Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme podle x a dosaneme parciální derivaci podle proměnné x. Obdobně dosaneme parciální derivaci podle y. Značení: Derivaci značíme, f x x,, f y y. Hodnou derivace v bodě a = (x 0, y 0 ) značíme (a), x f x(a), případně (x x 0, y 0 ), f x(x 0, y 0 ). Příklad f : (x, y) x 2 x sin y. = x 1/2(x2 x sin y) 1/2 (2x sin y), = y 1/2(x2 x sin y) 1/2 ( x cos y). (2, π/6) = 1/2(4 2 sin x π/6) 1/2 (4 sin π/6) = 7/(4 3). Příklady na procvičování: [3], sr. 99, příklady 14.29 14.52; výsledky najdee na sr. 108, 109 ve varu vekoru, jeho jednolivé složky jsou parciální derivace. A na závěr definice: x (x f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) x x0 x x 0 y (x f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) y y0 y y 0 2. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci g : x sin(2x), kerou budeme nazýva parciální funkcí funkce f. Na obrázku vlevo je graf funkce f pro x [ 3, 3], y [ 3, 3]. Na prosředním obrázku je řez grafu funkce f rovinou o rovnici y = 2. Na obrázku vpravo je řez posunu na čelní sěnu. Teno řez je grafem parciální funkce g. 3. Geomerický význam parciální derivace. V minulém odsavci jsme vysvělili, co je o parciální funkce a jak souvisí graf parciální funkce s grafem původní funkce. Parciální derivace podle x má sejný význam jako derivace funkce jedné proměnné je o směrnice ečny grafu parciální funkce. A obdobně pro parciální derivaci podle dalších proměnných. 1
4. Paramerické rovnice přímky. Paramerické rovnice přímky procházející bodem a = (1, 0) a mající směrový vekor v = (2, 1) jsou: x = 1 + 2, y =. Vysvělee, jak souvisí paramerické rovnice přímky s operacemi násobení vekoru číslem a sčíání vekorů. Návod: načrněe geomerické vekory a, v a k nim vekory a +1/2 v, a + v, a v a a + v pro další hodnoy. 5. Zúžení funkce na přímku. Na obrázku je 1. graf funkce f : (x, y) sin(xy), 2. rovina kolmá k souřadné rovině xy proínající ji v přímce určené bodem a = (1, 0) a směrovým vekorem v = (2, 1). 3. zeleně jejich řez, což je křivka zadaná paramericky x = 1+2, y =, z = sin((1+2)( )) a červeně bod (1, 0, f(1, 0)). Řez je grafem funkce g : f(1 + 2, ) = sin((1 + 2)( )) a vidíe jej na obrázku vlevo. Hodnoa parameru = 0 odpovídá bodu a, hodnoa = 1 bodu a + v. Vzdálenos ěcho dvou bodů na rojrozměrném grafu funkce f je v = 5. Tomu jsme přizpůsobili odlišné měříko na osách (odpovídá volbě sejného měříka na osách rojrozměrného grafu funkce f). 6. Derivace funkce podle vekoru. Derivací funkce f : R 2 R v bodě a R 2 podle vekoru v nazýváme iu, kerou budeme znači D v f(a) f(a + v) f(a) D v f(a). (1) Výpoče vysvělíme na příkladu z odsavce 5: Dosadíme do (1) f(x, y) = sin(xy), a = (1, 0), v = (2, 1). f(a + v) = f(1 + 2, ) = sin((1 + 2)( )) = sin( + 2 2 ) f(a) = f(1, 0) = 0 D v f(a) = sin( + 2 2 ) 0 sin( + 2 2 ) ( + 22 ) + 2 2 = sin( + 2 2 ) ( + 2 2 ) = 1 + 2 2 2
Všimněe si, že pomocí funkce g : f(a + v) lze (1) zapsa D v f(a) f(a + v) f(a) g() g(0) = g (0). 7. Geomerický význam derivace funkce podle vekoru. Vysvělíme na funkci f z odsavce 5. Na obrázku je 1. graf funkce f, 2. zeleně přímka určená bodem a = (1, 0) a směrovým vekorem v = (2, 1) umísěná do podsavy kvádru, 3. modře graf funkce g : f(1 + 2, ), 4. červeně ečna k omuo grafu v bodě (1, 0, f(1, 0)). Na dalším obrázku je zobrazen řez s grafem funkce g a oběma přímkami. Derivace v bodě a podle vekoru v je rovna velikosi lineární čási přírůsku funkce g na jednokový přírůsek proměnné : D v f(a) = dg. Přírůsek funkce jedné proměnné a jeho lineární čás jsou zopakované v odsavci 14. 8. Derivace funkce podle vekoru je homogenní funkcí vekoru. Příklad: f(x, y) = x 3 xy, a = ( 1, 2), v = (1, 2). Dosadíme do (1) f(a + v) = f( 1 +, 2 + 2) = ( 1 + ) 3 ( 1 + )(2 + 2) f(a) = f( 1, 2) = 1 D v f(a) ( 1 + ) 3 ( 1 + )(2 + 2) 1 1 + 3 3 2 + 3 ( 2 + 2 2 ) 1 3 5 2 + 3 (3 5 + 2 ) = 3. Co se sane, když vekor změníme na jeho násobek αv?. Počíejme D αv f(a) ( 1 + α) 3 ( 1 + α)(2 + 2α) 1 1 + 3α 3(α) 2 + (α) 3 ( 2 + 2(α) 2 ) 1 3α 5(α) 2 + (α) 3 (3α 5α 2 + α 3 2 ) = 3α. 3
Vzah, kerý jsme odvodili D αv f(a) = αd v f(a) (2) plaí obecně, jakmile ia napravo exisuje. Ilusrujeme ho na obrázku s grafem funkce g : f(a + v) Červeně je na ose zobrazena jednoka pro vekor v a modře pro vekor α v (pro hodnou α = 0.7). V předchozím odsavci jsme odvodili vzah D v f(a) = dg, kerý můžeme inerpreova: D v f(a) = dg pro = 1. Na obrázku jsou yo přírůsky vyznačeny čárkovaně. Vzah (2) plyne z podobnosi rojúhelníků. 9. Co je o směr vekoru? Geomerický vekor je zadán svojí velikosí, směrem a orienací. Vysvělee význam slova směr v omo konexu. Čím se liší od významu slova směr používaném v běžné řeči? 10. Derivace ve směru (směrová derivace) erminologický zmaek. Derivace funkce více proměnných v bodě a ve směru vekoru v se v lierauře někdy definuje ak, jak jsme definovali derivaci podle vekoru v. Vzah (2) ale mimo jiné říká, že hodnoa derivace podle vekoru závisí na jeho velikosi. Proo se někdy derivace ve směru definuje pro jednokový vekor (j. vekor o velikosi jedna). I ady zůsává nejednoznačnos. K nenulovému vekoru v jsou dva jednokové vekory sejného směru, a o v / v a v / v a derivace podle nich se edy liší, je-li nenulová, znaménkem. 11. Gradien. Má-li funkce dvou proměnných ( f : (x,) y) f(x, y) derivace prvního řádu podle obou proměnných,, pak vekor, nazýváme gradienem funkce x y x y f a značíme ho grad f, případně f. Příklad: pro f : (x, y) x 2 x sin y je ( ) 2x sin y grad f = 2 x 2 x sin y, x cos y 2. x 2 x sin y Gradien funkce f v bodě a značíme grad f(a). Ve výše uvedeném případě je pro a = (2, π/6) ( ) 7 grad f(a) = 4 3, 1. 2 12. Gradien jako funkce z R d do R d. TODO: Grafické vyznačení gradienu. 4
13. Rovnice ečné roviny a derivace (oální diferenciál). Na obrázku je graf funkce f : (x, y) x 3 xy 2 na (x, y) [1, 2] [1, 4]. Na přední sěně vidíe graf parciální funkce pro y = 1 a na pravé boční sěně graf parciální funkce pro x = 2. Z grafů vidíme, že v bodě a = (2, 1) je parciální derivace x (a) kladná a její hodnoa je v řádu jednoek, parciální derivace (a) je záporná a její absoluní hodnoa je aké v řádu jednoek. Výpočem y dosaneme (a) = 11, (a) = 4. x y Odvodíme rovnici ečné roviny. Nejdříve napíšeme ečné vekory v bodě (2, 1, f(2, 1)) = (2, 1, 6) ke křivkám na přední a pravé sěně: (1, 0, 11), (0, 1, 4). Oba yo vekory leží v ečné rovině, normálový vekor éo ečné roviny je na oba kolmý: n = (11, 4, 1). Rovnice roviny s normálovým vekorem n = (11, 4, 1) procházející bodem b = (2, 1, 6) je 11(x 2) 4(y 1) (z 6) = 0. V obecném případě zapíšeme rovnici ečné roviny ke grafu funkce f v bodě a pomocí skalárního součinu vekorů grad f(a) a x a, kde x = (x, y) z = f(a) + (grad f(a), x a). (3) Na obrázku je graf funkce f : (x, y) xy(x + y)/(x 2 + y 2 ). Obě parciální funkce v bodě a = (0, 0) jsou nulové, edy i obě parciální derivace funkce f v bodě a jsou nulové. Dosazením do vzorce (3) dosaneme z = 0. Nazvali bychom rovinu o rovnici z = 0 ečnou rovinou ke grafu funkce f v bodě (0, 0, 0)? Na obrázku je řez grafu rovinou o rovnici y = 0.3x. Řezem je přímka z = f(x, 0.3x) = 21/109x, zaímco řezem ečné roviny je přímka z = 0. To nás vede k následující definici. Označíme v ní h = (h 1, h 2 ), L(h) = L 1 h 1 + L 2 h 2, o = (0, 0). Lineární funkci L : (h 1, h 2 ) L 1 h 1 + L 2 h 2 nazveme derivací funkce f : R 2 R v bodě a R 2, pokud plaí f(a + h) f(a) L(h) = 0. (4) h o h V mnohé lierauře se míso ermínu derivace používá oální diferenciál. Rozdíl f(a + h) f(a) nazýváme přírůskem funkce f v bodě a. Hodnou L(h) nazýváme lineární čásí přírůsku funkce f v bodě a. Vekor h nazýváme přírůskem argumenu 5
funkce f. Vzah (4) znamená, že chyba, keré se dopusíme záměnou přírůsku za jeho lineární čás je zanedbaelná ve srovnání s přírůskem argumenu. Derivaci funkce f v bodě a budeme znači Df(a). Plaí: má-li funkce f : R 2 R v bodě a derivaci, pak má v omo bodě i 1. obě parciální derivace prvního řádu f x(a), f y(a) a derivace je rovna 2. pro každý vekor v derivaci podle v Df(a) : v = (v 1, v 2 ) f x(a)v 1 + f y(a)v 2 D v f(a) = f x(a)v 1 + f y(a)v 2 Dále plaí (u zkoušky se budu pá na důkaz ohoo vrzení, dělali jsme ho na přednášce): jsou-li parciální derivace f x, f y funkce f v bodě a spojié, pak má funkce f v bodě a derivaci. Všechny elemenární funkce jsou na svých definičních oborech spojié. Derivace elemenárních funkcí jsou opě elemenární funkce a edy jsou aké na svých definičních oborech spojié. Derivaci Df a derivaci podle vekoru D v f edy můžeme pro elemenární funkce spočía ak, že spočeme parciální derivace a dosadíme do výše uvedených vzahů. Výše zmiňovaná funkce f : (x, y) xy(x + y)/(x 2 + y 2 ) není definovaná v bodě a = (0, 0), lze ji do bodu a spojiě rozšíři. Výše jsme ukázali, že oo spojié rozšíření má v bodě a parciální derivace, ale nemá v bodě a derivaci. 14. Funkce jedné proměnné, přírůsek funkce, derivace a aproximace lineární funkcí. Na obrázku je červeně vyznačen přírůsek funkce f = f(x 0 + x) f(x 0 ), zeleně jeho lineární čás f (x 0 ) x, budeme ji znači df, modře jejich rozdíl df f. Přírůsek proměnné x jsme označili x. Míso x mnohdy píšeme dx (jsou o přírůsky ideniy id : x x). Jak přírůsek funkce f, ak přírůsek x může bý záporný, jak ilusrují další obrázky. Připomeňe si příklad 5.2.10 a poznámku 5.2.11 v [2]. Kromě dalšího říká f df h 0 x 6 = 0,
což inerpreujeme: pro malý přírůsek proměnné x je chyba, keré se dopusíme záměnou přírůsku funkce f za linearizovaný přírůsek df, zanedbaelná vzhledem k x. Poznámka ke geomerickému významu derivace: číslo f (x 0 ) je rovno podílu df a x má význam hodnoy linearizovaného přírůsku na jednokový přírůsek proměnné x: pro x = 1 je f (x 0 ) = df. Přímku o rovnici y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) nazýváme ečnou ke grafu funkce f, její směrnice je rovna f (x 0 ) a v případě sejných měříek na osách x, y je směrnice rovna angensu úhlu, kerý ečna svírá s kladnou poloosou x. 15. Úkoly. 1. Vysvělee, jak souvisí paramerické rovnice přímky s operacemi násobení vekoru číslem a sčíání vekorů. 2. Nakreslee definiční obor a izokřivky funkce f : (x, y) x 2 x + y 2. Nevíe-li si rady s obecnou izokřivkou, pracuje nejdříve s izokřivkami o rovnicích f(x, y) = 0, f(x, y) = 1 a eprve poom přejděe k obecnému případu f(x, y) = c. Vypočěe parciální derivace a gradien funkce f v bodě a = (1, 2). Vypočěe derivaci funkce f v bodě a podle vekoru v = (2, 1) (a) přímo z definice (b) použiím gradienu Pomocí výše vypočené derivace podle vekoru vypočěe přibližně hodnou funkce f v bodě (1.2, 1.9). Porovneje ji s přesnou hodnoou. Reference [1] hps://www.wolframalpha.com. [2] Jiří Veselý. Základy maemaické analýzy. www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma11-12/ma_i/ppma.pdf. [3] Ilja Černý. Ineligenní kalkulus 2. hps://maemaika.cuni.cz/dl/ikalkulus/ik2.pdf. 7