseí s dobou trvání. Náklady Náklady nepřímé souvsí s realzací proekt ako celku (režní náklady, ztráty vznklé pozdním dokončením proektu). Jsou rostoucí funkcí doby trvání proektu (my budeme předpokládat lneární závslost). Náklady přímé souvseí s ednotlvým čnnostm (materál, mzdy). Součtem přímých nákladů na ednotlvé čnnost získáme přímé náklady na celý proekt. Přímé náklady na realzac čnnost (, ) v čase t označíme c. Budeme předpokládat opět lneární závslost na době trvání (v tomto případě funkce nerostoucí se zkrácením doby trvání rostou náklady). var nákladové funkce odvodíme podle těchto pomů: D normální doba trvání čnnost (, ), které odpovídaí mnmální náklady c (D) d kraní doba trvání čnnost (, ) př maxmálně ntenzvním režmu s vysokým náklady c (d). c c (d) K c (D) N d D t Přímka KN aproxmue graf závslost přímých nákladů na době trvání příslušné čnnost. Rovnce této přímky e : c = b a t, kde b = a d + c ( d), a c ( d) c ( D) = D d Pro proekt lze úhrnné náklady vyádřt takto: C = ( b a t ) P (, ) P Koefcent a představue nákladový spád mez dvocí bodů odpovídaících normálnímu a maxmálně ntenzvnímu režmu (v opačném směru de o nákladový růst).
Mnmalzace přímých nákladů př dané době trvání proektu Pro přímé náklady spoené s realzací celého proektu v čase platí: c ( D) C c ( d) P (, ) P (, ) P Př zachování doby trvání proektu lze tyto náklady snížt prodloužením doby trvání nekrtckých čnností až do dosažení ech normální doby trvání a až do vyčerpání ech časových rezerv (zpravdla volných). Příklad : (,) t d D c (d) c (D) a VR c (,) (,) 7 (,) (,) (,) 7 7 (,) - 7 7 S realzací daného proektu sou spoeny přímé náklady ve výš 7 nákladových ednotek (NJ). yto náklady lze snížt u nekrtcké čnnost (,) o dvě časové ednotky. Náklady klesnou o NJ, tedy 7 =. Prodlužueme dobu trvání nekrtckých čnností maxmálně o dobu Δt = mn( VR ; D t ) a přednostně prodlužueme čnnost s velkým a. (Na konc této přednášky e spočítaná krtcká cesta metodou CPM a všechny rezervy pro nekrtcké čnnost.) Stanovení optmální doby trvání proektu Z hledska efektvnost e optmální doba trvání charakterzovaná mnmálním celkovým náklady, které sou součtem přímých a nepřímých nákladů. Jak ž bylo uvedeno, přímé náklady se př zkracování doby trvání čnnost zvyšuí a nepřímé náklady se snžuí. Př optmální době trvání proektu sou celkové náklady nenžší.
celkové náklady nepřímé náklady přímé náklady opt. ato doba se nalezne tak, že se zkracuí doby trvání čnností ležících na krtcké cestě (neprve u čnnost s nenžším koefcentem nákladového růstu). Krtcké čnnost se zkracuí vždy do dosažení kraní doby trvání. Př takovémto zkracování může doít ke vznku další krtcké cesty, kterou e nutné potom také sledovat. Výpočet s budeme lustrovat na příkladu. Předpokládáme, že všechny čnnost maí normální dobu trvání. (,) t c NN PN CN=PN+NN - - - 7 7 (,) (,) 9 9 9 (,) (,) 9 9 (,) Vznkne další krtcká cesta --, kterou e nutné brát rovněž v úvahu. Časově zdroová analýza proektu S realzací proektu e vždy spoeno čerpání zdroů (práce, materál, fnance, atd.). V řízeném proektu e snaha čerpání zdroů rovnoměrně rozložt na celou dobu trvání proektu. V některých případech př vznku kapactních špček vznkne nedostatek zdroe (eho potřeba převyšue eho dsponblní množství). Součtová čára (dagram potřeby zdroů) grafcky vyadřue úhrnné nároky na zdroe v každém okamžku trvání proektu za předpokladu, že každá čnnost začne ve svém nedříve možném začátku. Součtová čára mění svů průběh v okamžku, kdy začíná nebo končí něaká čnnost.
čnnost (,) (,) (,) (,) (,) (,) čas 7 9 Čas.nterval - - - -7 7- - Potřeba zdroe Součtová čára úhrnné zdroe 7 7 9
7 7 9 V časovém ntervalu, lze zvýšený nárok na zdroe odstrant tak, že využeme eí volnou časovou rezervu a zaháíme tuto čnnost až v čase (místo původního začátku v čase ), který e eím nepozdě přípustným začátkem. Př posouvání začátků čnností se neprve čerpaí nezávslé rezervy, pak volné a nakonec celkové.v některých případech prodlužueme dobu trvání nekrtckých čnností, čímž se také sníží potřeba zdroe na tuto čnnost v průběhu času. Mnmalzace doby trvání proektu př omezených zdroích Pomocí součtové čáry lze zstt časový nterval, ve kterém e nárok na zdro větší než eho dsponblní množství. Pokud se nepodaří toto snížt s využtím časových rezerv nekrtckých čnností, úpravy časového průběhu se proeví prodloužením doby trvání. Metody pro zštění mnmální doby trvání proektu sou ednak exaktní (úloha LP), ednak heurstcké. Výhodná e kombnace obou způsobů. Je možné rozdělt zdroe mez více proektů (pracovník e zařazen do více proektů) a tím e usnadněno rovnoměrné rozložení zdroů. ímto se zabývá multproektové plánování. Poznámka: Výpočet krtcké cesty a rezerv k příkladu, na kterém byla ukázána a) mnmalzace přímých nákladů př dané době trvání proektu b) stanovení optmální doby trvání proektu \ 7 7 7 7 () () čnnost CR VR ZR NR (,) (,) (,) (,)