ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta Jaderná a Fyzikálně Inženýrská BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Schulc

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Faulta Jadrná a Fyziálně Inžnýrsá BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 007 Martin Schulc

2 Čsé vysoé uční tchnicé v Praz Faulta jadrná a fyziálně inžnýrsá Katdra fyziy Obor: Jadrné inžnýrství Zaměřní: Eprimntální jadrná fyzia Korlační fmtosopi Corrlation fmtoscopy BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vypracoval: Martin Schulc Vdoucí prác: RNDr. Miloš Pachr, CSc. Ro: 007

3 Poděování Chtěl bych poděovat RNDr. Miloši Pachrovi, CSc. za odbornou pomoc a rady, tré pomohly vzniu této prác.

4 Názv prác: Korlační fmtosopi Autor: Obor: Druh prác: Martin Schulc Jadrné inžnýrství Baalářsá prác Vdoucí prác: RNDr. Miloš Pachr, CSc. Katdra fyziy, Faulta jadrná a fyziálně inžnýrsá, Čsé vysoé uční tchnicé v Praz Konzultant: - Abstrat: Klíčová slova: Tato baalářsá prác shrnuj poznaty o orlační fmtosopii. J zd vysvětlna záladní tori pionových orlací. Prác s taé zabývá onstrucí orlační func z primntálních dat a různými paramtrizacmi. V posldní apitol jsou rozbrány výsldy nětrých primntů. Korlační fmtosopi, Hanbury Brown Twiss ft, orlac pionů, orlační func, srovnávací vzor Titl: Corrlation fmtoscopy Author: Abstract: Ky words: Martin Schulc This bachlor s dgr projct summarizs findings about th corrlation fmtoscopy. Th basic thory of pion corrlations is plaind. This projct dals with construction of corrlation function from primntal data and various paramtrizations. In th last chaptr ar analysd rsults from som primnts. Corrlation fmtoscopy, Hanbury Brown Twiss ffct, pion corrlations, corrlation function, rfrnc sampl

5 Obsah Úvod 7 Kvar-gluonové plazma 8. Kvary, gluony a var-gluonové plazma 8. Argumnty hovořící pro vzni var-gluonového plazmatu 9 Korlační fmtosopi. Histori Hanbury Brown Twissova ftu. Pionové orlac z chaoticých zdrojů 4.. Rozdělní hybnosti pro jdn pion 5.. Korlac hybnosti dvou pionů 8.3 Kohrntní a částčně ohrntní zdroj 4.3. Kohrntní zdroj 4.3. Částčně chaoticé zdroj 7.4 Njčastěji používané paramtrizac orlační func 7.4. D paramtrizac orlační func D paramtrizac orlační func 8 3 Analýza primntálních dat Korc orlační func Korlac vyšších řádů Konstruc orlační func z primntálních dat Srovnávací vzor Srovnávací vzor odvozný z naměřných dat Srovnávací vzor vytvořný Mont Carlo simulacmi 34 5

6 4 Výsldy primntů Eprimnty s pozitron-ltronovou anihilací Eprimnty s srážami těžých iontů 38 Závěr 39 Sznam použitých zdrojů 40 6

7 Úvod Tato baalářsá prác s zabývá orlační fmtosopií, dynamicy s rozvíjjící oblastí částicové fyziy. Korlační fmtosopi nám pomáhá při hldání var-gluonového plazmatu. Nazývá s taé Bos Einstinova intrfromtri. Korlační fmtosopi j vša vhodnější názv, protož ji můžm apliovat njnom na bosony, al taé na frmiony. Názv taé napovídá o tom, ž při rlativisticých srážách částic v urychlovači doážm měřit rozměry řádu fmtomtrů nbo doonc i mnší. Prác j rozdělna na čtyři části. První část s zabývá var-gluonovým plazmatm, jho vlastnostmi a důlžitostí proázání jho istnc. Obsahm druhé části nazvané orlační fmtosopi j tori orlací pionů a rozdělní prostorově rozložných zdrojů. V úvodu apitoly j taé uvdna histori Hanbury Brown - Twissova dál HBT ftu, trý j záladm orlační fmtosopi. Třtí část obsahuj apitolu nazvanou analýza primntálních dat, v tré j popsáno vytvořní orlační func z primntálních dat. Výsldy nětrých primntů za použití orlační fmtosopi jsou shrnuty v posldní čtvrté části. V clé práci s standardně užívá přirozných jdnot. 7

8 Kapitola Kvar-gluonové plazma. Kvary, gluony a var-gluonové plazma Kvary jsou frmiony a tvoří hadrony. Hadrony dělím na baryony složné z tří varů napřílad protony a nutrony a na mzony tvořné varm a antivarm napřílad piony. Kvary s dělí do tří gnrací, první tvoří vary down a up, druhou vary strang a charm a třtí vary bottom a top. Kvary můžm taé rozdělit na dva druhy, valnční a mořsé. Mořsé vary jsou ty vary, tré jsou vázány v var antivarových párch mzony. Valnční vary jsou vary tvořící nulony. Tdy napřílad proton má dva valnční up vary a jdn valnční down var. Z důvodu Frmiho vylučovacího pravidla zavádím důlžitou vlastnost varů, a to barvu. U varů rozznávám tři druhy barvy, tré mohou nést črvná, žlutá, modrá. Intrac mzi vary závisí na barvě intragujících varů, podobně jao Coulombicé intrac mzi nabitými částicmi. Z tohoto důvodu můžm popisovat barvu varu jao tzv. barvný náboj. Kombinac barv v jdnom hadronu musí být taová, aby hadrony byly bzbarvé, to znamná, ž v baryonu s musí ombinovat všchny tři barvy a v mzonu musí mít antivar příslušnou antibarvu. Působním silné intrac na sb vary působí a mění přitom svůj barvný náboj. Co drží vary pohromadě ta, ž tvoří částic jao j nutron či proton? J to silná intrac působící prostřdnictvím gluonů na hadrony. Intraci mzi hadrony popisujm torií vantové chromodynamiy QCD. Na vlmi malých vzdálnostch, mnohm mnších nž rozměry libovolného hadronu, nabývá vazbná onstanta QCD malých hodnot a s lsající vzdálností mzi vary taé lsá, taž vary s chovají téměř jao volné částic. Tnto jv nazývám asymptoticá svoboda. Al naopa, poud s vzdálnost mzi vary zvětší na hodnotu přibližně fm, ta vazbná onstanta začn růst nad všchny mz a gluony ndovolí zísat volný var. Proto s 8

9 dlouho npodařilo zísat volný var. Vždy jsou po dvojicích nbo po trojicích vázány v mzonu nbo v baryonu. Na volné vary j totiž třba jít oliou. Dodám-li látc vlou nrgii, stlačím ji natoli, ž průměrné vzdálnosti mzi vary budou mnší nž fm a vary s gluony s začnou chovat jao volné. Proto zísám ta výjimčný stav hmoty; var-gluonové plazma složné z volných varů a gluonů. Proázání istnc var-gluonového plazmatu, znalost jho vlastností a způsobu přchodu v hadronovou hmotu jsou líčové pro pochopní raného stádia vývoj Vsmíru. Musím ovšm mít na paměti nětré důlžité rozdíly v procsu hadronizac v srážách těžých jadr a hadronizac při Vlém třsu. J to hlavně rozdílná časová šála. Zatímco sráža těžých jadr trvá řádově jn 0 - s, trvala hadronizac za raného Vsmíru řádově 0-6 s. Tnto rozdíl j způsobn zpomalováním panz Vsmíru gravitací a způsobuj napřílad to, ž s při hadronizaci v raném Vsmíru stihly rozpadnout téměř všchny vzniající nstabilní částic. Jdině zoumáním částic vyltujících z místa srážy můžm určit tplotu, hustotu a další vlastnosti vzniající husté horé hmoty a proázat jjí fázový přchod do nového stavu, var-gluonového plazmatu. Navíc částic vznilé hadronizací mzi sbou silně intragují a informac o vlastnostch var-gluonového plazmatu, tré nsou, s ztrácí. Zísaná informac j tdy jn zprostřdovaná, přímé pozorování j nmožné. Obráz : vary. Argumnty hovořící pro vzni var-gluonového plazmatu Podívjm s na čtyři záladní fyziální jvy, tré fyziové považují za njsilnější argumnty potvrzující vzni var-gluonového plazmatu. První zísávám z studia rozložní hybnosti pro řadu různých hadronů, tré opouštějí místo srážy. Z taových sptr hybnosti můžm zjistit tplotu hmoty v oamžiu, 9

10 dy jí částic opouštěla. Jd o podobnou situaci, jaou j v astrofyzic urční tploty tělsa z nrgticého sptra fotonů, tré vyzařuj. Druhým jvm, pozorovaným při vlmi vysoých nrgiích srážy v primntch NA57/WA97, NA49 a NA50, j zvýšná produc hadronů obsahujících jdn nbo víc podivných varů s v srovnání s počtm, trý vypočtm, dyž budm přdpoládat jjich vzni pouz v srážách nulonů. Taový narůst výsytu podivných částic j vlic obtížné vysvětlit v případě srážových nrgií ndostačujících tvorbě var-gluonového plazmatu, protož podivné částic vzniají s vlmi malou pravděpodobností. Naopa pravděpodobnost produc podivných částic při srážách varů a gluonů v plazmatu a při násldné hadronizaci j vlmi vysoá. Třtím jvm j zvýšná produc ltron-pozitronových párů v oblasti invariantních hmotností mnších nž 800 MV. Invariantní hmotnost j lidová hmotnost částic vypočtná z dvojic zachycných lptonů za přdpoladu, ž pocházjí z jjího rozpadu. Tnto jv můžm vysvětlit změnou vlastností mzonu ρ, trý vzniá při rlativisticých srážách jadr a vlmi rychl s rozpadá na dvojici ltron a pozitron. Jho hmotnost a doba života by měla závist na hustotě a tplotě oolní hmoty. Njvýznamnějším příznam fázového přchodu j potlační produc mzonu nazývaného J/ψ, tré bylo pozorováno v primntu NA50. Mzon J/ψ j silně vázaným systémm varu c a anti-c. V var-gluonovém plazmatu s díy odstínění těchto varů možnost vzniu tohoto mzonu silně snižuj. Vzni a vliost pozorovaného potlační produc mzonu J/ψ nlz uspoojivě vysvětlit bz přítomnosti nového stavu hmoty. Tyto sic npřímé důazy, al v souhrnu vlmi přsvědčivé, potvrzují istnci vargluonového plazmatu. Eprimnty provdné na RHIC Rlativistic havy ion collidr v Broohavn National Laboratory naznačují, ž data obdržná z těchto pousů jsou v shodě s torticými přdpověďmi pro vzni var-gluonového plazmatu. Sutčně mnoho tortiů usuzuj, ž při primntch na RHIC vznilo var-gluonové plazma. Bohužl al mzi primntálními daty a torticými přdpověďmi s vysytují nsrovnalosti. Mělo by násldovat dfinitivní potvrzní a podrobné zoumání jho vlastností za různých podmín. K tomu vša potřbujm, aby plazma vznialo v větším objmu a byla bz jaýcholiv pochyb potvrzna jho istnc. Eprimnty na RHIC taé uázaly, ž přdpoládané var-gluonové plazma s chová spíš jao apalina nž plyn, což přdpovídaly starší tori. 0

11 Obráz : Eprimnt STAR v BNL. Zd vidím násldy firballu, trý vznil srážou dvou iontů zlata o těžišťové nrgii 40 TV. Vlmi důlžitým nástrojm pomáhajícím potvrzní istnc var-gluonového plazmatu j Bos-Einstinova intrfromtri Korlační fmtosopi. Z dtc párů idnticých částic j touto mtodou možné odhadnout rozměry oblasti, v tré částic vznily. Z známé tploty lz dopočítat hustotu nrgi a porovnat ji s riticou hustotou nutnou pro vzni var-gluonového plazmatu. Přchod mzi normální hmotou a var-gluonovým plazmatm by měl nastat asi při hustotách nrgi oolo GV/fm 3. Tplota odpovídající této hustotě nrgi j T = 80 MV v nrgticých jdnotách, a tdy T =, 0 K.

12 Kapitola Korlační fmtosopi. Histori Hanbury Brown Twissova ftu Intrfrnc j dobř známý jv spojovaný s sládáním dvou nbo víc vln. Napřílad, výsyt Youngova difračního obrazc v dvouštěrbinovém primntu j důsldm intrfrnc amplitud dvou světlných vln. HBT ft s liší od běžné amplitudové intrfromtri tím, ž nporovnává amplitudy, al intnzity naměřné v různých bodch. Obráz 3: Youngův difrační obrazc

13 Radarová tchnologi vyvinutá za druhé světové vály vdla rozvoji radioastronomi v poválčném období a objvu radiových zdrojů v Vsmíru. Nido ntušil, ja jsou tyto zdroj vlié, a proto nastal problém ja změřit jjich rozměry. Standardním používaným postupm bylo užití Michalsonovy intrfromtri. Z zísaného difračního obrazc bylo možné určit úhlový rozměr zdroj vlnění. Touto mtodou poprvé K. Schwarzschild změřil úhlový rozměr dvojhvězd rou 895. Výsldy dané touto amplitudovou intrfromtrií jsou při dané vlnové délc omzny vzdálností, na tré můžm porovnávat amplitudy. Poud zdroj radiových vln měly vlý úhlový rozměr, pa byla potřba malá vzdálnost mzi oběma dttory. Naproti tomu istovaly zdroj malých rozměrů, a proto by dttory musly být od sb vlmi vzdálné, tj. na opačných stranách Atlantiu nbo i dál, aby bylo dosažno správných výsldů. Tnto problém vyřšil radioastronom Robrt Hanbury Brown v Jodrll Banu rou 949. Hanbury Brown pa spolčně s Richardm Q. Twissm, trý měl lpší matmaticé vzdělání, provdli matmaticý rozbor své mtody. První tst intrfromtri intnzit usutčnili rou 950 změřním průměru Slunc pouz jao uázu. V současnosti, přdvším díy lpší tchnic s v astronomii opět používá Michalsonova intrfromtri na rozdíl od intnzitní. Později s zaměřili i na měřní s viditlným světlm. S vlmi vlou přsností změřili úhlový rozměr hvězdy Sirius. Robrt Hanbury Brown a Richard Q. Twiss své výsldy publiovali v práci nazvané Tst nového typu intrfromtru A tst of a nw typ of stllar intrfromtr on Sirius, trou publiovali v roc 956. Obráz 4: Robrt Hanbury Brown HBT ft byl poté apliován v subatomové fyzic použitím různých typů částic. Použití pionů měřní prostoročasových rozměrů při proton-antiproton anihilacích bylo navržno a úspěšně apliováno G. Goldhabrm, S. Goldhabrm, W.Y. Lm a A. Paism v 60. ltch minulého stoltí v Bvatronu. Intrfrnc za použití protonových orlací, tdy poprvé i pro frmiony, byla navržna S. E. Kooninm. Podobně jao 3

14 v astronomii, navrhli Kopylov a Podgortsy zoumat intnzitní intrfromtrii pomocí orlační func. V řadě vydaných článů položili zálady orlační fmtosopi. Tato mtoda j v současnosti standardní tchniou používanou v analýz primntů fyziy rlativisticých sráž částic. Obráz 5: Radiotlsopy použité pro studium HBT ftu Mzi použitím v astronomii a v fyzic vysoonrgticých rlativisticých sráž j něoli rozdílů. V astronomii měřím úhlový rozměr hvězdy měřním počtu dtovaných fotonů v oincidnci v závislosti na vzdálnosti mzi dttory. Druhým podstatným rozdílm j, ž hvězdy považujm za finí, zatímco při srážc s systém vyvíjí na časové šál řádu s, a proto musím vzít v potaz měnící s gomtrii systému, a taé ž v astronomii obvyl nznám vzdálnost zdroj, tdy měřím pouz úhlový rozměr zdroj, n jho absolutní vliost. Korlac HBT typu s vysytují u chaoticých zdrojů a vůbc s nvysytují u zdrojů ohrntních. V násldujícím ttu s proto budm zabývat přvážně pionovými orlacmi z chaoticých a částčně chaoticých zdrojů.. Pionové orlac z chaoticých zdrojů Proč istují orlac hybnosti při dtci dvou idnticých pionů mitovaných z chaoticého zdroj? K porozumění původu těchto orlací potřbujm popis stavu pionů při jjich produci a pohybu do dttoru. Jliož dvoučásticové orlac hybnosti vyžadují dtci dvou shodných částic v oincidnci, musím vzít v potaz symtrii systému vůči záměně částic. Tato symtri pro idnticé částic j původcm orlací hybnosti. 4

15 .. Rozdělní hybnosti jdnoho pionu Uvažujm prostorově rozložný zdroj pionů a njprv prozoumjm dtci jdnoho pionu s čtyřhybností =, º o prostoročasových souřadnicích =, t, ja j vyobrazno na obrázu č. 6. Bod uvnitř prostorově rozložného zdroj označím souřadnicmi =, t. Pro zjdnodušní zavdm těžišťovou soustavu. J to přirozná soustava souřadnic používaná pro zoumání sráž dvou stjných jadr. V této soustavě j těžiště prostorově rozložného zdroj v lidu. Avša při vysoonrgticých srážách s pvnými trči s dttory pohybují vzhldm zdroji. Těžišťová soustava s můž zdát nšiovnou, al uáž s být njvhodnější, protož vličiny, tré nás zajímají jao napřílad rozdělovací func hybnosti pro jdnu částici P, nzávisí na souřadnici dttoru, al na souřadnici zdroj, ja vyplyn z násldujícího ttu. Obráz 6: Pion s hybností vylétl z bodu v prostorově rozložném zdroji a byl dtován v bodě. Rovná čára symbolizuj lasicou trajtorii pionu. Obráz nzachovává sutčné měříto. V sutčnosti j vzdálnost mzi a o mnoho řádů větší nž podélný rozměr zdroj. Mějm pion s čtyřhybností, trý byl dtován v bodě. Pro měřní a nmám dostatčné prostorové a časové rozlišní, abychom zjistili bod, odud pion vyltěl. Pouz vím, ž pion vyltěl odněud z prostorově rozložného zdroj. V zdroji j mnoho bodů, z trých pion mohl vyltět. Všchny splňují přibližný vzorc popisující lasicou trajtorii pionu:, d / º = d / dt j rychlost pionu. - / ºt - t. Soustřďm svou pozornost na libovolný bod v prostorově rozložném zdroji, ja j vidět na obrázu č. 6. Potřbovali bychom, alspoň přibližně, určit amplitudu pravděpodobnosti popisující pohyb pionu z do. Pro tnto účl použijm mtodu Fynmanova dráhového intgrálu. Pohyb pionu z zdroj do dttoru tdy vyjádřím 5

16 rovinnou vlnou, ja uážm dál. Amplitudu pravděpodobnosti vyjádřím sumací fázového fatoru přs všchny možné trajtori: Amplituda [, t, t ] Ψ : = is. všchny trajtori, d S značí aci pionu, jjíž hodnota závisí na trajtorii. Všchny trajtori začínají v bodě a ončí v bodě. Rozhodující příspěv v sumě přs všchny trajtori bud mít lasicá trajtori. Příspěvy od jiných trajtorií značně olísají, mají opačná znaména, a proto mají tndnci navzájm s vyrušit. Dál j rozumné aproimovat vantově mchanicou amplitudu pravděpodobnosti jdním člnm popisujícím aci pionu s hybností podél lasicé trajtori: Ψ : á,.3 V přdchozí rovnici jsm přdpoládali, ž pion nbyl na své cstě do dttoru nid pohlcn ani zslabn. To budm přdpoládat i v násldujícím ttu. Ac pionu s hybností pohybujícího s po přibližné lasicé trajtorii z do j: S lasicá trajtori, : = º t t.4 Po dosazní tohoto vztahu do rovnic.3 zjistím, ž amplituda pravděpodobnosti pro pion s hybností, vylétávající z bodu a dtovaný v bodě, s dá přibližně vyjádřit jao: Ψ :.5 Abychom zjdnodušili znační, nbudm v násldujících rovnicích dál označovat přibližnou rovnost vyplývající z přdchozí rovnic. Vzorc.5 určuj amplitudu pravděpodobnosti pionu vznilého v bodě a dtovaného v bodě. To al nní pro naš účly dostačující. K tomu, abychom zahrnuli do svých úvah amplitudu pravděpodobnosti rac pionu v bodě a jho dtci v bodě, potřbujm popsat stav pionu v chvíli jho produc v místě vzniu amplitudou pravděpodobnosti jho rac. Označm amplitudu pravděpodobnosti rac pionu s hybností v bodě rac vliostí A, a fází Φ. Bz újmy na obcnosti uvažujm vliost A, rálnou a nabývající pouz nzáporných hodnot. Ta závisí na povaz procsu produc. Φ nazývám produční fází. Chování této produční fáz Φ v různých bodch, d můž dojít produci pionu, charatrizuj stupň ohrnc nbo chaotičnost procsu produc pionu. Napřílad chaoticý zdroj můž být popsán náhodnými produčními fázmi v bodch produc, zatímco ohrntní zdroj můž být popsán produční fází Φ, trá nní náhodnou funcí souřadnic. 6

17 Njprv vyštřm rozdělní hybnosti P pro jdnu částici. Potom, co jsm zavdli dodatčnou amplitudu pravděpodobnosti rac, abychom popsali stav pionu v chvíli jho produc, bud úplná amplituda pravděpodobnosti Ψ : pro pion vznilý v bodě a dtovaný v bodě dána vztahm: Ψ : = A, ψ :.6 Kromě toho pion můž vzninout njnom v bodě, al doliv jind v prostorově rozložném zdroji. Clová amplituda rac pionu v bodě j dána sumou amplitud pravděpodobnosti rac všch možných bodů v zdroji. Vzmm-li tdy v potaz amplitudu pravděpodobnosti rac A v všch možných bodch, clová amplituda pravděpodobnosti pro pion s hybností, trý vzninul v zdroji a byl dtován v bodě, bud: i Ψ : {všchny } = A, Φ ψ : = iφ A,.7 Suma přs všchny vyžaduj bližší urční hustoty bodů ρ v prostoro-časové jdnotc objmu. S tímto určním můžm sumu přpsat jao intgrál:... dρ.8 Rozdělní hybnosti pro jdnu částici, P, určující pravděpodobnost, ž pion s hybností byl vytvořn v prostorově rozložném zdroji a byl zaznamnán dttorm v bodě, j určna druhou mocninou absolutní hodnoty clové amplitudy pravděpodobnosti. Tj.: P = Ψ : {všchny } = = iφ A, = iφ A,.9 Přdcházjící vztah platí pro obcný zdroj. Tohoto vzorc využijm vyštřní rozdělní hybnosti pro jdnu částici vylétávající z chaoticého zdroj. Chaoticý zdroj popisujm jao zdroj, jhož produční fáz Φ přidružná bodům rac j náhodnou funcí souřadnic. Abychom tuto náhodnost produčních fází využili, ta rozložím pravou stranu rovnic.9 na člny závislé a nzávislé na produční fázi Φ. Zísám: iφ iφ y P = A, + A, A, y.0, y; y Poud do svých úvah zahrnm právě náhodnost produčních fází Φ v různých bodch, druhý čln v přdcházjící rovnosti j rovn nul, protož vůli vlému počtu člnů s pomalu s měnícími vliostmi al vlmi rychl flutuujícími náhodnými produčními fázmi s vyruší. Proto můžm psát: P = A,. 7

18 Použijm-li přpis sumy na intgrál.8, ta napíšm: P = dρ A,. Tuto rovnici můžm porovnat s vlastností rozdělovací func f, na fázovém prostoru, trá j lasicým analogm vantově mchanicé Wignrovy func. Ja j dobř známo, intgrací rozdělovací func přs prostorové souřadnic zísám rozdělní hybnosti: P = d f,.3 Proto pro chaoticý zdroj j rozdělovací func f, svázána s vliostí A, pionového zdroj vzorcm: f, = A, ρ.4 Tnto vztah nám dovoluj vyjádřit vliost A, jao funci rozdělovací func f,. A, = f, ρ.5.. Korlac hybnosti dvou pionů Obráz 7: Pion s hybností byl dtován v bodě, jiný pion s hybností byl dtován v bodě. Piony vylétly z bodů a v prostorově rozložném zdroji. Rovné čáry spojující s a s a přrušované čáry spojující s a s jsou možné trajtori pionů. Potom, co jsm doončili rozbor rozdělní hybnosti P pro jdnu částici, s zaměřím na orlac hybnosti při dtci dvou pionů v oincidnci. Uvažujm obcný zdroj pionů, pion s čtyřhybností dtovaný v bodě a druhý pion s čtyřhybností dtovaný v bodě, ja j znázorněno na obrázu č. 7. Tyto dva piony mohly vyltět z jaýcholiv dvou bodů v zdroji. Njprv bychom rádi nalzli amplitudu 8

19 pravděpodobnosti popisující pohyb těchto dvou pionů z zdroj do míst jjich dtc dttoru. Uvažujm případ, dy pion s hybností vylétl z bodu a byl dtován v bodě a druhý pion s hybností vylétl z bodu a byl dtován v bodě. Na obrázu č. 7 j tnto případ znázorněn plnými čarami. Amplituda pravděpodobnosti pro tnto případ j součinm amplitudy pravděpodobnosti ψ : pro pion s hybností, trý vylétl z bodu a byl dtován v bodě, a amplitudy pravděpodobnosti ψ : pro pion s hybností, trý vylétl z bodu a byl dtován v bodě. ψ : ψ :.6 Abychom zísali amplitudu pravděpodobnosti ψ : i i, použijm opět mtodu Fynmanova dráhového intgrálu s přiblížním, ž amplitudě pravděpodobnosti njvíc přispívá lasicá trajtori. Tdy aždá amplituda pravděpodobnosti bud mimo jiné obsahovat pouz ac vypočtné podél lasicé trajtori, ja můžm vyjádřit: ψ : i i is cl i i :.7, d S cl i : i i j ac pionu s hybností i pohybujícího s po lasicé trajtorii z bodu i do bodu i. Tato ac s dá přibližně vyjádřit vzorcm: Amplituda.6 přjd v výraz: S cl i : i i = i i - i i =,.8 ψ : ψ : = is cl : iscl :.9 Z tohoto důvodu amplituda pravděpodobnosti toho, ž pion s hybností vylétl z bodu a byl dtován v bodě, a pion s hybností vylétl z bodu a byl dtován v bodě j popsána vzorcm: ψ : ψ : = i i.0 Abychom vysvětlili amplitudu pravděpodobnosti pionu, trý vznil v prostorově rozložném zdroji, vylétl odsud a byl dtován dttorm, potřbujm vzít v úvahu amplitudu pravděpodobnosti rac, trá nám pomůž popsat stav pionů v bodch produc v zdroji. Amplituda pravděpodobnosti popisující pion vznilý v bodě i a dtovaný v bodě i i j dána výrazm A i, i Φ i. Proto můžm amplitudu pravděpodobnosti popisující dva piony vznilé v bodch rac a dtované v příslušných bodch napsat jao: A, a po úpravě tato: i Φ A, i Φ ψ : ψ :. 9

20 A, i Φ A, i Φ i i. Avša to nní jdiný příspěv amplitudě pravděpodobnosti pro dva piony vytvořné v bodch a a dtované v bodch a. Pion s hybností dtovaný v bodě mohl být totiž vytvořn v bodě a dtován v bodě. Totéž platí pro druhý pion s hybností, trý byl dtován v bodě. Mohl totiž vylétnout z bodu. Na obrázu č. 7 j tato možnost znázorněna přrušovanými čárami. Proto pro tnto případ napíšm amplitudu pravděpodobnosti tímto způsobm: A, i Φ A, i Φ ψ : ψ :.3 nbo A, i Φ A, i Φ i i.4 Z důvodu nrozlišitlnosti pionů, a z toho plynoucí nutnosti použít Bos-Einstinovu statistiu, musí být amplituda pravděpodobnosti symtricá vzhldm záměně indů částic. V tomto případě jdiné co oba piony rozlišuj, jsou body rac a, jliož jsm přdpoládali, ž pion s hybností byl dtován v bodě a druhý pion s hybností byl dtován v bodě. Amplituda pravděpodobnosti musí být taé symtricá vůči záměně a. Proto amplituda pravděpodobnosti splňující tuto symtrii j normalizovanou sumou. a.4. [ A, i Φ A, i Φ i i ] i Φ i i i Φ i + A, i Φ A, Φ Γ :.5, d Γ : j ta část amplitudy pravděpodobnosti, trá nzávisí na Φ. Dfinujm ji vztahm: Γ : = [A i i, A, + A, A, i i ].6 Piony nmusí vyltět pouz z bodů a, al mohou vyltět z tréhooliv bodu v zdroji. Úplnou amplitudu vyjadřujm sumou amplitud přs všchny možné ombinac dvou bodů produc, jliož uvažujm orlac dvou pionů. Tdy úplná amplituda pravděpodobnosti toho, ž dtujm piony s hybnostmi a v bodch a, tré vylétly z prostorově rozložného zdroj, j dána vzorcm: Ψ : {všchny ombinac } =, iφ iφ Γ :.7 Rozdělní hybnosti pro dvě částic P, dfinujm jao rozdělní pravděpodobnosti pro dva piony s hybnostmi a, tré vylétly z zdroj a byly dtovány v bodch a. Z přdchozího vzorc tdy dostávám: 0

21 P, = Ψ : {všchny ombinac }.8 Výsldy, tré jsm zísali z rovnic.6,.7 a.8 jsou vlmi obcné a můžm j apliovat ja zoumání orlací hybnosti pro chaoticé zdroj, ta pro ohrntní zdroj. V závislosti na vlastnostch produčních fází Φ přidružných bodům rac, rozlišujm tři druhy zdrojů. Zdroj můž být ohrntní, částčně chaoticý a chaoticý. Korlační func dvou pionů závisí na druhu zdroj. Výsldy, tré jsm dosud zísali, použijm analýz orlací hybnosti pro chaoticé zdroj. Chaoticý zdroj popisujm jao zdroj, jhož produční fáz Φ přidružné bodům rac jsou náhodné func souřadnic. Pro chaoticý zdroj opět vzmm v potaz náhodnost produčních fází a dosadím vzorc.7 do.8. Znovu rozdělím sumu na člny závislé a nzávislé na produční fázi Φ. Obdržím: P, = [Γ* : Γ : + Γ* :, Γ : ] +,, y, y { } { y y } [Γ* : y y iφ + iφ iφ y iφ y Γ : ].9 Oba sčítanci v první sumě s sobě rovnají díy symtrii. Pro chaoticé zdroj j druhá suma rovna nul, protož příspěvy vlého počtu člnů s podobnou vliostí, al náhodnými produčními fázmi, s vyruší. Proto si můžm dovolit přdchozí vztah zjdnodušit na: P, =, Γ :.30 Dál použitím vztahu.8 přvdm úplnou pravděpodobnost na dvojitý intgrál přs souřadnic a. P, = ddρ ρ Γ :.3 Použijm vztah.6 a můžm napsat: P, = dρ A, dρ A, i i + d ρ A, A, d A, A, ρ.3 Dál užijm vztah. a zjdnoduším přdchozí vztah na: P, = P P + i dρ A, A,.33 V dalším ttu bud vlic výhodné zavést tazvanou funci ftivní hustoty a přpsat přdchozí rovnost na:

22 P, = P P +, d tuto funci dfinujm tato: ρ ff ;, = ρ A P d ;, i ρ ff.34, A P,.35 Na záladě vyjádřní rozdělovací func f, v rovnicích. a.4 můžm ftivní hustotu vyjádřit tímto způsobm: ρ ff ; = f, f d f,, d f,.36 Zavdm Fourirovu transformaci vličiny ρ ff ; : ρ ff q; = d iq ρ ff ;.37, d q =. Dvoučásticové rozdělní hybnosti bud proto funcí Fourirovy transformac ftivní hustoty. Z rovnic.34 až.37 dostanm výraz: P, = P P + ρ ff q;.38 Korlační func C, dfinujm jao podíl pravděpodobnosti současné dtc pionů s hybnostmi a u pravděpodobnosti dtc aždého pionu zvlášť. P, C, =.39 P P Díy rovnici.38 zísám vztah: C, = + ρ ẽff q;.40 Čili pro chaoticý zdroj j orlační func C, pro dva piony v přímém vztahu s Fourirovou transformací ftivní hustoty. Korlační funci pro dva piony můžm použít zoumání prostorové charatristiy prostorově rozložného zdroj v době mis pionů. Nědy s taé zavádí jiná orlační func R, vztahm: R, = C,.4 Díy této dfinici j R, v vztahu s ρẽff q; tato: R, = ρ ẽff q;.4 V mnoha apliacích můžm paramtrizovat ftivní hustotu Gaussovým rozdělním

23 ρ ff ; = N y z t p π R Ry Rzσ t R Ry Rz σ 4 t.43, d N, j normalizační onstanta a standardní odchyly R,, R y,, R z, a σ, jsou func a. Konstantní člny volím ta, aby ftivní t hustota byla normalizována tato: Použijm Schwartzovu nrovnost na výraz: N, = ρ ;,.44 d ff d f,,,, f d f d f Použitím rovnic.36 a.45 obdržím:.45 d ρ ; ff = N,.46 a rovnost nastává právě dyž =. Zísávám tdy Nq = 0 =. Měli bychom připomnout, ž jao výchozí souřadnou soustavu používám těžišťovou soustavu, v tré měřím všchny hybnosti a souřadnic. Násldně blíž určím paramtry ftivní hustoty v těžišťové soustavě. Osu, v tré dochází srážc, ztotožním s osou z a těžiště prostorově rozložného zdroj umístím do počátu souřadnic. Paramtr R z určuj podélný poloměr zdroj podél směru pohybu dopadajících částic. Piony dtují dva různé dttory. Prostřdm spojnic mzi těmito dvěma dttory povdm osu. Taž paramtr R určuj příčný poloměr zdroj v směru spojnic obou dttorů. R y určuj příčný poloměr zdroj olmo na spojnici zdroj a dttorů. Provdm-li Fourirovu transformaci ftivní hustoty zdroj.43, dostanm: ρ ẽff q;, =N Rq Ryq y Rzq p Díy této rovnici můžm orlační funci napsat tato: z σ t q C, = C q;, = + N p R q R q R q σ q t.47 y y z z t t.48 nbo: R, = Rq;, = N p R q R q R q σ q y y z z t t.49 Tyto výsldy pro Gaussovu paramtrizaci můžm použít analýz primntálních dat zísaných z orlací hybnosti. Všchny paramtry použité této paramtrizaci jsou obcně funcmi a. Pouz poud uvažujm nějaé spciální případy, ta tyto paramtry budou nzávislé na a. Napřílad poud můžm rozdělovací funci f, rozložit na součin člnů závislých na a na, pa ftivní hustota a s ní 3

24 souvisjící paramtry N a R i nzávisí na nbo, a proto ftivní hustota j rovna prostoročasovému rozdělní hustoty bodů ρ. Tnto případ nastává thdy, dyž rozdělní hybnosti vznilých pionů nzávisí na místě produc pionů. Proto Gaussova paramtrizac s paramtry nzávislými na hybnosti j dobrým popism pouz pro staticý zdroj. Bohužl j ndostačující pro zdroj, v trém dochází spolčné objmové panzi částic. V obcných případch, dyž sptrum hybností vznilých částic závisí na souřadnicích v zdroji, ta budou paramtry popisující ftivní hustotu ρ ff ; závist na rozsahu hybností a naměřných při primntu. Měli bychom si uvědomit, ž v případě, dy hybnosti a jsou od sb vlmi vzdálny, potom ftivní hustota ρ ff ; j rovna nul..3 Kohrntní a částčně chaoticé zdroj.3. Kohrntní zdroj V minulé apitol jsm zjistili, ž pro chaoticé zdroj j hybnost jdnoho pionu orlována s hybností druhého pionu. Vysytují s tyto orlac i pro ohrntní zdroj? Kohrntní zdroj popisujm produční fází Φ, trá j nnáhodnou funcí souřadnic prostorově rozložného zdroj. Fáz Φ a Φy popisující dva různé body njsou navzájm nzávislé. Njjdnodušším příladm ohrntního zdroj j zdroj, jhož produční fáz Φ nabývá onstantních hodnot všud v zdroji. Jiným příladm ohrntního zdroj j zdroj, jhož produční fázi Φ popisuj func prvního řádu v čas, nzávislá na prostorových souřadnicích. Njprv prostudujm rozdělní hybnosti pro jdn pion. Vzhldm výsldu pramnícího z rovnic.7, úplná amplituda pravděpodobnosti pro pion s hybností, trý vzninul v zdroji a byl dtován v bodě, bud: iφ Ψ : {všchny } = A,.50 Pro rozšířný ohrntní zdroj můžm provést sumaci v přdchozí rovnici, protož produční fáz Φ j nnáhodnou dobř s chovající funcí. Njdřív sumu přpíšm jao intgrál. Podl rovnic.8 přpíšm amplitudu pravděpodobnosti jao: iφ Ψ : {všchny } = dρ A,.5 Pravděpodobnost P, ž jdn pion s hybností byl vytvořn v prostorově rozložném zdroji a byl zaznamnán dttorm v bodě, j určna druhou mocninou absolutní hodnoty clové amplitudy pravděpodobnosti: 4

25 P = i iφ dρ A, i iφ = dρ A,.5 Proto pro ohrntní zdroj j rozdělní hybnosti pro jdnu částici absolutní hodnotou i iφ Fourirovy transformac func dρ A, na druhou. Obraťm tď svou pozornost na orlac hybnosti dvou pionů mitovaných z ohrntního zdroj. Vzhldm obcnému výsldu popsaného rovnicí.9 můžm pravděpodobnost P,, ž dva piony s hybnostmi a vylétly odudoliv z zdroj a byly dtovány v bodch a, napsat tato:, d a P, = Ψ : {všchny ombinac }.53 Ψ :{ všchny ombinac =, iφ iφ Γ :.54 Γ : = [A, A, i i i i + A, A, ].55 Dosadím rovnici.55 do rovnic.54 a zísám: Ψ : {všchny ombinac } = i i + A, A,, i i iφ iφ [A, A, ].56 Nnáhodnost produční fáz Φ pro ohrntní zdroj j vlmi důlžitá vlastnost, trou využijm při výpočtu sumy v přdcházjící rovnici. Oproti chaoticému případu nyní nmá smysl rozdělit sumu na člny závislé a nzávislé na fázi Φ, nboť díy ohrntnímu chování fází druhý sčítanc obcně nvymizí. Sumaci přs a v rovnici.56 můžm provést nzávisl na sobě. Zísám: A Ψ : {všchny ombinac } =, iφ i + Tuto rovnici můžm zjdnodušit na tvar: A, iφ i A, A, iφ i iφ i.57 5

26 6,, i i i i A d A d Φ Φ ρ ρ Ψ : {všchny ombinac } =, i i A Φ, i i i A Φ Φ =.58 Z rovnic.53 a přdchozí rovnic můžm vyjádřit pravděpodobnost P, toho, ž dva piony s hybnostmi a vylétly odudoliv z prostorově rozložného zdroj a byly dtovány v bodch a, a vyjd nám: P, =,, i i i i A d A d Φ Φ ρ ρ =,, i i i i A d A d Φ Φ ρ ρ.59 Poud tnto výsld porovnám s rovnicí.5, zjistím, ž: P, = P P.60 Tudíž dvoučásticová orlační func pro ohrntní zdroj j idnticy rovna jdné. C, =, P P P =.6 A dvoučásticová orlační func R, j idnticy rovna nul. R, = 0.6 Tdy pravděpodobnost dtc jdnoho pionu nní nija svázána s pravděpodobností dtc druhého pionu. Poud j zdroj ohrntní, ta nistují žádné orlac hybnosti pocházjící z Bos Einstinovy statistiy v dvoučásticovém rozdělní hybnosti. Z podrobného odvozní orlační func můžm vysldovat původ orlací hybnosti v zdroji. Zjistili jsm, ž v případě ohrntního zdroj rozložní na činitl amplitudy pravděpodobnosti zaručuj fat, ž dvoučásticová pravděpodobnost P, s rovná součinu jdnotlivých jdnočásticových pravděpodobností.60. Pro ohrntní zdroj tdy nistují žádné orlac hybnosti. Uvažujm-li chaoticý zdroj, produční fáz j náhodnou funcí a sumaci potřbnou pro výpočt pravděpodobnosti můžm vyjádřit pouz rozdělním na člny závislé a nzávislé na produční fázi. Člny závislé na produční fázi s navzájm vyruší právě díy náhodnosti produčních fází. Čln, trý s nvyruší, j důsldm symtri vůči záměně částic pro bosony a j úměrný Fourirově transformaci rozdělovací funci f,. V případě ohrntního zdroj sic můžm pravděpodobnost P, rozložit na součin jdnotlivých jdnočásticových pravděpodobností P a P, al nmůžm do svých úvah zahrnout chaotičnost zdroj, a proto s člny závislé na produční fázi nvyruší.

27 .3. Částčně chaoticé zdroj V minulých odstavcích jsm odhalili souvislost mzi orlační funcí hybnosti a vlastností zdroj, tj. ohrncí nbo chaotičností. Proto, abychom byli schopni analyzovat výsldy primntů, j výhodné zavést tazvaný paramtr chaotičnosti λ a upravit orlační funci v rovnosti.47 na tvar C q = + λ p R q R q R q σ q.63 Tato func mění hodnoty v závislosti na paramtru chaotičnosti λ, trý nabývá hodnoty λ = 0 pro ohrntní zdroj a λ = pro úplně chaoticý zdroj. Musím si uvědomit, ž vzorc.63 j zjdnodušným popism částčně chaoticého zdroj. Protož ohrnc a chaotičnost jsou navzájm s doplňující vličiny, částčně ohrntní zdroj j taé částčně chaoticým zdrojm. Uvažujm-li pro jdnoduchost idalizovaný případ, v trém vliost A, nzávisí na souřadnicích, tdy uvažujm vliost A, potom po učinění podobných roů, jaé jsm učinili při zoumání ohrntního a čistě chaoticého zdroj, lz odvodit orlační func R, v tvaru: R, = C, = [λ ρ - + λ λ [ρ * ρ ρ - + ρ * ρ ρ ] ] / [ [λ + λ ρ ][λ + λ ρ ] ].64 Z tohoto výsldu pro zjdnodušný modl částčně chaoticého zdroj vidím, ž orlační func j složitou funcí paramtru chaotičnosti λ. Korlační func j funcí ja rozdílu hybnosti, ta funcí hybností jdnotlivých pionů. Analýza dat pro částčně chaoticý zdroj nní vůbc ta jdnoduchá, ja by s mohlo zdát z rovnic.63. y y z z t t.4 Njčastěji používané paramtrizac orlační func.4. D paramtrizac orlační func Njjdnodušší paramtrizací j paramtrizac v tvaru: C q inv = + λ R inv q inv.65, d q inv j rlativisticý invariant dfinovaný vztahm: q inv = 0 0 =.66 Tato paramtrizac přdpoládá, ž zdroj má ulový tvar. Paramtr R nní přímo poloměr zdroj, al obsahuj taé časovou složu. Nistuj žádný způsob, ja z této paramtrizac zísat oddělně rozměrový a časový údaj, trý j schován v proměnné R inv. J proto vlmi obtížné vydduovat z této paramtrizac vlastnosti zdroj. Poud 7

28 přdpoládám, ž zdroj nní ulového tvaru, nní tato paramtrizac vhodná. Výhodou této paramtrizac j fat, ž orlační func j jdnorozměrná. Potřbujm proto málo dat, abychom nafitovali orlační funci nznámými paramtry. Tato paramtrizac nám tdy posytuj pouz informaci o typicém rozměru zdroj..4. 3D paramtrizac orlační func Abychom zísali podrobnější informac o zdroji, j nutné zavést vhodnější soustavu, trou dfinujm pro aždou dvojici idnticých bosonů, jíž navrhli Csörgö a Pratt. Tato souřadná soustava s nazývá podélná těžišťová soustava a j zobrazna na obrázu č. 8. Obráz 8: Podélná těžišťová soustava Rlativní hybnost q v této souřadné soustavě rozložím na tři ortogonální složy: q t, out, q t,sid, q long. Osu out ztotožním s součtm hybností obou částic, j olmá na směr výtrysu částic, trý určuj osu z nboli osu q long. Třtí osa q sid j olmá na obě přdšlé osy. Tuto paramtrizaci vyjádřím v tvaru: C q = + λ Routq Rsidq y Rlong qz.67 V mnoha praticých případch nmám dostat primntálních dat, abychom mohli s dostatčnou přsností tuto paramtrizaci použít. Abychom snížili statisticé chyby, využijm možnosti snížit počt fitovaných paramtrů. Dfinujm proto tdy σ t qt 8

29 příčnou složu r t, trá s sládá z tzv. příčného poloměru určném násldující rovnicí tímto způsobm: r = r + r t out sid.68 Díy této dfinici už fitujm o jdn paramtr méně a orlační funci můžm napsat tato: Rt qt Rlongqz σ t qt C.69 q = + λ Dál jsou možné i jiné paramtrizac, tré njsou v tvaru Gaussiánu. Zahrnují toy hmoty a další jvy. Mají vša mnohm složitější tvar, vyžadují přsnější data a svým rozsahm přsahují rámc této baalářsé prác. 9

30 Kapitola 3 Analýza primntálních dat 3. Korc orlační func V minulé apitol jsm prošli záladní přdstavy o orlační funci, v prai vša musím do našich úvah zahrnout široou řadu orcí. Korlační func pro dvě částic j ovlivněna Coulombicými intracmi, rozpadm rzonancí a silnými intracmi v ončném stavu. Paramtr chaotičnosti λ můžm intrprtovat mnohými způsoby. Pro částčně chaoticé zdroj závisí orlační func na paramtru chaotičnosti λ vlmi složitým způsobm. Navíc paramtr chaotičnosti λ nzávisí pouz na stupni ohrnc zdroj. Závisí i na výsytu vícnásobného rozptylu, panzi zdroj, rozpadu rzonancí, účinném průřzu srážy a mnoha dalších paramtrch. Paramtr chaotičnosti λ byl primntálně určn vždy jao mnší nž jdna. Doonc, i dyž zdroj j úplně chaoticý, měřní nmusí nzbytně dát hodnotu rovnou jdné. Jdním z vlmi zásadních důvodů j špatná idntifiac částic dtovaných dttory. To znamná, ž v našich naměřných datch s vysytnou hodnoty pro dvojic nidnticých částic. Dalším závažným důvodm snižujícím vliost paramtru chaotičnosti λ můž být rac pionů z dlouho žijících rzonancí. Důsldm j, ž objm srážy s tímto zvětšuj. Chaoticý zdroj malých rozměrů posytuj široý rozsah hybností pro urční orlační func, zatímco pro vlmi vlý chaoticý zdroj můžm použít orlační funci pouz pro malý rozdíl hybností obou částic. Obráz č. 9 uazuj, ja piony vznilé z různých rzonancí přispívají do orlační func použité v primntu NA44 při srážách S-Pb. Odhad byl založn na počítačových simulacích primntu. Všimněm si vzrůstu orlační func pro malé rlativní hybnosti. 30

31 Obráz 9: Odhadované příspěvy produci pionů od jdnotlivých rzonancí v porovnání s daty z primntu NA44. Dál jsm v přdchozím ttu uvažovali pouz šířní částic do dttoru vaum. V sutčnosti částic procházjí řádově mm trč a pa 5 mtry vzduchu, jao v zmiňovaném primntu NA44. Tyto sundární intrac způsobují mnohonásobný rozptyl částic a mají zrslující vliv na orlační funci. Dvě částic, mající na počátu jistou rlativní hybnost, tré projdou mnohonásobným rozptylm, nsončí s stjnou rlativní hybností, jaou měly na počátu. Musím taé vzít v úvahu, ž částic s z prostorově rozložného zdroj npohybují navzájm nzávisl. Obvyl měřím zjména orlac mzi nabitými piony, proto musím vzít v úvahu Coulombicé intrac. Důlžitý vliv na orlační funci mají proto njnom intrac mzi dtovanými nabitými piony, al taé intrac s jaouoli nabitou částicí v systému. Zahrnutí těchto složitých Coulombicých intrací j vlmi obtížnou zálžitostí. 3. Korlac vyšších řádů V orlační fmtosopii s nmusím omzovat pouz na orlac dvou částic, al můžm ji apliovat i na vyšší počt částic. Tnto postup můžm použít díy dostatčně vysoému počtu částic vytvořných při jdnotlivých srážách v urychlovači. Analogicy podl rovnic.39 můžm napsat tříčásticovou orlační funci jao: 3

32 3 C 3,, 3 =,, 3 3 P P P P 3. Musím si uvědomit, ž tříčásticová orlační func zahrnuj njnom tříčásticové orlac R 3, al taé trojici dvoučásticových orlací R 3. Njdůlžitějším úolm analýzy orlací tří částic j tdy od sb oddělit tříčásticovou a dvoučásticovou složu orlací. R 3 = C 3 R 3 3. Korlační funci R 3 můžm vyjádřit pomocí hustot pravděpodobnosti tímto způsobm: 3.3 Zavdm-li clový rozdíl čtyřhybností Q 3, svazující dohromady rlativní hybnosti jdnotlivých dvojic částic z pozorované trojic, zísám: 3.4 Korlační funci R 3 opět paramtrizujm v tvaru Gaussiánu, v podobném tvaru jao paramtrizujm orlační funci dvou částic V primntch OPAL a DELPHI byly pozorovány tříčásticové orlac. Výsldy těchto primntů shrnuj tabula č. a obráz č. 0. Tabula : Výsldy primntů DELPHI a OPAL, tré s zabývaly orlacmi tří částic. Chyba v stanovní paramtrů zahrnuj ja statisticou ta systmaticou chybu., 3,, P P P P P P P P P R j j i i + = Q R Q R + = λ Q Q Q Q + + =

33 Obráz 0 : Tříčásticová orlační func R 3 zísaná analýzou dat z primntu OPAL. Korlac můžm obcně rozšířit i do libovolných vyšších řádů, avša tnto postup nní příliš šiovný, a navíc potřbujm vlic přsné naměřné hodnoty, abychom mohli provést uspoojující statisticou analýzu primntálních dat. 3.3 Konstruc orlační func z primntálních dat Výsldy primntů njčastěji intrprtujm pomocí informací zísaných z analýzy orlační func. Korlační funci primntálně zjišťujm podl násldujícího vztahu: C, = P, P, 0 3.6, d P, j hustota pravděpodobnosti současné dtc pionů s hybnostmi a a P 0, j obdobná hustota pravděpodobnosti, al vytvořná z dat z různých jdnotlivých sráž, tdy bz přítomnosti jaýcholiv orlací. Přsně vzato by v jmnovatli měl být součin pravděpodobnosti dtc aždého pionu zvlášť P P. Avša napřílad v primntch s pozitron-ltronovou anihilací nní možné změřit tyto pravděpodobnosti P a P, a proto j nahrazujm vhodnější pozorovatlnou P 0,. Tuto pozorovatlnou určujm z tzv. srovnávacího vzoru. Srovnávací vzor j slabou stránou orlační fmtosopi, jliož jho volba ovlivňuj výsldnou orlační funci. 33

34 3.4 Srovnávací vzor Bohužl idální srovnávací vzor nistuj, al istují dvě hlavní možnosti ja vytvořit vhodný vzor a sstavit požadovanou orlační funci. První možností j vytvořit srovnávací vzor z naměřných hodnot. Jao druhou možnost, můžm srovnávací vzor vytvořit pomocí Mont Carlo simulací. Touto mtodou simulujm primnt včtně naší schopnosti dtovat jdnotlivé částic Srovnávací vzor odvozný z naměřných dat Ja napovídá nadpis, jsou tyto srovnávací vzory vytvořny z naměřných dat. Srovnávací vzory odvozné z naměřných dat můžm vytvořit mtodou tzv. mid vnt. Postupujm ta, ž párujm idnticé piony, aždý z jiné srážy částic v urychlovači. Z těchto dat určím pozorovatlnou P 0,. Tímto postupm s zbavím njn Bos Einstinových orlací al bohužl i všch ostatních. Další mtoda vytváří srovnávací vzor za použití naměřných hodnot od opačně nabitých pionů z stjné srážy. Tím odstraním Bos Einstinovy orlac a zachovám ostatní. Bohužl nám al vzninou nové orlac, tré pochází z rozpadu rzonancí Srovnávací vzor vytvořný Mont Carlo simulacmi Modlování vzniu hadronů hraj důlžitou roli při analýz primntálních dat v fyzic vysoonrgticých sráž částic. Jho cílm j hlavně vyhodnocní různých primntálních ndostatů zapříčiněných ndoonalostí dtčního systému. Kromě toho tyto simulac slouží porovnání tori a primntu. Často s používají při zoumání orlací částic. Mzi nvýhody nětrých simulačních Mont Carlo programů patří absnc Coulombicých intrací mzi částicmi, navíc všchny vygnrované částic nmají spin. V těchto programch musím nastavovat volné paramtry, jao napřílad poměr mzi počtm vznilých vtorových a salárních rzonancí, tré odpovídají prováděnému primntu. Poud porovnávám data z primntu s Mont Carlo přdpověďmi, musím být tdy vlic opatrní. 34

35 Kapitola 4 Výsldy primntů V většině analýz primntálních dat byl brán zřtl jn na nětré orc. Al i dyž nuvažujm všchny možné orc, stál můžm zísat valitní výsldy, tré s vlmi blíží sutčnosti. Většina primntů s zabývala a zabývá orlacmi druhého řádu ltricy nabitých pionů. Korlac vyšších řádů jsou možné, al pro náročnost analýzy s jimi většinou nzabývám. Výsldy orlační fmtosopi zísané z studia jiných párů částic, napřílad aonů, jsou vlmi srovné. Důvodm j to, ž aony vzniají v mnohm mnším počtu oproti počtu pionů. Dalším důvodm můž být jjich náročnější idntifiac. 4. Eprimnty s pozitron-ltronovou anihilací Anihilac ltronu s pozitronm má tnto průběh: + - boson Z 0 / virtuální γ q anti q, ja j znázorněno na obrázu č.. Páry var antivar, tré přímo ndtujm, mají za násld poměrně vysoý počt vznilých hadronů. Ty už můžm násldně dtovat. Tyto páry var antivar mzi sbou vyměňují gluony, z trých můžou vzninout další páry var antivar. Poté náslduj hadronizační procs, z trého vzniají spršy dtovatlných částic. 35

36 Obráz : Schéma tvorby hadronů při pozitron-ltronové anihilaci Hadronizační procs při pozitron-ltronové anihilaci v současnosti popisujm tzv. Lundsým modlm. Výhodou tohoto modlu j jho itrativnost, a tudíž z toho plynoucí snadná programovatlnost a využitlnost v Mont Carlo simulacích. Navíc doáž popsat většinu intrací při vysoých nrgiích. Přdpoládám, ž var a antivar v páru jsou spojny nhmotnou mitající strunou, trá nahrazuj barvné pol, jímž na sb vary působí. Různé mody mitání varů určují jdnotlivé intragující gluony. Poud má struna dostat nrgi, můž s roztrhnout a vytvořit nový pár var antivar obráz č.. To s můž opaovat, až do té doby doud nzbydou pouz běžné hadrony. Obráz : Lundsý modl hadronizac v časoprostorové oblasti A V mzích primntální přsnosti můžm zdroj vznilý při pozitron-ltronové anihilaci popsat jao izotropní ouli, al taé jao lipsoid, trý má podélný poloměr dvarát větší nž příčný. Kvůli těmto npřsnostm nmůžm rozhodnout, jaý tvar 36

37 zdroj má. Většina analýz používá jdnorozměrnou paramtrizaci. V tabulc číslo jsou zobrazny výsldy zísané z jdnodimnzionální paramtrizac orlační func z různých primntů. Tyto primnty sldovaly orlac pionů při pozitronltronové anihilaci v rozsahu nrgií od 9 do 9 GV. Paramtr r značí dřív dfinovanou vličinu r inv, trá svazuj dohromady poloměr zdroj a časovou složu, λ značí paramtr chaotičnosti zdroj. Tabula j rozdělna na dvě části. Hodnoty paramtrů v sloupci mtoda byly zísány za použití srovnávacího vzoru, trý vycházl z orlací opačně nabitých pionů. Naproti tomu sloupc mtoda označuj použití srovnávacího vzoru buď Mont Carlo simulacmi anbo tzv. mid vnt. Tabula : Hodnoty paramtrů r a λ vyvozné z různých primntů při odlišných nrgiích. Z hodnot paramtrů v tabulc číslo můžm vypozorovat tyto závěry. Vliosti paramtru r nabývají obcně větších hodnot, poud použijm analýzu mtodou. Kdžto paramtry chaotičnosti λ jsou zhruba stjné, nzávisl na použité mtodě. Za druhé nní vůbc vidět závislost paramtru r na nrgii srážy. Vliost paramtru r nabývá hodnot mnších nž fm. Průměrná hodnota r lží pro mtodu v oolí hodnoty 0,8 fm, uvažujm-li mtodu, pa r j méně stabilní a flutuuj od primntu primntu. Domnívám s, ž tyto nsrovnalosti jsou důsldm njdnotnosti mtod použitých sstavní srovnávacích vzorů. Výsldy primntů s nutrálními piony jsou vlmi sromné, protož j vlic těžé idntifiovat bosony bz ltricého náboj. 37

38 4. Eprimnty s srážami těžých iontů V tabulc č. 3 jsou uvdny hodnoty paramtrů R inv a λ odvozné z různých primntů, onrétně NA44 a E80/E859. Eprimnt E GV R inv fm λ Si Au 4,5 4,45 ± 0,44 0,60 ± 0.08 Si Au 4,5 4,9 ± 0,7 0,44 ± 0,0 Si Al 4,5 3,44 ± 0,36 0,59 ± 0,08 Si Al 4,5 4,03 ± 0,7 0,53 ± 0,5 S Pb 00 4,50 ± 0,3 0,46 ± 0,04 Tabula 3: Výsldné hodnoty paramtrů R inv a λ pro různé primnty Všimněm si poznatu, ž paramtry R inv a λ s příliš nliší v závislosti na nrgii a typu srážných iontů. Na obrázu č. 3 vidím sstrojnou jdnodimnzionální orlační funci pro posldní řád tabuly. Korlac začnou hrát roli pouz při malých hodnotách Q inv, tdy při malém rlativním rozdílu čtyřhybnosti. Obráz 3: Dvoučásticová orlační func pro různé pionové páry při těžišťové nrgii 00 GV 38

39 Závěr Tato prác s věnovala problmatic orlační fmtosopi. Jjím cílm bylo zmapovat tuto zajímavou oblast částicové fyziy. Tj. nastínit torii, analýzu primntálních dat a přiblížit výsldy vybraných primntů. HBT ft, trý byl původně používán jao nástroj pro měřní vliostí astronomicých objtů o vliostch řádově 0 5 m, s proměnil v cnný prostřd pro měřní subatomicých objtů o přvrácné vliosti 0-5 m. Mnoho současných primntů uázalo užitčnost orlační fmtosopi při hldání var-gluonového plazmatu al i při hldání odpovědí na jiné obtížné otázy. Záladní tori již byla vybudována, výzvou al zůstává začlnění všch možných orcí do orlační func. V dalších měřních s do paramtrizací orlační func zahrn to hmoty v zdroji, tdy jho dynamicý vývoj. Taé s vyřší otáza, jstli bylo v současných primntch dosažno jdinčného stavu hmoty, var gluonového plazmatu. 39

40 Sznam použitých zdrojů [] C.Y. Wong: Introduction to high-nrgy havy-ion collisions, World Scintific, 996 [] R.M. Winr: Introduction to Bos-Einstin corrlations and subatomic intrfromtry, John Wily & Sons, LTD, 000 [3] U. Hinz: Hanbury-Brown/Twiss intrfromtry for rlativistic havy-ion collisions: thortical aspcts, arxiv:nucl-th/960909v 996 [4] G. Baym: Th physics of Hanbury Brown Twiss intnsity intrfromtry: From stars to nuclar collisions, arxiv:nucl-th/980406v 998 [5] O. Smirnova: Bos Einstin corrlations at th Z 0 pa, 999, [6] M. Bystrsý: Modlování a studium orlací idnticých částic v protonprotonových a jádro-jadrných srážách měřných primntm STAR na RHIC, diplomová prác ÚČJF MFF UK Praha, 004 [7] Hunting th quar gluon plasma: Rsults from th first 3 yars at RHIC, Assssmnts by th primntal collaborations, formal rport, , BNL , [8] Phil Schw a Bn Stin: An ocan of quars, Th AIP Bulltin of Physics Nws, , [9] Tisová zpráva BNL: RHIC scintists srv up prfct liquid, , [0] B. Andrsson: Bos-Einstin corrlations in th Lund modl, arxiv:hp-ph/ v 997 [] V. Wagnr: Přdnášy a popularizační člány, [] NOMAD collaboration: Bos-Einstin corrlation in chargd currnt muonnutrino intractions in th NOMAD primnt at CERN, arxiv:hp-/

41 [3] R. Ldnicý: Corrlation fmtoscopy of multiparticl procsss, arxiv:nucl-th /030507v 003 [4] R. Ldnicý: Fmtoscopy with unli particls, arxiv:nucl-th/00v 00 [5] R. Ldnicý: Finit-siz ffcts on two-particl production in continuous and discrt spctrum, arxiv:nucl-th/050065v 005 [6] D. Miśowic: Sparation btwn sourcs of pions and protons in cntral Au+Au collisions at th AGS E877, arxiv:nucl-/ v 998 [7] T. Csörgö: Rviw of HBT or Bos-Einstin corrlations in high nrgy havy ion collisions, Journal of physics: Confrnc sris strany [8] L3 collaboration: Paramtrization of Bos-Einstin corrlations and rconstruction of th sourc function in hadronic Z-boson dcays using th L3 dtctor, L3 not 833, XXXIII Intrnational confrnc on high nrgy physics, Moscow 006, Russia [9] M.Csanád: Masurmnt and analysis of two- and thr-particl corrlations, arxiv:nucl-/050904v