Stvení sttik,.ročník klářského stui Rovinné nosníkové soustvy III Příhrový nosník Rovinný klouový příhrový nosník Skl rovinného příhrového nosníku Pomínk sttiké určitosti příhrového nosníku Zjenoušená styčníková meto Mimostyčníkové ztížení Průsečná meto Kter stvení mehniky Fkult stvení, VŠB - Tehniká univerzit Ostrv
Eiffelov věž, Příž m vysoká oelová věž z r.889, hlouk záklů m, 9 7 t oeli,, mil. nýtů, půorys,6 h, 79 shoů, 8 výthů, projekt stv inženýr Gustv Eiffel (8-9)
Rovinný klouový příhrový nosník Rovinný klouový příhrový nosník vznikne klouovým spojením konů přímýh prutů. Osy všeh prutů, vzy i ztížení (zprvil jen styčníkové) leží ve svislé souřniové rovině xz. V pruteh vznikjí zprvil jen normálové (osové) síly. Výjimk: mimostyčníkové ztížení viz. smosttná kpitol v násleujíí přenáše Rovinný klouový příhrový nosník
Skl rovinného klouového příhrového nosníku Pásy mohou ýt přímé lomené Svislie (příčky) ze hyí Styčníkové ztížení F F e f g F R x R z Dolní pás (th) Digonály Horní pás (tlk) R z
Skl rovinného klouového příhrového nosníku Kyvné pruty (-) vnitřní vzy jenonásoné, neoť: -klouové připojení n oou koníh -styčníkové ztížení (prut neztížen vnějším ztížením) F F N N 8 e f g F N N N 9 N N 7 N R x N N 6 N R z R z Hmotné oy styčníky (-g) Vnější vz (reke)
Stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku v rovině v v e + v i v i p v... elkový počet vze soustvy v e +. n v. n s v i... počet vnitřníh vze soustvy p... počet vnitřníh prutů (v kžém z nih neznámá osová síl) n v... počet stupňů volnosti soustvy n s... počet oů (styčníků) v soustvě v e... počet vnějšíh vze soustvy... počet jenonásonýh vze... počet vojnásonýh vze Příhrový nosník: soustv n s oů (styčníků) vzájemně propojenýh jenonásonými vzmi (pruty p) n v v n v < v n v > v sttiky i kinemtiky určitá soustv sttiky neurčitá, kinemtiky přeurčitá soustv sttiky přeurčitá, kinemtiky neurčitá soustv Stupeň sttiké neurčitosti s v n v 6
Stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku F F N N 8 e f g F N N N 9 N N 7 N R x R z v N N 6 N ve + vi +. + p n v. n s R z s v nv... s. urč. n s 7, počet styčníků (v kžém z nih pomínky rovnováhy) p počet vnitřníh prutů (v kžém z nih neznámá osová síl) počet jeno vojnásonýh vze ( neo neznámé složky rekí) 7
Příkl - stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku F F N n s N N N p R x N R z R z v ve + vi +. + p 8 n v. n 8 s s v nv Sttiky i kinemtiky určitý rovinný klouový příhrový nosník 8
Příkl - stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku F F Není klouový styčník N N N 6 n s p6 N N R x N R z R z v ve + vi +. + p 9 n v. n 8 s s v nv x sttiky (vnitřně) neurčitý rovinný klouový příhrový nosník (kinemtiky přeurčitý) 9
Příkl - stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku F F Není klouový styčník N N N N 6 N n s p6 R x N R x n v. n 8 s R z v ve + vi +. + p s v nv R z x sttiky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný klouový příhrový nosník (kinemtiky přeurčitý)
Příkl - stupeň sttiké neurčitosti příhrového nosníku F F Je klouový styčník R x N N N N 6 N 7 N 8 N N R x n s p8 R z R z v ve + vi +. + p n v. n s s v nv x sttiky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný klouový příhrový nosník (kinemtiky přeurčitý)
h, h, R x R x Zjenoušená styčníková meto postup výpočtu R z N l l F kn N α N N N 6 N F kn L l + sin α h / os α l / N 7 h L L e e ) Stupeň sttiké neurčitosti ) Geometrie soustvy ty stčí pouze goniom. funke úhlu α ) Vnější vzy: výpočet rekí z pomínek rovnováhy ) Vnitřní vzy: výpočet normálovýh sil v pruteh ) Ostrnit pruty nhrit interkemi v klném směru ven ze styčníků ) Pomínky rovnováhy ve styčnííh styčník o pomínky rovnováhy ix prut e klná N n prutu e (pltí. Newtonův zákon ke reke) iz F F e e
Domáí úkol o vičení, ky zčnete proírt příhr. ke U nýh příhrovýh nosníků okžte, že jsou sttiky určité, spočítejte reke u šikmýh prutů proveďte rozor geometrie (určete goniometriké funke oznčenýh úhlů). Vnitřní síly nepočítejte. P kn Př. () (7) PkN Př. P kn P kn Př. Př. P kn
Příkl: sttiká určitost, geometrie, reke Zání: l l Geometrie: h, h, R x R x R z F kn α F kn Výpočet rekí z pomínek rovnováhy:. Fiz. e L l + h sin α h / L os α l / L L, m sin α, 7 os α, 89 i + F + F Rz R z 7kN( ) M. h F. l F.l 9kN( ) R x R x Rozor sttiké určitosti: n s, p7,, v ve + vi +. + p n v. ns s v n sttiky určitý v i. M h F. l F.l 9kN( ) R x. R x Pozn.: Všimněte si poří silovýh pomínek rovnováhy. Fix Kontrol (proč F ix?)
Příkl: výpočet vnitřníh sil - styčník Nutno zčít styčníkem spojujíího pruty ( neo e) - jsou pouze neznámé R x R z N F kn N F kn e Rx Rz Rx N 9 kn 7 kn 9 kn N N 6 N N N 7 Styčník N N 6 α N N N N N6 N7,kN -, kn R x R x Pomínky rovnováhy ve styčníku.. Fix Fiz + R x + N6.osα N N6.sinα N N R x 6 osα,kn(tlk) N6.sinα,kN(th)
R x R x Příkl: výpočet vnitřníh sil - styčník Vol lšího styčníku tk, y lší sestvené rovnie oshovly pouze neznámé F kn F kn Rx 9 kn R z N N 6 N N N N 7 N N N Pomínky rovnováhy ve styčníku. Fix R x + N + N.osα N.os R N α kn(th) x. Rz N Fiz R z + N + N.sinα N,9kN(th) sinα R x e Styčník R z α N Rz Rx N N N N N N6 N7 7 kn 9 kn kn,kn,9 kn -, kn 6
Vol lšího styčníku tk, y lší sestvené rovnie oshovly pouze neznámé Rx F kn F kn R x Příkl: výpočet vnitřníh sil - styčník R z N N e Rz Rx N 9 kn 7 kn 9 kn kn N N N 7 N N kn,kn N Styčník N N,9 kn - kn N 6 F kn N6 N7 -, kn R x N N Pomínky rovnováhy ve styčníku N. Fix N + N N N kn(th). Fiz + F N + N kn(tlk) 7
Příkl: výpočet vnitřníh sil - styčník e R x R z N F kn N F kn e Rx Rz Rx 9 kn 7 kn 9 kn N N 6 N N N 7 Styčník e F kn N N N N N kn kn,kn,9 kn - kn R x α N N 7 e e N6 N7 -, kn -6,8 kn.. Pomínky rovnováhy ve styčníku e Fix Fiz N N7.osα + F + N7.sinα N N N osα F sinα 7 7 ( ) 6,88kN tlk ( ) 6,88kN tlk pouze kontrol 8
Příkl: výpočet vnitřníh sil kontrol - styčník R x R z N F kn N F kn e Rx Rz Rx 9 kn 7 kn 9 kn N N N 7 N N kn kn N N 6 Styčník N N N 7 N N N,kN,9 kn - kn R x α α N 6 α N6 N7 -, kn -6,8 kn. Fix iz Pomínky rovnováhy ve styčníku N. osα N6.osα + N7.osα Kontrol. F N sinα N + N.sinα N.sinα Kontrol. 6 7 9
Příkl: vliv voly poří styčníků n složitost výpočtu R x R z N F kn N F kn e Rx Rz Rx N 9 kn 7 kn 9 kn kn N N N 7 N N kn N N 6 Styčník e F kn Styčník F kn N N6 N7 - kn -, kn -6,8 kn N,9 kn R x α N N 7 Pomínky rovnováhy ve styčníku nyní veou n soustvu rovni o neznámýh - neprktiké. F ix N. osα N6.osα + N7.osα. Fiz N sinα N + N.sinα N.sin e e N N. 6 7 α N Styčník N N α α α N 6 N 7
Mimostyčníkové ztížení prutu V prutu č. vznikne v ůsleku mimostyčníkového ztížení rovněž V M. q konst. e h 7 R x 6 α R z F R z
Mimostyčníkové ztížení uvolnění prutu q konst. Postup řešení: N N e R Ztížení mimostyčníkové ) Reke elé příhrové konstruke (or. n přeešlém snímku) ) Uvolnění prutu ) Reke prutu (jsou to vnitřní vzy (interke) mezi prutem zývjíí části konstruke v oeh e) ) Ztížit zývjíí část konstruke interkemi R R e (zákon ke reke) ztížení mimostyčníkové převeeno n styčníkové R x R e R z Ztížení styčníkové R N N 7 6 α F e R e R z ) Vyřešit vnitřní síly v pruteh N N 7 (meto výpočtu liovolná) 6) Vyřešit lší vnitřní síly prutu (viz násleujíí snímek)
Mimostyčníkové ztížení - řešení prutu V M q konst. q. l + x º, l q. l 8 l p Q q.l N N R N - + - e N R e q. l Reke R Posouvjíí síl L l V( x) R q. x q. x q. l V ( ) V( x ) q. l V( e) V( x l ) R e l q. x x l mx Ohyový moment M L q. x q ( x) R. x.( l. x x ) ( ) M ( x ) R e Q q. l ( ) M M ( ) M ( x l ) M l x Q q. l M ( ) ( x ) mx q l 8.
Neztížené pruty tzv. nulové pruty F iz N N 8 N N9 x Půsoí-li ve styčníku síly, z nihž mjí společnou nositelku, třetí síl je vžy nulová. Půsoí-li ve styčníku síly, z nihž mjí společnou nositelku jen je nulová, potom čtvrtá síl je vžy nulová. Důkz: ze silové pomínky rovnováhy: Součet všeh sil půsoííh ve styčníku ve směru kolmém ke společné nositele vou sil je roven nule. Fiz N z, N N N N N, z N z 7
Neztížené pruty význm tzv. nulovýh prutů l 8 l 9 l 9 9 l l l Význm nulovýh prutů: zkrují élky prutů tím zrňují velkým eformím ztrátě stility prutů. Víe v přemětu Pružnost plstiit 8
Průsečná meto Prinip: Myšleným řezem lze nosník rozělit n vě smosttné části tk, že: přeruší se pruty neprotínjíí se v témže oě. Pro kžou část lze sestvit pomínky rovnováhy, ve kterýh figurují vnější síly (ztížení + složky rekí vnějšíh vze) i vnitřní síly (interke v přerušenýh pruteh), z kterýh vypočítáme potřeou neznámou vnitřní sílu. () () Průsečná meto 6
Průsečná meto příkl: geometrie ůkz stt. určitosti F kn F kn Geometrie konstruke l l l l 7 h R x 7 α ( ) + h osα l R z 6 F kn R z h sinα l Anlýz: p 7 vi 7 v e +. +. v v e + v + 7 i n s v s n. n s n v v Sttiky určitá konstruke 7
Průsečná meto příkl: reke Výpočet rekí: F kn F kn h 7. Fix R x kn F ( ) R x R z 6 F kn α R z i M [ ] 9. F. + F. h + F. 7,7kN( ). i. R z. M [ ] 6. F.. F. h + F. 7,6kN( ) R z. 8 8 iz. F Kontrol 8
Průsečná meto příkl: prinip Prinip vysvětlen n výpočtu sil N, N neo N 6 : F ξ F 7 R x R z I 6 F ξ II R z ξ ξ Prutovou soustvou je veen řez přes pruty --6, který rozělí soustvu n vě části: I II 9
Průsečná meto příkl: prinip F ξ ξ N N e F N N 7 R x R z 6 I F N 6 Účinek ostrněnýh částí nhrí interke N, N N 6. Je-li elá konstruke v rovnováze, uou v rovnováze i její oělené části I II, pro které lze npst tři sttiké pomínky rovnováhy. (Oě oělené části tvoří oené rovinné rovnovážné soustvy sil) ξ ξ 6 N 6 II R z
Průsečná meto příkl: levá část Část I Pomínky rovnováhy oělené levé části: Neznámé N, N N 6 ξ. Fix F N. Fiz h N. M i R x 6 R z F N 6 ξ Kontrol: (npř:) M i
Průsečná meto příkl: levá část Část I Pomínky rovnováhy oělené levé části: Neznámé N, N N 6 ξ. Fix N + Rx N. osα + N6 F N. Fiz N. sinα Rz + F + F h R x N 6. M i F. F...sin. N h + N α R z F N 6 ξ Kontrol: (npř:) M i
Průsečná meto příkl: prvá část Část II Neznámé N, N N 6 Pomínky rovnováhy oělené prvé části:. Fix ξ N e F. Fiz N 7 h. M i ξ 6 N 6 R z Kontrol: (npř:) M ie
Průsečná meto příkl: prvá část Část II Neznámé N, N N 6 Pomínky rovnováhy oělené prvé části:. Fix N N. osα N6 + F ξ N e F. Fiz + z N.sinα R N ξ 6 7 N 6 R z h. M i F. h + N. h + N.sinα. + N.os. α h Kontrol: (npř:) M ie
Výhoy nevýhoy průsečné metoy Výhoy průsečné metoy: K výpočtu osové síly prutu soustvy není nutno znát osové síly jinýh prutů Nevýhoy průsečné metoy: August Ritter (86-98) Při oeném geometrikém tvru ztížení konstruke přestvují pomínky rovnováhy soustvu rovni o neznámýh Nevýhou lze ostrnit použitím Ritterovy úprvy průsečné metoy, ke kžou neznámou osovou sílu vnitřního prutu klouové prutové konstruke lze určit přímo z jené rovnie.
h R x M i, o Ritterov úprv průsečné metoy (momentový stře) R z F N ξ o 6 F N N 6 ξ eo 6 Kžou neznámou osovou sílu vnitřního prutu příhrové konstruke lze určit přímo z jené rovnie. Momentovou pomínku rovnováhy je možné řešit k liovolnému ou (sttikému střeu) M i s, Správnou volou momentového střeu získáme v rovnii pouze jenu neznámou - hlenou vnitřní sílu. Momentový stře síly o N je v průsečíku zývjííh vou sil z příslušného řezu. Momentovou pomínku rovnováhy ke sttikému střeu hlené síly lze využít pouze v přípě, že momentový stře neleží v nekonečnu (zývjíí síly jsou různoěžné). Ty oy (o ) e (o 6 ). 6
h N R x Ritterov úprv průsečné metoy (momentový stře) R z M i, o N. h + F. R. z R h F F. z., N ξ o 6 F N N 6 ( ) 6,8kN tlk ξ eo 6 Kžou neznámou osovou sílu vnitřního prutu příhrové konstruke lze určit přímo z jené rovnie. Momentovou pomínku rovnováhy je možné řešit k liovolnému ou (sttikému střeu) M i s, Správnou volou momentového střeu získáme v rovnii pouze jenu neznámou - hlenou vnitřní sílu. Momentový stře síly o N je v průsečíku zývjííh vou sil z příslušného řezu. Momentovou pomínku rovnováhy ke sttikému střeu hlené síly lze využít pouze v přípě, že momentový stře neleží v nekonečnu (zývjíí síly jsou různoěžné). Ty oy (o ) e (o 6 ). 7
Ritterov úprv průsečné metoy (momentový stře v ) h F N ξ N eo 6 Poku momentový stře leží v nekonečnu (zývjíí síly jsou rovnoěžné), nelze neznámou vnitřní sílu počítt z momentové pom. rovnováhy. Ty síl N. R x Fiz R z o leží v 6 o F N 6 ξ Neznámou vnitřní sílu nutno řešit ze správně zvolené silové pomínky rovnováhy: Součet všeh sil půsoííh n uvolněnou část konstruke ve směru kolmém ke věm zývjíím (neznámým) rovnoěžným silám je roven nule. 8
h Ritterov úprv průsečné metoy (momentový stře v ) R x Fiz R z N R z F N ξ o 6 F + F.sin + F N α 7,7 o leží v 8,86kN( th) N N 6 ξ eo 6 Poku momentový stře leží v nekonečnu (zývjíí síly jsou rovnoěžné), nelze neznámou vnitřní sílu počítt z momentové pom. rovnováhy. Ty síl N. Neznámou vnitřní sílu nutno řešit ze správně zvolené silové pomínky rovnováhy: Součet všeh sil půsoííh n uvolněnou část konstruke ve směru kolmém ke věm zývjíím (neznámým) rovnoěžným silám je roven nule. 9
h Část I R x Ritterov úprv průsečné metoy levá část R z Výpočet N Fiz F R z N o + F.sin + F N α 7,7 N ξ 6 F N N 6 o leží v 8,86kN( th) ξ eo 6 Výpočet N M i, o N. h + F. R. z F. Rz. N h 6,8kN Výpočet N 6 M i, o6 ( tlk), N 6. h + F. + F. R.. R. h z x,7 N6,96kN( th)
II Ritterov úprv průsečné metoy prvá část ξ N eo 6 F Část II N Neznámé N, N N 6 7.. M i, o M i, o6. Fiz o leží v o N.. h F h + Rz. N6. h + R. z R z 6 ξ + N.sinα N 6 R z F. h R. h R. z,7 h, z N 6,8kN( tlk) N,96kN( th) 6 7,7 R z N,9kN( th) sinα
Určete momentové střey prutů,,, 6,,, 7 Pozn: U řešení prutů,,, 6 možné vrinty řezů.
Domáí úkol: vyprovný onést o vičení v. týnu Nápově (honoty rekí N sil v kn): Rx, ( ) Rz, ( ) Rz 7, ( )., -6.,., -.77 -Dokžte, že je konstruke sttiky určitá -Proveďte geometriký rozor (jenouhé pouze jeen úhel) -Určete nulové pruty -Průsečnou metoou v Ritterově úprvě spočítejte vnitřní síly v pruteh, 6,, -V smosttnýh náčrteh zřetelně oznčte jenotlivé řezy pro výpočet N sil -Výpočet proveďte vžy pro oě části konstruke -V přípě, že jsou možnosti řezu ke, proveďte řešení pro oě vrinty -Výsleky zpište o tulky
Okruhy prolémů k ústní části zkoušky. Pomínk sttiké určitosti rovinného klouového příhrového nosníku. Výpočet osovýh sil v pruteh rovinného klouového příhrového nosníku zjenoušenou styčníkovou metoou. Výpočet osovýh sil v pruteh rovinného klouového příhrového nosníku průsečnou metoou. Výpočet osovýh sil v pruteh rovinného klouového příhrového nosníku průsečnou metoou v Ritterově úprvě. Výpočet vnitřníh sil v pruteh rovinného klouového příhrového nosníku nmáhného mimostyčníkovým ztížením